河北省石家庄市第一中学2011届高三补充试题 数学理 Word版含答案
2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含答案
绝密 ★ 启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至4页。
考试结束后，讲本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1、 答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2、 每小题选出答案后，用2B 铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂 其他答案标号。
3、 第I 卷红12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、 选择题（1）复数z =1+i ，z 为z 的共复数，则z z -z -1=（A ）-2i （B ）-I （C ）I （D ）2i（2） 函数)0(2y ≥=x x 的反函数为（A ）)(42R x x y ∈= （B ）)0(42≥=x x y （C ）)(42R x x y ∈= （D ）)0(42≥=x x y （3）下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是（A ）1+>b a （B ）1->b a（C ）22b a > （D ）33b a >（4）设πS 为等差数列}{πa 的前n 项和，若11=a ，公差2=d ，242=-+k k S S ，则k =（A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5（5）设函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将)(x f y =的图像向右平移3π个单位长度后 ，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）31 （B ）3 （C ）6 （D ）9(6)已知直二面角，点βια--，ι⊥AC ，C 为垂足，β∈B ，ι⊥BD ，D 为垂足，若2=AB ，1==BD AC ，则D 到平面ABC 的距离等于（）(A) 32 (B) 33 (C) 36(D) 1(7) 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）(A)4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种（8）曲线12+=-x e y 在点（0，2）处的切线与直线0=y 和x y =围成的三角形的面积为 （A ）31 （B ）21 （C ）32（D ）1（9）设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)=2x(1-x),则（A ） （B ） （C ） （D ）（10）已知抛物线C ：的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交与A ，B 两点，则cos ∠AFB=（A ） （B ） （C ） （D ）（11）已知平面截一球面得圆M ，过圆心M 且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面得半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（A ）7π （B ）9π （C ）11π （D ）13π（12）设向量a ，b ，c 满足|a|=|b|=1，a b=，<a-c,b-c>=,则|c|的最大值等于 （A ）2 （B ）（C ） （D ）1第II 卷注意事项：1． 答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号，姓名和科目。
河北省石家庄市高三数学二模考试 理
2011年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试试卷数 学(理科)说明：1．本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率 是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 P n (k)=C kn p k (1-p)kn - (k=0，l ，2，…，n)球的表面积公式S=4πR 2其中R 表示球的半径 球的体积公式V=34πR 3其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的．1．设集合A {1,2,3,5,7},B {Z |16},x x ==∈<≤全集,U A B =则U C =A BA ．{1，4，6，7}B ．{2，3，7}C ．{1， 7}D ．{1}2．2121lim 11x x x →--（-）=A ．-1B ．12-C ．12D ．13．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若27915,a a a ++=则11S 的值为 A ．552B ．50C ．55D ．110 4．将函数sin()y x ϕ=+的图象F 向左平移6π个单位长度后得到图象F '，若F '的一个对称中心为（4π，0），则ϕ的一个可能取值是 A ．12π B ．6πC ．56πD ．712π5．设m 、n 是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．,,m n m n αβαβ⊥⊂⊥⇒⊥ B ．//,,//m n m n αβαβ⊥⇒⊥C ．,,//m n m n αβαβ⊥⊥⇒⊥D ．,,m n m n αβαββ⊥=⊥⇒⊥6．在6(2)x -展开式中，不含．．3x 项的所有列的系数和为A ．-1B ．2C ．1D ． 07．设{(,)|()()0},D x y x y x y =-+≤记“平面区域D 夹在直线1y =与([1,1])y t t =∈-之间的部分的面积”为S ，则函数()S f t =的图象的大致形状为8．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”： ||||sin ,m n m n θ*=⋅其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a b c 、、，下列结论正确的是 A ．若,a b a c *=*则b c = B ．()a b a b *=-* C ．()()a b c a b c *=* D ．()a b c a c b c +*=*+*9．将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为A ．80B ．120C ．140D ． 5010．若函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(2)f x -，且当1x ≠时其导函数()f x '满足()(),xf x f x ''>若12,a <<则A ．2(2)(2)(log )a f f f a <<B ．2(2)(log )(2)af f a f << C ．2(log )(2)(2)a f a f f << D ．2(log )(2)(2)af a f f <<11．直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆22(1)1x y +-=从左到右的交点依次为,A B C D 、、、则||||AB CD 的值为 A ．16 B ．116 C ．4 D ．1412．两球1O 和2O 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为A．(6π- B．(8π- C．(6π+ D．(8π+二、填空题：本大题共4小题，每小题5分；共20分． 13. 已知tan()2,12πα-=则tan()3πα+的值为 ． 14．若函数()f x =2log (42)x +，则不等式11()2f x -≤的解集为 ．15．以等腰直角∆ABC 的两个顶点为焦点，且经过第三个顶点的双曲线的离心率为 ．16．已知数列}{n a 满足11,()22,()n n n n n a a a a n a +⎧⎪=⎨⎪-⎩为偶数为奇数，若31,a =则1a 的所有可能的取值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分l0分) 已知函数2()cos()cos (R)3f x x m x m π=--∈的图象经过点3(0,).2P - (I)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ) ∆ABC 内角A B C 、、的对边长分别为a b c 、、，若()1,2f B b c =-==且,a b >试判断∆ABC 的形状，并说明理由．18．(本小题满分12分)小白鼠被注射某种药物后，只会表现为以下三种．．症状中的一种：兴奋、无变化（药物没有发生作用）、迟钝．若出现三种症状的概率依次为111,236、、现对三只小白鼠注射这种药物．（I ）求这三只小白鼠表现症状互不相同的概率；（II ）用ξ表示三只小白鼠共表现症状的种数．．，求ξ的颁布列及数学期望．19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==7SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上．（I ）当3SE ED =时，求证SD ⊥平面;AEC（II ）当二面角S AC E --的大小为30时，求直线AE 与平面CDE 所成角的大小．20．(本小题满分l2分)已知函数2()(21)(R xf x ax x e a -=-+⋅∈，e 为自然对数的底数). (I) 当时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ) 若函数()f x 在[-1，1]上单调递减，求a 的取值范围．21．(本小题满分l2分)已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ∆面积的最大值．22．(本小题满分l2分) 已知数列}{n a 满足，11,2a =11113()11n n n n n n a a a a a a ++++--=++，且10n n a a +⋅<．（∈n N *）（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）若}{n b =221,n n a a +-试问数列}{n b 中是否存在三项能按某种顺序构成等差数列？ 若存在，求出满足条件的等差数列，若不存在；说明理由.2010-2011年度石家庄市第二次模拟考试理科数学答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. （A 卷答案）:1-5 CBCDB 6-10 DCBAC 11-12 BA （B 卷答案）:1-5 BCBDC 6-10 DCCAB 11-12 CA二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分 13．1314. {|12}x x <≤1 16. 4,7,10 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分) 解：（Ⅰ）∵()13022f m =--=-，∴1m =．…………………2分 ∴()2π3πcos cos cos 3223f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故函数()f x 的最小正周期为2π．…………………………5分（Ⅱ）解法一：()π3f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．……………………7分 由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，∴2132a a =+-⨯，即2320a a -+=， 故1a =（不合题意，舍）或2a =．……………………………9分又222134b c a +=+==，所以∆ABC 为直角三角形.