考研数三(2008-2017年)历年真题
2017年数三考研真题_附答案解析
2017年数三考研真题_附答案解析2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学三试题及参考答案⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?=??≤?在0x =处连续，则（）(A)12ab =(B)12ab =-(C)0ab =(D)2ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）(A)(0,0)(B)(0,3)(C)(3,0)(D)(1,1)3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()11f f >-(D)()()11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞=??--∑收敛，则k =()(A)1(B)2(C)-1(D)-25.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆(D)2T E αα-不可逆6.已知矩阵200021001A=??210020001B =??100020002C ??=，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()(A)A 与B 相互独⽴(B)A 与B 互不相容(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记11nii X X n ==∑则下列结论中不正确的是()(A)21()ni i X µ=-∑服从2χ分布(B)212()n X X -服从2χ分布(C)21()n ii XX =-∑服从2χ分布(D)2()n X µ-服从2χ分布⼆、填空题：9～14⼩题，每⼩题4分，共24分。
数学三2017年考研真题及答案解析
（A） E T 不可逆
（B） E T 不可逆
（C） E 2 T 不可逆
（D） E 2 T 不可逆
【详解】矩阵 T 的特征值为1和 n 1个 0 ，从而 E T , E T , E 2 T , E 2 T 的特征值
分别为 0,1,1,1； 2,1,1,,1 ； 1,1,1,,1； 3,1,1,,1．显然只有 E T 存在零特征值，所以不可
n
（C） ( Xi X )2 服从 2 分布 （D） n( X )2 服从 2 分布 i 1
n
解：（1）显然 ( Xi ) ~ N (0,1) ( Xi )2 ~ 2 (1),i 1, 2,n 且相互独立，所以 ( Xi )2 服 i 1
k
1 n
1 2
1 n
2
o
1 n2
(1
k)
1 n
k 2
1 n2
o
1 n2
显然当且仅当 (1 k) 0 ，也就是 k 1 时，级数的一般项是关于 1 的二阶无穷小，级数收敛， n
从而选择（C）．
5．设 为 n 单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则
【详解】 z y(3 x y) xy 3y 2xy y2 ， z 3x x2 2xy ，
x
y
2z x2
2 y,
2z y 2
2x, 2 z 2 z 3 2x xy yx
解方程组
z
x
z
3y 3x
（A） A, B 相互独立 （B） A, B 互不相容
(NEW)复旦大学《353卫生综合》历年考研真题汇编
51 对人体危害较大，能进入肺泡的粉尘主要是直径（ ）。 A．0.1μm以下的颗粒 B．0.3μm以下的颗粒 C．0.5μm以下的颗粒 D．5μm以下的颗粒 E．10μm以下的颗粒
2015年复旦大学353卫生综合考研真题（回忆版，不完整） 2016年复旦大学353卫生综合考研真题（回忆版） 2017年复旦大学353卫生综合考研真题（回忆版，不完整） 2018年复旦大学353卫生综合考研真题（回忆版，不完整） 2019年复旦大学353卫生综合考研真题（回忆版，不完整）
1997年复旦大学卫生综合考研真 题（回忆版）
13 预防接种的免疫学效果评价标准是（ ）。 A．患病率 B．病死率 C．死亡率 D．相对危险度 E．抗体阳转率
14 慢性病的三级预防措施是（ ）。 A．第一级：病因预防；第二级：三早预防；第三级：对症治疗 B．第一级：病因治疗；第二级：三早预防；第三级：心理治疗 C．第一级：普查发现；第二级：早治疗；第三级：预防并发症
二、B型题（ABCDE是备选答案，每题选择一个最合适的答案，每个答 案可以选择一次或一次以上，也可以一次不选） A．选择偏倚 B．信息偏倚 C．混杂偏倚 D．选择偏倚和混杂偏倚 E．失访偏倚 61．进行配比研究可减少（ ）。 62．分层分析可控制（ ）。
A．爆发 B．散发 C．流行 D．大流行 E．世界大流行 63．一个300万人口的城市，过去每年发生伤寒患者30例左右，某年发 生了300名，此种情况称（ ）。
3 从人类生态学上来看，与疾病和健康有关的三大因素是（ ）。 A．生物因素，物理因素，化学因素 B．自然因素，社会因素，生物因素 C．宿主因素，环境因素，致病因素 D．传染源，传播途径，易感人群 E．自然因素，社会因素，精神因素
考研数三(2008-2017年)历年真题
:18A B与C相互独立的充分必要条件914),2,n，利用,Z估计σn的概率密度；sin nnn ++,)x y由方程2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)设是数列,下列命题中不正确的是：（）(A) 若,则(B) 若, 则(C) 若,则(D) 若,则(2)设函数在内连续,其2阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(A) (B) (C) (D)(3)设,函数在上连续,则（）(A)(B)(C)(D)(4)下列级数中发散的是：（）(A) (B) (C) (D)(5)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(A) (B) (C) (D)(6)设二次型在正交变换为下的标准形为，其中，若，则在正交变换下的标准形为：（）(A) (B) (C)(D)(7)若为任意两个随机事件,则:（）(A)(B)(C) (D)(8)设总体为来自该总体的简单随机样本, 为样本均值,则(A) (B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)(10)设函数连续，若则(11)若函数由方程确定，则(12)设函数是微分方程的解，且在处取得极值3，则(13)设阶矩阵的特征值为，其中E为阶单位矩阵，则行列式(14)设二维随机变量服从正态分布，则三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.计算二重积分，其中(17) (本题满分10分)为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，MC为边际成本，为需求弹性.(I) 证明定价模型为；(II) 若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的价格.(18) (本题满分10分)设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，由线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(19) (本题满分 10分)(I) 设函数可导，利用导数定义证明(II) 设函数可导，，写出的求导公式.(20) (本题满分11分)设矩阵，且.(I) 求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.(22) (本题满分11分)设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I) 求的概率分布；(II) 求(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量.(II) 求的最大似然估计量.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1) 设，且，则当充分大时有：（ ）(A) (B) (C) (D)(2) 下列曲线有渐近线的是：（ ）(A) (B) (C) (D)(3) 设,当时,若是比高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：（ ）(A)(B) (C) (D)(4) 设函数具有二阶导数，，则在区间上：（ ） (A)当时， (B)当时，(C)当时，(D)当时，(5) 行列式（ ）(A) (B)(C)(D)(6) 设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关的：（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件 (7) 设随机事件与相互独立，且，，则（ ）(A)(B)(C)(D)(8)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（）(A)(B)(C)(D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为________.(10)设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为________.(11)设，则__________.(12)二次积分__________.(13)设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围_________.