2008年考研数学二试题分析、详解和评注

2008年考研数学二试题分析、详解和评注一，选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设2()(1)(2)f x x x x =-+，则()f x '的零点个数为【 】．(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【详解】322()434(434)f x x x x x x x '=+-=+-．令()0f x '=，可得()f x '有三个零点．故应选(D).(2)曲线方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0()axf x dx '⎰在几何上表示【 】．(A) 曲边梯形ABCD 的面积． (B) 梯形ABCD 的面积． (C) 曲边三角形ACD 面积． (D) 三角形ACD 面积． 【详解】'0()()()()aa axf x dx xdf x af a f x dx ==-⎰⎰⎰，其中()af a 是矩形面积，()af x dx ⎰为曲边梯形的面积，所以'0()axf x dx ⎰为曲边三角形ACD 的面积．故应选(C).(3)在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【 】．(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【详解】由123cos2sin2x y C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- 32444λλλ=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).(4) 判定函数ln ()|1|xf x x =-，(0)x >间断点的情况【 】．(A) 有一个可去间断点，一个跳跃间断点． (B) 有一跳跃间断点，一个无穷间断点． (C) 有两个无穷间断点. (D)有两个跳跃间断点. 【答案】 应选(A).(5)设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【 】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【详解】若若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B). (6)设函数()f x 连续，221x y +=，222,1x y u u +=>，若2222()(,)Df u v F u v dudv u v +=-⎰⎰，则Fu∂=∂【 】． (A) 2()vf u (B) ()vf u (C)2()v f u u (D) ()vf u u【答案】 应选(A).【详解】利用极坐标，得22222211()()(,)()v uu Df u v f r F u v dudv dv rdr v f r drru v+===-⎰⎰⎰⎰⎰，所以Fu∂=∂2()vf u ．故应选(A). (7)设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则下列结论正确的是【 】． (A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C).【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C). (8) 设1221A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则在实数域上，与A 合同矩阵为【 】． (A) 2112-⎛⎫⎪-⎝⎭. (B)2112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. (C) 2112⎛⎫⎪⎝⎭. (D) 1221-⎛⎫⎪-⎝⎭. 【答案】 应选(D). 【详解】2212(1)423(1)(3)021E A λλλλλλλλ---==--=--=+-=--则121,3λλ=-=，记1221D -⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2212(1)423(1)(3)021E D λλλλλλλλ--==--=--=+-=- 则121,3λλ=-=，正负惯性指数相同.故选D.二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) (9)已知函数()f x 连续，且01cos[()]lim 1(1)()x x xf x e f x →-=-，则(0)f =【答案】 应填2．(10)微分方程2()0x y x e dx xdy -+-=的通解是 . 【答案】 应填()x y x C e -=-．(11)曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】 应填1y x =+．(12)曲线23(5)y x x =-的拐点坐标为 . 【答案】 (1,6)--．(13)设x yy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则(1,2)z x ∂=∂ . 【答案】2(ln 21)2-． (14)设3阶矩阵A 的特征值为2,3,λ．若行列式|2|48A =-，则λ=___________. 【答案】应填1-．三、解答题(15－23小题，共94分)．(15)(本题满分9分)求极限[]4sin sin(sin )sin lim x x x x x →-．【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx →-[]3sin sin(sin )limx x x x →-=＝20cos cos(sin )cos lim3x x x x x →-201cos(sin )lim 3x x x →-=0sin(sin )cos lim 6x x x x →=(或2201(sin )2lim 3x x x →=，或22201sin (sin )2lim 3x x o x x →+=)16=． (16)(本题满分10分)设函数()y y x =由参数方程20()ln(1)t x x t y u du =⎧⎪⎨=+⎪⎩⎰确定，其中()x x t =是初值问题020xt dx te dtx -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩的解，求22d y dx ． 【详解1】由20x dxte dt--=得 2x e dx tdt =，积分得2x e t C =+．由条件00t x ==，得1C =，即21x e t =+，故 2ln(1)x t =+．方程组220ln(1)ln(1)t x t y u du ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩⎰两端同时对t 求导得 22212ln(1)dx t dt t dy t t dt⎧=⎪⎪+⎨⎪=+⎪⎩． 所以22(1)ln(1)dy dy dt t t dxdx dt==++，从而222222(1)ln(1)(1)ln(1)d t t d t t d y dtdx dx dxdt⎡⎤++⎣⎦⎡⎤++⎣⎦==22222ln(1)2(1)[ln(1)1]21t t t t t t t ++==++++．17（本题满分9分）计算212arcsin 1x x dx x-⎰．【详解1】 由于221arcsin lim 1x x x x-→=+∞-，故212arcsin 1x x dx x-⎰是反常积分．令arcsin x t =，有sin x t =，[0,)2t π∈．21222200arcsin cos 2sin ()221x x t tdx t tdt dt x ππ==--⎰⎰⎰222001sin 244ttd t ππ=-⎰2220sin 21sin 21644t t tdt πππ=-+⎰ 2201cos 2168t ππ=-21164π=+． 【详解2】2112220arcsin 1(arcsin )21x x dx x d x x =-⎰⎰ 21222001(arcsin )(arcsin )2x x x x dx π=-⎰2120(arcsin )8x x dx π=-⎰令arcsin x t =，有sin x t =，[0,)2t π∈．