………………………10分 解法二：()π3f B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴π1sin 32B ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭． ∵0πB <<，∴ππ2π333B -<-<，∴ππ36B -=-，即π6B =．……………………7分由正弦定理得：1πsin sin sin 6a A C==，∴sin 2C =， ∵0πC <<，∴π3C =或2π3． 当π3C =时，π2A =；当2π3C =时，π6A =．（不合题意，舍）……………………9分所以∆ABC 为直角三角形.…………………10分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）用(12,3)i A i =，表示第一只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(12,3)i B i =，表示第二只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝， 用(12,3)i C i =，表示第三只小白鼠注射药物后表现症状为兴奋、无变化、及迟钝. 三只小白鼠反应互不相同的概率为33123()P A P A B C = …………………3分111162366=⨯⨯⨯= ………………………5分（Ⅱ）ξ可能的取值为321，，.3331112223331111(1)()2366P P A B C A B C A B C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,61)3(==ξP ，………………………………………8分 3261611)3()1(1)2(=--==-=-==ξξξP P P ．或2311211322122333133222232222(2)()1111(2326111111112)363262633P C P A B C A B C A B C A B C A B C A B C C ξ==⋅+++++⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.……………………10分所以，ξ的分布列是ξ 1 2 3P61 32 61所以，2213322611=⨯+⨯+⨯=ξE ．…………12分 19．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）在平行四边形ABCD 中，由1AD =，2CD =，120BAD ∠=︒，易知CA AD ⊥，…………………2分又SA ⊥平面ABCD ，所以CA ⊥平面SAD , ∴SD AC ⊥，在直角三角形SAB 中，易得3SA =，在直角三角形SAD 中，60=∠ADE ，2SD =， 又3SE ED =，∴21=DE ， 可得2202cos60AE AD DE AD DE =+-⋅1113124222=+-⨯⨯=. ∴SD AE ⊥，……………………5分又∵A AE AC = ，∴SD ⊥平面AEC ．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知,CA SA ⊥,CA AE ⊥， 可知EAS ∠为二面角E AC S --的平面角，30EAS ∠=，此时E 为SD 的中点. ……………8分过A 作AF CD ⊥,连结SF ,则平面SAF ⊥平面SCD , 作AG SF ⊥,则AG ⊥平面SCD ,连结EG , 可得AEG ∠为直线AE 与平面SCD 所成的角． 因为32AF =,3SA =, 所以33152515AG ⨯==.……………10分 在Rt AGE ∆中，15tan 5AG AEG AE ∠==， 直线AE 与平面CDE 所成角的大小为15arcsin5.……………………12分 解法二：依题意易知CA AD ⊥，SA ⊥平面ACD ．以A 为坐标原点，AC 、AD 、SA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则易得()()()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,0,0,3A CD S ，（Ⅰ）由:3SE ED =有330,,44E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，……………3分 易得SD AC SD AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而SD ⊥平面ACE ．……………………6分(Ⅱ)由AC ⊥平面SAD ，二面角E AC S--的平面角30EAS ∠=︒.又30ASD ∠=︒，则 E 为SD 的中点，即 130,,2E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,………………8分 设平面SCD 的法向量为(),,x y z =n则30,30.DC x y SD y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，令1z =,得()1,3,1=n ，…………10分从而011cos,||||AEAEAE⋅++⋅<>===nnn，所以AE与平面SCD所成角大小为arcsin．………………12分20. (本小题满分12分)解：（I）当1=a时，xexxxf-⋅+-=)12()(2，xxx exxexxexxf---⋅---=⋅+--⋅-=')3)(1()12()22()(2………………2分当x变化时，)(xf，)(xf'的变化情况如下表：所以，当1=a时，函数)(xf的极小值为0)1(=f，极大值为34)3(-=ef.……………5分（II）]322[)12()22()(22+---=⋅+--⋅-='---xaxaxeexaxeaxxf xxx令3)1(2)(2++-=xaaxxg①若0=a，则32)(+-=xxg，在)11(，-内，0)(>xg，即0)(<'xf，函数)(xf在区间]11[，-上单调递减.………………7分②若0>a，则3)1(2)(2++-=xaaxxg，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为11>+=aax，当且仅当0)1(≥g，即10≤<a时，在)11(，-内0)(>xg，0)(<'xf，函数)(xf在区间]11[，-上单调递减.………………9分③若0<a，则3)1(2)(2++-=xaaxxg，其图象是开口向下的抛物线，当且仅当⎩⎨⎧≥≥-)1()1(gg，即035<≤-a时，在)11(，-内0)(>xg，0)(<'xf，函数)(xf在区间]11[，-上单调递减.………………………11分综上所述，函数)(x f 在区间]11[，-上单调递减时，a 的取值范围是135≤≤-a ．……………12分21. (本小题满分12分)解：（I ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2212491a a b =⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得216a =，212b =. 所以椭圆的方程为2211612x y +=.…………………3分 设直线AB 的方程为y kx t =+(依题意可知直线的斜率存在)，设1122(,),(,)A x y B x y ，则由2211612x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2223484480k xktx t +++-=,由∆>，得221216b k <+，122212283444834kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，设()00,T x y 002243,3434kt tx y k k =-=++,易知00x ≠，由OT 与OP 斜率相等可得0032y x =，即12k =-， 所以椭圆的方程为2211612x y +=，直线AB 的斜率为12-.……………………6分 （II ）设直线AB 的方程为12y x t =-+，即220x y t +-=， 由2212 1.1612y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得22120x tx t -+-=， 224(12)0t t ∆=-->，44t -<<.………………8分12212,12.x x t x x t +=⎧⎨⋅=-⎩.||AB === 点P 到直线AB的距离为d =.于是PAB ∆的面积为122PAB S ∆=⋅=……………………10分 设3()(4)(123)f t t t =-+，2'()12(4)(2)f t t t =--+，其中44t -<<.在区间(2,4)-内，'()0f t <，()f t 是减函数；在区间(4,2)--内，'()0f t >，()f t 是增函数.所以()f t 的最大值为4(2)6f -=.于是PAB S ∆的最大值为18.…………………12分22. (本小题满分12分)解：（I ）由211=a ，01<⋅+n n a a 知， 当n 为偶数时，0<n a ；当n 为奇数时，0>n a ；……………2分 由nn n n n n a a a a a a +-=+-++++111111)(3，得212211)(3++-=-n n n a a a ，即134221=-+n n a a ， 所以)1(3)1(4221-=-+n n a a ，即数列}1{2-n a 是以43121-=-a 为首项，43为公比的等比数列 所以，n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--434343112，n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4312， 故n n n a ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-431)1(1（∈n N *）…………………5分 （II ）由（I ）知221n n n a a b -=+nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+43414314311， 则对于任意的N n *∈,1n n b b +>.………………7分假设数列}{n b 中存在三项t s r b b b ，，（t s r <<）成等差数列，则t s r b b b >>，即只能有t r s b b b +=2成立， 所以t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅4341434143412，t r s ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅4343432………………9分 所以，t r t r s t s 343432+⋅=⋅⋅--，因为t s r <<，所以00>->-r t s t ，，所以s t s -⋅⋅432是偶数，t r t r 343+⋅-是奇数，而偶数与奇数不可能相等， 因此数列}{n b 中任意三项不可能成等差数列． (12)。
2011年高考真题（河北省）——理科数学（河北省） Word版含解析
2011年高考全国卷I 理科数学试题详细解析（1）复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= （A ）2i - （B ）i - （C ）i（D ）2i【思路点拨】先求出的z 共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。
【精讲精析】选B .1,1(1)(1)(1)1z i zz z i i i i =---=+----=-.（2）函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈（D ）24(0)y x x =≥【思路点拨】先反解用y 表示x,注意要求出y 的取值范围，它是反函数的定义域。
