基本不等式(同步练习)
2.2 不等式的基本性质 同步练习(含答案)
同步练习：2.2不等式的基本性质一、选择题1. 若a－b＜0，则下列各式中一定正确的是（）A. a＞bB. ab＞0C.D. －a＞－b【答案】D【解析】试题分析：由a－b＜0可得a＜b，再根据不等式的基本性质依次分析各项即可. a－b＜0，∴a＜b，∴－a＞－b，但无法确定ab与的符号，故选D.2. 如果t＞0，那么a＋t与a的大小关系是（）A. a＋t＞aB. a＋t＜aC. a＋t≥aD. 不能确定【答案】A【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可得到结果.t＞0，∴a＋t＞a，故选A.3. 已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A. cb＞abB. ac＞abC. cb＜abD. c＋b＞a＋b【答案】A【解析】试题分析：先根据数轴的特点得出a＞0＞b＞c，再根据不等式的性质进行判断：A、∵a＞0＞b＞c，∴cb＞0＞a b. 选项正确.B、∵c＜b，a＞0，∴ac＜a b. 选项错误.C、∵c＜a，b＜0，∴cb＞a b. 选项错误.D、∵c＜a，∴c+b＜a+b. 选项错误.故选A．4. 2a与3a的大小关系（）A. 2a＜3aB. 2a＞3aC. 2a＝3aD. 不能确定【答案】D【解析】试题分析：题目中没有明确a的正负，故要分情况讨论.当时，；当时，；当时，，故选D.5. 如果m＜n＜0，那么下列结论中错误的是（）A. m－9＜n－9B. －m＞－nC.D.【答案】C6. 由不等式ax＞b可以推出x＜，那么a的取值范围是（）A. a≤0B. a＜0C. a≥0D. a＞0【答案】B7. 如果，则a必须满足（）A. a≠0B. a＜0C. a＞0D. a为任意数【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质即可判断.，∴a＞0，故选C.8. 有下列说法：（1）若a＜b，则－a＞－b；（2）若xy＜0，则x＜0，y＜0；（3）若x＜0，y＜0，则xy＜0；（4）若a＜b，则2a＜a＋b；（5）若a＜b，则；（6）若，则x＞y．其中正确的说法有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质依次分析各项即可。
人教A版必修一基本不等式同步练习题(含答案及解析)
人教A 版必修一基本不等式同步练习题一 选择题1.已知a ＞b ＞0，全集为R ，集合M ＝，N ＝，P ＝，则M ，N ，P 满足（ ）A ．P ＝M ∩（∁R N ）B ．P ＝（∁R M ）∩NC ．P ＝M ∪ND ．P ＝M ∩N2.若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则（ ） A ．＜＜B ．＜＜ C ．＜＜D ．＜＜3.若x ＞0，y ＞0，且x+y ＝S ，xy ＝P ，则下列说法中正确的是（ ） A ．当且仅当x ＝y 时S 有最小值2B ．当且仅当x ＝y 时P 有最大值C ．当且仅当P 为定值时S 有最小值2D ．若S 为定值，当且仅当x ＝y 时P 有最大值4.设正实数x ，y ，z 满足x 2﹣3xy+4y 2﹣z ＝0．则当取得最大值时，的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．D ．35.已知m ，n ∈R ，m 2+n 2＝100，则mn 的最大值是（ ）A ．100B ．50C ．20D ．10 6.下列推导过程，正确的为（ ）A ．因为a 、b 为正实数，所以22a =•≥+a b b a a b bB ．因为x ∈R ，所以1112 +xC ．a ＜0，所以4424=•≥+a aa a D ．因为x 、y ∈R ，xy ＜0，所以2)()(2)()(x -=-•--≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+x yy x x y yx x x y 7.已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．9 B ．12 C ．16 D ．10 8.若实数x ，y 满足2x+y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．C ．D ．9.若正实数a ，b 满足a+b ＝1，则下列选项中正确的是（ ） A ．ab 有最大值B ．+有最小值C ．+有最小值4D ．a 2+b 2有最小值10已知0＜x ＜4，则的最小值为（ ）A ．2 B ．3C ．4D ．8二 填空题11.函数f （x ）＝a x ﹣1﹣2（a ＞0，a ≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ﹣ny ﹣1＝0上，其中m ＞0，n ＞0，则+的最小值为 ．12.某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为 千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为 万元．13.已知直角三角形ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且不等式恒成立，则实数m的最大值是．14.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里＝300步）里．15.已知a，b∈R+，且a+b++＝5，则a+b的取值范围是．16.已知x、y都为正数，且x+y＝4，若不等式恒成立，则实数m的取值范围是．17.如果一个直角三角形的斜边长等于5，那么这个直角三角形的面积的最大值等于．18.一批物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长400km，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于km，那么这批物资全部到达灾区，最少需要h．19.若正实数x，y满足2x+y+6＝xy，则xy的最小值是．20.若实数x，y满足x2+y2+xy＝1，则x+y的最大值是．三解答题21.已知a，b，c均为正实数，求证：若a+b+c＝3，则．22.已知a，b，c∈R，满足a＞b＞c．（1）求证：；（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意a＞b＞c恒成立，试写出一个p，并证明之．23.已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？24.已知，求函数的最大值．25.函数的最小值为多少？26.求下列函数的最值．（1）求函数的最小值；（2）若正数x，y满足x+3y＝5xy，求3x+4y的最小值．27.若x，y为正实数，且2x+8y﹣xy＝0，求x+y的最小值．28.若﹣4＜x＜1，求的最大值．29.若x＞0，求函数y＝x+的最小值，并求此时x的值．30.设0＜x＜，求函数y＝4x（3﹣2x）的最大值．31.已知x＞2，求x+的最小值．32.x＞0，y＞0且＝1，求x+y的最小值．33.已知x∈（0，+∞），求的最大值．34.某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m（m≥0）万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）．（1）将2013年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？35.如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m），求出S关于x的函数关系式；（2）当AD长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值．36.近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R（x）万元，且R（x）＝，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求2021年的利润W（x）（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润＝销售额﹣成本）；（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？37.已知p：1＜2x＜8；q：不等式x2﹣mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围．38.已知实数a＞0，b＞0，且a2+b2＝8，若a+b≤m恒成立．（1）求实数m的最小值；（2）若2|x﹣1|+|x|≥a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．39.已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．（1）求u＝xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．40.已知a，b∈R，求证：ab≤（）2．41.（1）已知x＞1，求x+的最小值；（2）求的最大值．