(14)设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)设平面区域计算.设函数具有连续导数，满足. 若，求的表达式.(18) (本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(19) (本题满分10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：(I)；(II).(20) (本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.证明阶矩阵与相似.(22) (本题满分11 分)设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.(I)求的分布函数；(II)求.(23) (本题满分11分)设随机变量,的概率分布相同，的概率分布为且与的相关系数(I)求的概率分布；(II)求2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（）(A) (B) (C) (D)(2)函数的可去间断点的个数为：（）(A)(B)(C) (D)(3)设是圆域位于第象限的部分，记，则：（）(A) (B) (C) (D) ．(4)设为正项数列，下列选项正确的是：（）(A) 若，则收敛(B) 若收敛，则(C) 若收敛,则存在常数,使存在(D) 若存在常数,使存在,则收敛(5)设均为阶矩阵，若,且可逆.则：（）(A) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B) 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C) 矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D) 矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(6)矩阵与相似的充分必要条件为：（）（A）（B）为任意常数（C）（D）为任意常数(7)设是随机变量，且，，，，则：（）(A) (B) (C) (D)(8)设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为则：（）(A) (B)(C) (D)二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设曲线与在点处有公共切线，则_________.(10)设函数由方程确定，则_________.(11)_________.(12)微分方程的通解为_________.(13)设是阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则_________.(14)设随机变量服从标准正态分布，则_________.三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15) (本题满分10分)当时，与为等价无穷小，求与的值．(16) (本题满分10分)设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.(17) (本题满分10分)设平面区域由直线及围成，计算．(18) (本题满分10分)设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为，（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I) 该商品的边际利润；(II) 当时的边际利润，并解释其经济意义；(III) 使得利润最大的定价．(19) (本题满分10分)设函数在上可导，，且.证明：(I) 存在，使得；(II) 对(I)中的，存在，使得．(20) (本题满分11分)设，当为何值时，存在矩阵使得,并求所有矩阵．(21) (本题满分11分)设二次型，记，(I) 证明二次型对应的矩阵为；(II) 若正交且均为单位变量，证明在正交变换下的标准形为．(22) (本题满分11分)设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定的条件下的条件概率密度为(I) 求的概率密度；(II) 求的边缘概率密度；(III) 求．(23) (本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.(I) 求的矩估计量；(II) 求的最大似然估计量．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．(1)曲线渐近线的条数为：（）(A) . (B) . (C) . (D) .(2)设函数，其中为正整数，则：（）(A) . (B) . (C). (D) .(3)设函数连续，则二次积分：（）(A) . (B) .(C) . (D) .(4)已知级数绝对收敛，级数条件收敛，则：（）(A)(A). (B) . (C) . (D) .(5)设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：(A) . (B) . (C) . (D) .(6)设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：（）(A) . (B) . (C) . (D) .(7)设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：（）(A) . (B) . (C) . (D) .(8)设为来自总体（）的简单随机样本，则统计量的分布为：（）(A). (B) . (C) . (D) .二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上．(9)_________.(10)设函数，，则_________.(11)设连续函数满足，则_________.(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.(13)设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_______ __.(14)设是随机事件，与互不相容，则_________.三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15) (本题满分10分)求极限.(16) (本题满分10分)计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.(17) (本题满分10分)某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和(件)，且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I) 求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；(II) 当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III) 求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(18) (本题满分10分)证明：.(19) (本题满分10分)53已知函数满足方程及.(I) 求的表达式；(II) 求曲线的拐点.(20) (本题满分11分)设．(I) 计算行列式；(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．(21) (本题满分11分)已知，二次型的秩为．(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.(22) (本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为(I) 求；(II) 求.(23) (本题满分11分)设随机变量与相互独立，且服从参数为的指数分布.记，.(I) 求的概率密度；(II) 求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
考研数学三历年真题答案与解析-模拟试题
考研数学三历年真题答案与解析|模拟试题展开全文第一部分历年真题及详解2008年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解详解2013年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2014年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解2015年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2016年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2017年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2018年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解2019年全国硕士研究生招生考试考研数学三真题及详解（2）模拟试题及详解部分：精选了3套模拟试题，且附有详尽解析。
考生可通过模拟试题部分的练习，掌握最新考试动态，提前感受考场实战。
第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
2017年考研数学(三)真题及答案解析完整版
1 0 0
因为
3
r(2E
A)
1，∴A
可相似对角化，且
A
~
0 0
2 0
0 2
由 E B 0 可知 B 特征值为 2,2,1.
