常用逻辑用语.板块三.逻辑连接词与量词.学生版

题型一：逻辑连接词【例1】 写出下列命题的“p ⌝”命题：（1）正方形的四边相等；（2）平方和为0的两个实数都为0；（3）若ABC ∆是锐角三角形， 则ABC ∆的任何一个内角是锐角； （4）若0abc =，则,,a b c 中至少有一个为0； （5）若(1)(2)0x x --≠，则1x ≠且2x ≠.【例2】 若:{|1},:{0}p N x R x q ⊄∈>-=∅.写出由其构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的新命题，并指出其真假.【例3】 用联结词“且”、“或”分别联结下面所给的命题p q ，构成一个新的复合命题，判断它们的真假．⑴p ：1是质数；q ：1是合数；⑵p ：菱形的对角线互相垂直；q ：菱形的对角线互相平分；【例4】 把下列各组命题，分别用逻辑联结词“且”“或”“非”联结成新命题，并判断其真假．⑴p ：梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．⑵p ：1是方程2430x x -+=的解；q ：3是方程2430x x -+=的解． ⑶p ：不等式2210x x -+>解集为R ；q ：不等式2221x x -+≤解集为∅． ⑷p ：{0}∅；q ：0∈∅．【例5】 判断下面对结论的否定是否正确，如果不正确，请写出正确的否定结论：⑴至少有一个S 是P ；否定：至少有两个或两个以上S 是P ； ⑵最多有一个S 是P ．否定：最少有一个S 是P ；典例分析板块三.逻辑连接词与量词⑶全部S 都是P ．否定：全部的S 都不是P ．【例6】 “220a b +≠”的含义为__________；“0ab ≠”的含义为__________．A ．a b ，不全为0B ．a b ，全不为0C ．a b ，至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0【例7】 已知全集U =R ，A U ⊆，B U ⊆，如果命题p 3AB ，则命题“p ⌝”是（ ） A 3A B 3U B C 3A BD 3()()U U A B【例8】 命题“关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的”的结论的否定是（ ）A ．无解B ．两解C ．至少两解D ．无解或至少两解【例9】 若条件:P x A B ∈，则P ⌝是（ ）A ．x A ∈且xB ∉ B ．x A ∉或x B ∉C ．x A ∉且x B ∉D ．x A B ∈【例10】 命题：“若220()，a b a b +=∈R ，则“0a b ==”的逆否命题是（ ） A ．若0()，a b a b ≠≠∈R ，则220a b +≠ B ．若0a ≠且0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠ C ．若0()，a b a b =≠∈R ，则220a b +≠ D ．若0a ≠或0()，b a b ≠∈R ，则220a b +≠【例11】 命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0a <或3a ≥B ．0a ≤或3a ≥C ．0a <或3a >D ．03a <<【例12】 命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题，则（ ）A ．命题p 和命题q 都是假命题B ．命题p 和命题q 都是真命题C ．命题p 和命题“非q ”的真值不同D ．命题p 和命题q 的真值不同【例13】 已知命题p ：若实数x y ，满足220x y +=，则x y ，全为0；命题q ：若a b >，则11a b<，给出下列四个复合命题：①p 且q ②p 或q ③p ⌝④q ⌝，其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【例14】 由下列各组命题构成“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，“p ⌝”为真的是（ ）A ．p ：0=∅，q ：0∈∅B ．p ：等腰三角形一定是锐角三角形，q ：正三角形都相似C ．p ：{}{}a a b ，，q ：{}a a b ∈，D ．p ：53>，q ：12是质数【例15】 在下列结论中，正确的是（ ）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件 ②“p q ∧”为假是“p q ∨”为真的充分不必要条件 ③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要不充分条件 ④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要不充分条件 A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④【例16】 设命题p ：2x >是24x >的充要条件，命题q ：若22a bc c>，则a b >．则( ) A ．“p 或q ”为真 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假 D ．p ，q 均为假命题【例17】 若命题“p 且q ”为假，且“p ⌝”为假，则 （）A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假【例18】 若条件B A x P ⋂∈:,则P ⌝是 （ ）A.x A ∈且x B ∉B. x A ∉或 x B ∉C. x A ∉且x B ∉D. B A x ⋃∈【例19】 设集合{}{}|2,|3M x x P x x =>=<,那么“x M ∈,或x P ∈”是“x MP ∈”的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例20】 p 或q ”是假命题.