2017年秋九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(新版)新人教版
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九年级数学上册 第21章 一元二次方程小节与复习课件1 (新版)新人教版
C.没有实数根
b24ac 0
D.根的情况无法
3. 关于x的一元二次方程 mx2-(3m-1)x+2m-1=0,其根的判别式的值为1，求m的 值及该方程的根。
解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1=(m-1)2
∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(二次项系数不为0，舍去)。
次项系数和次项系数．
回顾与复习 2
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
方程的左边是完全平方式,右边是非 负数;即形如x2=a(a≥0)
x1 a,x2 a
“配方法”解方程的基本步骤
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边同加一次项系数
当m=2时，原方程变为2x2-5x+3＝0， x＝3/2或x=1.
下课了!
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
• 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方程方法——即方程的思想.
一半的平方;
4.变形:化成(x m )2 a
5.开平方，求解
★一除、二移、三配、四化、五解.
用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
xb2b2a 4a.bc24a0 c.
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
九年级数学上册 一元二次方程复习课件 (新版)新人教版
一元二次方程复习
一、知识梳理
知识点一： 一元二次方程的定义
只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c为常数，a≠0）
一、知识梳理
知识点二：
一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：(x＋h)2＝k (k≥0)
（2）配方法： x2＋mx＋n＝0
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的
积，右边是0的方程
应用
思考题
已知方程 (k－4)xk＋x2－4x＋1＝0 是一元二次方程，求 k的值。
加油，同学们!
二、问题解决
1. k取什么值时，方程 x2－k(kx＋－＋14)＝x＋0 42＝0 有两个相等的实数根？求这时方程的根.
二、问题解决
2. k取何值时, 方程 x2－4x＋k＝0 ①有两个相等的实数根？ ②有两个不相等的实数根？ ③有一个根为2？
④有一个根为 2 3？
⑤两根之比为 1 : 3？
二、问题解决
一、知识梳理
知识点三： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情 况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根；
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根的判别式.
(x＋h)2＝k (k≥0)
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
(x b )2 2a
b24a42ac
一、知识梳理
知识点二： 一元二次方程的解法：
（3）公式法： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2 －4ac≥0时，它的根是 x b b2 4ac
一、知识梳理
知识点一： 一元二次方程的定义
只含有 一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程。
一般形式：
ax2＋bx＋c＝0 （a、b、c为常数，a≠0）
一、知识梳理
知识点二：
一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：(x＋h)2＝k (k≥0)
（2）配方法： x2＋mx＋n＝0
因式分解法： 适应于左边能分解为两个一次式的
积，右边是0的方程
应用
思考题
已知方程 (k－4)xk＋x2－4x＋1＝0 是一元二次方程，求 k的值。
加油，同学们!
二、问题解决
1. k取什么值时，方程 x2－k(kx＋－＋14)＝x＋0 42＝0 有两个相等的实数根？求这时方程的根.
二、问题解决
2. k取何值时, 方程 x2－4x＋k＝0 ①有两个相等的实数根？ ②有两个不相等的实数根？ ③有一个根为2？
④有一个根为 2 3？
⑤两根之比为 1 : 3？
二、问题解决
一、知识梳理
知识点三： 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情 况可由b2－4ac来判定：
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根；
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根的判别式.
(x＋h)2＝k (k≥0)
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
(x b )2 2a
b24a42ac
一、知识梳理
知识点二： 一元二次方程的解法：
（3）公式法： 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2 －4ac≥0时，它的根是 x b b2 4ac
人教版数学九年级上册第二十一章一元二次方程章节复习课件
值为___1__.
解：由题意知x＝1是 x2＋mx＋n ＝0的一个根， 则1＋m＋n＝0求得m＋n＝－1 又∵ m2＋2mn＋n2 ＝ (m＋n)2 则 m2＋2mn＋n2 ＝ (－1)2 -x-1=0的一个根，求a3-2a2+2014的值．
解：将x=a代入方程得：a2-a-1=0，即a2=a+1， 则原式=a2（a-2）+2014 =（a+1）（a-2）+2014 =a2-a-2+2014 =a+1-a-2+2014 =2013． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的应用．此类题型的特点是：利用方程根的 定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的情势，再把此 相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值，注意灵活降次是解题关键．
1 一元二次方程的定义
【例1 】 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ A ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数 不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
2.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 数项是 0 .