因为 3 r(2E B) 2 ，∴B 不可相似对角化，显然 C 可相似对角化， ∴ A ~ C ，且 B 不相似于 C
1) n
1 n
1 6n 3
o(
1 n3
)
k
1 n
k 2n 2
o(
1 n2
)
(1
k)
1 n
k 2n2
1 6n3
o(
1 n2
)
因为原级数收敛，所以1 k 0 k 1 .选 C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
（ A ） E T 不可逆 （ B ） E T 不可逆 （ C ） E 2 T 不可逆 （ D ） E 2 T 不可逆
【答案】B 【解析】
（D） n( X )2 服从 2分布
X N (,1), X i N (0,1)
n
( Xi )2 2(n), A正确 i 1 n
(n 1)S 2 ( X i X )2 2(n 1)，C 正确， i 1
X ~N (, 1), n (X ) N (0,1), n(X ) 2 ~ 2(1), D 正确, n
（A） f (1) f (1) （B） f (1) f (1) （C） f (1) f (1) （D） f (1) f (1)
【答案】C 【解析】
方法
1：
f
(x)
f
'(x)
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编6(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2000年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。
在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件( )A．{T(1)≥t0}。
B．{T(2)≥t0}。
C．{T(3)≥t0}。
D．{T(4)≥t0}。
正确答案：C解析：随机变量T(1)，T(2)，T(3)，T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，事件E表示事件“电炉断电”，即有两个温控器显示的温度不低于t0，此时必定两个显示较高的温度大于等于t0，即T(4)≥T(3)≥t0。
所以说断电事件就是{T(3)≥t0}。
2．(2009年)设事件A与事件B互不相容，则( )A．B．P(AB)=P(A)P(B)。
C．P(A)=1-P(B)。
D．正确答案：D解析：因为A，B互不相容，所以P(AB)=0。
选项A：=1-P(A∪B)，因为P(A ∪B)不一定等于1，所以A不正确；选项B：当P(A)，P(B)不为0时，选项B 不成立，故排除B；选项C：只有当A、B互为对立事件的时候才成立，故排除C；选项D：=1-P(AB)-1，故D正确。
3．(2014年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)=0．5，P(A-B)=0．3，则P(B-A)=( )A．0．1。
B．0．2。
C．0．3。
D．0．4。
正确答案：B解析：P(A-B)=0．3，则P(A)-P(AB)=0．3，又随机事件A与B相互独立，则有P(AB)=P(A)P(B)。
因此有P(A)-P(A)P(B)=0．3，又P(B)=0．5，故P(A)=0．6，且P(AB)=P(A)P(B)=0．3。
2017年考研数学三真题与解析
1 2017年考研数学三真题一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．1．若函数1cos ,0(),0xx f x ax b x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =【详解】00011cos 12lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a+++®®®-===，0lim ()(0)x f x b f -®==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =Þ=．所以应该选（A ）2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0)（B ）03(,)（C ）30(,)（D ）11(,)【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x ¶=---=--¶，232z x x xy y¶=--¶，2222222,2,32z z z z y x xxyx yy x¶¶¶¶=-=-==-¶¶¶¶¶¶解方程组22320320z y xy y xz x x xy y¶ì=--=ï¶ïí¶ï=--=¶ïî，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x ¢>，则（A ）(1)(1)f f >-（B ）11()()f f <-（C ）11()()f f >-（D ）11()()f f <-【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ¢¢=>，也就是()2()f x 是单调增加函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)f f f f >-Þ>-，所以应该选（C ）4．若级数211sin ln(1)n k nn ¥=éù--êúëûå收敛，则k =（）（A ）1（B ）2（C ）1-（D ）2-【详解】iv n ®¥时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n æöæöæöæö--=---+=++ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．5．设a 为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则阶单位矩阵，则（A ）T E aa -不可逆不可逆 （B ）TE aa +不可逆不可逆（C ）2TE aa +不可逆不可逆 （D ）2TE aa -不可逆不可逆【详解】矩阵Taa 的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T TE E E E aa aa aa aa -+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,1,1,1,,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有TE aa -存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．6．已知矩阵200021001A æöç÷=ç÷ç÷èø，210020001B æöç÷=ç÷ç÷èø，100020002C æöç÷=ç÷ç÷èø，则，则 （A ）,A C 相似，,B C 相似相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似相似 （D ）,A C 不相似，,B C不相似不相似【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1l l l ===．