42.某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48m2，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？43.如图，将宽和长都分别为x，y（x＜y）的两个矩形部分重叠放在一起后形成的正十字形面积为．（注：正十字形指的是原来的两个矩形的顶点都在同一个圆上，且两矩形长所在的直线互相垂直的图形），（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x，y取何值时，该正十字形的外接圆面积最小，并求出其最小值．人教A版必修一基本不等式同步练习题参考答案与解析1.分析:利用不等式的性质，判断得到，集合集合的交集、并集、补集的定义依次判断四个选项即可．解：因为a＞b＞0，所以，对于A，因为N＝，则，因为集合M＝，所以M∩（∁RN）＝＝P，故选项A正确；对于B，因为∁R M＝{x|x≤b或}，则（∁RM）∩N＝≠P，故选项B错误；对于C，因为M∪N＝{x|b＜x＜a}≠P，故选项C错误；对于D，M∩N＝≠P，故选项D错误．故选A．2.分析:根据基本不等式的性质，进行判断即可．解：∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2，∴＜，而＝＞0，∴＜，故选B．3.分析:利用均值不等式及其变形进行解答．解：∵x，y∈R+，x+y＝S，xy＝P，∴S＝x+y≥2＝2①，当且仅当x＝y时取等号；∴如果P 是定值，那么当且仅当x＝y时S的值最小，故A、C错误；由①得，P≤＝，当且仅当x＝y时取等号；∴如果S是定值，那么当且仅当x＝y时P的值最大，故D正确，B错误．故选D．4.分析:依题意，当取得最大值时x＝2y，代入所求关系式f（y）＝+﹣，利用配方法即可求得其最大值．解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z＝0，∴z＝x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴＝＝≤＝1（当且仅当x＝2y时取“＝”），∴＝1，此时，x＝2y．∴z＝x2﹣3xy+4y2＝（2y）2﹣3×2y×y+4y2＝2y2，∴+﹣＝+﹣＝﹣+1≤1，当且仅当y＝1时取得“＝”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．5.分析:利用重要不等式的性质即可得出．解：由m2+n2＝100，可得：100≥2mn，解得mn≤50，当且仅当m＝n＝±5时取等号．则mn的最大值是50．故选B．6.分析:利用基本不等式求解最值的三个条件：一正、二定、三相等，对四个选项逐一分析判断即可．解：对于A，因为a、b为正实数，所以，故，当且仅当，即a＝b时取等号，故选项A正确；对于B，因为x2≥0，所以x2+1≥1，则，故选项B错误；对于C，当a＜0时，，故选项C错误；对于D，因为xy＜0，则，所以，当且仅当，即x＝﹣y时取等号，故选项D正确．故选AD．7.分析:由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，转化成新函数的最小值问题．解：由已知a＞0，b＞0，不等式恒成立，所以m≤（+）（a+4b）恒成立，转化成求y＝（+）（a+4b）的最小值，y＝（+）（a+4b）＝8++≥16，所以m≤16．故选C．8.分析:根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选C．9.分析:由a+b＝1，根据逐一判断即可．解：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；+，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选AC．10.分析:可利用“1”的代换，根据x+（4﹣x）＝4配凑应用基本不等式．解：∵0＜x＜4，则＝[x+（4﹣x）]（）＝（10++）≥（10+2）＝4，当且仅当，即x＝1时取等号．故选C．11.分析:利用题意首先确定m，n的关系式，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果．解：由指数函数的性质可得 A（1，﹣1），点在直线上，则：m+n﹣1＝0，m+n＝1．则：，当且仅当时等号成立．综上可得：的最小值为．故答案为：．12.分析:先求出比例系数，再得出运费与仓储费之和，利用基本不等式可求最值．解：设工厂和仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝.∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k1＝5，k2＝20，∴运费与仓储费之和为5x+,∵5x+≥＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费与仓储费之和最小为20万元,故答案为：2，2013.分析:由题意可得m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得其最小值，注意检验等号成立的条件，即可得到所求最大值．解：不等式恒成立，即为m≤[（a+b+c）（++）]min，由柯西不等式可得（a+b+c）（++）＝[（）2+（）2+（）2][（）2+（）2+（）2]≥（•+•+ ）2＝（1+1+）2＝6+4，当且仅当a＝b＝c，即a2+b2＝c2时，上式取得等号．则[（a+b+c）（++）]min＝6+4，所以m≤6+4，即m的最大值为6+4，故答案为：6+4．14.分析:由题意知，BE＝4里，AG＝2.5里，由△BEF∽△FGA，可知EF•FG＝10里，再利用均值不等式求出EF+FG的最小值，进而得解．解：由题意知，BE＝1200步＝4里，AG＝750步＝2.5里，因为△BEF∽△FGA，所以＝，所以EF•FG＝BE•AG＝4×2.5＝10里，所以EF+FG≥2＝2，当且仅当EF＝FG＝时，等号成立，而该小城的周长为4（EF+FG）≥8，所以该小城的周长的最小值为8里．故答案为：8．15.分析:a，b∈R+，且a+b++＝5，利用基本不等式的性质可得：5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解出即可得出．解：∵a，b∈R+，且a+b++＝5，则5＝（a+b）≥（a+b），当且仅当a＝b＝2或时取等号．令a+b＝t，化为：（t﹣1）（t﹣4）≤0，解得1≤t≤4．∴a+b的取值范围是[1，4]．故答案为：[1，4]．16.分析:利用基本不等式的结论求出，然后将不等式恒成立转化为，即可得到答案．解：因为x、y都为正数，且x+y＝4，所以，当且仅当时取等号，故，因为不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是．故答案为：．17.分析:根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由勾股定理可得a2+b2＝25，利用基本不等式的性质可得S＝ab≤（a2+b2）＝，即可得答案．解：根据题意，设直角三角形的直角边分别为a，b，由题意知斜边长等于5，则a2+b2＝25，则有S ＝ab≤（a2+b2）＝，当且仅当a＝b时等号成立，故这个直角三角形的面积的最大值等于；故答案为：．18.分析:由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，利用基本不等式，即可得出结论．解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，t相当于最后一辆车行驶了50个km+400km所用的时间，因此，t＝＝+≥2＝10．当且仅当＝，即v＝80时取“＝”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．故答案为：1019.分析:首先右边是xy的形式，左边是2x+y和常数的和的形式，考虑把左边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的不等式，可把xy看成整体换元后，求最小值．解：由条件利用基本不等式可得，令xy＝t2，即 t＝＞0，可得．即得到可解得．又注意到t＞0，故解为，所以xy≥18．故答案应为18．20.分析:利用基本不等式，根据xy≤把题设等式整理成关于x+y的不等式，求得其范围，则x+y的最大值可得．解：∵x2+y2+xy＝1,∴（x+y）2＝1+xy,∵xy≤,∴（x+y）2﹣1≤，整理求得﹣≤x+y≤,∴x+y的最大值是,故答案为：21.分析:利用基本不等式可得，同理，，三式相加即可得证．证明：∵a，b，c均为正实数，∴，当且仅当a+1＝2，即a＝1时取等号；同理，当且仅当b+1＝2，即b＝1时取等号；，当且仅当c+1＝2，即c＝1时取等号．以上三个不等式相加，可得．∴，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号．22.分析:（1）由分析法，只可证明（a﹣c）（）＞0，再由基本不等式证明；（2）只需（a﹣c）（）＞0，左边＝2﹣p+≥4﹣p，即可求得p值．