，一次项系数是 -2 ，常 B
2 一元二次方程的根
【例2 】 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 .
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相 等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应 填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
解：由题意知x＝1是 x2＋mx＋n ＝0的一个根， 则1＋m＋n＝0求得m＋n＝－1 又∵ m2＋2mn＋n2 ＝ (m＋n)2 则 m2＋2mn＋n2 ＝ (－1)2 -x-1=0的一个根，求a3-2a2+2014的值．
解：将x=a代入方程得：a2-a-1=0，即a2=a+1， 则原式=a2（a-2）+2014 =（a+1）（a-2）+2014 =a2-a-2+2014 =a+1-a-2+2014 =2013． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的应用．此类题型的特点是：利用方程根的 定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的情势，再把此 相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值，注意灵活降次是解题关键．
1 一元二次方程的定义
【例1 】 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围
是（ A ）
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数 不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
2.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4 数项是 0 .
，一次项系数是 -2 ，常 B
2 一元二次方程的根
【例2 】 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 .
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相 等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应 填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
九年级数学上册第21章一元二次方程章末复习课件(新版)新人教版
平均变化率问题
分裂、传播问题
面积、体积问题
销售利润问题
循环问题
定义 一般形式 根的情况
解法
列方程解决 实际问题
根与系数 的关系
一元二次方程
归纳整合
专题一 一元二次方程的解法
【要点指导】解一元二次方程的主要方法有四种：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法. 直接开平方法和因式分解法 可解特 殊的一元二次方程, 公式法和配方法可解任意的一元二次 方程. 若没有 特别说明, 解法选择的一般顺序为直接开平方法、 因式分解法、公式 法、配方法.
相关题1 解方程：6x2-x-1=0.
解：移项，得 6x2－x＝1. 方程两边都除以 6，得 x2－61x＝16. 配方，得 x2－16x＋1414＝16＋1144， 即x－1122＝12454， ∴x－112＝±152，∴x1＝12，x2＝－13.
解一元二次方程时, 要根 据方程的特点选择简便的 方 法. 当方程不含一次项 时, 一般采用直接开平方 法；当方程 不含常数项时, 一般采用因式分解法.
解析 设出未知数后，用含未知数的代数式 表示出 AM，AN 的长，利用△AMN 的面积 等于矩形 ABCD 面积的91列出方程求解即可．
解：设经过 t s，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的91.
根据题意，可得 AM＝t cm，AN＝(6－2t)cm.
所以12AM·AN＝19BC·AB，即 21t·(6－2t)＝91×6×3. 整理，得 t2－3t＋2＝0，解得 t1＝2，t2＝1.
素养提升
专题 利用方程思想解决几何问题
【要点指导】运用方程思想解决几何问题, 首先要用含未知数的 式 子表示出相关线段的长度, 然后利用图形中存在的等量关系构 建方程.
分裂、传播问题
面积、体积问题
销售利润问题
循环问题
定义 一般形式 根的情况
解法
列方程解决 实际问题
根与系数 的关系
一元二次方程
归纳整合
专题一 一元二次方程的解法
【要点指导】解一元二次方程的主要方法有四种：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法. 直接开平方法和因式分解法 可解特 殊的一元二次方程, 公式法和配方法可解任意的一元二次 方程. 若没有 特别说明, 解法选择的一般顺序为直接开平方法、 因式分解法、公式 法、配方法.
相关题1 解方程：6x2-x-1=0.
解：移项，得 6x2－x＝1. 方程两边都除以 6，得 x2－61x＝16. 配方，得 x2－16x＋1414＝16＋1144， 即x－1122＝12454， ∴x－112＝±152，∴x1＝12，x2＝－13.
解一元二次方程时, 要根 据方程的特点选择简便的 方 法. 当方程不含一次项 时, 一般采用直接开平方 法；当方程 不含常数项时, 一般采用因式分解法.
解析 设出未知数后，用含未知数的代数式 表示出 AM，AN 的长，利用△AMN 的面积 等于矩形 ABCD 面积的91列出方程求解即可．
解：设经过 t s，△AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的91.
根据题意，可得 AM＝t cm，AN＝(6－2t)cm.
所以12AM·AN＝19BC·AB，即 21t·(6－2t)＝91×6×3. 整理，得 t2－3t＋2＝0，解得 t1＝2，t2＝1.
