13.1.2.1 线段的垂直平分线的性质(第1课时)
13.1.2线段的垂直平分线的性质(第1课时) 说课稿 2022-2023学年人教版数学八年级上册
13.1.2 线段的垂直平分线的性质（第1课时）说课稿选题及教材分析本课是人教版数学八年级上册的第13章几何图形的认识，第1节线段的垂直平分线的性质，第2课时。
本节课主要介绍线段的垂直平分线的性质，即垂直平分线的定义和性质。
本节课的主要内容包括：垂直平分线的定义和性质；垂直平分线的判定方法；垂直平分线的特点和应用；垂直平分线的应用于解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够初步认识垂直平分线的概念和性质，能够判断是否为垂直平分线，并能够应用垂直平分线解决几何问题。
教学目标1.知识与能力：–掌握垂直平分线的定义和性质；–掌握垂直平分线的判定方法；–掌握垂直平分线的特点和应用；–能够应用垂直平分线解决几何问题。
2.过程与方法：–通过引导学生观察实例，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力；–组织学生合作探究，激发学生的学习兴趣。
3.情感、态度与价值观：–培养学生对几何图形的兴趣，并提高对几何的艺术欣赏能力；–培养学生观察、思考和合作的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
教学重点1.垂直平分线的定义和性质；2.垂直平分线的判定方法；3.垂直平分线的特点和应用。
教学难点1.垂直平分线的判定方法。
教学过程导入（5分钟）引导学生回顾上节课学习的内容，复习线段的定义和性质。
通过问题导入，激发学生的思考兴趣。
问题：如何判断一个线段的中垂线和一条直线相垂直？概念讲解（10分钟）通过示意图，向学生解释垂直平分线的定义。
引导学生观察图形，总结垂直平分线的性质，并与其他类型的平分线进行对比。
探究活动（15分钟）1.将学生分成小组，每个小组给出一个线段，让小组成员观察线段上的点是否能构成垂直平分线。
2.每个小组选择一个代表，将自己的观察结果进行讲解和展示。
3.引导学生总结判定垂直平分线的方法。
辅助讲解（10分钟）对学生总结出的判定方法进行讲解，解答学生提出的疑惑。
拓展应用（15分钟）通过一些实际问题的引导，让学生运用垂直平分线的性质解决几何问题。
13.1.2线段的垂直平分线性质(第一课时)
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 于______． A
B
D
E
C
课堂练习
练习2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的 垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？ AB+BD与DE 有什么关系？
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． A P3 P2 P1 B
l
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距
离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． l 求证：PA =PB． P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． 用符号语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， ∴ PA =PB．
l P
A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 相等．
C
B
课堂练习
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段 BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上， ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D C 平分线．
线段的垂直平分线的性质第1课时(课件)人教版八年级数学上册(完整版)
AC B
讲授新知
讲授新知
【验证结论】
已知：如图所示，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
l
证明：因为 l⊥AB，
P
所以 ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
所以 △PCA ≌△PCB（SAS）．
A
C
B
所以 PA =PB．
故此: NA=NB
范例应用
例1AB， 垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( C ) A．5cm B．10cmC．15cmD．
AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 16 cm.
当堂训练
5.如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为
C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.
证明： 因为OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
所以DE=CE.
O
B D
E
因为点E是∠AOB的平分线上一点， 所以∠DOE＝∠COE，
2.到三角形三个顶点的距离相等的点是（ B ）
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点
C.三边高线的交点
D.没有这样的点
3.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB的长为 5 .
最新人教版初中八年级上册数学【第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质 (第一课时)】教学课件
问题类型一：解决与长度有关的问题
例 如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，AE＝4，
若△DBC的周长为12，求△ABC的周长.
4
解：DE是AB边上的垂直平分线,
DB DA, BE AE 4,
4
AB=AE +BE 8, CBDC BC BD CD 12,
BD AD,
∴BC+BD+CD= BC+AD+CD =BC AC 12. CABC =AB BC AC 812 20.
猜想与证明2
已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点. 证明：
（1）如图,当点P在线段AB上时，若PA=PB,则点P为线段 AB的中点,点P必在线段AB的垂直平分线上.