是否可对解化，只需要关心2l =的情况．的情况．对于矩阵A ，0002001001E A æöç÷-=-ç÷ç÷èø，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．对于矩阵B ，010*******E B -æöç÷-=ç÷ç÷èø，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2l =只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（条件是（ ）（A ）,A B 相互独立相互独立 （B ）,A B 互不相容互不相容 （C ）,AB C 相互独立相互独立 （D ）,AB C 互不相容互不相容 【详解】【详解】(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设12,,,(2)n X X X n ³ 为来自正态总体(,1)N m 的简单随机样本，若11n i i X X n ==å，则下列结论中不正确的是（正确的是（ ）（A ）21()ni i X m =-å服从2c 分布分布 （B ）()212nX X -服从2c 分布分布 （C ）21()ni i X X =-å服从2c 分布分布（D ）2()n X m -服从2c 分布分布 解：（1）显然22()~(0,1(0,1))()~(1(1),),1,2,iiX N X i n m m c -Þ-= 且相互独立，所以21()nii X m =-å服从2()n c 分布，也就是（A ）结论是正确的；）结论是正确的；（2）222221(1)()(1)~(1)ni i n S X X n S n c s=--=-=-å，所以（C ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（3）注意221~(,)()~(0,1)()~(1)X N n X N n X nm m m c Þ-Þ-，所以（D ）结论也是正确的；）结论也是正确的；（4）对于选项（B ）：221111()~(0,2)~(0,1)()~(1)22n n n X X X X N N X X c --ÞÞ-，所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上） 9．322(sin )x x dx ppp -+-=ò．解：由对称性知332222(sin )22xx dxx dx ppppp p -+-=-=òò． 10．差分方程122tt t y y +-=的通解为的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2xy C =；设122t t tyy +-=的特解为2tty at =，代入方程，得12a =；所以差分方程122tt t y y +-=的通解为12 2.2t t y C t =+11．设生产某产品的平均成本()1QC Q e-=+，其中产量为Q ，则边际成本为，则边际成本为 . 【详解】答案为1(1)QQ e -+-．平均成本()1QC Q e-=+，则总成本为()()QC Q QC Q Q Qe-==+，从而边际成本为，从而边际成本为()1(1).QC Q Q e -¢=+-12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =【详解】(,)(1)()yyydf x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)yf x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)yf x y xye =．13．设矩阵101112011A æöç÷=ç÷ç÷èø，123,,a a a 为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A a a a 的秩为 ．【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A æöæöæöç÷ç÷ç÷=®®ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèø，知矩阵A 的秩为2，由于123,,a a a 为线性无关，所以向量组123,,A A A a a a 的秩为2．14．设随机变量X 的概率分布为{}122P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．【详解】显然由概率分布的性质，知112a b ++= 12133102EX a b a b =-´+´+´=+-=，解得11,44a b ==29292EX a b =++=，229()2DX EX E X =-=．三、解答题三、解答题15．（本题满分10分）分）求极限03lim xtx x te dtx+®-ò【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-，xxtx ux te dtuedu --=òò3332limlim lim lim 332xxxtxuuxx x x x x te dt eue du ue du xexxxx ++++---®®®®-====òòò计算积分3242(1)Dydxdy xy ++òò，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域．轴为边界的无界区域．【详解】【详解】33242242002424200220(1)(1)1(1)4(1)11121411282xDxyydxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x p +¥+¥+¥=++++++=++æöæö=-=-ç÷ç÷ç÷++èøèøòòòòòòò 17．（本题满分10分）分）求21lim ln 1nn k k k n n ®¥=æö+ç÷èøå 【详解】由定积分的定义【详解】由定积分的定义 120111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24nn n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx ®¥®¥==æöæö+=+=+ç÷ç÷èøèø=+=ååòò18．（本题满分10分）分） 已知方程11ln(1)k x x -=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．的取值范围．