7.7.2极限的运算法则
极限运算法则
1 x,
x
2
1,
x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0是函数的分段点,两个单侧极限为
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0
x0
lim f ( x) lim ( x 2 1) 1,
x0
x0
左右极限存在且相等,
故 lim f ( x) 1. x0
lim
x
a0 xm b0 x n
a1 b1
x x
m1 n1
am bn
0ab,00当,当n n
m m,
,
,当n m,
无穷小分出法:以分母中自变量旳最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
例5
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2 ).
解 n 时,是无限多个无穷小之和 ．
先变形再求极限.
令u x a
lim 3 u2
u0
0．
33 a2
三、小结
1、极限旳四则运算法则及其推论; 2、极限求法;
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
3、复合函数旳极限运算法则
思索题
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2 n2
n
1 n(n 1)
lim 2
n
n2
lim 1 (1 n 2
1) n
1. 2
例6 求 lim sin x . x x
极限的运算法则
2 3
x x
3 2
x2 2x
5 1
一般: 当a00,b00,m和n为非负整数时,有
, 当n m
lim
x
a0 xm b0 xn
a1 xm1 am b1 xn1 bn
a0 b0
,
当n m
0, 当n m
例6.
求
又 lim(4x 1)=3 0
x1
lim x1
x2 2x 4x 1
3
0 3
=0
由无穷小与无穷大的关系,得
lim
x1
4x 1 x2 2x
3
例4
求 lim x1
x2 1 x2 2x 3
“0” 0
解: x1时,分子,分母的极限都是0
lim
x1
x2
定义 如果对于任意给定的正数E,变量y在 其变化过程中,总有那么一个时刻, 在那个 时刻以后,不等式
|y|>E 恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷 大量,或称变量y 趋于无穷大,记作limy=
注意：(1)无穷大是变量,不是很大的数
(2)无穷大的函数其极限是不存在
即 勿将 lim f (x) 认为极限存在. xx0
7. 3
x2
多项式
小结: 1. 设f(x)=a0xn+a1xn1+...+an ,则有
lim
x x0
f
(
x
)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
第五节极限运算法则07872
lim
x
7 2 x
4 x
1 x3
3 x2
5 x3
.
小结:
当 a00,b00,m和 n为非负整数时有
lx im ab00xxmnab11xxm n11 banm
a0 0b0,
,
,
当nm,
当nm, 当nm,
例5 求 ln i (m n 12n 22 n n 2).
又设 是x当 x0时的无 , 穷小
0 , 2 0 ,使 0 x 当 x 0 2 时 M 有 .
取 m1 i,n 2}{ ,则0 当 xx 0时 ,恒有
uu M ,
M
当 x x0时 ,u为无 . 穷小
limx 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例4 (1) 求 lx i m 5 3x x33 4 2x x2 5 1.
解 x时,分子 ,分母的极限都是 .( 无型穷 ) 大
先x3用 去除分 ,分子 出分 ,再 无母 求 穷 . 极 小限
lx im 53xx3342xx251
(A B ) 0.
(2)成立.
f ( x) A A A B A g( x) B B B B(B )
B A 0 .
又 0 ,B 0 ,0, 当 0xx0时 ,
B , B B B 1 B 1 B
M
M
当 0x11时 ,就有 1 M.lim 1 .
渐近线 (vertical asympotote)
如l果 im f(x)或lim f(x),则称直线
x x0
x x0＋
xx0是函 yf数 (x)的图铅形 直渐的 近线.
大学高数极限运算法则
1.极限法则：极限是一个数列取极限值的概念，它表示一个数包含在另一个数中时，前者的值趋于后者。
2.链式法则：链式法则是极限的一种计算方法，即从一个已知限的出发，由此推出另外一个极限。
3.运算法则：
（1）可积性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中乘以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相乘；
（2）可逆性法则：假设函数有连续的极限，则在极限中除以另外一个函数后再求极限，则取得的极限结果等于先求出两个函数的极限再相除；
（3）可幂次性：假设对函数求极限，则取出的极限结果等于该函数的幂次方的极限。
极限的有理运算法则条件
极限的有理运算法则条件
极限的有理运算法则条件是在数学中用于计算极限的一些法则和条件。
这些法
则和条件帮助我们简化复杂的数学问题，并得出准确的结果。
以下是一些常见的极限的有理运算法则条件：
1. 四则运算法则：极限的有理数可以通过四则运算进行计算。
这意味着我们可
以将给定函数的极限分解为更小的部分，并分别计算各部分的极限，然后将它们组合在一起。
2. 复合函数法则：对于给定的两个函数，极限的复合函数法则允许我们计算它
们的极限。
这个法则告诉我们，如果两个函数的极限都存在，则它们的复合函数的极限也存在，并可以通过将每个函数的极限应用于对应的自变量来计算。
3. 乘法法则：如果两个函数的极限都存在，则它们的乘积的极限等于这两个函
数的极限的乘积。
这意味着我们可以按照常规的乘法法则来计算极限。
4. 除法法则：如果两个函数的极限都存在且除数函数的极限不为零，则它们的
商函数的极限等于被除数函数的极限除以除数函数的极限。
这个法则允许我们通过将两个函数的极限应用于相应的自变量，并除以除数函数的极限来计算极限。
5. 幂函数法则：对于一个幂函数，极限的幂函数法则告诉我们，两个函数取极
限的幂等于这两个函数各自取极限后再取幂。
这个法则帮助我们计算幂函数的极限。
这些极限的有理运算法则条件是数学中常用的工具，可以帮助我们在研究极限
时进行简化和计算。
通过正确应用这些法则和条件，我们可以更加准确地求解各种复杂的极限问题。
高等数学极限的运算法则与性质共24页文档
3、复合函数的极限运算法则
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三、极限的性质-P36
1. 函数极限的局部有界性
如l果 im f(x)A,那么存 M 在 0和 常 0, 数 x x0
使得 0x当 x0时有 ， f(x)M .