解:（1）证明：由a＞b＞c，得a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，要证，只要证（a ﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝1+＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立；（2）解：要使，只需（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b ﹣c）]（）＝2﹣p+≥4﹣p＞0，则p＜4，∵p∈N*，∴可取p＝2或3．取p＝2，问题转化为＞0．证明如下：要证＞0，只需证明（a﹣c）（）＞0，左边＝[（a﹣b）+（b﹣c）]（）＝≥＞0，当且仅当a﹣b＝b﹣c，即a+c＝2b时等号成立．23.分析:根据基本不等式即可求出．解：∵0＜x＜1，∴4﹣3x＞0，∴x（4﹣3x）＝•3x（4﹣3x）≤×（）2＝，当且仅当3x＝4﹣3x时，即x＝时取等号，故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．24.分析:先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．解：∵∴5﹣4x＞0,∴＝﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3＝1,当且＝1．∴函数的最大值仅当5﹣4x＝，即x＝1时，上式成立，故当x＝1时，ymax为1．25.分析:先利用换元法得到f（t）＝t++2，然后结合基本不等式可求．解：设x﹣1＝t（t＞0），则x＝t+1，∴f（t）＝＝t++2+2，当且仅当t＝时取等号，∴函数的最小值为2+2．26.分析:（1）将所求的式子进行化简变形，转化为乘积为定值的结构，然后利用基本不等式求解最值即可；（2）将已知的等式变形为，然后利用“1”的代换将所求式子进行变形，再利用基本不等式求解最值即可．解：（1）因为x＞1，则x﹣1＞0，所以函数＝＝≥＝，当且仅当，即x＝时取等号，所以函数的最小值为．（2）因为x+3y＝5xy，则，又x，y均为正数，所以3x+4y＝（3x+4y）＝≥＝5，当且仅当且，即时取等号，所以3x+4y的最小值为5．27.分析:把已知2x+8y﹣xy＝0，变形为，而x+y＝，展开再利用基本不等式的性质即可．解：由2x+8y﹣xy＝0，及x＞0，y＞0，得．∴x+y＝＝10+2＝18，当且仅当，，即x＝12，y＝6时取等号．∴x+y的最小值为18．故答案为18．28.分析:化简＝＝﹣[（1﹣x）+]，根据基本不等式即可求出．解：∵﹣4＜x＜1，∴1﹣x＞0,∴＝＝[（x﹣1）+]＝﹣[（1﹣x）+]≤﹣×2＝﹣1，当且仅当1﹣x＝时，即x＝0时取等号，故的最大值为﹣1．29.分析:由于x＞0，利用基本不等式可得y＝x+≥4，满足等号成立的条件，于是问题解决．解：∵x＞0，∴y＝x+≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”．故y＝x+的最小值为4，当x＝2时，有最小值．30.分析:根据题意，由0＜x＜可得3﹣2x＞0，则可以将4x（3﹣2x）变形为2[2x（3﹣2x）]，再由基本不等式的性质可得2[2x（3﹣2x）]≤2（）2，即可得答案．解：∵0＜x＜，∴3﹣2x＞0，则y＝4x（3﹣2x）＝2[2x（3﹣2x）]≤2（）2＝，当且仅当2x＝3﹣2x，即x＝时等号成立，答：当0＜x＜时，函数y＝4x（3﹣2x）的最大值为．31.分析:直接利用基本不等式的应用求出结果．解：由于x＞2，所以x﹣2＞0；故+2+2≥6，当且仅当x＝4时，等号成立．故最小值为6．32.分析:利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，所以x+y＝（x+y）（）＝10++≥10+2＝16,当且仅当＝，即x＝4，y＝12时取等号，所以x+y的最小值为16．33.分析:先利用基本不等式求出的最小值，然后将所求函数转化为，即可得到答案．解：因为x∈（0，+∞），所以，当且仅当，即x＝时取等号，则＝，所以的最大值为．34.分析:（1）由题目中产品的年销售量x万件与年促销费用m万元的函数关系式为：，当m＝0时，x＝1，可得k的值，即得x关于m的解析式；又每件产品的销售价格为1.5倍的成本，可得利润y与促销费用之间的关系式；（2）对（1）利润函数解析式进行变形，进而利用基本不等式求最大值即可．解：（1）由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3﹣k，即k＝2，∴；每件产品的销售价格为1.5×（万元），∴利润函数y＝x[1.5×]﹣（8+16x+m）＝4+8x﹣m＝4+8（3﹣）﹣m＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0）．（2）因为利润函数y＝﹣[+（m+1）]+29（m≥0），所以，当m≥0时，+（m+1）≥2＝＝21（万元）．所以，该厂家8，∴y≤﹣8+29＝21，当且仅当＝m+1，即m＝3（万元）时，ymax2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．35.分析:（1）设AD＝x，DQ＝y，由题意可得x2+4xy＝200，把y用含有x的代数式表示，即可求得总造价S关于x的函数关系式（2）把（1）中的函数解析式利用基本不等式求最值得答案．解：（1）设AD＝x，DQ＝y，则x2+4xy＝200，∴y＝，则S＝＝38000+（0）；（2）S＝38000+≥38000+2＝38000+2＝118000（0＜x ＜），当且仅当4000x2＝，即x＝时上式等号成立．故当AD的长为米时，总造价S有最小值118000元．36.分析:（1）根据2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，分段求出利润W（x）关于x的解析式即可．（2）根据（1）求出的利润W（x）的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求出每段上的最大值，取两者中较大的利润值，即为年企业最大利润．解：（1）由题意可知，2021年的利润等于年销售额减去固定成本和另投入成本，①当0＜x＜40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（10x2+100x+1000）﹣250＝﹣10x2+600x﹣1250，②当x≥40时，W（x）＝0.7×1000x﹣（701x+﹣8450）﹣250＝﹣（x+）+8200，所以W（x）＝．（2）①当0＜x＜40时，W（x）＝﹣10x2+600x﹣1250，此时函数W（x）为开口向下的二次函数，所以当x＝30时，W（x）取得最大值，最大值为W（30）＝7750（万元），②当x≥40时，W（x）＝﹣（x+）+8200，因为x＞0，所以x+＝200，当且仅当x＝即x＝100时，等号成立．即当x＝100时，W（x）取得最大值﹣200+8200＝8000（万元），综上所述，当x＝100时，W（x）的值最大，最大值为8000（万元），故当2021年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8000万元．37.分析:由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求解：∵1＜2x＜8,∴p：0＜x＜3,∵￢p是￢q的必要条件,∴p是q的充分条件即p⇒q,∵x2﹣mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，∴m＝对于任意的x∈（0，3）恒成立，∵＝4，当且仅当x＝即x＝2时等号成立.∴m≤438.分析:（1）根据基本不等式的性质即可求解m的最小值；（2）根据a+b≤m恒成立，由（1）可得a+b的最大值为m，取绝对值即可求解；解：（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥（a+b）2，∴（a+b）2≤16，∴（a+b）≤4，故m≥4；（2）由2|x﹣1|+|x|≥a+b恒成立，由（1）可得a+b的最大值为4,故只需2|x﹣1|+|x|≥4，即：当x≥1时，2（x﹣1）+x≥4，解得：x≥2；当0≤x＜1时，2（1﹣x）+x≥4，无解；当x＜0时，2（1﹣x）﹣x≥4，解得；x,故得实数x的取值范围是．39.分析:（1）由题意利用基本不等式求得u＝xy的最大值为10．（2）由题意利用基本不等式求得+的最小值为，可得 m2+4m≤，由此求得m的范围．解：（1）∵正实数x，y满足等式2x+5y＝20≥2，∴≤10，∴xy≤10，∴u＝xy的最大值为10．（2）∵＝1，∴+＝+＝1+++≥+2＝，当且仅当＝时，等号成立，故+的最小值为．∵不等式恒成立，∴m2+4m≤，求得﹣≤m≤，即m的范围为[﹣，]．40.分析:利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出．证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号．41.分析:（1）变形利用基本不等式的性质即可得出．（2）直接利用基本不等式的性质即可得出．解：（1）∵x＞1，∴x+＝x﹣1++1≥2+1＝3，当且仅当x＝2时取等号，因此x+的最小值为3．（2）由x（10﹣x）≥0，解得0≤x≤10．∴≤＝5，当且仅当x＝5时取等号．∴的最大值是5．42.分析:设底面的长为x，宽为y，则y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3600x++5800，再利用基本不等式即可得x＝8时，f（x）的值最小，故当房屋底面的长为8m，宽为6m时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．解：如图所示，设底面的长为x，宽为，则xy＝48，∴y＝，设房屋总造价为f（x），由题意可得：f（x）＝3x•1200+3××800×2+5800＝3600x++5800≥+5800＝63400，当且仅当，即x＝8时，等号成立，故当房屋底面的长为8m，宽为6m 时，这时的房屋总造价最低，最低总造价是63400元．（2）43.分析:（1）根据几何图形的面积即可得到函数的解析式，并求出函数的定义域，即可得到答案．设正十字形的外接圆的直径为d，则，利用基本不等式可以求出d的最小值，进而求出外接圆面积的最小值．解：（1）由题意可得：，则，∵y＞x，∴，解得，∴y关于x的解析式为（0＜x＜）．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知＝，当且仅当时，不等式等号成立，所以正十字形的外接圆直径d的最小值为，则半径的最小值为．所以正十字形的外接圆面积最小值为．此时．所以当时正十字形的外接圆面积最小，最小值为．。