其中正确的结论是 （ ）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【例21】 已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定 （ ）A.p 为真命题B.q 为假命题C.,p q 中至少有一个是假命题D.,p q 都是假命题【例22】 已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例23】 下列判断正确的是 （ ）A.22x y x y ≠⇔≠或x y ≠-B.命题“a 、b 都是偶数，则a b +是偶数” 的逆否命题是“若a b +不是偶数，则a 、b 都不是偶数”C.若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D.已知,,a b c 是实数，关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集是空集，必有0a >且0∆≤【例24】 在下边的横线上填上真命题或假命题．⑴若命题“p ⌝”与命题“p q ∨”都是真命题，那么p q ∧是______； p q ⌝∧是_____；⑵若命题“p ⌝或q ⌝”是假命题，那么p q ∧是______；p q ∨是_______； p ⌝是_______．【例25】 ⑴p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的 条件；⑵p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的 条件． （填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）．【例26】 如在下列说法中：①“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；②“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；③“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；④“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件．其中正确的是__________．【例27】 如果命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“用“充分、必要、充要”填空：①p q ∨为真命题是p q ∧为真命题的________________条件；②p ⌝为假命题是p q ∨为真命题的_____________________条件.【例28】 已知命题：:p “若1a >，则32a a >”；命题:q “若0a >，则1a a>”.则在“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”四个命题中，真命题是 .【例29】 命题:0p 不是自然数；命题:2q 是无理数，则在命题“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”、“非q ”中，真命题是 ；假命题是 .【例30】 命题“对一切非零实数x ，总有12x x+≥”的否定是 ，它是 命题.(填“真”或“假”)【例31】 甲、乙两人参加一次竞赛，设命题p 是“甲获奖”，命题q 是“乙获奖”，试用p q，及逻辑联结词“且”、“或”、“非”表示：⑴两人都获奖； ⑵两人都未获奖； ⑶恰有一人获奖； ⑷至少有一人获奖．【例32】 命题p ：若R a b ∈，，则1a b +>是1a b +>的充分条件，命题q ：函数12y x --的定义域是(1][3)-∞-+∞，，，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．p 且q 为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真【例33】 已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④是p s ⌝⌝的必要条件而不是充分条件；⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（ ）A ．①④⑤B ．①②④C ．②③⑤D ．②④⑤【例34】 已知p ：方程220x mx ++=有两个不等的负根；q ：方程244(2)10x m x +-+=无实根．若p q ∨为真，p q ∧为假，则实数m 的取值范围是_______．【例35】 已知命题p ：关于x 的不等式20062008x x a -+->恒成立；命题q ：关于x 的函数log (2)a y ax =-在[01]，上是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是_______；【例36】 已知命题p ：方程2220a x ax +-=在[11]，-上有解；命题q ：只有一个实数满足不等式2220≤x ax a ++．若p q ∨是假命题，求a 的取值范围．【例37】 命题:p 方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题:q 方程244(2)10x m x +++=无实数根.若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围.【例38】 已知函数2()(1)lg 2f x x a x a =++++(a ∈R ，且2)a ≠-，⑴()f x 能表示成一个奇函数()g x 和一个偶函数()h x 的和，求()g x 和()h x 的解析式；⑵命题p ：函数()f x 在区间2[(1))，a ++∞上是增函数；命题q ：函数()g x 是减函数．如果命题p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围． ⑶在⑵的条件下，比较(2)f 与3lg2-的大小．题型二：全称量词与存在量词【例39】 判断下列命题是全称命题，还是存在性命题．