【详解】设11(),(0,1)ln(1)f x x x x =-Î+，则，则22222211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)x x x f x x x x x x x ++-¢=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ¢¢=+-+-= 2(ln(1))()0,(0,1)1x x g x x x+-¢¢=<Î+，所以()g x ¢在(0,1)上单调减少，上单调减少，由于(0)0g ¢=，所以当(0,1)x Î时，()0)0g x g ¢¢<=，也就是()g x ()g x ¢在(0,1)上单调减少，当(0,1)x Î时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x Î时，()0f x ¢<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．上单调减少．0011ln(1)1lim()lim lim ln(1)ln(1)2x x xx x f x x x x x +++®®®æö-+=-==ç÷++èø，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．设011111,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+ ，()S x 为幂级数nnn a x ¥=å的和函数的和函数（1）证明nn n a x ¥=å的收敛半径不小于1．（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-，并求出和函数的表达式．，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111()(1)1n n n n n n a na a n a na a n +-+-=+Þ+=++也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到111,1,2,1n nn n aa n a a n +--=-=-+1112110112101(1)(1)!n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=´´´=-----+ 也就得到111(1),1,2,(1)!nn n aa n n ++-=-=+111121121()()()(1)!nk n n nnn k aaa aa aa ak +++-==-+-++-+=-å111lim lim lim 12!3!!nnnn n n n a e n r ®¥®¥®¥=£+++£= ，所以收敛半径1R ³（2）所以对于幂级数nnn a x ¥=å， 由和函数的性质，可得11()n n n S x na x¥-=¢=å，所以，所以111111011111110(1)()(1)(1)((1))()n n nn n nn n n n n n nn n nn n n nn nn nnn n n x S x x na xna xna xn a x na x a n a na xa x a xx a x xS x ¥¥¥--===¥¥+====¥+=¥¥¥+-===¢-=-=-=+-=++-====ååååååååå也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x ¢--=Î-．解微分方程(1)()()0x S x xS x ¢--=，得()1xCeS x x-=-，由于0(0)1S a ==，得1C = 所以()1xeS x x-=-．设三阶矩阵()123,,A a a a =有三个不同的特征值，且3122.a a a =+（1）证明：()2r A =；（2）若123,b a a a =+，求方程组Ax b =的通解．的通解．【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ³．假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ³，又因为31220a a a -+=，也就是123,,a a a 线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220a a a -+=，所以基础解系为121x æöç÷=ç÷ç÷-èø；又由123,b a a a =+，得非齐次方程组Ax b =的特解可取为111æöç÷ç÷ç÷èø；方程组Ax b =的通解为112111x k æöæöç÷ç÷=+ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèø，其中k 为任意常数．为任意常数．21．（本题满分11分）分） 设二次型222123123121323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准形为221122y y l l +，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141Aa -æöç÷=-ç÷-èø因为二次型的标准形为221122y y l l +．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a =114111(3)(6)412E A l l l l l l l ---=+=+--- 令0E A l -=得矩阵的特征值为1233,6,0l l l =-==．通过分别解方程组()0i E A x l -=得矩阵的属于特征值13l =-的特征向量111131x æöç÷=-ç÷ç÷èø，属于特征值特征值26l =的特征向量211021x -æöç÷=ç÷èø，30l =的特征向量311261x æöç÷=÷çèø， 所以()12311132612,,036111326Q x x x æö-ç÷ç÷ç÷==-ç÷ç÷ç÷ç÷èø为所求正交矩阵．为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）分）设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2P X P X ====，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <<ì=íî其他．（1）求概率P Y EY £（）； （2）求Z X Y =+的概率密度．的概率密度．【详解】（1）1202()2.3Y EY yf y dy y dy+¥-¥===òò所以{}230242.39P Y EYP Y ydy ìü£=£==íýîþò（2）Z X Y =+的分布函数为的分布函数为{}{}{}{}{}{}{}[](),0,20,2,211{}2221()(2)2Z YY F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =£=+£=+£=++£===£+=£-=£+£-=+-故Z X Y =+的概率密度为的概率密度为[]1()()()(2)2,012,230,ZZf z F z f z f z z z z z ¢==+-££ìï=-£<íïî其他23．