猜想与证明2 已知： PA=PB， 求证：点P为线段AB垂直平分线上的点.
（2）如图,当点P在线段AB外，
方法点拨：我们需要过点P作出一条辅助线, 然后证明这条辅助线是线段AB的垂直平分线.
∵ ADP BDP 180o. ADP BDP 90. PD垂 直 平 分AB,即 P在 线 段 AB的 垂 直 平 分 线 上 .
猜想与证明2
结论：
与线段的两个端点的距离相等的点，
在这条线段的垂直平分线上
P
用符号语言描述： ∵ PA=PB， ∴ P为线段AB垂直平分线l上一点.
学以致用2
如图，AB=AC，MB=MC,直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM 是线段BC的垂直平分线. 理由如下
∵ AB AC
点A在线段BC的垂直平分线上.
∵ MB MC 点M 在线段BC的垂直平分线上. 直 线 AM 是 线 段 BC的 垂 直 平 分 线 .
13.1.2第1课时 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质
2．画出图形：
3．结合图形，写出“已知”和“求证”： AB，点P是平面内一点，且PA＝PB 已知：线段 _____________________________________ ． P在线段AB的垂直平分线上 求证：点 ___________________________________ ．
[注意] 线段的垂直平分线的判定与性质的条件与结论正好相
反．
第1课时 线段的垂直平分线的性质
► 知识点三 线段垂直平分线的画法
如图13－1－31，已知线段AB，求作直线CD，使CD垂直
平分AB.
尺规作图： 1 A ， B 为圆心， (1)分别以点____ ____ 大于 AB 的长为 半径 作 2 弧，两弧相交于 M，N 两点； (2)作直线____ ． MN
数 学
新课标（RJ） 八年级上册
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质
教材重难处理 ► 线段垂直平分线的判定的证明 命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上． 1．将命题改写：如果 平面内一个点到线段的两个端点的距离相等 _________________________________________ ， 这个点在这条线段的垂直平分线上 那么 _______________________________．
第1课时 线段的垂直平分线的性质
[归纳总结] 1.应用线段垂直平分线的性质要注意两点：(1)点一 定在垂直平分线上；(2)距离指的是点到线段两个端点的距离． 2．把未知的线段通过线段的垂直平分线的性质转化为已知线 段，是进行有关计算和证明的重要方法．
13.1.2 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多
少个到线段AB 两端点距离相等的点？
这些点能组成什么几何图形？ 与A，B 的距离相等的点
都在直线l上，所以直线l 可 以看成与A、B两点 的距离 相等的一条直 应用格式： ∵ AB =AC，MB =MC， 线是线段的垂直
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． A ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
C
B
知识要点
线段垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． P
应用格式：
∵
∴
PA =PB，
点P 在AB 的垂直平分线上． A
平分线的方法.
∴ 直线AM 是线段BC 的垂直
平分线．
A
M B
D
C
例5 已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，
EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线. 证明： ∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB, ∴DE=CE. 又∵OE=OE， ∴Rt△OED≌Rt△OEC. ∴DO=CO. ∴ OE是CD的垂直平分线. O C D B E
DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝ ∠AFD=90°. B
E
D
F C
又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，
∴AE＝AF，DE＝DF. ∴A、D均在线段EF的垂直平分线 上，即直线AD垂直平分线段EF.
拓展提升： 7.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂
13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质
解：∵点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴CA＝CE. ∵AD⊥BE，BD＝DC， ∴AB＝AC， 又∵△ABC 的周长为 22 cm， ∴AB＋BC＋AC＝2AC＋2DC＝2(AC＋CD)＝2(CE＋CD)＝2DE＝22， 解得 DE＝11 cm.
6．如图 13-1-21，在△ABC 中，AB 边的垂直平分线 l1 交 BC 于点 D，AC 边 的垂直平分线 l2 交 BC 于点 E，l1 与 l2 相交于点 O，△ADE 的周长为 6 cm.
(2)∵AB 边的垂直平分线 l1 与 AC 边的垂直平分线 l2 相交于点 O， ∴OB＝OA＝OC. ∵△OBC 的周长为 16 cm， 即 OC＋OB＋BC＝16 cm， ∴OC＋OB＝16－6＝10 (cm)， ∴OC＝OB＝5 cm，∴OA＝5 cm.
