10第十章 含有耦合电感的电路
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电路分析基础第五版第10章
二、互感消去法(等效去耦法)
消去互感，变为无互感的电路计算，从而简化 电路的计算。
1、受控源替代去耦法
jM
I1
I2
+ +
U1
jL1
jL2
U2
I1
+
jL1
U1
jM I 2
I2
+
jL2
U
2
jM I 1
U1 jL1 I1 jMI2
U2 jL2 I2 jMI1
d2i dt
i 2 u 2
2
相量形式：
1
i1
U1 jL1 I1 jMI2
u1
U2 jL2 I2 jMI1
注意：
i 2 u 2
2
•互感元件的自感恒为正；
•互感元件的互感有正有负，与线圈的具体绕法及 两线圈的相互位置有关。
当每个电感元件中的自感磁链与互感磁链是互相 加强时(自感磁链与互感磁链同向)，互感为正； 反之为负。（说法不同，正确理解）
+
U
L反L1L22M
等效电感不能为负值，
因此：L反0, M12(L1L2)
3、并联耦合电感的去耦等效
(1)同侧并联：同名端分别相联。
I
+
jM
U
jL1
jL2
I +
U
j L同
L同
L1L2 M2 L1 L2 2M
因为 L同 0 所以 L1L2M20
电路分析基础第10章_含有耦合电感的电路讲诉
§10.2 含有耦合电感电路的计算
一、两个互感线圈的串联
1、反向串联 R1 L1
u1
R1i
(L1
di dt
M
di ) dt
u
u1 M R2
u2
R1i
( L1
M
)
di dt
u2
R2i
(L2
di dt
M
di ) dt
L2
R2i
( L2
M
)
di dt
无互感等效电路
R1
L1
u
u1 M R2 u2
L2
L1
M
i1
L2 u21
u21
M
di1 dt
M
u12
i2
u12
M
di2 dt
五、互感电压的等效受控源表示法
当施感电流为同频正弦量时，在正弦稳态情况下，
电压、电流方程可用相量形式表示:
•
•
•
U1 jL1 I1 jM I2
•
•
•
U2 jM I1 jL2 I2
jL1
•
jM I2
jL2
•
jM I1
•
•
通链两部分的代数和，
如线圈1 和2 中的磁通链分别为1和 2 则有 1 11 12
2 21 22
二、互感系数
当周围空间是各向同性的线性磁介质时，每一种
磁通链都与产生它的施感电流成正比，
即有自感磁通链： 11 L1i1 22 L2i2
互感磁通链
12 M12i2 21 M 21i1
I1
U1
•
•
I2
U2
六、耦合系数
工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合 紧疏程度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的 比值的几何平均值定义为耦合因数，记为k
电路第十章含有耦合电感的电路
则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
电路理论第10章 含耦合电感的电路
u
L1
L2
–
i = i1 +i2 解得u, i 的关系：
u (L1 L2 M 2 ) di L1 L2 2M dt
等效电感：
Leq
(L1 L2 M 2 ) L1 L2 2M
0
如全耦合：L1L2=M2 当 L1L2 ，Leq=0 (物理意义不明确)
L1=L2 ， Leq=L (相当于导线加粗，电感不变)
注 否则取负。表明互感电压的正、负：
（1）与电流的参考方向有关。 （2）与线圈的相对位置和绕向有关。
4.互感线圈的同名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与符
合右螺旋定则，其表达式为
u11
dΨ11 dt
N1
dΦ11 dt
L1
di1 dt
i1
u11
上式 说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈 上的，只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写 出，可不用考虑线圈绕向。
jL2 )I2
jL2 j
j1CL2)II33
jM(I1 I3 ) kI1
jL1I1 jL2 I2
jM (I3 I1 ) jM (I3 I2 ) 0
例2 求图示电路的开路电压。
I1
R1
M12
L1
L2
会引起另一线圈相应同名端的电位升高。
例
i 1*
*2
* 1
2
3
1'
2' 1'
2*'
3'
引入同名端的概念后，可以用带有互感
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
10第十章 含有耦合电感的电路PPT课件
1212111222LM 1i121i1M 1L2i22i2
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
图10－1(b)
对于图10－l(b)所示的情况有：
11112L1i1M12i2 22122M21i1L2i2
式中11、22表示电流在本身线圈形成的磁链，称为 自感磁链。12、21表示另一个线圈中电流产生的磁场在