（本题满分11分）分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量m 是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N m s 该工程师记录的是n 次测量的绝对误差,(1,2,,)i i Z X i n m =-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数s ． （1）求i Z 的概率密度；的概率密度；（2）利用一阶矩求s 的矩估计量；的矩估计量； （3）求参数s 最大似然估计量．最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为的分布函数为{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P m m ss ì-ü=£=-£=£íýîþ当0z <时，显然()0Z F z =；当0z ³时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P m m s s sì-üæö=£=-£=£=F -íýç÷èøîþ； 所以i Z 的概率密度为2222,0()()20,0z Z Z e z f z F z z s ps-ì³ï¢==íï<î．（2）数学期望22222()22z iEZ z f z dzze dzss psp-+¥+¥===òò， 令11ni i EZ Z Z n ===å，解得s 的矩估计量12222ni i Z Z np ps ===å．（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时 似然函数为2211212()(,)(2)n ii nnz i n i L f z ess s ps =-=å==Õ，取对数得：2211ln ()ln 2ln(2)ln 22ni i n L n n z s p s s ==---å令231ln ()10ni i d L n z d s s s s ==-+=å，得参数s 最大似然估计量为211ni i z n s ==å．。
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(I)求1Z的概率密度；(II)利用一阶矩求σ的矩估计量；(III)求σ的最大似然估计量.选择题:18设是数列,下列命题中不正确的是：（若,则若,则若,则若,则设函数在内连续,其二阶导函数的图形如下图所示,则曲线的拐点个数为：(B)(C)(D),函数在上连续,则（(B)(C)(C)(D)设矩阵,.若集合，则线性方程组有无穷多解的充分必要条件为：(B)(C)设二次型在正交变换为下的标准形为，若，则在正交变换下的标准形为：（(C)(D)若为任意两个随机事件,则:（(A)(B)(C)(D)设总体为来自该总体的简单随机样本,为样本均值,则(B)(C)(D)二、填空题：914(9)设函数连续，若则若函数由方程确定，则设函数是微分方程的解，且在处3，则设阶矩阵的特征值为，其中为阶单位矩阵，则行列式设二维随机变量服从正态分布，则设函数，，若与在是等价无穷小，求的值.计算二重积分，其中为了实现利润的最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设为该商品的需求量，为价格，成本，为需求弹性.证明定价模型为；若该商品的成本函数为，需求函数为，试由（I）中的定价模型确定此商品的设函数在定义域上的导数大于零，若对任意的，曲线在点处的切线与直线及轴所围成区域的面积恒为4，且，求的表达式.(I)设函数可导，利用导数定义证明(II)设函数可导，，写出的求导公式.(20)(本题满分11分)设矩阵，且.(I)求的值；(II)若矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，求.(21)(本题满分11分)设矩阵相似于矩阵.(I)求的值；(II)求可逆矩阵，使为对角矩阵.设随机变量的概率密度为对进行独立重复的观测,直到个大于的观测值出现的停止.记为观测次数.(I)求的概率分布；(II)求EY.(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量.(II)求的最大似然估计量.选择题:18设，且，则当充分大时有：（(B)(C)(D)(B)(C)设,当时,若是比高阶的无穷小,则下列试题中错误的是：(A)(B)(C)(D)设函数具有二阶导数，，则在区间上：（(A)当时，(B)当时，(C)当时，(D)当时，行列式（(C)(D)设均为三维向量，则对任意常数,向量组,线性无关是向量组线性无关设随机事件与相互独立，且，，则（(A)(B)(C)(D)设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（(A)(B)(C)(D)二、填空题：914设某商品的需求函数为（为商品的价格），则该商品的边际收益为________.设是由曲线与直线及围成的有界区域，则的面积为________.设，则__________.二次积分__________.1，则的取值范围_________.设总体的概率密度为其中是未知参数，为来自总体的简单样本，若，则_________.求极限.设平面区域计算.设函数具有连续导数，满足.若，求的表达式.求幂级数的收敛域及和函数.(19)(本题满分10分)设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：(I)；(II).(20)(本题满分11分)设矩阵，为三阶单位矩阵.(I)求方程组的一个基础解系；(II)求满足的所有矩阵.证明阶矩阵与相似.(22)(本题满分11分)设随机变量的概率分布为在给定的条件下，随机变量服从均匀分布.(I)求的分布函数；(II)求.(23)(本题满分11分)设随机变量,的概率分布相同，的概率分布为且与的相关系数(I)求的概率分布；(II)求一、选择题:18当时，用“”表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是：（(B)(C)(2)函数的可去间断点的个数为：（）(A)(B)(C)(D)(3)设是圆域位于第象限的部分，记，则：（）(A)(B)(C)(D)．(4)设为正项数列，下列选项正确的是：（）(A)若，则收敛(B)若收敛，则(C)若收敛,则存在常数,使存在(D)若存在常数,使存在,则收敛(5)设均为阶矩阵，若,且可逆.则：（）(A)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(B)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(C)矩阵的行向量组与矩阵的行向量组等价(D)矩阵的列向量组与矩阵的列向量组等价(6)矩阵与相似的充分必要条件为：（）（A）（B）为任意常数（C）（D）为任意常数(7)设是随机变量，且，，，，则：（）(B)(C)(D)设随机变量和相互独立，则和的概率分布分别为则：（(B)(C)二、填空题：914设曲线与在点处有公共切线，则_________.设函数由方程确定，则_________._________.的通解为_________.设是阶非零矩阵，为的行列式，为的代数余子式，若，则_________.