概率练习题

第一章练习题
一、填空题：
1.设两两相互独立的三事件B A ,和C 满足条件∅=ABC ，
21)()()(<==C P B P A P ，且已知16
9)(=⋃⋃C B A P ，则()____P A =. 2．设A 和B 是两个相互独立的事件，且,)(9
1
=⋂B A P
),()(B A P B A P = 则()______
P A = 3.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是
4.已知A ，B 两个事件满足)()(B A P AB P =，且p A P =)(，则
()___P B =
5．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中装仅有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，从乙箱中任取一件产品是次品的概率为?
Bi={从甲箱中取出i 件次品}, i=0,1,2,3. 全概率公式 二、计算题：
1．已知4
1
)()()(===C P B P A P ，0)(=AB P ，161)()(==BC P AC P ，
则事件A ，B ，C 全不发生的概率是多少？
2．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率为 0.6
和 0.5 ，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
3．设在三次独立事件中A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于19/27，则A 在一次试验中出现的概率是多少？
4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8 , 0.1,0.1 。

一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，顾客开箱随机地察看四只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，试求： (1) 顾客买下该箱的概率 ;
(2) 在顾客买下的一箱中；确实没有残次品的概率。

概率第二章练习题
1．设随机变量X 服从正态分布)0)(,(2>σσμN ，且二次方程
042
=++X y y 。

无实根的概率为2
1
，则_______μ=
2．设随机变量X 服从（0，2）上的均匀分布，
则随机变量2X Y =在（0，4）内的概率密度()_____Y f y = 3．设),2(~2σN X 且6040.)(=<<X P ，则____2.0)0X (P =<； 又)()(c X P c X P ≥=≤，则_______c =
.
______1_)2
X 23(P ____;2/1__A 02|x |x cos A )x (f X .4=<<-=⎪⎩⎪⎨⎧
<
=π
ππ则，
其它的概率密度为设，
5．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1/3，设X 是途中遇到的红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数.
6．已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中装仅有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中次品数的分布律。

7.在电源电压低于200伏、正常电压200~240伏和高于240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.01和0.1。

假设电源电压服从正态分布),(N 225220 试求：
（1）该电子元件损坏的概率；
（2）该电子元件损坏时，电源电压在正常电压200~240伏的概率。

（已知7881080.).(=Φ）
8.某单位招聘2500人，按考试成绩从高分到低分依次录用，共有10000人报名，假设报名者的成绩),(~2σμN X ，已知90分以上有359人，60分以下有1151人，问被录用中最低分为多少？
概率论第三章练习题
1． 设区域D 由2,1,01
e x x y x
y ====所围，),(Y X 在D 上服从均匀分布，
则X 的边缘密度为
⎩⎨
⎧=________
_______
)(x f X ，______)2(=x f ； 2． X 和Y
独立同分布，
3
,2,1,3
1
)(===i i X P ，
),m ax(Y X U =，
),m in(Y X V =，则),(V U 的联合分布律为______________
； 3．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ，则（ ）
（A ）
2
1}0{=≤+Y X P ；（B ）21
}1{=≤+Y X P ；
（C 21}0{=
≤-Y X
P ； （D ）2
1
}1{=≤-Y X P 4．设两个随机变量X 和Y 相互独立，且都服从均值为0，方差为1的正态分布， 则
22Y X +的概率密度函数为____________。

5．⎩⎨⎧<<<<=其它0
1
0,02),(~),(y y x y x f Y X ，求)(x f X ，)(y f Y
问X 与Y 是否独立？
6．设X 与Y 独立，⎩⎨⎧<<=其它0101)(~x x f X ，⎩⎨⎧≤>=-0
00
)(~y y e y f Y y Y ，
求Y X Z
+=的密度函数。

7．设X 与Y 都服从泊松分布且独立，)(~),(~21λλP Y P X ，
求Y X +的分布律。

8．设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量),(Y X 的联合分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中的部分值，试将其余数值填入表中的空白处。

9．假设二维随机变量),(Y X 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均
匀分布，记
⎩⎨
⎧>≤=Y X Y X U 10 ⎩⎨
⎧>≤=Y
X Y X V 21
20
（1）
求U 和V 的联合分布；
10．已知随机变量X 的分布律为⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-41214110
1///~X ，Y 的分布律为 ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡212110
//~Y 且10==)(XY P （1）求X 和Y 的联合分布律；（2）问X 与Y 是否独立？为什么？
概率论第四章练习题
3．
设)4,3(~N X ，)9,1(~-N Y 且X 与Y 独立；
______~2
3
-X 则___)32(=-+Y X D ；
2．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则2X 的数学期望_______)(=2X E ；
3．设⎩⎨⎧<<<=其它0
10,||1),(~),(x x y y x f Y X
则______)(=X E ；_________)(=Y D ，____________=ρXY 4．设X 与Y 独立，).,(~25016N X ，Y 服从参数为9的泊松分布，
则___________)12(=+-Y X D ；
5.已知随机变量X 服从二项分布，且42.)(=X E ，441.)(=X D ，则二项分布的参数_______________,==p n ；
6．一商店经销某种商品，每周进货的商量X 与需求量Y 是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布；若商店每售出一单位商品可获利1000元；当需求量超过进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每售出一单位商品可获利500元； （1）试写出),(Y X 的联合密度函数；
（2）设此商店经销该商品每周所得利润为Z ，写出Z 关于Y X ,函数关系式；
（3）试求][Z E
7．设随机变量X 和Y 的联合分布在以点),(),,(),,(110110为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求)(Y X D +。

8。

设随机变量X
的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤=其它0
02
cos
21
)(x x x f 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于3
π的次数，求2
Y 的数学期望。

9．设某种商品每周的需求量X 服从[10，30]上的均匀分布，而经销商店进货量为[10，30]中的某一整数，商店销售每一单位商品可获利500元；若供大于求则削价处理，处理每一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每一单位商品仅获利300元。

（1）设进货量为a ，写出利润函数),(X a L ； （2）求)],([X a L E ；
（3）试确定进货量使所获利润的数学期望最大。

第五章 大数定律
填空
1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有
______}|{|lim =<-∞
>-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。

2．设μ=)(X E ，2)
(σ=X D ，则由切比雪夫不等式____)|(|≥<-σμ3X P ；
3．随机变量序列 n X X X ,,21独立同分布,且2
σμ==)(,)(i i X D X E >0
2,1=i ,则对任意实数,x ________}{lim =≤-∑=∞
→x n n X P n
i i n σ
μ
1。