1222001(arcsin )sin 22x x dx t tdt π=⎰⎰222001(cos 22cos 2)4t t t tdt ππ=--⎰21164π=-，所以2212arcsin 11641x x dx x π=+-⎰． (18)(本题满分11分) 计算max{,1}Dxy dxdy ⎰⎰，其中{}(,),02,02D x y x y =≤≤≤≤．【详解】将区域D 分成如图所示得两个子区域12,D D 和3D ．于是123max{,1}max{,1}max{,1}max{,1}DD D D xy dxdy xy dxdy xy dxdy xy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰12311D D D xydxdy dxdy dxdy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1122222111022x xdx xydy dx dy dx dy =++⎰⎰⎰⎰⎰⎰1519ln 212ln 2ln 244=-++=+． (19)(本题满分11分)设()f x 是区间[0,)+∞上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f =．对任意的[0,)t ∈+∞，直线0,x x t ==，曲线()y f x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x 的表达式． 【详解】根据题意，因为 旋转体体积20()tV f x dx π=⎰，侧面积202()1()tS f x f x dx π'=+⎰．所以 2202()2()1()tt f x dx f x f x dx ππ'=+⎰⎰．上式两边同时对t 求导得22()()1()f t f t f t '=+．解得 21ln(1)y y t C +-=+，21t y y Ce +-=．由(0)1y =，得1C =．所以 21t y y e +-= 或 1()()2tt y f x e e -==+． (20)(本题满分11分) (I)证明积分中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b η∈，使得()()()baf x dx f b a η=-⎰；(II)若函数()x ϕ具有二阶导数，且满足(2)(1)ϕϕ>，32(2)()x dx ϕϕ>⎰，则至少存在一点(1,3)ξ∈，使得()0ϕξ''<．【证法1】若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则必存在最大值M 和最小值m ．即()m f x M ≤≤，[,]x a b ∈于是有()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰．即1()b am f x dx M b a ≤≤-⎰根据闭区间上连续函数的介值定理，在[,]a b 上至少存在一点[,]a b η∈，使得1()()b a f f x dx b aη=-⎰ 因此而的证．（II ）存在[2,3]η∈，使得32()()x dx ϕϕη=⎰．由32(2)()()x dx ϕϕϕη>=⎰，知(2,3]η∈．由(2)(1)ϕϕ>，利用微分中值定理，存在1(1,2)ξ∈，使得1(2)(1)()021ϕϕϕξ-'=>-．由(2)()ϕϕη>，利用微分中值定理，存在2(2,)ξη∈，使得2()(2)()02ϕηϕϕξη-'=<-．存在存在12(,)(1,3)ξξξ∈⊂，使得2121()()()0ϕξϕξϕξξξ''-''=<-．（21）(本题满分11分)求函数222u x y z =++在约束条件22z x y =+和4x y z ++=下的最大值和最小值．【详解1】作拉格朗日函数22222(,,)()(4)F x y z x y z x y z x y z λμ=++++-+++-．令2222022020040xy z F x x F y y F z x y z x y z λμλμλμ⎧'=++=⎪⎪'=++=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪⎪++-=⎪⎩解之得111222(,,)(1,1,2),(,,)(2,2,8),x y z x y z ==--故所求得最大值为72,最小值为6． (22) (本题满分12分)．设n 元线性方程组Ax b =，其中2222212121212a a a a a A a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，12n b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ． （I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ． （III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na a a a a D A a a a a ==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+． 当1n =时，12D a =，结论成立． 当2n =时，2222132a D a a a==，结论成立． 假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得2212212121212212n n n a a a a a D aD a a a a --=-2122n n aD a D --=- 1222(1)n n ana a n a --=-- (1)n n a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD a D a D a ------=-==-= ．于是(1)n n D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na a a a a A a a a a =22122213121212212na a a a r ar a a a a -322222130124123321212na a a r ar a aa a a a -=2121312211111n n na a a a n r ar nn a n n a n ----+(1)n n a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn a aa a a a a a D na a a a a a a a a ---===所以，11(1)n n D ax D n a-==+． （III ）【详解】 当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为()()010100T Tx k =+ ，其中k 为任意常数．(23) (本题满分10分)设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值1,1-的特征向量，向量3α满足321A ααα=+，(I)证明123,,ααα线性无关； (II)令123(,,)P ααα=，求1P AP -．【详解】(I)【证明】设有一组数123,,k k k ，使得 122330k k k ααα++=． 用A 左乘上式，得112233()()()0k A k A k A ααα++=． 因为 11A αα=-, 22A αα=，321A ααα=+， 所以 1123233()0k k k k ααα-+++=， 即113220k k αα-=．由于12,αα是属于不同特征值得特征向量，所以线性无关，因此130k k ==，从而有20k =．故123,,ααα线性无关． （II ）由题意，100011001AP P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．而由（I ）知，123,,ααα线性无关，从而123(,,)P ααα=可逆．故1100011001P AP --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．。