素养提升
专题 利用方程思想解决几何问题
【要点指导】运用方程思想解决几何问题, 首先要用含未知数的 式 子表示出相关线段的长度, 然后利用图形中存在的等量关系构 建方程.
九年级数学上册 第二十一章 一元二次方程 21.1 一元二次方程教学课件 (新版)新人教版.pptx
一次项系数
7
二、新课讲解
例1 将方程3x( x-1)=5( x +2)化成一元
二次方程的一般形式，并写出其中的二次 项系数、一次项系数和常数项.
解：去括号，得
3x2 3x 5x 10
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2 8x 10 0
其中二次项系数是3，一次项系数是－8， 常数项是－10.
8
二、新课讲解
例2 下列哪些数是方程 x 2- x -6=0的根？
从中你能体会根的作用吗？ －4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
解：将 x =-4带入方程的左边得14；同理可 得：x =-3时，左边得6；x=-2时，左边得0；x =-1时，左边得-4；x=0时，左边得-6；x =1 时，左边得-6；x =2时，左边得-4；x =3时， 左边得0；x =4时，左边得6.所以该方程的
6
二、新课讲解
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程
都可以化为 ax2 bx c 0 的形式,我们把
ax2 bx c 0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一
元二次方程的一般形式.
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
根为-2和3. 根的作用：可以使等号成立.
9
二、新课讲解
例3 你能根据所学过的知识解出下列方程的 解吗？
（1）x2-36=0 ; （2）4 x2-9=0.
解：（1）移项得：x2=36, 所以 x =6或-6.
（2）移项得：4 x 2=9, 两边同时除以4得：x2=9/4, 所以 x= 2 或- 2 .
特点： （1）等号两边都是整式； （2）整式的最高次数是2次 .
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件
2024/9/13
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程作业ppt课件新版新人教版
2a＋b＝2， 2a＋b＝1， 乙：根据题意，得a－b＝1 或a－b＝2，
a＝1， a＝1， 解得b＝0 或b＝－1. 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？ 如果都不正确，请给出正确的解法．
解：都不正确，均考虑不全面．
正确解法如下：要使 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，
14．(南充中考)若2n(n≠0)是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根， 1
则m－n的值为__2___．
15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形， 设该直角三角形的一条直角边长为x厘米， 则另一条直角边长为___(1_7_－__x厘) 米，可列出方程：___x_2_＋__(_1_7_－__x_)2_＝__1_3.2
11．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则( )B A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±2
12．(2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0 有一个根为x＝0，则a的值为( D) A．0 B．±1 C．1 D．－1
13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程， 则m的取值范围是____m__≥_0_且__m_≠__2_．
k2－9＝0， 解：(1)由题意得k＋3≠0， 解得 k＝3， ∴当 k＝3 时，此方程是一元一次方程
(2)由题意得 k2－9≠0，则 k≠±3，∴k≠±3 时，此方程是一元二次方程， 二次项系数、一次项系数和常数项分别为 k2－9，k＋3，0
19．若 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 a，b 的值． 下面是两位同学的解法． 甲ab＝＝10，.
17．(安阳月考)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根， 求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m－1)的值． 解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1， 则原式＝m2＋2m＋1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
a＝1， a＝1， 解得b＝0 或b＝－1. 你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？ 如果都不正确，请给出正确的解法．
解：都不正确，均考虑不全面．
正确解法如下：要使 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，
14．(南充中考)若2n(n≠0)是关于x的方程x2－2mx＋2n＝0的根， 1
则m－n的值为__2___．
15．小明用30厘米的铁丝围成一个斜边长等于13厘米的直角三角形， 设该直角三角形的一条直角边长为x厘米， 则另一条直角边长为___(1_7_－__x厘) 米，可列出方程：___x_2_＋__(_1_7_－__x_)2_＝__1_3.2
11．方程(m＋2)x|m|＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则( )B A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝－2 D．m≠±2
12．(2019·遂宁)已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0 有一个根为x＝0，则a的值为( D) A．0 B．±1 C．1 D．－1
13．若方程(m－2)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程， 则m的取值范围是____m__≥_0_且__m_≠__2_．
k2－9＝0， 解：(1)由题意得k＋3≠0， 解得 k＝3， ∴当 k＝3 时，此方程是一元一次方程
(2)由题意得 k2－9≠0，则 k≠±3，∴k≠±3 时，此方程是一元二次方程， 二次项系数、一次项系数和常数项分别为 k2－9，k＋3，0
19．若 x2a＋b－3xa－b＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，求 a，b 的值． 下面是两位同学的解法． 甲ab＝＝10，.
