高三数学第二轮复习教案第10讲参数取值问题

高三数学第二轮复习教案第10讲 参数取值问题的题型与方法（一）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。

一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例1：已知当x ∈R 时，不等式a +cos2x <5-4si nx +45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4si nx +cos2x <45-a -a +5要使上式恒成立，只需45-a -a +5大于4si nx +cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f （x ）=4si nx +cos2x 的最值问题。

f （x ）= 4si nx +cos2x =-2si n 2x +4si nx +1=-2（si nx -1）2+3≤3， ∴45-a -a +5>3即45-a >a +2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a <8说明：注意到题目中出现了si nx 及cos2x ，而cos2x =1-2si n 2x ，故若把si nx 换元成t ，则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

另解：a +cos2x <5-4si nx +45-a 即a +1-2si n 2x <5-4si nx +45-a ，令si nx =t ，则t ∈[-1，1]， 整理得2t 2-4t +4-a +45-a >0，（t ∈[-1，1]）恒成立。

设f （t ）= 2t 2-4t +4-a +45-a 则二次函数的对称轴为t =1，∴f （x ）在[-1，1]内单调递减。

∴只需f （1）>0，即45-a >a -2 （下同）例2：已知函数f （x ）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f （k -si nx ）≥f （k 2-si n 2x ）对一切实数x 恒成立？并说明理由。

分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -si nx ≤k 2-si n 2x ≤1对于任意x ∈R 恒成立，这又等价于⎪⎩⎪⎨⎧----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。

不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2≤（1+si n 2x ）m i n =1，即-1≤k ≤1-----（3） 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2-k +41≥[（si nx -21）2]max =49， 即k ≤-1或k ≥2，-----------（4）由（3）、（4）求交集，得k =-1，故存在k =-1适合题设条件。

说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。

例3：设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围。

分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BA x x-，但从此后却一筹莫展， 问题的根源在于对题目的整体把握不够，事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系。

思路1： 从第一条想法入手，AP PB =BA x x-已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出。

解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得51-=PB AP ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k，解之得1,25x =因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PB AP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-由 ()049180)54(22≥+--=∆k k ， 解得 952≥k ，所以 51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP 思路2： 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来，一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式，原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式。

解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*）则12212254944594k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩令λ=21x x ，则，22132424520k k λλ++=+ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ， 从而有5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ， 解得551≤≤λ结合10≤<λ得151≤≤λ 综上，511-≤≤-PB AP 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等，本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法。

二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果。

尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例4：（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）一质点从AB 的中点P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）设P 4的坐标为（x 4，0）若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是（ ）（A ）)1,31( （B ）)32,31( （C ）)21,52( （D ）)32,52(分析： 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索， 动手实践， 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动，03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念，本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设4P 与AB 的中点P 重合（如图1所示），则P 1、P 2、P 3分别是线段BC 、CD 、DA 的中点，所以1tan 2θ=，由于在四个选择支中只有C 含有12，故选C当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示） 说明 由本题可见03年试题强调实验尝试， 探索猜想在数学学习中的地位，这也是选择题的应有特点。

例5：当x ∈（1，2）时，不等式（x -1）2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图像是抛物线，右边为常见的对数函数的图像，故可以通过图像求解。

解：设y 1=（x -1）2，y 2=log a x ，则y 1的图像为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈（1，2），y 1<y 2恒成立，显然a >1，并且必须也只需当x =2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。

故log a 2>1，a >1，∴1<a ≤2 例6：函数y=（x -1）log 23a -6x log 3a +x +1，其中在x ∈[0，1]时函数恒正，求a 的范围。

解：排除对数log 3a 的干扰，选x 为“主元”化函数为 y=f （x ）=（log 32a -6 log 3a +1）x +1-log 32a ， x ∈[0，1]一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x 轴的上方。

故有：3011(0)01log 33(1)0a f a a f >⎧⎪>⇒<<<<⎨⎪>⎩说明：给定一次函数y=f （x ）=ax +b （a ≠0），若y=f （x ）在[m ，n ]内恒有f （x ）>0，则根据函数的图像（直线）可得上述结论等价于 ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m ，n ]内恒有f （x ）<0，则有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩例7：对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2+px +1>2p +x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P ，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即（x -1）p +x 2-2x +1>0，设f （p ）= （x -1）p +x 2-2x +1，则f （p ）在[-2，2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x <-1或x >3 例8：设f （x ）=x 2-2ax +2，当x ∈[-1，+∞）时，都有f （x ）≥a 恒成立，求a 的取值范围。

分析：题目中要证明f （x ）≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1，+∞）时恒大于0的问题。

解：设F （x ）= f （x ）-a =x 2-2ax +2-aⅰ）当∆=4（a -1）（a +2）<0时，即-2<a <1时，对一切x ∈[-1，+∞），F （x ）≥0恒成立； ⅱ）当∆=4（a -1）（a +2） ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0af 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a得-3≤a ≤-2综合可得a 的取值范围为[-3，1]说明：若二次函数y=ax 2+b x +c=0（a ≠0）大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>0a若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。