分层作 业
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4．小明做了一个如图 13-1-19 的风筝，其中 EH＝FH，ED＝FD，小明说不 用测量就知道 DH 是 EF 的垂直平分线，其中蕴含的道理是 与一条线段两个端点
距离相等的点，在这条线段的垂直平分线． 上
图 13-1-19
5．如图 13-1-20，在△ABE 中，AD⊥BE 于点 D，C 是 BE 上一点，BD＝DC， 且点 C 在 AE 的垂直平分线上，若△ABC 的周长为 22 cm，求 DE 的长．
3．[2018 春·渝中区校级期中]如图 13-1-14，在△ABC 中，直线 ED 是线段 BC
的垂直平分线，直线 ED 分别交 BC，AB 于点 D，E，已知 BD＝3，△ABC 的周
长为 20，则△AEC 的周长为( A )
A．14
B．20
C．16
D．12
13.1.2 第1课时线段的垂直平分线的性质与判定人教版数学八年级上册同步课堂教案
第十三章轴对称13.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质与判定一、教学目标1.理解并掌握线段垂直平分线的性质和判定的内容.2.熟练运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.3.会用尺规过直线外一点作已知直线的垂线.二、教学重难点重点：线段垂直平分线的性质和判定的内容.难点：运用线段垂直平分线的性质和判定进行计算与证明.三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.什么是轴对称图形？（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称.）2.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？（线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的垂直平分线.）3.什么是线段的垂直平分线？（经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.）教师带领学生复习旧知，鼓励学生积极的投入到活动中，为这节课做准备,尤其强调线段的垂直平分线的定义.【新知探究】知识点1 线段垂直平分线的性质[提出问题]如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到点A和点B的距离，你有什么发现？[动手操作]1.学生用练习本上先作出线段AB，过AB中点作 AB的垂直平分线l，在l上取P1、P2、P3…连接AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3…2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、AP3、BP1、BP2、BP3的长度…之后小组讨论发现了什么样的结论？．(经测量可以发现，点P1，P2，P3，…到点A的距离与它们到点B的距离分别相等，即 P1A =P1B，P2A = P2B，P3A=P3B.)[提出问题]如果把线段AB沿直线l对折，还有同样的发现吗？[动手操作]学生把线段AB沿直线l对折，发现线段P1A与P1B，线段P2A与P2B，线段P3A与P3B……都是重合的，因此它们也分别相等.[提出问题]你能证明你得到的结论吗？[小组讨论]学生之间进行讨论，教师提醒学生科利用三角形全等来证明.[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上．求证：PA=PB．证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．又CA=CB，PC =PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．[归纳总结]线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.该性质定理的几何语言：∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，∴PA=PB.同时提醒学生，该性质定理可判断两线段是否相等.[课件展示]跟踪训练如图，在△ABC中，ED垂直平分AB，交AB于点D ,交AC于点F，交BC的延长线于点E,若BF=6，CF=2，则AC的长为 8 .知识点2 线段垂直平分线的判定[提出问题]将线段垂直平分线的性质定理的条件与结论反过来，即如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？[小组交流]学生小组间讨论，画出图形，写出已知、证明，之后代表发言.[课件展示]教师利用多媒体展示如下验证过程：已知：如图，P是线段AB外一点，且PA=PB．求证：点P在线段AB 的垂直平分线上．证明：如图，过点P 作PC⊥AB 于点C，则∠PCA =∠PCB =90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC=BC．又PC⊥AB，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上．[归纳总结]线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．该判定定理的几何语言：∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上.同时提醒学生，该判定定理可判断一个点是否在线段的垂直平分线上.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两道例题：例1 如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，连接AP，BP，CP.求证：AP=BP=CP.证明：∵点P在线段AB的垂直平分线MN上，∴AP=BP.同理 BP=CP.∴AP=BP=CP.例2 如图,在ΔABC中,边AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P.求证：点P在AC的垂直平分线上.证明：连接AP，BP，CP.∵AB的垂直平分线EF交BC的垂直平分线MN于点P，∴PA=PB, PB=PC.∴PA=PC.∴点P在AC的垂直平分线上.由例1和例2可知：三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.[归纳总结]小结：从线段垂直平分线的性质和判定可以看出，在线段AB的垂直平分线l上的点与点A，B 的距离都相等，反过来，与A，B的距离相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B的距离相等的所有点的集合.