【精讲精析】选B .在函数0)y x =≥中，0y ≥且反解x 得24y x =，所以0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.（3）下面四个条件中，使a b ＞成立的充分而不必要的条件是 （A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b ，而由a>b 推不出选项的选项.【精讲精析】选A .即寻找命题P 使P ,a b a b ⇒>>推不出P ，逐项验证可选A 。
（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
2011-2012年度石家庄高三复习质量检测一数学理科答案
2011-2012年度高三复习质量检测一数学（理科答案）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1-5 CCBDD 6-10 CABBB 11-12 AA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．14． 0.254 15． 18 16．3π三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）依题意1146,65618.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩……………………2分 解得12,2.a d =-⎧⎨=⎩ 42-=n a n .………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知423-=n n b ，+19n nb b =，所以数列{}n b 是首项为91，公比为9的等比数列，……………7分 1(19)19(91)1972n n -=-- 数列{}n b 的前n 项的和1(91)72n -.………………10分 18. (本小题满分12分)解：（Ⅰ）在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 161021610cos AB AC BC AC BC C C =+-⋅=+-⋅⋅ ①在ABD ∆中，由余弦定理及C D ∠=∠整理得2222222cos 1414214cos AB AD BD AD BD D C =+-⋅=+-⋅ ②………2分由①②得：222221414214cos 161021610cos C C +-⋅=+-⋅⋅整理可得 1cos 2C =，……………4分 又C ∠为三角形的内角，所以60C = ,又C D ∠=∠,AD BD =,所以ABD ∆是等边三角形，故14AB =，即A 、B 两点的距离为14.……………6分（Ⅱ）小李的设计符合要求.理由如下：1sin 2ABD S AD BD D ∆=⋅ 1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅ 因为AD BD ⋅>AC BC ⋅…………10分 所以ABD ABC S S ∆∆>由已知建造费用与用地面积成正比，故选择ABC ∆建造环境标志费用较低。
2011年石家庄市质量检测(二)数学答案
2011年石家庄市高中毕业班复习数学质量检测（二）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1～5 ABACD 6～10 BCBAA 11～12BC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13． 160- 14． 2 15． 31- 16 ．223三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(本小题满分10分)解：（Ⅰ）()22cos 23sin cos 3f x x x x ωωω=++cos23sin 24x x ωω=++2sin 246x ωπ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. ∵()f x 的最小正周期为π， 0ω>,∴22ωπ=π，则1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin 246f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 222262k x k πππ-+π≤+≤+π，k ∈Z 得36k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z 222262k x k ππ3π+π≤+≤+π,k ∈Z 得63k x k π2π+π≤≤+π,k ∈Z ∴函数()f x 的单调增区间为[36k k ππ-+π,+π]，k ∈Z ;单调减区间为[63k k π2π+π,+π],k ∈Z . 18．(本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意可知总的基本事件数为3464=，三人注射的疫苗批号互不相同的基本事件数为3443224A =⨯⨯=， 所以所求概率为243648p ==. （Ⅱ）由题意知三个人中没有一个人选疫苗批号为1的概率为33327464=，三人中至少有一人选择疫苗批号为1的概率为333371464-=. 19． (本小题满分12分)解：（Ⅰ）)1(3)(2++-='a ax x x f ，由于)(x f 在1=x 处取得极值， 所以0)1(='f ，即022=-a ， 1=a ，经检验1=a 时函数)(x f 在1=x 处取得极值，故 1.a =（Ⅱ）不等式12)2()(2++--<'a x a ax x f 对任意)0(∞+∈，a 恒成立， 即)1(32++-a ax x 12)2(2++--<a x a ax 也就是x x x a 2)1(22->+. 当1-=x 时，320)1(22=-=+x x x a ，，显然上述不等式不成立；当1-≠x 时，0)1(2>+x ，所以22)1(2+->x x x a 对任意)0(∞+∈，a 恒成立， 所以022≤-x x 即20≤≤x ，故实数x 的取值范围]20[，. 20．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当1n =时，11122S a a =-=，∴ 12a =．当2n ≥时，1122n n S a --=-，①，22n n S a =-，②；②－①得：1122n n n n n S S a a a ---=-=，∴ 12n n a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列，∴ 1222n n n a -=⋅=,*N n ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）知：22log 121n n b a n =-=-，∴ 212n n n b n a -=． 1211323212222n n n n n T ---=++++L ……③， 231113232122222n n n n n T +--=++++L ……④， ③－④得：23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭L111112132311222242n n n n n --+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． ∴ ()13232n n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭．21. 解：（Ⅰ）过E 作//EF CD 交PD 于F ,由//,//EF CD CD AB 可知//EF ABF E B A ,,,∴四点共面，又因为ABE PD 面⊥∴AF PD ⊥,∵AD PA =∴在Rt PAD ∆中，的中点为PD F ,∴可得E 为PC 的中点．（Ⅱ）连结,//,ABE EN PD EN EN 面⊥∴连结ME MN ,，则EMN ∠为直线MN 与平面ABE 所成的角．在MEN Rt ∆中，sin ,EN EMN MN∠= ∴MN 最小时，EMN ∠最大，此时AB MN ⊥． 所以M 为AB 中点，则AM ND EF ==////．.为平行四边形AMEF ∴由,AF PD CD AF ⊥⊥， 可知,AF PCD ME PCD ⊥⊥面面的平面角为二面角N ME C CEN --∠∴设,PA AD a ==122tan 222a CN Rt CEN CEN EN a ∆∠===在中，，22arctan 所求二面角的大小为∴. 法二（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系,不妨设1PA =,则(0,0,1),(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),P A B C (0,1,0),D (1,1,1)PC =- ，(0,1,1)PD =- .设),,(λλλλ-==PC PE , )1,,(),,()1,0,0(λλλλλλ-=-+=+=PE AP AE ，因为PD ABE ⊥ 面 , 0PD AE ⋅= ，10λλ+-=，即12λ=,中点为PC E ∴. （Ⅱ）设(,0,0)M t =，1(,1,0)2N ,1(,1,0),2MN t =- 由（Ⅰ）知面ABE 的法向量为)1,1,0(-=PD ，设MN 与面ABE 所成角为θ,sin |cos ,|MN PD θ=<> 22121()2t =+- 当t =21时，θsin 最大，此时M 为AB 中点, 平面NEM 的法向量为1(1,0,0)=-n 设平面CEM 的法向量为2(,,)x y z =n2200EC MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 而 1111(,,)(,1,0),2222EC MC =-= 1()0,210.2x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令121y x y ==-=-则.21226(2,1,1)cos ,36∴=--<>==n n n ， 36arccos所求二面角为∴. 22．(本小题满分12分)解：（Ⅰ）由动点P 到定点A (0,1)的距离比到定直线1:2l y =-的距离小1知P 到定点A (0,1)的距离等于到直线1y =-的距离，由抛物线定义知动点P的轨迹方程为24x y =.（Ⅱ） 由题意知2x y '= 设1122(,),(,)M x y N x y ,0(,1)Q x -,则切线MQ ：111()2x y y x x -=-, 切线NQ ：222()2x y y x x -=-，又MQ ，NQ 交于0(,1)Q x -,故11011()2x y x x --=-，22021()2x y x x --=-,可得直线MN :01()2x y x x --=-,又24x y =，可得20240x x x --=.易知12,x x 为方程20240x x x --=的两个解, 由韦达定理可知1202x x x +=，所以,,M Q N 三点的横坐标成等差数列.。
河北省石家庄市高中数学毕业班补充题、压轴题试题新人教A版