17．(安阳月考)已知m是方程x2＋x－1＝0的一个根， 求代数式(m＋1)2＋(m＋1)(m－1)的值． 解：把x＝m代入方程，得m2＋m－1＝0，即m2＋m＝1， 则原式＝m2＋2m＋1＋m2－1＝2(m2＋m)＝2
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例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则
m的取值范围是（
m4
A
）
解A析. 根据3方B程. 根m的<2情况可C知.，m此≥方0 程的根D的. m判<别0 式
>0Δ,即42-
4×1×（-3m)=16+12m>0,解得
,m故选A43 .
易错提示 应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式，这样能帮
助我们正确确定a,b,c的值.
知识点复习
Δ>0 相等的实数根；
Δ <0
方程没有实数根.
配套训练 1.下列所给方程中，没有实数根的是（ D ）
A. x2+x=0
B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0
D. 4x2-5x+2=0
2.（开放题）若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数
x
2 5.
2a
2 1
x1 2 5, x2 2 5.
配方法：移项，得x2 4 x 1.
配方,得x2 4 x 22 1 22.
x 22 5
由此可得x 2= 5，
x1 2 5, x2 2 5.
专题四 一元二次方程的根的判别式的应用
A. (x-1)2=6
B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6
D.(x-2)2=9
(2) (易错题）三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程
x2﹣13x+36=0的根，则该三角形的周长为（ A）
【解易析A错．(提11)配示3 方】B．法(1)的配15关方C键法．是的1配8前上D提．一是1次二3或项次1系项8数系一数半是的1；平（方a；-b)2与（a+b)2 要准
确（区2）分先；求（出2）方求程三x2角﹣形13的x+周36长=0，的不两能根盲，目再地根将据三三边角长形相的加三起边来关，系而定应理，
养得成到检符验合三题边意长的能边否，成进三而角求形得的三好角习形惯周长．
配套训练 1.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x27x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为（ A ）
配套训练 方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 4
是
-2 ，常数项是
0.
，一次项系数
专题二 一元二次方程的根的应用
例2 若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则
m= -1 . 解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方
程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？ （2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该 公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
解析 本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的
销售价为x元.
单件利润
销售量（件）
正常销售 涨价销售
因式分解法
根 的 判 别 式 及 根的判别式： Δ=b2-4ac
根 与 系 数 的 关 系 根与系数的关系 传播问题
x1 x2
b a
x1
x2
c a
一 元 二 次 方 几 何 问 题 几何图形面积问题等 程 的 应 用 平均变化率问题
专题复习
专题一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围 是（ ）A A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0 解析 本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项 （二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
配套训练 2.用公式法和配方法分别解方程：x2-4x-1=0
（要求写出必要解题步骤）. 公式法：a 1，b -4，c -1. b2 - 4ac= -42 -4 1 -1 =20 0. 方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac -4 20
根，则m的值可能是 0 （写出一个即可）．
专题五 一元二次方程的根与系数的关系
例4 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋
n2＝ 25． 解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2＝
m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25. 【重要变形】 ①x12 x22 ( x1 x2 )2 2x1x2 ;
第二十一章
九年级数学上（RJ） 教学课件
一元二次方程
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
课后训练
知识网络
一元二次方程
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③一次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 直接开平方法
一元二次方 程的解法
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之
为易错“提有示根必求代出”m.值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1
不符合，应引起注意. 配套训练 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2，则p的值为
-1
.
专题三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程应变为（ A ）
4
32
x-20
32-2(x-24)
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
每星期利润（元）
128 150
解：（1）32-(x-24) ×2=80-2x; （2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元. 【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
②( x1 x2 )2
( x1
x2 )2
4 x1x2
③
1 x1
1 x2
x1 x2 x1 x2
配套训练 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22的值等
于（ A ）
A. 7
B. -2
3
3
C.
2 D.
2
专题六 一元二次方程的应用
市场销售问题
例6 某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元， 调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上 涨2元，平均每天就少售出4件.