2014 西永在 时间域航空电磁响应数值模拟的精度分析 物探与化探

观测系统， 图 2 为水平层状介质航空电磁观测系统 的简化模型。 图中 Tx 和 Ｒx 分别为发射和接收线 圈， 由发射线圈提供一个瞬变信号， 在接收线圈观测 由大地产生的响应值； h 和 z 分别为发射接收线圈 高度 ； r 为收发距 ； 设大地为 n 层水平层状模型 ， 各
图1
固定翼时间域航空电磁法观测系统示意
4 所示。 从图中可以看出， 基于数字滤波的汉克尔变换 算法计算精度较高， 振荡较小， 在理论解析值较大
－6 时， 相对误差基本在 10 数量级以下； 在理论解析值 较小且减小得很快时， 由于其自身解很小， 该算法的
ɕ
V （ s） = －
r z
μ0 IS Tx S Ｒx 4πr3
∫［e
0
Z ＲX －H ＲX
］－
X 2 J 1（ X ） d X ； （ 4） r TE e － （ ZＲX +HＲX） ］ Ｒi + Fi + 1 F i = e － 2S iHＲiX ，i = n － 2， n － 3， …， 1； 1 + Ｒi Fi + 1 F n － 1 = e － 2S n － 1HＲn － 1X Ｒ n － 1 ； Si － Si + 1 Ｒi = ，i = 0， 1， …， n － 1。 Si + Si + 1 式（ 4） 作逆拉氏变换， 可以计算出时间 域感应电动势的上阶跃响应， 即充电过程； 取负值可 得到感应电动势的下阶跃响应， 即放电过程。 假设发送波形为占空比等于 1 的正负方波， 设 以上公式计算出的阶跃响应为 v （ t ） ， 则正负方波的 zf 响应 v （ t） 为
时间域航空电磁响应数值模拟的精度分析
西永在， 吴珊， 廖桂香， 李文杰
（ 中国地质科学院 地球物理地球化学勘查研究所 ， 河北 廊坊 065000）
S 变换和汉克尔变换的计算精度， GS 变换适用范围广且能保证精度； 而汉 摘 要： 分析说明了 G当 n = 12 或 16 时， 克尔变换计算的相对精度达到 10 数量级； 并且基于时间域航空电磁法偶极 —偶极装置一维正演算法， 在选取不 S 变换 n 值的选取对计算精度影响相对较大， 同参数时， 对航空电磁响应数值模拟精度进行了分析 。 结果表明 G而汉克尔变换中滤波参数的选取对计算精度影响较小 。 S 变换； 汉克尔变换； 精度分析 关键词： 时间域航空电磁法； G中图分类号： P631 文献标识码： A 文章编号： 1000－8918（ 2014） 06－1190－05
物
探
与
化
探
38 卷
图3
GS 变换中 n 取不同值的误差比较 表1
点数 a s 点数 a s 61 －5．0825 1．16638303862e－1 47 －3．05078187595e00 1．10599010095e－1
ɕ
n 取值小的时候， 从图 3a 中可以看出， 相对误 10 时， 差不稳定， 尤其当 n = 8， 相对误差随 t 的增大 但从变化趋势可以推测在 t 值更小的区 迅速上升， 段， 相对误差较小； 而 n = 16 时， 相对误差较大。 S 变换 图 3b 给出了 F （ s） = arctan （ 1 / s ） 代入 G公式中计算的结果与解析解 F （ t ） = sin （ t ） / t 进行比 随着 n 值的 较后得到的相对误差曲线。 可以看出， 增大， 相对误差变大， 但是误差变得稳定； 虽然 n 值 但是随着 t 值的增大， 误差会增大 小的时候误差小， 几个数量级， 比 n = 16 时的误差还要大。 从以上两个算例可以得出： 对 n 的取值越大， 应 用的计算时间范围就越广， 但随瞬变时间的延长， 计 算的相对 误 差 会 越 大； 综 合 考 虑 误 差 和 适 用 区 间 （ ATEM 通常的探测区间为 10 －5 10 －2 s ） ， 在计算过 程中选用 n = 12 或 16。 和
［1 ］ 均匀大地的时间域电磁响应特征进行了分析 ； J． O．Barongo 利用频率域的计算结果转换到时间域 ， 研
数的求解是必不可少的， 它们的计算精度直接影响 时间域航空电磁响应的计算精度， 因此笔者着重分 S 变换中 n 值的选取以及贝塞尔函数求解 析了在 G时参数选取对模拟精度的影响。
1
4N
磁场的水平分量和垂直分量为 H zr（ s） = H zz（ s） =
∫
3 m λ ［ e u0（ z －h） + r TE e －u0（ z +h） ］ J0（ λr） dλ ； 4πs 0 u0
ɕ
∫
对公式（ 1）
垂直线圈发射时， 磁场的水平分量和垂直分量为 H rr（ s） = －m ［ e u0（ z －h） ］ － 4 πs 0
r TE e － （ ZＲX +HＲX） ］ X 2 J 1（ X ） d X ， V zz（ s） = － r TE e
∫［e
0 ɕ
Z ＲX －H ＲX
］+ （ 2）
－ （ Z ＲX +H ＲX）
］ X J 0（ X ） d ，
通过 较， Δ（ t） = F mumerical（ t） － F exact（ t） F exact（ t） ˑ 100%