河北省石家庄市2012届高中毕业班补充题、压轴题数学(文、理)选择题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 【文理】已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =(D)A.{}1,3B.{}3,7,9C.{}3,5,9D.{}3,9 2. 【文科】如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=(C )A.14B.21C.28D.352. 【理科】已知{}n a 为等比数列，S n 是其前n 项和，若2312a a a ⋅=， 且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =(C) A ．35 B.33 C.31 D.29 3. 【文理】设向量(1,0)a =，11(,)22b =,则下列结论中正确的是(D)A. =a bB.2⋅a b = C. a//b D. a -b 与b 垂直4．【文理】将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（B ）A.12种B.18种C.36种D.54种5. 【理科】如图为一个几何体的三视图， 尺寸如图所示,则该几何体的体积为（C ）A.π6B.4πC. π6D.4π36.【理科】 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上一点，O 为坐标原点，满足2PO b =，212PF PF a ⋅=，则其离心率为(A )D. 536. 【文科】设ω>0,函数y=sin(ωx +3π)+2的图象向右平移34π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（C ）A.23B.43C.32D.37【文理】下列命题错误的．．．是 （B ） A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232≠+-x x ”;B ．若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题;C ．命题p ：存在0x ∈R ,使得01020<++x x ，则p ⌝：任意0x ∈R ,都有012≥++x x ; D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件.8.【文理】 执行右面的程序框图，如果输入30,72==n m ， 则输出的n 是(B)A. 12B. 6C. 3D. 09．【文理】设不等式组x 1x-2y+30y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( B ) A ．285B ．4C ． 125D ．210. 【文理】四面体ABCD 的棱长均为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB 、BC 、CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB 、DBC 、DCA 的距离之和为y ，则22y x +的值为( D )A ． 1B .26C . 35D . 121710. 【文理】若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC (C) A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形.D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 11. 【理科】已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米,地面上的动点P 到两旗杆顶点的仰角相等,则点P 的轨迹是( B )A.椭圆B.圆C.双曲线D.抛物线 12. 【文理】 设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a2，3a >2c >2b ，则函数f (x )在区间(0,2)内（ A ）A ．至少有一个零点；B. 当0>b 时有一个零点 C.当0<a 时有一个零点D. 不确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【文理】若(2i i=i(a b a,b -+∈R)）,其中i 为虚数单位，则=+b a 3 . 14. 【文理】某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为1515．【理科】.圆心在抛物线22x y =上，与直线2230x y ++=相切的面积最小的圆的方程为()2211122x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<=4,62140|,log |)(2x x x x x f ，若方程0)(=+k x f 有三个不同的解c b a ,,，且c b a <<，则c ab +的取值范围是___________(9,13)三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.数列【理科】数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*2,N n n S a n +=∈. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设121lg lg n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .解：(Ⅰ)111,2n S a =+=，11a ∴=,112,0,n n n n n S a S a --≥+--=12n n a a -∴=，112n n a a -=，数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列.所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.(Ⅱ) ()()122111111lg 2111lg lg lg 1222n nn b n n n n +⎛⎫===-⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()211111112231lg 2n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()211lg 2nn =⋅+. 17.数列【文科】已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ， 因为366,0a a =-=，所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩ ， 解得110,2a d =-=.所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为2123124,8,b a a a b =++=-=- 所以824q -=- ， 即q =3，所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q -==--.17.三角【文理】在某海湾为我国商船护航的甲、乙两驱逐舰分别在海面上A ，B 两点处正常巡航，甲舰位于乙舰北偏西25°方向的A 处.两舰先后接到在同一海域上一艘商船丙的求救信号，商船丙在乙舰北偏东035方向距甲驱逐舰62海里的C 处，两舰协商后由乙舰沿BC 航线前去救援，甲舰仍在原地执行任务.乙舰航行30海里后到达D 处，此时,A D 相距42海里，问乙舰还要航行多少海里才能到达C 处实施营救？ 解：设BAD α∠=, 在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDABD α=∠,ADC04230sin 60sin α∴=,sin α=60α<， 11cos 14α∴=, cos cos()3ADC απ∴∠=+17=-.在ADC ∆中，设CD x =,由余弦定理得2222222cos 16242242()7AC AD CD AD CD ADCx x =+-⋅∠=+-⨯⋅- 21220800x x ∴+-=,解得52x =-（舍），40x =.答：乙舰还要航行40海里才能到达C 处实施营救.18.【理科】已知棱柱ABCD A B C D ''''-,底面ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=，对角线AC 、BD 交于点O ，A O ABCD '⊥平面.（Ⅰ）证明：不论侧棱AA '的长度为何值，总有AA C C BB D D ''''⊥平面平面; （Ⅱ）当二面角B DD C '--为45时，求侧棱AA '的长度. 解：（Ⅰ）法一：因为ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又A O ABCD '⊥平面，BD ABCD ⊂平面， 所以A O BD '⊥，A OAC O '=，BD AA C C ''⊥平面，BD BB D D ''⊂平面,所以AA C C BB D D ''''⊥平面平面，故不论侧棱AA '的长度为何值，总有AA C C''⊥平面法二：由已知可证,,OA OB OA OA OA OB ''⊥⊥⊥, 分别以,,OA OB OA '为,,x y z 轴建立空间直角坐标系AO xyz -.由已知得A ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,0,,02a D ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 设OA h '=，则()0,0,A h '.显然，AA C C ''平面的一个法向量为()0,1,0=m 设BB D D ''平面的法向量为()111,,x y z =n ，()0,,0DB a =，,0,2BB AA h ⎛⎫''==- ⎪ ⎪⎝⎭，00DB BB ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩n n ，即11100ay x hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1111,0,x y z ===, 1,0,2h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n0⋅=m n ，故不论侧棱AA '的长度为何值，总有AA C C BB D D ''''⊥平面平面. （Ⅱ）设CDD C ''平面的法向量为()222,,x y z =p ，,,022a DC AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,2DD AA h ⎛⎫''==- ⎪ ⎪⎝⎭0,0.DC DD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩p p22220,220.ax y x hy ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取2221,x y z ===⎛= ⎝⎭p, cos ,==n m 又二面角B DD C '--为45，所以cos ,=n m22223342144a a h h ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 2238a h = ,此时4AA '===，故4AA '=. 18．【文科】如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ；(Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.解:(Ⅰ)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,又∵AD ⊄平面PAD ,E F ⊄平面PAD , ∴EF ∥平面PAD .(Ⅱ)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G , 则EG ⊥平面ABCD ,且EG =12PA .在△PAB 中，AD =AB ,∠PAB °,BP =2,∴AP =AB EG =2.∴S △ABC =12AB ·BC =12∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =132=13. 另解：22131⨯⨯==--ABE C ABC E V V 31=19.【理科】某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为128、、、…，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：1X5 6 7 8 P0.4ab0.1且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3 5 3 3 8 5 5 6 34 6 3 4 75 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 56 7用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望. （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由． 注：（1）产品的“性价比”=产品的零售价期望产品的等级系数的数学；（2）“性价比”大的产品更具可购买性. 