(高中精品)基本不等式同步练习-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
人教A 版 2021年太和一中 必修一数学2.2基本不等式同步练习一、单选题1.设x >0，y >0，且x +y =18，则xy 的最大值为( )A. 80B. 77C. 81D. 822.下列不等式一定成立的是( )A. 21≥+x xB. 22222≥++x xC.24322≥++x x D. 2432≥--x x3.已知0>t ，则tt t y 142+-=的最小值为( )A. −2B.21 C. 1 D. 24.若x >0，则29++xx 有( ) A. 最小值6B. 最小值8C. 最大值8D. 最大值35.若a <1，则11-+a a 有( ) A. 最小值为3B. 最大值为3C. 最小值为−1D. 最大值为−16.已知x >2，函数x x y +-=24的最小值是( ) A. 5B. 4C. 6D. 87.若mn >0，m +n =3，则nm 41+的最小值为( ) A. 2B. 6C. 3D. 98.已知a >0，b >0，且2a +b =ab −1，则a +2b 的最小值为( )A. 5B. 9C. 8√2D. 5+2√69.若正数a ，b 满足a +b =2，则1411+++b a 的最小值是( ) A. 1 B.49 C. 9D. 1610.已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式42≥+ymx 恒成立，则m 的取值范围是( ) A. {m|m ≥√2} B. {m|m ≥2} C. {m|0<m ≤√2}D. {m|0<m ≤2}二、单空题11.若正数a ，b 满足a +b =1，则ba 19+的最小值为 ． 12.若函数)2(21>-+=x x x y 在x =n 处取得最小值，则n = ． 13.已知实数a >0,b >0，11111=+++b a ，则a +2b 的最小值是_____． 14.已知a >0，b >0，a +b =5，则√a +1+√b +3的最大值为____. 三、解答题15. (1)已知x >0，求函数xx x y 452++=的最小值；(2)已知210<<x ，求)21(21x x y -=的最大值．16.已知45<x ，求函数54114-+-=x x y 的最大值．17.若a >0，b >0，且411abb a =+． (1)求a 2+b 2的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得a +4b =7？并说明理由．18.设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：6≥+++++cba b a c a c b ．19.已知x >0，y >0，且2x +y =4．(1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x +3y 的最小值及相应的x ，y 的值．20.选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)已知2<a −b <3，74≤+≤b a ，求b a 23-的取值范围； (2)已知a ，b 为正数，且1=+b a ，求证：411≥+ba ．参考答案一、单选题1.设x >0，y >0，且x +y =18，则xy 的最大值为( )A. 80B. 77C. 81D. 82【答案】C 【分析】本题考查了基本不等式，属于容易题．根据基本不等式计算即可．解：∵x >0，y >0，814)(2=+≤∴y x xy ，当且仅当x =y =9时取等号． 故选C ．2.下列不等式一定成立的是( )A. 21≥+x xB. 22222≥++x xC.24322≥++x x D. 2432≥--x x【答案】B【分析】本题主要考查不等式求解范围，属于基础题．根据不等式求最值和特殊值法求解即可．解：A 项中当x <0时，x +1x<0<2，∴A 错误;B 项中，2√x 2+2=√x 2+2≥√2，∴B 正确;而对于C ，当x =0时，2√x 2+4=32<2，显然选项C 不正确;D 项中，取x =1，则2−3x −4x=−5<2，∴D 错误．故选B ．3.已知0>t ，则tt t y 142+-=的最小值为( )A. −2B.21 C. 1 D. 2【答案】A【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 对原式进行化简，利用基本不等式求最值即可，注意等号取得的条件． 解：t >0，则 y =t 2−4t+1t=t +1t−4≥2√t ·1t−4=−2，当且仅当t =1t ，即t =1时，等号成立， 则y =t 2−4t+1t的最小值为−2．故选A ．4.若x >0，则29++xx 有( ) A. 最小值6B. 最小值8C. 最大值8D. 最大值3【答案】B 【分析】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．利用基本不等式求最值即可． 解：∵x >0∴x +9x +2≥2√ x ·9x +2=6+2=8，当且仅当x =9x ，即x =3时取等号，故最小值为8．故选B ． 5.若a <1，则11-+a a 有( ) A. 最小值为3B. 最大值为3C. 最小值为−1D. 最大值为−1【答案】D 【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．配凑，转化，再利用基本不等式求解即可． 解：因为a <1，所以a −1<0，1−a >0， 所以a +1a−1=a −1+1a−1+1=−(1−a +11−a)+1≤−2√(1−a)·11−a+1=−1，当且仅当1−a =11−a，即a =0时，等号成立．故答案为D ．6.已知x >2，函数x x y +-=24的最小值是( ) A. 5B. 4C. 6D. 8【答案】C【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题． 由于y =4x−2+x =4x−2+(x −2)+2，且x −2>0，利用基本不等式即可求解．解：y =4x−2+x ，因为x >2,故x −2>0， 所以根据基本不等式可知：y =4x−2+(x −2)+2≥2√4x−2×(x −2)+2=6，当且仅当4x−2=x −2即x =4时取“=”．故选C ．7.若mn >0，m +n =3，则nm 41+的最小值为( ) A. 2B. 6C. 3D. 9【答案】C【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，属于较易题目． 根据题意1m +4n =13(m +n)(1m +4n )=13(5+nm +4m n)，结合基本不等式求得最值即可．解：因为mn >0，m +n =3，所以1m +4n =13(m +n)(1m +4n )=13(5+nm +4m n)⩾13(5+2√nm ⋅4m n)=3，当且仅当nm=4m n时取等号，此时{n m=4mn,m +n =3,解得{m =1n =2即1m +4n 的最小值为3，故选C ．8.已知a >0，b >0，且2a +b =ab −1，则a +2b 的最小值为( )A. 5B. 9C. 8√2D. 5+2√6【答案】D【分析】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 解：∵a >0，b >0，且2a +b =ab −1，则b ≠2， ∴a =b+1b−2>0，∴b >2，∴a +2b =b+1b−2+2b =2(b −2)+3b−2+5 ≥5+2√2(b −2)⋅3b−2=5+2 √6， 当且仅当2(b −2)=3b−2，即b =2+√62 时取等号．∴a +2b 的最小值为5+2 √6．故选D ． 9.若正数a ，b 满足a +b =2，则1411+++b a 的最小值是( )A. 1B.49 C. 9 D. 16【答案】B【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题． 