设随机变量服从标准正态分布，则_________.三、解答题：1523当时，与为等价无穷小，求与的值．设是由曲线，直线及轴所围成的平面图形，分别是绕轴，轴旋转一周所得旋转体的体积，若，求的值.(17)(本题满分10分)设平面区域由直线及围成，计算．(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为元，可变成本为元/件，价格函数为，（是单价，单位：元，是销量，单位：件），已知产销平衡，求：(I)该商品的边际利润；(II)当时的边际利润，并解释其经济意义；(III)使得利润最大的定价．(19)(本题满分10分)设函数在上可导，，且.证明：(I)存在，使得；(II)对(I)中的，存在，使得．(20)(本题满分11分)设，当为何值时，存在矩阵使得,并求所有矩阵．(21)(本题满分11分)设二次型，记，(I)证明二次型对应的矩阵为；(II)若正交且均为单位变量，证明在正交变换下的标准形为．(22)(本题满分11分)设是二维随机变量，的边缘概率密度为在给定的条件下的条件概率密度为(I)求的概率密度；(II)求的边缘概率密度；(III)求．(23)(本题满分11分)设总体的概率密度为其中为未知参数且大于零，为来自总体的简单随机样本.(I)求的矩估计量；(II)求的最大似然估计量．2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题曲线渐近线的条数为：（.(B).(C).(D).设函数，其中为正整数，则：（.(B).(C)..设函数连续，则二次积分：（..(C)..(A)..(C)..设，其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为：..(C)..设为阶矩阵，为阶可逆矩阵，且.若，，则：（..(C)..设随机变量与相互独立，且都服从区间上的均匀分布，则：（.(B).(C).(D).设为来自总体（）则统计量的分布为：(A).(B).(C).(D).(9)_________.设函数，，则_________.设连续函数满足，则_________.由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为_________.设为阶矩阵，，为的伴随矩阵.若交换的第行与第行得矩阵，则_______设是随机事件，与互不相容，则_________.求极限.计算二重积分，其中是以曲线及轴为边界的无界区域.某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为(万元)，设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为(件)和(件)，且这两种产品的边际成本分别为(万元/件)与(万元/件).(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数(万元)；(II)当总产量为50件时，甲、乙两种产品产量各为多少时可使总成本最小？求最小成本；(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.(18)(本题满分10分)证明：.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程x e x f x f x f x f x f 2)()(0)(2)()(=+''=-'+''及.(I)求的表达式；(II)求曲线dt t f x f y x⎰-=022)()(的拐点.(20)(本题满分11分)设．(I)计算行列式；(II)当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解．(21)(本题满分11分)已知，二次型的秩为．(I)求实数的值；(II)求正交变换将化为标准形.(22)(本题满分11分)设二维离散型随机变量的概率分布为(I)求；(II)求.(23)(本题满分11分)设随机变量与相互独立，且服从参数为的指数分布.记，.(I)求的概率密度；(II)求.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
(1)已知当时，函数与是等价无穷小，则：（）(A)．(B)．(C)．(D)．(2)设函数在处可导，且，则=（）(A)．(B)．(C)．(D)．(3)设是数列，则下列命题正确的是：（）(A)若收敛，则收敛.(B)若收敛，则收敛.(C)若收敛，则收敛.(D)若收敛，则收敛.(4)设，，，则的大小关系是：（）(A)．(B)．(C)．(D)．(5)设为阶矩阵，将的第列加到第列得矩阵，再交换的第行与第行得单位矩阵，记，，则（）(A)．(B)．(C)．(D)．(6)设为矩阵，是非齐次线性方程组的个线性无关的解，为任意常数，则的通解为：（）．(B)．(C)．(D)．设与为两个分布函数，其相应的概率密度与是连续函数，(A)．(B)．(C)．(D)．设总体服从参数为的泊松分布，为来自总体的简单随机样本，则对应的统计量和，有：（，．，．(C)，．(D)，．设，则_________.设函数，则_________.曲线在点处的切线方程为_________.曲线，直线及轴所围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体的体积为_________.设二次型的秩为，的各行元素之和为，则在正交变换下的标准形为设二维随机变量服从正态分布，则=_________.(15)(本题满分10分)求极限．(16)(本题满分10分)已知函数具有二阶连续偏导数，是的极值，，求.(17)(本题满分10分)求.(18)(本题满分10分)证明方程恰有两个实根.(19)(本题满分10分)设函数在区间上具有连续导数，，且满足，，求的表达式.(20)(本题满分11分)设向量组不能由向量组线性表示．(I)求的值；(II)将用线性表示.(21)(本题满分11分)设为阶实对称矩阵，的秩为，且．(I)求的所有特征值与特征向量；(II)求矩阵．(22)(本题满分11分)设随机变量与的概率分布分别为且．(I)求二维随机变量的概率分布；(II)求的概率分布；(III)求与的相关系数．(23)(本题满分11分)设二维随机变量服从区域上的均匀分布，其中是由与所围成的三角形区域．(I)求边缘概率密度；(II)求条件概率密度．若，则等于（.(B).(C).(D).设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则：（..(C)..设函数具有二阶导数，且，若是的极值，则在取极大值..(C)..(4)设，则当充分大时有：（）(A).(B).(C).(D).(5)设向量组可由向量组线性表示，下列命题正确的是：（）(A)若向量组线性无关，则.(B)若向量组线性相关，则.(C)若向量组线性无关，则.(D)若向量组线性相关，则.(6)设为阶实对称矩阵，且，若的秩为，则相似于：（）(A).(B).(C).(D).(7)设随机变量的分布函数则=（）(A)0.(B).(C).(D).(8)设为标准正态分布的概率密度，为上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则应满足：（）(A).