解:（Ⅰ）因为16EX =，所以 50.46780.16a b ⨯+++⨯=，即67 3.2a b +=， 又0.40.11a b +++=，所以0.5a b +=，解方程组67 3.2,0.5a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.3a =，0.2b =.（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：2X3 45 6 7 8 f0.3 0.2 0.2 0.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布列如下表：2X3 4 5 6 7 8 P0.30.20.20.10.10.1所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为616=， 甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为4.81.214=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性． 19．【文科】有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1，2，3，5.同时投掷这两枚玩具一次，记m 为两个朝下的面上的数字之和. （Ⅰ）求事件“m 不小于6”的概率；（Ⅱ）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率是不是相等？证明你作出的结论.解：因玩具是均匀的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出现的可能情况有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16种（Ⅰ）事件“m 不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2）， （5，3），（5，8）共8个基本事件 所以P(m ≥6)=21168= , （Ⅱ）“m 为奇数”的概率和“m 为偶数”的概率不相等. 因为m 为奇数的概率为83162162162)7()5()3(=++==+=+=m P m P m P , M 为偶数的概率为85831=-,这两个概率值不相等. 20.【理科】设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，若212cos 1d d θ=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点B 作直线l 交轨迹C 于M N ，两点，交直线4x =于点E ，求||||E M E N 的最小值．解：（Ⅰ）在PAB ∆中 由余弦定理得2221212||2cos2AB d d d d θ=+-，因为||2AB =， 221212121212cos2(2cos 1)2cos 2d d d d d d d d d d θθθ=-=-=-，所以12||2d d AB +=>=，所以点P 的轨迹C 是以A 、B 为焦点的椭圆，其方程为2212x y +=. （Ⅱ）易知直线l 的斜率存在，设其方程为(1)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y ,由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=， ∆=)22)(21(416224-+-k k k2880k =+>，所以21224,12k x x k +=+ 21222212k x x k -=+. 1||)EM x ==-，2||)EN x ==-，||||EM EN 212(1)(4)(4)k x x =+--21212(1)[164()]k x x x x =+-++222221622(1)[16]1212k k k k k-=+-+++2221418(1)12k k k +=++=2252329212k k+++ 22592(12)7212k k=++++, 令2121k t +=≥，则||||EM EN 15(9)72t t=++在[1,)+∞单调递增， 所以||||EM EN 1(95)7142≥++=, 1t =时取得最小值，此时0k =,所以||||EM EN 的最小值为14.20.【文科】设动点P 到点(10)A -，和(10)B ，的距离分别为1d 和2d ，2APB θ∠=，若212cos 1d d θ=．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点B 作直线l 交轨迹C 于M N ，两点，若(4,0)E ，求EM EN 的取值范围.解：（Ⅰ）在PAB ∆中 由余弦定理得2221212||2cos2AB d d d d θ=+-，因为||2AB =， 221212121212cos2(2cos 1)2cos 2d d d d d d d d d d θθθ=-=-=-, 所以12||2d d AB +=>=，点P 的轨迹C 是以A 、B 为焦点的椭圆，其方程为2212x y +=. （Ⅱ）(1)当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，代入2212x y +=得(1,2M，(1,2N -,(3,2EM =-，(3,2EN =--，117922EM EN =-=；（2）当直线l 的斜率存在时，设其方程为(1)y k x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y 由221,2(1).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得 2222(12)4220k x k x k +-+-=，∆=)22)(21(416224-+-k k k2880k =+>， 所以21224,12k x x k +=+ 21222212k x x k-=+, 11(4,)EM x y =--，22(4,)EN x y =--,EM EN 1212(4)(4)x x y y =--+ 21212124()16(1)(1)x x x x k x x =-+++--2221212(1)(4)()16k x x k x x k =+-++++ =2222222224(1)(4)161212k k k k k k k -+-+++++ 22171412k k +=+211172212k=++， 由于2111120122k <≤+，所以21117171711214221222k <+≤+=+ ， 当0k =时取等号,综上知EM EN 的取值范围为17[,14]2. 21．【理科】已知函数3()ln ,()2a f x x g x x ==- (a ∈R ). (I)当1=a 时，求函数)()()(x g x f x -=ϕ在),4[+∞∈x 上的最小值；(Ⅱ)若方程2()e ()(e f x g x =为自然对数的底数）在区间]1,21[上有解，求a 的取值范围； (Ⅲ)证明：[]1512(21)()(1)21,460n k n f k f k f k n =+<+--+<+∑*N n ∈ （参考数据：6931.02ln ≈）解：（Ⅰ）当1=a 时，231ln )()()(-+=-=x x x g x f x ϕ，221.11)('x x x x x -=-+=ϕ，令0)('>x ϕ，又0>x ，)(x ϕ∴在]1,0(∈x 上单调递减，在),1[+∞∈x 上单调递增．∴当4≥x 时，454ln 23414ln )4()(-=-+=≥ϕϕx ． )(x ϕ∴的最小值为454ln -． (Ⅱ) 2()e ()f x g x =在]1,21[∈x 上有解， x a e x -=⇔23ln 2在]1,21[∈x 上有解323x x a -=⇔在]1,21[∈x 上有解． 令]1,21[,23)(3∈-=x x x x h ， 因为2231()33()22h x x x '=-=-， 令0)('>x h ，又0>x ，解得：220<<x ． 323)(x x x h -=∴在]22,21[∈x 上单调递增，]1,22[∈x 上单调递减， 又)21()1(h h <，)22()()1(h x h h ≤<∴，即22)(21≤≤x h ， 故]22,21[∈a ． (Ⅲ)设)1()()12(2+--+=k f k f k f a k ，)1(144ln )1ln(ln )12ln(22+++=+--+=k k k k k k k a k ，由（Ⅰ），)4(0454ln )(min ≥>-=x x ϕ， )4(123ln ≥->∴x xx ， 4)1(1442>+++k k k k ． )32)(12(14145)12(14145144)1(2322+++>++=+++->∴k k k k k k k a k ，)321121(8145+-++=k k ． )32112171515131(8145+-+++-+-+>∴∑=n n n a nI k k60145)5131(8145)32131(8145+=-+≥+-+=n n n n ． 构造函数xx x x F x x x x F -=-=≥+-=111)('),4(2ln )(， ∴当4≥x 时，01)('<-=x x x F ． )(.x F ∴在),4[+∞上单调递减，即0)12(ln 224ln )4()(<-=-=≤F x F ． ∴当4>x 时，2ln -<x x ．21114)1114ln(-+-+<+-+=∴k k k k a k ．即1112+-+<k k a k ． 1211121+<+-+<∴∑=n n n a ri k k ． 所以[]1512(21)()(1)21460n k n f k f k f k n =+<+--+<+∑*,N n ∈ 21．【文科】已知函数()e 1x f x ax =+-(a ∈R ，e 为自然对数的底数)．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，若方程()0f x =只有一解，求a 的值；（Ⅲ）若对任意的[)0,x ∈+∞，均有()()f x f x -≥，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）()x f x e a '=+，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上是单调增函数．当0a <时，由()0f x '>，得ln()x a >-，()f x 在(ln(),)a -+∞上是单调增函数；由()0f x '<，得ln()x a <-，()f x 在(,ln())a -∞-上是单调减函数．综上，0a ≥时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞．0a <时，()f x 的单调增区间是(ln(),)a -+∞，单调减区间是(,ln())a -∞-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0a <，ln()x a =-时，()f x 最小，即min ()(ln())f x f a =-， 由方程()0f x =只有一解，得(ln())0f a -=，又考虑到(0)0f =，所以ln()0a -=，解得1a =-．（Ⅲ）当0x ≥时，()()f x f x -≥恒成立，即得x x e ax e ax -+-≥恒成立，即得20x x e e ax --+≥恒成立，令()2x x h x e e ax -=-+（0x ≥），即当0x ≥时，()0h x ≥恒成立．又()2x x h x e e a -'=++，且()222h x a a '=+≥，当0x =时等号成立． ①当1a >-时，()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立．②当1a =-时，若0x =，()0h x '=，若0x >，()0h x '>，所以()h x 在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h =≥恒成立．③当1a <-时，方程()0h x '=的正根为1ln(x a =-，此时，若1(0)x x ∈，，则()0h x '<，故()h x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0h x h <=，与0x ≥时，()0h x ≥恒成立矛盾．综上，满足条件的a 的取值范围是[1,)-+∞．选做题：22.