由题得a+1+b+14=1，则1a+1+4b+1=(1a+1+4b+1)·a+1+b+14=14(1+4+b+1a+1+4a+4b+1)，利用基本不等式计算即可求得最值．解：由题意，正数a ，b 满足a +b =2， ∴a+1+b+14=1，∴1a+1+4b+1=(1a+1+4b+1)·a+1+b+14=14(1+4+b+1a+1+4a+4b+1)≥14×(5+2√4)=94，当且仅当a =13，b =53时取等号， 故选B ．10.已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式42≥+ymx 恒成立，则m 的取值范围是( ) A. {m|m ≥√2} B. {m|m ≥2} C. {m|0<m ≤√2}D. {m|0<m ≤2}【答案】B【分析】本题考查了基本不等式及其应用和不等式恒成立问题，关键掌握“1”的代换，属中档题． 根据条件有2x+m y=12(x +y)(2x+m y)=12(m +2+2y x+mx y)，化简后利用基本不等式可得2x+my 的最小值，然后根据2x +m y≥4恒成立可得12(m +2+2√2m)≥4，解出m 的范围即可．解：∵m >0，xy >0，x +y =2，∴2x+m y =12(x +y)(2x+m y)=12(m +2+2y x+mx y)≥12(m +2+2√2yx ⋅mx y)=12(m +2+2√2m)，当且仅当2yx =mx y时取等号，∵不等式2x +m y≥4恒成立，∴12(m +2+2√2m)≥4，整理得(√m +3√2)(√m −√2)≥0，解得√m ≥√2，即m ≥2， ∴m 的取值范围为{m|m ⩾2}．故选：B ． 二、单空题11.若正数a ，b 满足a +b =1，则ba 19+的最小值为 ． 【答案】16【分析】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．可对式子9a +1b 乘以1，也即乘以a +b ，再使用基本不等式即可求出答案．解：∵正数a ，b 满足a +b =1， ∴9a +1b =(9a +1b )(a +b)=9+ab +9b a +1=10+a b +9b a≥10+2√a b ⋅9b a=16，当且仅当{ab =9ba a +b =1，也即当{a =34b =14时取“=”．故答案为：16．12.若函数)2(21>-+=x x x y 在x =n 处取得最小值，则n = ． 【答案】3【分析】本题考查基本不等式的性质，属于基础题． 变形利用基本不等式的性质即可得出． 解：y =x −2+1x−2+2≥4(x >2)，当且仅当x −2=1x−2，即x =3时取“=”，故n =3．故答案为3．13.已知实数a >0,b >0，11111=+++b a ，则a +2b 的最小值是_____． 【答案】2√2【分析】本题主要考查的是基本不等式及其应用的有关知识， 实数a >0，b >0，1a+1+1b+1=1，则a +2b =[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1)−3=2(b+1)a+1+a+1b+1，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵实数a >0，b >0，1a+1+1b+1=1，∴a +2b =[(a +1)+2(b +1)]−3=[(a +1)+2(b +1)](1a+1+1b+1)−3=2(b+1)a+1+a+1b+1≥2√2(b+1)a+1·a+1b+1=2√2，当且仅当a +1=√2(b +1)时，等号成立， ∴a +2b 的最小值是2√2，故答案为2√2．14.已知a >0，b >0，a +b =5，则√a +1+√b +3的最大值为____. 【答案】3√2【分析】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．由不等式(a+b 2)2⩽a 2+b 22求解即可．解：对原题进行变形，有a +b =5得到(a +1)+(b +3)=9，令x =a +1⩾1，y =b +3⩾3，于是原题等价于x +y =9，求√x +√y 的最大值， 利用不等式(a+b 2)2⩽a 2+b 22，a >0, b >0，得到(√x+√y2)2⩽x+y 2=92 ⇒ √x +√y ⩽3√2，当且仅当x =y ，即a +1=b +3=92,a =72,b =32时取等号， 故答案为3√2．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. (1)已知x >0，求函数xx x y 452++=的最小值；(2)已知210<<x ，求)21(21x x y -=的最大值． 解：(1)因为y =x 2+5x+4x=x +4x +5⩾2√4+5=9，当且仅当x =4xx.即x =2时等号成立． 故y =x 2+5x+4x(x >0)的最小值为9．(2)∵0<x <12，∴1−2x >0， ∴y =14×2x(1−2x)≤14(2x+1−2x 2)2=14×14=116，∴当且仅当2x =1−2x(0<x <12)，即x =14时，y 的最小值为116． 【解析】本题主要考查了利用基本不等式求最值的知识点，属于基础题． (1)将已知变形为y =x +4x +5，利用基本不等式，即可求出最小值．(2)将已知变形为y =14×2x(1−2x)，利用基本不等式，即可得到答案，注意取等条件．16.已知45<x ，求函数54114-+-=x x y 的最大值． 解：(1)∵x <54，∴4x −5<0，5−4x >0. ∴y =4x −1+14x−5=4x −5+14x−5+4=−[(5−4x)+15−4x]+4，∵5−4x +15−4x ⩾2√(5−4x )·15−4x =2， ∴y ≤−2+4=2，当且仅当5−4x =15−4x即x =1时取等号．∴y max =2．【解析】由y =4x −5+14x−5+4=4−(5−4x +15−4x)，利用基本不等式可求；本题主要考查了利用基本不等式求解最值，要注意和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值的应用，属于基础试题．17.若a >0，b >0，且411abb a =+． (1)求a 2+b 2的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得a +4b =7？并说明理由．解：(1)∵a >0，b >0，且1a+1b=ab 4，∴ab 4=1a+1b≥2√1ab，∴ab ≥4，当且仅当a =b =2时取等号．∵a 2+b 2≥2ab ≥8，当且仅当a =b =2时取等号，∴a 2+b 2的最小值为8． (2)∵a +4b ≥2√4ab =4√ab ，当且仅当a =4b 时，取等号． 而由(1)可知，4√ab ≥8>7，故不存在a ，b ，使得a +4b =7． 【解析】(1)∴ab 4=1a +1b ≥2√1ab 可求ab 的范围，然后结合a 2+b 2≥2ab ，即可求解；(2)由基本不等式a +4b ≥2√4ab =4√ab ，即可求解． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题． 18.设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：6≥+++++cba b a c a c b ． 解：a ，b ，c 都是正数，左边=ba +ca +cb +ab +ac +bc =(ba +ab )+(ca +ac )+(cb +bc )右边==⋅+⋅+⋅≥6222bcc b a c c a a b b a ， 当且仅当a =b =c 时，等号成立， 故原不等式成立．【解析】本题主要考查了利用基本不等式进行证明，属于基础题． 把原不等式的左边拆开，再分成三组，分别使用基本不等式即可证明． 19.已知x >0，y >0，且2x +y =4．(1)求xy 的最大值及相应的x ，y 的值； (2)求9x +3y 的最小值及相应的x ，y 的值． 解：(1)因为x >0,y >0,且2x +y =4, 所以xy =12·2x ·y ≤12·(2x+y 2)2=2，当且仅当2x =y 时，取“=”，此时再由x >0,y >0,且2x +y =4,得x =1,y =2， 因此当x =1,y =2时，xy 的最大值为2．(2)9x +3y =32x +3y ≥2√32x ·3y =2√32x+y =18， 当且仅当32x =3y 时，即2x =y 时，取“=”， 此时再由x >0,y >0,且2x +y =4,得x =1,y =2， 因此当x =1,y =2时，9x +3y 的最小值为18．【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 求解时注意基本不等式成立的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可． (1)将xy 写成xy =12·2x ·y 即可利用基本不等式求最大值；(2)因为x >0,y >0,且2x +y =4,32x >0,3y >0,所以9x +3y =32x +3y ≥2√32x ·3y =2√32x+y =18．20.选用恰当的证明方法，证明下列不等式．(1)已知2<a −b <3，74≤+≤b a ，求b a 23-的取值范围； (2)已知a ，b 为正数，且1=+b a ，求证：411≥+ba ． (1)解：)(21)(2523b a b a b a ++-=-， 因为2<a −b <3，所以215)(255<-<b a ，又4⩽a +b ⩽7，所以2⩽12(a +b)⩽72， 所以)11,7()(21)(2523∈++-=-b a b a b a ． (2)证明：因为a ，b 为正数，且a +b =1，∴1a +1b =(1a +1b )(a +b)=2+ba +ab ≥2+2√ba ⋅ab =4，当且仅当ba =ab 即a =b =12时取等号． 【解析】(1)本题考查不等式的性质，属于基础题．由3a −2b =52(a −b)+12(a +b)，再根据不等式性质得到5<52(a −b)<152，以及2⩽12(a +b)⩽72，由此即可得到答案．(2)由题意可得1a+1b=(1a+1b)(a +b)=2+ba+a b由基本不等式可得．。