知识点3尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例3 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C(如图） .求作：AB的垂线，使它经过点C .作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E.DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.（3）分别以点D和点E为圆心，大于12（4）作直线CF.直线CF就是所求作的垂线.[提出问题]为什么直线CF就是所求作的垂线？[小组讨论]学生分组讨论，之后代表回答，其他代表补充，之后教师纠错.（因为DF=EF，根据垂直平分线的判定定理即可得到.）【课堂小结】【课堂训练】1.如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，AD=3，PD=4，则线段PB的长为（ B ）A. 6B. 5C. 4D. 32.（2021•梧州）如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（ C ）A．10.5 B．12 C．15 D．18【解析】∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，∴BD＝CD，∴△ACD的周长＝AD+CD+AC＝AD+BD+AC＝AB+AC，∵AB＝9，AC＝6，∴△ACD的周长＝9+6＝15．故选C．3.如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.则图中相等的线段有 OC=OD，AO=OB，且AC=BC=AD=BD .4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分AB交AB于点E，若DE=1 ,BD=2，则AC=3.【解析】∵DE垂直平分AB，BD=2,∴AD=BD=2.∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∴AC=AD+CD=2+1=3.故答案为3.【变式】（2021•杭州二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝ 1:3 ．【解析】∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴S△AED=S△BED.∵∠C=∠BDE=90°，∠1=∠2，BE=BE，∴△BDE≌△BCE（AAS）.∴S△BED=S△BEC，∴S△ABC=3S△AED，∴S△AED：S△ABC=1：3．故答案为1：3．5.如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.求证：OE是CD的垂直平分线.证明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.又OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC.∴DO=CO.∴OE是CD的垂直平分线.6.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，求证：AB+BD=DE.证明：∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵点C在AE的垂直平分线上,∴AC=CE.∴AB=AC=CE.∴AB+BD=CE+DC=DE，即AB+BD=DE.7.如图，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E是AC上的一点，连接DE，BE，求证：∠ABE=∠ADE.证明：连接DB.∵AB=AD，BC=DC,∴点A和点C都在线段BD的垂直平分线上.∴线段AC所在的直线是线段BD的垂直平分线.∵E是AC上的一点，∴BE=DE.在△ABE和△ADE中，AB=AD，BE=DE，AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SSS).∴∠ABE=∠ADE.8.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AF,请判断线段AD所在的直线是否为线段EF的垂直平分线.如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由．解：线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.证明如下：方法一（定义法）：设AD与EF的交点为O.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又AE=AF，AO=AO，∴△AOE≌△AOF（SAS）.∴EO=FO，∠EOA=∠FOA.又∠EOA+∠FOA=180°.∴∠EOA=∠FOA=90°，即AO⊥EF.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.方法二（判定定理法）：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，又AE=AF，AD=AD，∴△ADE≌△ADF（SAS）.∴DE=DF.∴点D在线段EF的垂直平分线上.又AE=AF，∴点A在线段EF的垂直平分线上.∴线段AD所在的直线是线段EF的垂直平分线.提醒学生：判断线段垂直平分线的方法：（1）定义法；（2）判定定理法.应用时可根据题目特点灵活选择.【教学反思】本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，再通过跟踪训练和课堂训练这两个环节，不但使学生对所学的新知识得到及时巩固和提升，同时又使得还存在模糊认识的学生得到进一步澄清，这就让学生在学习新知识的第一时间得到最清晰的认识，这正是高效的价值所在．学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高．。
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第十三章轴对称
13.1 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质(第1课时)
学习目标
1.理解线段垂直平分线的性质,会利用线段垂直平分线的性质进行推理.
2.自己动手探究发现线段垂直平分线的性质,培养观察、猜想、归纳能力.