选修4-1：几何证明选讲如图，E 是O 中直径CF 延长线上一点，弦AB ⊥CF,AE 交O 于P,PB 交CF 于D ，连接AO 、AD. 求证：（Ⅰ）∠E=∠OAD ； （Ⅱ）2OF OD OE =. 证明：（Ⅰ）,E APD PDE ∠=∠-∠,,.OAD AOC ADC APD ADC PDE CDB ADC E OAD ∠=∠-∠=∠-∠∠=∠=∠∴∠=∠ （Ⅱ）,E OAD AOD EOA ∠=∠∠=∠AOD EOA ∴∆∆∽,OA OD OE OA∴=, 即2OA OD OE =,又OA OF =;C∴2OF OD OE =23.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆C 两焦点的极坐标分别是)π，长轴长是4.（I ）求椭圆C 的参数方程；（II ）设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆C 交于两点A 、B ，P 是l 上满足||||1PA PB =的点，求P 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 答案：（I）2cos ,(.x y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）； （II ）由||||1PA PB =，得P 点的轨迹方程为222cos ,2sin 1.x y θθ=⎧⎨=±⎩（θ是参数）， 消参后为22221(22),1(22)632x y x x y x +=-<<+=-<<， 即P 点轨迹为椭圆2212x y +=及椭圆22163x y +=夹在两直线2x =±之间的部分. 24．选修4-5：不等式选讲 已知()2f x x a a =-- （a ∈R ）.（Ⅰ）若(2)1f a ≤-，求a 的取值范围；（Ⅱ）若1a x =-，解不等式()2f x ≥.解: （Ⅰ）(2)322f a a a a =-=≥, 解得1a ≥,1,a ≥或 1.a ≤-（Ⅱ）1a x =-,21,()11211,2 1.x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=-<<⎨⎪≥⎩则()2f x ≥的解集为[)1,+∞.。
河北石家庄市第一中学高考数学数列的概念习题及答案 百度文库
一、数列的概念选择题1．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用.比如意大利数学家列昂纳多—斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233…即121a a ==，当n ≥3时，12n n n a a a --=+，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用.若此数列的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则20S 的值为（ ） A ．24B ．26C ．28D ．302．已知数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2017S =（ ） A ．1007 B ．1008C ．1009.5D ．10103．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192C ．1119892D ．11201924．已知数列,21,n -21是这个数列的（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第12项D ．第21项5．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）A ．4-B ．5-C ．4D ．56．若数列的前4项分别是1111,,,2345--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n --B ．(1)n n -C ．1(1)1n n +-+D ．(1)1n n -+7．已知数列{}n a 满足()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ，且对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>，则实数p 的取值范围是（ ）A ．71,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．101,7⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,2D ．10,27⎛⎫⎪⎝⎭8．在数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1-B ．12C ．1D ．29．已知数列{}n a 中，11a =，23a =且对*n N ∈，总有21n n n a a a ++=-，则2019a =（ ）A ．1B ．3C ．2D ．3-10．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．14011．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，则2019a =（ ） A ．3-B ．12-C ．13D ．213．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4aD ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a 14．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+15．大衍数列，来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两翼数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……则此数列的第40项为（ ）． A ．648B ．722C ．800D ．88216．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920212S F =+B ．201920211S F =-C ．201920202S F =+D ．201920201S F =-17．下列命题中错误的是（ ）A ．()()21f n n n N+=-∈是数列的一个通项公式B ．数列通项公式是一个函数关系式C ．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D ．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列 18．在数列{}n a 中，11a =，()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，则3a =（ ）A ．6B ．2C ．23 D ．21119．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（ ） A ．32B ．36C ．38D ．4020．已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足111n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008S 等于（ ） A ．504B ．294C ．294-D ．504-二、多选题21．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--22．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312a <<D ．2020314a << 23．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >24．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ）A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 25．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21FF ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦26．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 27．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>028．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =29．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．830．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值31．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <32．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（ ）A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214-D ．{}n a 为单调递增数列33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2234．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >35．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题1．B 解析：B 【分析】先写出新数列的各项，找到数列的周期，即得解. 【详解】由题意可知“斐波那契数列”的各项依次被4整除后的余数构成一个新的数列{}n b ， 此数列的各项求得：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1……，则其周期为6， 其中1+1+2+3+1+0=8，则201819201812S S b b S b b =++=++381126=⨯++=， 故选：B.2．D解析：D 【分析】根据题设条件，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-=，从而求得2017S 的值，得到答案. 【详解】由题意，数列{}n a 满足: 12a =，111n na a +=-， 可得234111,121,1(1)2,22a a a =-==-=-=--=，可得数列{}n a 是以3为周期的数列，且3132122S =+-= 所以20173672210102S =⨯+=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列{}n a 是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.3．C解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.4．B解析：B 【分析】根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】令2121n -=，解得n =11是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.5．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题6．C解析：C 【分析】根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式.设所求数列为{}n a ，可得出()111111a+-=+，()212121a+-=+，()313131a+-=+，()414141a+-=+，因此，该数列的一个通项公式为()111n na n +-=+.故选：C. 【点睛】本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.7．