高中数学必修五3.4基本不等式(同步练习)
பைடு நூலகம்14
5. 若 x, y 是正数，且
1，则 xy 有
xy
（
）
Ａ．最大值 16
Ｂ．最小值 1 16
Ｃ．最小值 16
6. 若 a, b, c∈ R，且 ab +bc+ca=1, 则下列不等式成立的是
Ｄ．最大值 1 16
（
）
A． a2 b2 c 2 2
2
B． (a b c ) 3
11 1
C．
23
ab c
D． a b c 3
元和 150 元，那么池的最 低造价为
元.
13. 若直角三角形斜边长是 1，则其内切圆半径的最大值是
.
x2 y2
xy
14. 若 x, y 为非零实数，代数式
y2
x2
8( y
) 15 的值恒为正，对吗？答 x
.
三、解答题 , 本大题共 4 小题，每小题 12 分，共 48 分，解答应写出必要的文字说明、证明
的最小 值 .
ab
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x
18. 是否存在常数 c,使得不等式
y
c
x
y 对任意正数 x, y 恒
2x y x 2y
x 2y 2x y
成立？试证明你的结论 .
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专题五《基本不等式》综合检测
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
答案 A
B
CD
CA
B
CC
C
二．填空题
11. 1 2
sin x
x，则
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Ｃ． y ex 4e x
高三复习基本不等式练习题
高三复习基本不等式练习题不等式作为高中数学中的一个重要内容，占据了复习的重要一部分。
本文将提供一些基本不等式的练习题，供高三学生复习使用。
练习题1：解不等式组：{x+2>0, x-3<0}练习题2：求解不等式：(x+1)(x-3)<0练习题3：解不等式组：{x^2 - 4>0, x-1<0}练习题4：求解不等式：x^2 - 5x + 6>0练习题5：解不等式组：{x^2-4x+3>0, x^2+6x+8>0}练习题6：求解不等式：(x-2)(x+3)(x-7)<0练习题7：解不等式组：{x^3-9x^2+20x-12>0, x^2-4x+4>0}练习题8：求解不等式：(x-2)^2(x+4)>0练习题9：解不等式组：{x^3-x^2+4x-4>0, x^2 + 3x + 2>0}练习题10：求解不等式：(x-1)^3+8>0以上是关于高三复习基本不等式的一些练习题。
希望同学们能够认真思考，按照正确的解题步骤解答。
复习不等式时，应重点掌握不等式的基本性质和解不等式的方法，如辨别二次不等式的判别式、区间法等。
在解题过程中，也要注意进行化简和因式分解，以便于对不等式进行分类讨论。
基本不等式是高中数学中一个重要的内容，对于加深对不等式的理解和掌握不等式的解法有着重要的意义。
因此，同学们要多进行基本不等式的练习，理解和掌握不等式的性质和方法，为高考做好充分准备。
希望以上的练习题能够帮助到高三的同学们，祝大家能够在高三阶段取得优异的成绩！。
《基本不等式》同步练习3(苏教版必修5)
必修5第三章《不等式》单元测试题班级姓名座号分数一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.不等式(x－1)(x－3)>0的解集为（）A.{x|x<1}B. {x|x>3}C. {x|x<1或x>3}D. {x|1<x<3}2.不等式2x+y+1<0表示的平面区域在直线2x+y+1=0（）A、右上方B、右下方C、左上方D、左下方3．设中最大的是 ( )A. B. b C. 2ab D.4．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A． B． C．2 D．5．已知的最小值是（）A. B. C. 6 D. 76．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )A、 B、C、 D、二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，将答案填在题后的横线上）1.已知集合M={x|x>6},N={x|x2－6x－27<0},则M∩N=2．若关于x的不等式>0的解集为{x|－3<x<－1或x>2}，则a=3．已知x＞2，则y＝的最小值是．4．对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）1.解下列关于x的不等式：（1）x2－5x+6>0; （2）(x+a)(x-2a+1) <02．已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。
3．某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4 m的小路（如图所示）。
问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值。
参考答案一 CDBBDB二 1.{x|6<x<9} 2.-2 3.4 4.(-2 2 )]三1.(1) { x | x >3或x <2}; (2) 当时,不等式解为Φ;当时,解集为{x|; }当时, 解集为{x| .}2.最大值3X4-1=-11最小值3X(-4)-1=-133. 解：设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为392xm,又设占地面积为y m2，依题意，得=424＋4(x＋784x)≥424＋224=648当且仅当x=784x即x=28时取“=”.答：游泳池的长为28 m宽为737m时，占地面积最小为648 m2。
基本不等式训练习题
基本不等式训练习题一、选择题1. 若a > b，则下列不等式中正确的是（）A. a b > 0B. a + b > 0C. a² > b²D. 1/a < 1/b2. 已知x > y，则下列不等式中一定成立的是（）A. x y > 0B. x² > y²C. 1/x < 1/yD. x + 1 > y + 13. 若a < b < 0，则下列不等式中正确的是（）A. a² < b²B. a b > 0C. ab > 0D. 1/a > 1/b二、填空题1. 若a > b，则a b __________ 0。
2. 已知x < y，且x, y均为正数，则1/x __________ 1/y。
3. 若a < b < 0，则a² __________ b²。
三、解答题1. 已知x > y，证明：x + 1 > y + 1。
2. 已知a > b，且a, b均为正数，证明：a² > b²。
3. 若a < b < 0，证明：ab > 0。
4. 已知x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + y² > 0。
5. 已知a, b为正数，且a > b，证明：1/a < 1/b。
四、综合题1. 已知x, y为实数，且x > y，求证：x² y² > 0。
2. 若a, b, c为实数，且a > b > c，证明：a c > b c。
3. 已知a, b为正数，且a > b，求证：a² + b² > 2ab。
4. 若x, y为实数，且x + y > 0，证明：x² + 2xy + y² > 0。
【高一数学】基本不等式同步练习卷-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