2. 函数极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在, 则极限唯一.
x 0
x 0
lif m (x ) li(x m 2 1 )1,
x 0
x 0
左右极限存在且相等,
故 lifm (x ) 1 . x 0
y
y1x
1
o
yx21 x
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定理（复合函数运的算极法限则）设u函 (数 x)
当xx0
时
的
极
限存在且 a，等即l于 im(x) xx0
1
n(n1)
lim2 n
n2
11 lim(1 )
n2 n
1 2
.
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例5 设 f(x ) x 1 2 x 1 ,, x x 0 0 ,求 l x 0 if( m x ). 解 x0是函数的 ,两分 个段 单点 侧
lif m (x ) li( 1 m x )1,
am bn
0,当n m,
,当n m,
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例4 求 ln i (m n 1 2n 2 2 n n 2).
解 n时,是无限多个无穷． 小之和
(完整版)极限四则运算法则
极限四则运算法则由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理 1 若 limf(x) A,lim g(x) B ，则 lim[f(x) g(x)]存在，且lim[ f (x) g (x)] A B lim f (x) lim g(x)。
所以 lim(f (x)g(x))x x o其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理 2:若 lim f (x) A,lim g(x) B ，则 lim f (x)证明：只证lim[ f(x)g(x)] A B ，过程为 xX 0， 对 0, i 0，x X o时，有f (x) A 3,对此，20,当 0 x x o时，有g(x)(f(x)g(x)) (A 2，取 min{2｝，当 0 x x o 时，有B)| |(f(x) A)(g(x) B) f(x)A |g(x)lim f (x)g(x)AB lim f(x)lim g(x)。
证明：因为lim f (x) 代 lim g(x) B ，f (x) A ,g(x) (,均为无穷小)f(x)g(x) (A)(B) AB(A )，记为无穷小,lim f(x)g(x)AB 。
推论1： lim[ cf (x)] clim f (x) ( c 为常数)。
推论2： lim[ f(x)]n[lim f (x)]n(n 为正整数)。
定理3：设 lim f (x) A,lim g(x)A lim f(x)B lim g (x)g(x)存在,证明：设f(x) A ,g(x) B (,为无穷小)，考虑差:【例 11 lim (ax b) lim ax lim ba lim xb ax o b 。
x X o x x o x x ox x o【例 2】 lim x n[lim x]nx o n 。
x X ox x o推论 1: 设 f(x)a o x na 1x n 1an 1xa n 为一多项式，当 lim f(x)n a o xo n 1a 1 xo an1x o anf (x o )。
极限的运算法则
|y|>E 恒成立,则称变量y是该变化过程中的无穷 大量,或称变量y 趋于无穷大,记作limy=
注意：(1)无穷大是变量,不是很大的数
(2)无穷大的函数其极限是不存在
即 勿将 lim f (x) 认为极限存在. xx0
lim
2
=0
x x 2 x
题 求 lim
x2
x0 1 1 x2
解
x2 lim
lim
x2 (1 1 x2 )
x0 1 1 x2 x0 (1 1 x2 )(1 1 x2 )
lim x2 (1 1 x2 )
x0
x2
2
例8
7. 3
x2
多项式
小结: 1. 设f(x)=a0xn+a1xn1+...+an ,则有
lim
x x0
f
(
x
)
a0
(
lim
x x0
x)n
a1
(
lim
x x0
x)n1 an
=a0x0n+a1x0n1+...+an =f(x0)
有理分式
2.设
f (x)
P( Q(
x) x)
A
B
A B
A B
B A B(B )
∵BA 0, |B+ |≥|B|| |
又∵ 0
>0,在变量的变化过程中,总有那么
一个时刻,在那个时刻以后,||<成立
|B+ |≥|B|| | >|B|