3.通过应用线段垂直平分线的性质进行推理,培养几何推理的严密性.
学习过程
一、自主学习
活动1:情景引入
在106国道某段的同侧,有两个工厂A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?
你会吗?带着这个问题,请进行下面的学习,学习完后你一定会解决这个问题!
二、深化探究
活动2:探究性质1
1.问题:如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3……是l上的点,分别量一量点P1,P2,P3……到点A与点B的距离,你有什么发现?
发现:.
猜想:.
2.问题:
如图,已知直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P在l上.
求证:PA=PB.
证明:
结论:线段垂直平分线的性质1.
性质1用符号语言表示为:
∵,
∴.
活动3:性质1的应用
【例1】如图,在△ABC中,已知AC=27,DE垂直平分AB,交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
(1)已知中“DE垂直平分AB”这个条件能想到哪个重要定理:
(2)用上这个定理后能增加什么条件?
(3)你会写出应用这个定理的步骤吗?
活动4:探究性质2
把线段垂直平分线的性质1反过来,如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢?
3.问题:已知线段AB,点P是平面内一点,且PA=PB.
求证:P点在线段AB的垂直平分线上.
证明:
总结:线段垂直平分线的性质2.
用符号语言表示为:
∵,
∴.
从上面两个结论可以看出:在线段AB垂直平分线l上的点与A,B的距离相等;反过来,与两点A,B的距离相等的点都在直线l上,所以直线l可以看成与两点A,B的距离相等的所有点的集合.
活动5:性质2的应用(8分钟)
【例2】如图,AB=AC,MB=MC.直线AM是线段BC的垂直平分线吗?并说明理由.
三、深化提高
解决问题(2分钟)
在106国道某段的同侧,有两个工厂A,B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划在公路边上修建一所医院,使得两个工厂的工人都没意见,问医院的院址应选在何处?
四、反思小结
活动7:感想与收获
1.这节课你学到了哪些知识?
2.你觉得这些知识在具体的题目中如何运用?
3.你还有哪些困惑?
五、课堂检测
1.判断下列语句的对错.
(1)如图①,直线MN垂直平分线段AB,则AE=AF.()
(2)如图②,线段MN被直线AB垂直平分,则ME=NE.()
(3)如图③,PA=PB,则直线MN是线段AB的垂直平分线.()
2.在锐角△ABC内,一点P满足PA=PB=PC,则P是△ABC()
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
3.已知,D是直角△ABC斜边AC的中点,ED垂直AC于点D,交BC于点E,∠EAB∶∠EAC=2∶3,求∠ACB的度数.
参考答案
二、深化探究
1.略
2.证明:∵l⊥AB,
∴∠PCA=∠PCB=90°.
在△PCA和△PCB中,
AC=CB,
∠PCA=∠PCB,
PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS).
∴PA=PB.
线段垂直平分线的性质1:
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
性质1用符号语言表示为:
∵PC垂直平分AB(CA=CB,PC⊥AB),
∴PA=PB.
【例1】解:∵DE垂直平分AB,
∴AE=BE.
∵BE+EC+BC=50,
∴AE+EC+BC=50,
即AC+BC=50.
又AC=27,∴BC=23.
3.证明:过点P作PC⊥AB于点C.
在Rt△PAC和Rt△PBC中,
PA=PB,
PC=PC(公共边),
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL).
∴AC=BC.
故P点在AB的垂直平分线上.
总结:线段垂直平分线的性质2
与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.用符号语言表示为:
∵PA=PB,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
【例2】解:是.证明如下:
∵AB=AC,∴点A在BC的垂直平分线上.
∵MB=MC,∴点M在BC的垂直平分线上.
∴直线AM是线段BC的垂直平分线.
三、深化提高
作点A关于直线l的对称点A1,连接BA1交l于点C,则C点就是医院的位置(或作B的对称点).
四、反思小结
略
五、课堂检测
1.(1)错(2)对(3)错
2.D
3.解:设∠CAE=3x,∠BAE=2x,
因为DE垂直平分AC,所以EA=EC,
所以∠C=∠CAE=3x,
3x+2x+3x+90°=180°,
x=11.25°,
∠C=33.75°.。