2.2基本不等式同步测试卷一、单选题1．已知1x >，则421y x x =+-的最小值为（ ）A ．B ．2C ．1D ．22．已知0x >，0y >，21x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．6B ．5C ．3+D ．3．0ab >是2b aa b +>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知a ，R b ∈，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是（ ）A ．a b +≥B ．2a bb a+≥C ．2a b +≥D ．222a b ab +>5．已知0a >，则41a a -+的最小值为（ ）A ．1-B ．3C ．4D ．56．已知x >0，y >0，且xy =10，则85x y+的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．67．若a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是（ ） A ．29B ．18C ．14D ．128．下列函数中最小值为4的是（ ）A ．14y x x =+B ．当0x >时，2251x x y x ++=+C ．当32x <时，12123y x x =-+- D ．y =二、多选题9．设a ＞0，b ＞0，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．473a a +≥- B ．22111a a +≥+ C 2≥ D ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10．已知x ，y 为正数，且1xy =，m x y =+，19n x y=+，下列选项中正确的有（ ）A ．m 的最小值为2B ．n 的最小值为6C ．mn 的最小值为16D ．m n +的最小值为511．已知正数,x y 满足2x y +=，则下列选项不正确的是（ ） A ．11x y+的最小值是2B ．xy 的最大值是2C ．22x y +的最小值是4D ．()1x y +的最大值是9412．给出下面四个推断，其中正确的为（ ）A ．若,(0,)a b ∈+∞，则2b aa b +≥B ．若4ab =，则4a b +≥C ．若0,0a b >>，则11(2)a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭最小值为D ．若0,0a b m n >>>>，则b b n b m a a n a m++<<++ 三、填空题13．对于43(0)y x x x=+>，y 取最小值时x 的值为________．14．已知正实数a ，b 满足24a b +=，则ab 的最大值是___________.15．已知正实数a ，b 满足196a b+=，则()()19a b ++的最小值是___________.16．不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 四、解答题17．（1）已知102x <<，求()12y x x =-的最大值；（2）已知3x >，求43y x x =+-的最小值． 18．（1）若实数1x >，求11x x +-的最小值，并求此时x 的值；（2）若0x <，求4x x+的最大值，并求此时x 的值.19．（1）已知0x >，0y >，且231x y +=，求xy 的最大值；（2）已知0x >，求212x x y x++=的最小值.20．（1）已知a 、b R ∈且0a >，0b >且41a b +=，求ab 的最大值；（2）已知x 、y R ∈且0x >，0y >且9x y xy +=，求x y +的最小值．21．（1）已知2x >，求42x x +-的最小值； （2）若0x >时，求161x x--的最大值.22．（1）若0,0,31,x y x y >>+=求113x y+的最小值．（2）已知01,x <<求(43)x x -的最大值及取得最大值时x 的值；2.2基本不等式同步测试卷答案1．B 【详解】因为1x >，所以10x ->，所以4422(1)22211y x x x x =+=-++≥=--，当且仅当42(1)1x x -=-，即1x =时取等号，所以421y x x =+-的最小值为2， 故选：B 2．C 【详解】因为0x >，0y >，21x y +=，则()(111)333122y x x y y y y x x x +=+=++≥+++当且仅当2y xx y =时，即x y ==时，等号成立，所以11x y+的最小值为3+故选：C. 3．B 【详解】解法一：当1a b ==时，满足10ab =>，但2b a a b +=，2b a a b +>不成立，故0ab >是2b aa b +>的不充分条件；当0ab <时02b a a b +<<，2b a a b +>不成立，当0ab =时b a a b +无意义，即2b aa b +>不成立，故0ab >是2b aa b+>的必要条件；综上，0ab >是2b aa b +>的必要不充分条件.解法二：当0ab >时，0,0b a a b >>，2b a a b +≥，当且仅当a b =时取等号， 所以0ab >是2b aa b+>的不充分条件；若2b a a b +>，则222b a b a a b ab ++=>，所以0ab >,故0ab >是2b a a b +>的必要条件； 综上，0ab >是2b aa b +>的必要不充分条件.故选：B. 4．B 【详解】对于A ，取1a =-，2b =-，则a b +≥,故选项A 错误;对于B ，因为b a 与a b 同号，所以a b a b b a b a +=+2≥=，当且仅当a b =时取等号，故选项B 正确；对于C ：取1a =-，2b =-，则2a b +C 不正确； 对于D ：取1a =，1b =，则222a b ab +=，故222a b ab +>不成立，故选项D 不正确； 故选：B. 5．B 【详解】由题意，0a >，根据均值不等式44111413a a a a -+=+-≥=-= 当且仅当4a a=，即2a =时等号成立 故选：B 6．C 【详解】因为x >0，y >0，且xy =10，所以85x y +≥， 当且仅当85=x y 即54,2x y ==时取等号，所以85x y+的最小值为4，故选：C 7．B 【详解】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b 时，ab 取最大值18. 故选：B 8．B 【详解】 对于A ，14y x x=+，如果0x <时，0y <，故A 不符合题意；对于B ，因为()()221425414111x x x y x x x x ++++===++≥=+++， 当且仅当()411x x +=+，即1x =时取等号，故B 正确； 对于C ，因为()()11212322202323y x x x x ⎡⎤=-+=---++≤-+=⎢⎥---⎣⎦， 当且仅当()()12323x x --=--，即1x =时取等号，所以其最小值为0，故C 错误；对于D ，4y ≥=无解，这表明最小值4取不到，故D 错误． 故选：B ． 9．BCD 【详解】对于A ：因为0a >，所以3a -的符号不定， 显然，当2a =时，44227323a a +=+=-≥--不成立， 即选项A 错误；对于B ：因为0a >，所以211a +>，所以222211111111a a a a +=++-≥=++成立， （因为211a +>，所以22111a a +≠+，即不能取到等号）， 即选项B 正确；对于C ：因为0a >，0b >，所以0a b +≥，2≥（当且仅当0a b =>时取等号）， 即选项C 正确；对于D ：因为0a >，0b >，所以114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，（当且仅当1a a =且1b b=，即1a b ==时取等号）， 即选项D 正确. 故选：BCD. 10．ABC 【详解】由题意，实数x ，y 为正数，且1xy =，可得1y x=，可得2m x y =+≥，当且仅当1x y ==时，等号成立，所以m 的最小值为2， 所以A 正确，由19196n x x y x =+=+≥，当且仅当19x x =，即1,33x y ==时，等号成立，所以n 的最小值为6，所以B 正确；由199()()101016y x y x mn x y x y =+=++≥+=+，当且仅当9y xx y =时，即x y 时，等号成立， 即mn 的最小值为16，所以C 正确； 由1xy =，可得1y x=，则19129110m n x x x y x x y x x x +=++=++=+≥++当且仅当x y ==m n +的最小值为D 不正确. 故选：ABC. 11．BC 【详解】因为正数,x y 满足2x y +=，由()1111111222222y x x y x y x y x y ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=⨯++=⋅++≥+= ⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝，当且仅当y xx y=时，即1x y ==时，等号成立，所以A 正确；由x y +≥2≤，即1xy ≤，当且仅当1x y ==时成立，所以B 错误； 由222()242422x y xy xy x y =+-=-≥-=+，当且仅当1x y ==时成立，所以C 错误； 由正数,x y 满足2x y +=，可得(1)3x y ++=，则()221391224x y x y ++⎛⎫⎛⎫+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1x y =+时，即31,22x y ==时，等号成立，即(1)x y +的最大值是94，所以D 正确.故选：BC. 12．AD 【详解】A.因为,(0,)a b ∈+∞，则2b a a b +=，当且仅当 b a a b =，即 a b =时，等号成立，故正确；B.若2,2a b =-=-，则4a b +=-，故错误；C. 