中的表达式写为 Vzr（ s） = － μ0 IS Tx S Ｒx 4πr3 μ0 IS Tx S Ｒx 4πr3
2 ɕ
∫［e
0 ɕ
Z ＲX －H ＲX
］－ （ 1）
变得不稳定， 结果抖动将会明显。因此， 笔者利用一 10， 12， 16 四种情况进行比较运 些验算公式对 n = 8， 算， 研究其相对误差变换规律。t 的取值范围为 10 10 －1 。 如图 3a 所示， 用 F （ s） = 1 / （ 1 +s） 代入上述的 G－t S 变换公式中， 计算结果与解析解 F （ t ） = e 进行比 －6
( )
实测的感应电动势与磁场分量的关系为 dB dH = － S Ｒx μ 0 V = － S Ｒx ， dt dt S Ｒx 为接收线圈的面积， B 为磁感应强度。 式中， 为计算零阶和一阶贝塞尔函数的无限积分， 引 入归一化的无量纲参数： X = λ r，Z Ｒ = Q= μ0 s ， HＲi = di ，K i = ρ1 ，S i = ui z h ，H Ｒ = ， r r
ɕ
∫
2 ［ r TE e －u0（ z +h） ］ λ J 0（ λ r ） － ɕ
λ J （ λ r） ］ dλ ， r 1
v zf（ t） =
H rz（ s） = 其中，
m 2 ［ e u0（ z －h） ］ － r TE e －u0（ z +h） ］ λ J 1（ λ r ） d λ ； 4 πs 0
－ 2u n － 1d n － 1
t d 为正负方波的脉宽， Int 为取整函数， N 为某 式中， 一足够大的正整数 N = 2。
2
逆拉氏变换
GS 变换法是在地球物理计算中， 常用的逆拉
［4 ］
Ｒn － 1 ，
，i = 0， 1， …， n －1。
氏变换算法。对给定的时间 t， 感应电动势可由 n ln2 ln2 m ， v（ t ） = Km V Σ t t m=1
min（ m， n / 2）
K m = （ － 1）
m +n / 2
ˑ
Σ i=i
｛［ i n / 2（ 2i） ！ ］
1
［ （ n / 2 － i） ！ i！ （ i － 1） ！ （ m － i） ！ （ 2i － m） ！ ］ ｝ n 是取决于计算机位数的正偶整 计算得到， 其中， K m 是变换系数， 数， 求和下限 i 1 是 （ m + 1 ） / 2 的整数 部分
滤波参数
120 －8．3885 9．04226468670e－2 140 －7．91001919 8．79671439570e－2
f （ r ） = （ λ e － λ ） J 0（ λ r ） d λ
0 ɕ
∫
2
f （ r ） = （ λ 2 e － λ ） J 0（ λ r ） d λ
0
2
∫
2
－r / 4 为算例， 其解析解分别为 f（ r） = （ 1 / 2 ） e 和 f（ r） = 2 －r / 4 （ r / 4） e 。计算结果及与解析解的相对误差如图
［4 ］
。
= 1 + Ki Q ， i= r ρi λ 槡 ρ1 λ 1， 2， …， n 。由此， 可以将感应电动势在拉氏变换域
2
S 变换中 n 的取值有不同的见解， 前人对 G罗 延钟等在时间域航空电磁法一维正演研究中认为 n
［3 ］ ［5 ］ 取 16 ； 昌彦君等认为 n 一般取 12 ； Wooden 等认 ［6 ］ 为 n 取 8 或 10 较为合适 ， 当 n 值增大时， 变换会
－6
domain elec时间域航空电磁法 （ airborne timetromagnetic， 简称 ATEM ） 具有高效、 探测深度大、 探 测精度高等特点， 并且能在地面电磁法难以进入的 山区、 丛林、 湖泊等地区开展工作， 是我国急需的快 速、 高效的大深度矿产勘查装备技术。 朴华荣等用 傅里叶变换由频率域公式导出时间域响应公式 ， 对
第 38 卷第 6 期 2014 年 12 月
doi： 10．11720 / wtyht．2014．6．17
物
探
与
化
探
Vol．38， No．6 Dec． ， 2014
GEOPHYSICAL ＆ GEOCHEMICAL EXPLOＲATION
． 物探与化探， 2014， 38 （ 6 ） ： 1190 － 1194． http： / / doi． org /10．11720 / wtyht． 西永在， 吴珊， 廖桂香， 等． 时间域航空电磁响应数值模拟的精度分析［J］ 2014．6．17 domain airborne electromagnetic response［J］ ．Geophysical and GeoXi Y Z，Wu S，Liao G X，et al．Precision analysis of numerical simulation for timechemical Exploration， 2014， 38（ 6） ： 1190－1194．http： / / doi．org /10．11720 / wtyht．2014．6．17