本线圈中形成的磁链，称为互感磁链。也就是说每个线圈
根据以上叙述，定义一种称为耦合电感的双口电路元 件，其元件符号和电压电流关系分别如下所示：
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d i2 dt
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
u2
M
d i1 dt
L2
d
i2
d t
u1
L1
d i1 dt
M
d i2 dt
中的总磁链为自感磁链与互感磁链的代数和。
当电流i1和i2随时间变化时，线圈中磁场及其磁链也随 时间变化，将在线圈中产生感应电动势。
图(a)
对于图(a)的情况，根据电磁感应定律可以得到：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
L1
di1 dt
Mdi2 dt
u2
d2
dt
d21
dt
d22
dt
Mdi1 dt
L2
最后得到图(a)单口网络的等效电路为5电阻与10H电
感的串联。
§ 10.3 耦合电感的功率
当耦合电感中的施感电流变化时，将出现变化的 磁场，从而产生电场（互感电压），耦合电感通过 变化的电磁场进行电磁能的转换和传输，电磁能从 耦合电感一边传输到另一边。
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含有耦合电感电路的计算。
制作群
主
页
总目录
章目录
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退
出
含有耦合电感电路的去耦等效电路。
讲课3学时，习题1学时。
制作群
主
页
总目录
章目录
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下一页
退
出
§10-1 互感
一、基本概念
⒈ 磁耦合：载流线圈之间通过彼此的磁场相互联系的 物理现象。 i1、i2为施感电流。 N1、N2为线圈的匝数。 ψ11、ψ22为自感磁通链。 ψ12、ψ21为互感磁通链。
去耦等效电路。
制作群
主 页
R1
总目录 章目录 上一页
R2
下一页 退 出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
四、异侧并联
异名端连接在同一结点上。
U R1 jL1 I1 jMI 2 Z1I1 Z M I 2 U jMI1 R2 jL2 I 2 Z M I1 Z 2 I 2
制作群
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
例10-3：图中，正弦电压的 U 50V , R1 3 , L1 7.5 ,
R2 5 , L2 12.5 , M 8 , 求该耦合电感的耦合因数
和该电路中各支路吸收的复功率 S1 和 S2 。
制作群
主 页 总目录
L2
u2
2'
章目录
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退
出
§10-1 互感
例10-2：求图中耦合电感的端电压u1、u2。 解：u1 L1 di1 M di2 50 sin 10t V
dt dt di1 di2 u2 M L2 150 sin 10t V dt dt
正弦稳态情况下：
I 3 I1 I 2
+
I3
jM
①
I1
jL1
I2
jL2
U
-
R1
R2
I 3 ① jM
+
U jMI 3 R1 j L1 M I1
I1
jL1 M jL2 M
I2
U jMI 3 R2 j L2 M I 2 U
去耦等效电路。
制作群
主 页
R1
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R2
下一页 退 出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
去耦方法
如果耦合电感的两条支路各有一端与第3支路形成 一个仅含3条支路的共同结点，则可用3条无耦合的电 感支路等效替代，3条支路的等效电感分别为： （支路3） L3 M （同侧取“+”，异侧取“-”）
R1 jL1 M jL2 M I1 I jM + ZL a Us R2 去耦等效电路
制作群
R1 I jL1 1
Us
+
jM jL2 a
I
-
R2
ZL
主
页
总目录
章目录
上一页
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退
出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
* 当 Z L Z eq 3 j7.5 时
U1 jL1I1 jMI 2 U 2 jMI1 jL2 I 2
1
+
i1
M
i2
2
+
u1
L1
L2
u2
互感抗：M
制作群
1'
2'
主
页
总目录
章目录
上一页
下一页
退
出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
一、反向串联