因为0,0a b >>，则112(2)333b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b aa b=，即 a =时，等号成立，故错误； D.因为0,0a b m n >>>>，则()()()()()()0,0b a n b a n m b b n b m b n a a n a a n a m a n a m a n ---+++-=<-=>++++++，故正确. 故选：AD13 【详解】因为0x >，所以由均值不等式可得，44343y x x x x=+≥=，当且仅当43x x =时，即x =时，43y x x =+取得最小值14．2 【详解】由正实数a ，b 满足24a b +=，可得2211212222222a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⨯= ⎪⎝⎭.当且仅当22a b ==时，ab 取得最大值2. 故答案为：2 15．16 【详解】因为正实数a ，b 满足196a b+=，所以196a b =+≥1≥，也即1≥ab ， 当且仅当19=a b 时，即1,33a b ==时取等号.因为196a b+=，所以96b a ab +=，所以()()919=9797916a a b a b b b a +++≥+=+=++. 故()()19a b ++的最小值是16. 故答案为：16 16．6m >- 【详解】解：不等式2201x m x ++>-化为：22(1)21x m x -+>---， 1x >，222(1)22(1)411x x x x ∴-+⨯=--，当且仅当2x =时取等号． 不等式2201x m x ++>-对一切(1,)x ∈+∞恒成立， 24m ∴--<，解得6m >-， 故答案为：6m >-.17．（1）最大值为18；（2）最小值为7．【详解】 （1）因为102x <<，所以120x ->， 所以()()()()2212111122122228x x y x x x x +-⎡⎤=-=⋅⋅-=⎢⎥⎣⎦≤．当且仅当212x x =-即14x =时等号成立， 所以()12y x x =-的最大值为18．（2）因为3x >，所以30x ->，403x >-， 所以()443333y x x x x =+=+-+--37=≥． 当且仅当4333x x x ⎧=-⎪-⎨⎪>⎩即5x =时等号成立，所以43y x x =+-的最小值为7． 18．(1)11x x +-的最小值是3，此时2x =；(2)4x x +的最大值是-4，此时2x =-.【详解】(1)因实数1x >，则11(1)11311x x x x +=-++≥=--，当且仅当111x x -=-时取“=”， 由1x >且111x x -=-解得：2x =， 所以11x x +-的最小值是3，此时2x =； (2)因0x <，则()444x x x x ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，当且仅当4x x -=-时取“=”，由0x <且4x x-=-解得：2x =-， 所以4x x+的最大值是-4，此时2x =-. 19．（1）124；（2）32. 【详解】（1）21123111236626424x y xy x y +⎛⎫=⋅⋅≤⋅=⨯=⎪⎝⎭， 当且仅当1232x y ==时等号成立.（2）211113112222x x y x x x ⎛⎫++⎛⎫==++≥= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当1,1x x x==时等号成立. 20．（1）116；（2）16. 【详解】（1）因为a 、b R ∈且0a >，0b >，由基本不等式可得14a b =+≥= 所以，116ab ≤，当且仅当4b a =时，等号成立， 因此，ab 的最大值为116； （2）因为x 、y R ∈且0x >，0y >且9x y xy +=，则9191y x xy x y +=+=，所以，()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭， 当且仅当3y x =时，等号成立，故x y +的最小值为16. 21．（1）42x x +-的最小值为6；（2）161x x --的最大值为7-. 【详解】（1）由2x >，得20x ->，所以44222622x x x x +=-++≥=--， 当且仅当422x x -=-，即4x =时，等号成立，所以42x x +-的最小值为6；（2）由0x >，得16161117x x x x ⎛⎫--=-+≤-- ⎪⎝⎭，当且仅当16x x =，即4x =时等号成立，所以161x x--的最大值为7-. 22．（1）4；（2）最大值为43，此时23x =. 【详解】解：（1）因为0,0,31,x y x y >>+=所以()111134332+33x y x x y x y x y y +=⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当33y x x y =，即1126x y ==，时，取等号，所以113x y+的最小值为4； （2）因为01,x <<所以213+(43)4(43)323x x x x -⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号，所以(43)x x -的最大值为43，此时23x =.。
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《基本不等式》同步测试
一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）
A ．21a a +>
B ．
2111
a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +> 2. 若0a
b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ） Ａ．12 Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a
3. 设x >0,则133y x x
=--的最大值为 （ ）
Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－1
4. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )
A. 10
B.
C.
D. 5. 若x , y 是正数，且141x y
+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值
116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值116
6. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ） A ．2222a b c ++≥ B ．2()3a b c ++≥
C ．1
1
1
a b c ++≥ D ．a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A ．114x y ≤+
B ．111x y
+≥ C 2 D ．11xy ≥
8. a ,b 是正数，则
2,2a b ab a b ++三个数的大小顺序是 （ ）
Ａ．
22a b ab a b +≤+ 22a b ab a b +≤+
Ｃ．22ab a b a b +≤+ Ｄ．22
ab a b a b +≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ） Ａ．2p q x +=
Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2
p q x +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x
=+ Ｂ．4sin sin y x x =+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．
3log 4log 3x y x =+
二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.
11. 函数y =的最大值为 .
1２. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是
三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明
过程和演算步骤.
1３. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c
---≥
1４. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.
1５. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab
+的最小值.
专题五《基本不等式》综合检测
一、选择题
二．填空题
11. 1
2 12.3600
13. 14.对 三、解答题
15 16. 略
17. (1)10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ (2)174
18．存在，23c =。