(B).(C).(D).二、填空题(9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)设可导函数由方程确定，则_________.设位于曲线下方，轴上方的无界区域为，则绕轴旋转一周所得空设某商品的收益函数为，收益弹性为，其中为价格，且，则=________.若曲线有拐点，则_________.设为阶矩阵，且，则=_________.设是来自总体的简单随机样本，记统计量，则_______求极限.计算二重积分，其中由曲线与直线及围成.求函数在约束条件下的最大值和最小值.(18)(本题满分10分)(I)比较与的大小，说明理由；(II)记，求极限.(19)(本题满分10分)设函数在上连续，在内存在二阶导数，且.(I)证明存在，使；(II)证明存在，使．(20)(本题满分11分)设，已知线性方程组存在个不同的解.(I)求，；(II)求方程组的通解.(21)(本题满分11分)设，正交矩阵使得为对角矩阵，若的第列为，求.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为，，，求常数及条件概率密度．(23)(本题满分11分)箱中装有个球，其中红、白、黑球的个数分别为个，现从箱中随机地取出个球，记为取出的红球个数，为取出的白球个数.(I)求随机变量的概率分布；(II)求.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)函数的可去间断点的个数为：（）(A).(B).(C).(D)无穷多个.(2)当时，与是等价无穷小：（）(A).(B).(C).(D).(3)使不等式成立的的范围是：（）(A).(B).(C).(D).(4)设函数在区间上的图形为：则函数的图形为：（）(A)(B)(C)(D)(5)设均为阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为：（）(A).(B).(C).(D).(6)设均为阶矩阵，为的转置矩阵，且.若，则为：（）(A).(B).(C).(D).(7)设事件与事件互不相容，则：（）(A).(B).(C).(D).(8)设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为.记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为：（）(A).(B).(C).(D).二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9)_________.(10)设，则_________.(11)幂级数的收敛半径为_________.(12)设某产品的需求函数为，其对价格的弹性，则当需求量为件时，价格增加元会使产品收益增加_________元.(13)设，.若矩阵相似于，则_________.(14)设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数的极值.(16)(本题满分10分)计算不定积分.(17)(本题满分10分)计算二重积分，其中.(18)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得.(II)证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.(19)(本题满分10分)设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线方程.(20)(本题满分11分)设，(I)求满足的所有向量；(II)对(I)中的任意向量，证明：线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型.(I)求二次型的矩阵的所有特征值；(II)若二次型的规范形为，求的值.(22)(本题满分11分)设二维随机变量的概率密度为(I)求条件概率密度；(II)求条件概率.(23)(本题满分11分)袋中有个红球，个黑球与个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.(I)求；(II)求二维随机变量的概率分布.2008年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1)设函数在区间上连续，则是函数的：（）(A)跳跃间断点(B)可去间断点(C)无穷间断点(D)振荡间断点.(2)如图，曲线段方程为，函数在区间上有连续的导数，则定积分等于：（）(A)曲边梯形面积(B)梯形面积(C)曲边三角形面积(D)三角形面积.(3)设则：（）(A)存在，存在(B)不存在，存在(C)存在，不存在(D)，都不存在.(4)设函数连续.若，其中区域为图中阴影部分，则（）(A)(B)(C)(D)(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若，则：（）(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆.(6)设，则在实数域上与合同的矩阵为：（）(A)(B)(C)(D)(7)随机变量独立同分布，且的分布函数为，则分布函数为：（）(A)(B)(C)(D)(8)设随机变量，且相关系数，则：（）(A)(B)(C)(D)二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9)设函数在内连续，则_________.(10)设函数，则_________.(11)设，则_________.(12)微分方程满足条件的解是_________.(13)阶矩阵的特征值为，为三阶单位矩阵，则_________.(14)设随机变量服从参数为的泊松分布，则_________.三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求极限.(16)(本题满分10分)设是由方程所确定的函数，其中具有阶导数且.(I)求；(II)记，求.(17)(本题满分11分)计算其中.(18)(本题满分10分)设是周期为的连续函数，(I)证明对任意的实数，都有；(II)证明是周期为的周期函数．(19)(本题满分10分)设银行存款的年利率为，并依年复利计算.某基金会希望通过存款万元实现第一年提取万元，第二年提取万元，，第年取出万元，并能按此规律一直提取下去，问至少应为多少万元？(20)(本题满分12分)设元线性方程组，其中，，，(I)证明行列式；(II)当为何值时，该方程组有唯一解，并求；(III)当为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解(21)(本题满分10分)设为阶矩阵，为的分别属于特征值特征向量，向量满足.(I)证明线性无关；(II)令，求.(22)(本题满分11分)设随机变量与相互独立，概率分布为，的概率密度为记.求：(I)；(II)求的概率密度．(23)(本题满分11分)设是总体的简单随机样本.记，，(I)证明是的无偏估计量；(II)当时，求.。