u1 R1i L1 di di M dt dt di R1i L1 M dt L1- M R1
制作群
主
页
总目录
章目录
上一页
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退
出
§10-1 互感
⒊ 耦合因数k 工程上为了定量地描述两个耦合线圈的耦合紧疏程 度，把两线圈的互感磁通链与自感磁通链的比值的几何 平均值定义为耦合因数。
12 21 k 11 22
def
k
def
M 1 L1 L2
k的大小与两个线圈的结构、相互位置及周围磁介 质有关。改变或调整它们的相互位置有可能改变耦合因 数的大小；当 L1、L2一定时，也就相应地改变了互感 的大小。
二、同向串联
di u1 R1i L1 M dt di u2 R2i L2 M dt di u R1 R2 i L1 L2 2M dt
+
i
+
R1 u1
L1
M
+
R2 u2 L2
u
-
-
U1 R1 j L1 M I Z1I
+
i
+
R1 u1
L1
M
+
R2 u2 L2
u
+
i
+
di di u2 R2i L2 M dt dt di R2i L2 M dt
+
u1
R2 u2
u
L2- M
-
制作群
-
去耦等效电路
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
di di di di u u1 u2 R1i L1 M R2i L2 M dt dt dt dt R1 R2 i L1 L2 2M di dt
di1 di2 R1i1 L1 M uS dt dt di di M 1 R2i2 L2 2 0 dt dt
正弦稳态电路的相量表示
U1 R1 j L1 M I Z1I U 2 R2 j L2 M I Z 2 I U R1 R2 j L1 L2 2M I ZI
显然，反向串联时，每一条耦合电感支路阻抗和 输入阻抗都比无互感时的阻抗小，这是由于互感的反 向耦合作用，它类似于串联电容的作用，常称为互感 的“容性”效应。注意：整个电路仍呈感性。
U 2 R2 j L2 M I Z 2 I
U R1 R2 j L1 L2 2M I ZI
制作群
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§10-2 含有耦合电感电路的计算
三、同侧并联
同名端连接在同一结点上。
U R1 jL1 I1 jMI 2 Z1I1 Z M I 2 U jMI1 R2 jL2 I 2 Z M I1 Z 2 I 2
制作群
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§10-1 互感
二、伏安关系
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt
u11、u22为自感电压。
u12、u21为互感电压。
M i2
2
+
互感电压前的“+”或“-” 1 i1 号的选取原则：如果互感电压 + “+”极性端子与产生它的电流 u1 L1 流进的端子为一对同名端，互 感电压前取“+”号，反之取“-” 1' 号。
' （支路1） L1 L1 M
（支路2） L L2 M
' 2
M前所取符号与L3中的相反
等效电感与电流参考方向无关，这3条支路中的其 他元件不变，注意去耦等效电路中的结点与原电路的 结点的位置不同。
制作群
主 页 总目录 章目录 上一页 下一页 退 出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
制作群
主 页 总目录 章目录 上一页 下一页 退 出
§10-1 互感
“+”号说明互感磁通链与自感磁通链方向一致，自 感方向的磁场得到加强，称为同向耦合。 “-”号说明互感磁通链与自感磁通链方向相反，自 感方向的磁场得到削弱，称为反向耦合。 同向耦合状态下的一对施感电流的入端或出端定义 为耦合电感的同名端，并用同一符号标出这对端子。
S1 I 2 Z1 5.592 3 j0.5 93.75 j15.63V A S2 I 2 Z 2 5.592 5 j4.5 156.25 j140.63V A
制作群
主 页 总目录 章目录 上一页 下一页 退 出
§10-2 含有耦合电感电路的计算
U 例10-5：图示电路， s 12V , R1 R2 6 , L1 L2 10 ,
M 5，求ZL最佳匹配时获得的功率P。
Us 解：U oc jM R2 60V j L1 M R1 jM R2
j L1 M R1 jM R2 3 j7.5 Z eq j L2 M j L1 M R1 jM R2
例10-1：图中 i1 1A , i2 5 cos10t A , L1 2H , L2 3H , M 1H , 求耦合电感中的磁通链。 解： 1 L1i1 Mi2 2 1 1 5 cos10t 2 5 cos10t Wb
2 Mi1 L2i2 11 3 5 cos10t 1 15 cos10t Wb
1'
11 12 21 22
1 i1
i2 2
N2
2'
N1
磁通链符号中双下标的含义：第1个下标表示该磁通链所在 线圈的编号，第2个下标表示产生该磁通链的施感电流所在线圈 的编号。