⑴平面四边形都存在外接圆； ⑵有些直线没有斜率； ⑶三角形的内角和等于π； ⑷有一些向量方向不定； ⑸所有的有理数都是整数；⑹实数的平方是非负的．【例40】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题．⑴线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑵负数的平方是正数；⑶有些三角形不是等腰三角形； ⑷有些菱形是正方形．【例41】 设语句()p x ：πcos()sin 2x x +=-，写出“()p θθ∀∈R ，”，并判断它是不是真命题．【例42】 用量词符号“∀∃，”表示下列命题，并判断下列命题的真假．⑴任意实数x 都有，2210x x ++>； ⑵存在实数x ，2210x x ++<；⑶存在一对实数a b ，，使20a b +<成立； ⑷有理数x 的平方仍为有理数；⑸实数的平方大于0．⑹有一个实数乘以任意一个实数都等于0．【例43】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴所有的素数是奇数； ⑵一切实数x ，有2(1)0x ->；⑶对于正实数x ，12x x +≥；⑷1sin 2sin x x x∀∈+R ，≥；⑸一定有实数x 满足2230x x --=； ⑹至少有一个整数x 能被2和3整除； ⑺存在两个相交平面垂直于同一条直线；⑻{|x x x ∃∈是无理数}，2x 是无理数．【例44】 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假．⑴21x +是整数（x ∈R ）；⑵对所有的实数x ，3x >；⑶对任意一个整数x ，221x +为奇数；⑷末位是0的整数，可以被2整除；⑸角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； ⑹正四面体中两侧面的夹角相等； ⑺有的实数是无限不循环小数；⑻有些三角形不是等腰三角形； ⑼有的菱形是正方形．【例45】 写出下列命题p 的否定形式，并判断p 与p ⌝的真假．⑴平行四边形的对边相等； ⑵不等式22210x x ++≤有实数解． ⑶x ∀∈R ，210x x ++>； ⑷x ∃∈R ，21x x +<；⑸有些实数的绝对值是正数． ⑹不是每个质数都是偶数．【例46】 判断下列命题的真假：(1)对任意的,x y 都有222x y xy +≥； (2)所有四边形的两条对角线都互相平分；(3)∃实数2a ≠且1b ≠-使22425a b a b +-+≤-； (4)存在实数x 使函数4()(0)f x x x x=+>取得最小值4.【例47】 对于下述命题p ，写出“p ⌝”形式的命题，并判断“p ”与“p ⌝”的真假：（1）:p 有一个素数是偶数；. （2）:p 任意正整数都是质数或合数； （3）:p 三角形有且仅有一个外接圆.【例48】 用量词符号“∀∃，”表示下列命题，写出它们的否定，并判断这两个命题的真假．⑴存在一对实数x y ，，使2330x y ++>成立； ⑵对任意实数x y ，，有220x y +>成立． ⑶对任意实数x y ，，有221x y x +>-成立．【例49】 已知命题p ：对任意的x ∈R ，有sin 1x ≤，则p ⌝是（ ）A ．存在x ∈R ，有sin 1x ≥B ．对任意的x ∈R ，有sin 1x ≥C ．存在x ∈R ，有sin 1x >D ．对任意的x ∈R ，有sin 1x >【例50】 命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ）A ．不存在3210x x x ∈-+R ，≤ B ．存在3210x x x ∈-+R ，≥ C ．存在3210x x x ∈-+>R ，D ． 对任意的3210x x x ∈-+>R ，【例51】 已知条件p ：|1|2x +>，条件q ：x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a的取值范围可以是（ ）A ．1a ≥B ．1a ≤C ．1a ≥-D ．3a -≤【例52】 命题“对任意的3210，≤x x x ∈-+R ”的否定是（ ） A ．不存在3210，≤x x x ∈-+R B ．存在3210，≥x x x ∈-+R C ．存在3210，x x x ∈-+>R D ． 对任意的3210，x x x ∈-+>R【例53】 有四个关于三角函数的命题：1:p x ∃∈R ，221sin cos 222x x += 2:p x ∃，y ∈R ，sin()sin sin x y x y -=-[]3:0π，p x ∀∈1cos 2sin 2x x - 4π:sin cos 2p x y x y =⇒+= 其中假命题的是（ ）A ．1p ，4pB ．2p ，4pC ．1p ，3pD ．2p ，3p【例54】 已知命题p ：sin 1，≤x R x ∀∈，则（ ）A ．:sin 1，≥p x x ⌝∃∈RB ．:sin 1，≥p x x ⌝∀∈RC ．:sin 1，p x x ⌝∃∈>RD ．:sin 1，p x x ⌝∀∈>R【例55】 命题“存在0x ∈R ，020x ≤”的否定是( )A ．不存在0x ∈R ，020x >B ．存在0x ∈R ，020x ≥C ．对任意的∈R x ，20≤xD ．对任意的x ∈R ，20x >【例56】 结论“至少有两个解”的否定的正确说法是（ ）A ．至少有三个解B ．至多有一个解C ．至多有两个解D ．只有一个解【例57】 命题p ：存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根，命题q ：对任意实数m ，方程210x mx ++=有实数根， 则“非p ”和“非q ”的形式的命题分别是 ①存在实数m ，使得方程210x mx ++=无实根 ②不存在实数m ，使得方程210x mx ++=无实根 ③对任意的实数m ，方程210x mx ++=无实根 ④至多有一个实数m ，使得方程210x mx ++=有实根【例58】 命题p 的否定是“对所有正数1x x x >+”，则命题p是 .。