D解析：D 【分析】根据题意，得到数列是增数列，结合通项公式，列出不等式组求解，即可得出结果. 【详解】因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>， 则数列{}n a 单调递增；又()()*622,6,6n n p n n a n p n -⎧--≤=∈⎨>⎩N ， 所以只需67201p p a a ->⎧⎪>⎨⎪<⎩，即21106p p p p<⎧⎪>⎨⎪-<⎩，解得1027p <<. 故选：D. 【点睛】本题主要考查由数列的单调性求参数，属于基础题型.8．B解析：B 【分析】通过递推公式求出234,,a a a 可得数列{}n a 是周期数列，根据周期即可得答案. 【详解】 解：211111=1=22a a =--，3211121a a =-=-=-，4311112a a =-=+=， 则数列{}n a 周期数列，满足3n n a a -=，4n ≥85212a a a ∴===， 故选：B. 【点睛】本题考查数列的周期性，考查递推公式的应用，是基础题.9．C【分析】根据数列{}n a 的前两项及递推公式,可求得数列的前几项,判断出数列为周期数列,即可求得2019a 的值.【详解】数列{}n a 中,11a =,23a =且对*n N ∈,总有21n n n a a a ++=- 当1n =时,321322a a a =-=-= 当2n =时,432231a a a =-=-=- 当3n =时,543123a a a =-=--=- 当4n =时,()654312a a a =-=---=- 当5n =时,()765231a a a =-=---= 当6n =时,()876123a a a =-=--= 由以上可知,数列{}n a 为周期数列,周期为6T = 而201933663=⨯+ 所以201932a a == 故选:C 【点睛】本题考查了数列递推公式的简单应用,周期数列的简单应用,属于基础题.10．B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B11．A【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】 因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =， 故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．B解析：B 【分析】由递推关系，可求出{}n a 的前5项，从而可得出该数列的周期性，进而求出2019a 即可. 【详解】 由1111n n n a a a ++-=+，可得111nn n a a a ++=-，由12a =，可得23a =-，312a =-，413a =，52a =，由15a a =，可知数列{}n a 是周期数列，周期为4， 所以2019312a a ==-. 故选：B.13．C解析：C 【分析】令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2+12n b n =，从而可得12+n a n n=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<<，由此可得选项. 【详解】令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-，所以累加得()()213+2113++122nn n b n --==，所以2+1212+n nb n a n n n n===， 所以()()()()+13+41212+1+++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，故选：C. 【点睛】本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.14．D解析：D 【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列1111,,,, (57911)--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯. 故选：D.15．C解析：C 【分析】由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =，即可得出． 【详解】由0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，可得偶数项的通项公式：222n a n =．则此数列第40项为2220800⨯=． 故选：C16．B解析：B 【分析】利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，可得21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.【详解】由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=123211n n n n F F F F F F ---=+++++++，所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.17．C解析：C 【分析】根据通项公式的概念可以判定AB 正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C 错误，根据无穷数列的概念可以判定D 正确. 【详解】数列的通项公式的概念：将数列{} n a 的第n 项用一个具体式子（含有参数n ）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n 唯一确定的，故AB 正确； 并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C 是错误的； 根据无穷数列的概念，可知D 是正确的. 故选:C. 【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.18．C解析：C 【分析】利用数列的递推公式逐项计算可得3a 的值. 【详解】()*122,21n n a n n N a -=≥∈-，11a =，212221a a ∴==-，3222213a a ==-.【点睛】本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.19．B解析：B 【分析】根据所给数列表达式，递推后可得()121121n n n a a n ++++-=+.并将原式两边同时乘以()1n-后与变形后的式子相加，即可求得2n n a a ++，即隔项和的形式.进而取n 的值，代入即可求解. 【详解】由已知()1121nn n a a n ++-=-，① 得()121121n n n a a n ++++-=+，②由()1n ⨯-+①②得()()()212121nn n a a n n ++=-⋅-++，取1,5,9n =及2,6,10n =，易得13572a a a a +=+=，248a a +=，6824a a +=， 故81234836S a a a a a =++++⋅⋅⋅+=. 故选：B. 【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，对数列表达式进行合理变形的解决此题的关键，属于中档题.20．C解析：C 【分析】根据递推公式，算出数列前4项，确定数列周期，即可求出结果． 【详解】∵12a =，111n n n a a a +-=+，∴213a =，311131213a -==-+，41123112a --==--+， 又121111111111n n n n n n nn a a a a a a a a +++---+===--+++，所以421n n n a a a ++=-=， ∴数列{}n a 的周期为4，且123476a a a a +++=-， ∵10084252÷=，∴100872522946S ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查数列周期性的应用，属于常考题型.二、多选题 21．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件； 对于选项B ，取前六项得：，不满足条件； 对于选项C ，取前六项得：，解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC22．ABD 【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，所以当时，，即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即，解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122xf x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数， 即()()102f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.23．BC 【分析】根据递推公式，得到，令，得到，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到，求出，可得C 正确，D 错.由可知，即，当时，则，即得到，故选项B 正确；无法计算，故A 错； ，所以，则解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-， 当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】 方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解； （2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解； （3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.24．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确；，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.25．BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……， 显然，，，，，所以且，即B 满足条件； 由， 所以 所以数列解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +-=⎝⎭115()n -=++， 令1nn n F b-=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-， 所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+， 所以()1115n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．26．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得. 【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确；解析：AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.27．AC 【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误， 所以，，所以C 正确，D 错误， 故选：AC解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案 【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误， 故选：AC28．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n n S na d n ---=+=-+=， 故选：BC29．BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n +-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.30．BD【分析】设等差数列的公差为，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B 正确；又由得，则有，故A 错误；而C 选项，，即，可得，解析：BD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解.【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>，又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的.∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确；故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.31．ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B 正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A 正确；又，所以，故C 不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确； 又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 32．AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对进行配方可对C 进行判断【详解】解：当时，，当时，，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因解析：AD【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误， 由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题33．AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.34．ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；C. 若解析：ABC【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案.【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．35．ABCD【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d ＝12，可得＜d ＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn ＜0解析：ABCD【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，n nS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n nS a ＜0，但是随着n 的增大而增大． ∴n ＝7时，n nS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
石家庄2011年高三复习教学质量检测数学(理)试题答案
2011石家庄市高中毕业班复习教学质量检测（一）数学答案二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．15 14．{}|21,3x x x -<<->或15 16． 理科1625文科245三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.解：（Ⅰ）依题意知B B sin 3cos 1=+, ……………………2分 ∴2sin()16B π-=,可得66B ππ-=或56π，得3B π=或B =π（舍） …………4分 ∴ 3B π=. ……………………5分 （Ⅱ）由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=, 将3,2,1π===B c a b 代入解得：33=c ,从而332=a ,……………………8分 ∴ 633sin 3333221sin 21=⋅⋅==∆πB ac S ABC .……………………10分 18．解：记甲击中气球为事件A ，乙击中气球为事件B ， 则34(),()45P A P B ==. (I )甲射击3次，可以看作三次独立重复试验，恰好两次击中气球的概率为：2233127()4464P C ∴=⋅=． ……………………………4分(II )两人各射击2次，至少3次击中气球含两类情况：记击中三次气球为事件D ，21122234131421()()()45544550P D C C =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=；…………………………7分 记击中4次气球为事件E ，22349()()()4525P E =⋅=;………………………10分所求概率为21939()()()502550P D E P D P E +=+=+=．………………………12分 19．解法一：（I ）如图，连结DE 、连结CD 交AE 于P ,连结FP , 由已知得PF//BD ,…………………………3分 PF ⊂平面AEF ,BD ⊄平面AEF ,∴ BD ∥平面AEF ．……………………………………6分（II ）过点F 作FH ⊥AC ,可知FH ⊥平面ACE ， 作HO ⊥AE ,连结OF ,由三垂线定理可得，OF ⊥AE , ∴∠FOH 为二面角F AE C --的 平面角.………………8分 不妨设1AB =，则1AA =在Rt FHC ∆中，60FCH ∠=,14FH CH ∴==, 在Rt ACE ∆中,3,42AH AE == AHO ∆ ∽AEC ∆OH AH CE AE ∴=,即OH =,……………………10分 在Rt FOH ∆中,tan 1FHFOH OH∠==, π4FOH ∴∠=. 即二面角Q AE C --的大小为π4．……………………12分解法二：（I ）不妨设1AB =，1AA =如图，建立空间直角坐标系，则，(1,0,0),B D ，1(,22C，1(,222E,3(,44F. 13(,),(,22244AE AF ∴==(1,0,2BD =-，1(2AC =设平面AEF 的法向量为11(,,1)x y =1n ，则00AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n，即111110222304x y x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，（第19题图）解得：1122x y ==-(22∴=-1n ，……………………3分 0BD ⋅=1 n ,BD ∴⊥1n 又BD ⊄ 平面AEF ，//BD ∴平面AEF .…………………………6分 （II ）设平面AEC 的法向量为2222(,,)x y z =n ,2200AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即112111021022x y z x y ⎧++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令21y =,220x z ==.2(,0)∴=n ，…………………………8分121212cos ,||||2⋅==-⋅n n n n n n ，…………………10分 ∴二面角F AE C --的大小为4π．………………………………12分20.【理科】解:( I)3,22121211=∴+=+=a a a a a 且 ， 依题意：12,n n S S n -=+)3(),1(221-≥-+=-n n S S n n两式相减得)3(,1)(2211≥+-=----n S S S S n n n n 即)3(,121≥+=-n a a n n ……………………2分)3(),1(211≥+=+-n a a n n可得222)1(1-⨯+=+n n a a ,12-=∴nn a )2(≥n ，……………………4分又11=a 也符合上式,所以12-=∴nn a .…………………………………5分(II) 11++=n n n n a a a b =)12)(12(21--+n n n =)12)(12()12()12(11-----++n n n n ,=1211211---+n n ,………………………………8分 n n b b b T +++=...21=++-+-...7131311(1211211---+n n) =12111--+n ,………………………………………………10分1111,240213n n ++∴<≤-≥1n T ∴<.…………………………………12分【文科】(I)由题意⎪⎩⎪⎨⎧==3287324S a a a 设公差为d ，则⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+++=+2332288)6)(2()3(111121d a d a d a d a d a ………………………3分 522)1(3-=⨯-+-=∴n n a n .…………………………………5分(II)⎩⎨⎧≥==-221152n n b n n当1=n 时 ，11=T , …………………………………7分 当2≥n 时，5212221--+⋅⋅⋅+++=n n T =6541+-n ，……………………………9分6541111+==-T .…………………………………10分∴=n T6541+-n *∈N n .………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由已知23==a c e ，即2243a c =，222241a c a b =-=， 所以，椭圆方程为142222=+ay a x ，…………………………2分将)23,1(A 代入得：1412122=+a a ，解得42=a ，可知21b =，所以，椭圆C 的方程为1422=+y x .………………………………4分 （Ⅱ）因为直线l 经过椭圆内的点)0,1(-B ，所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点N M ,.当直线l 的斜率不存在时，其方程是：1-=x ，代入1422=+y x 得23±=y ， 可知)23,1(),23,1(---N M ，所以以MN 为直径的圆不经过坐标原点O .……………6分 当直线l 的斜率存在时，可设l 的方程为：)1(+=x k y ，两交点),(),,(2211y x N y x M .由⎪⎩⎪⎨⎧+==+)1(1422x k y y x 得0448)41(2222=-+++k x k x k ，222122214144,418kk x x k k x x +-=⋅+-=+，………………………………8分 因为，以MN 为直径的圆经过坐标原点O ，所以0=⋅.………………………10分 可得0)()1()1()1(221221221212121=++++=+⋅++=+k x x k x x k x k x k x x y y x x .即04184144)1(2222222=++-⋅++-+k kk k k k k ，解得2±=k . 综上所述，存在过点)0,1(-B 的直线l ，使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O ,l 的方程为22+=x y 或22y x =--.……………………………………12分 22．【理科】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,0)-∞.11()ax f x a x x-'=-=. 当0a ≥时，由0x <知10ax -<，即()0f x '>；………………………3分 当0a <时，10a <，由()0f x '>得，10x a <<；由()0f x '<得1x a<. 综上所述，当0a ≥时，()f x 的单调增区间为(,0)-∞；当0a <时，()f x 的单调增区间为1(,0)a，单调减区间为1(,)a -∞.……………………5分（Ⅱ）当1a =-时，()ln()f x x x =---，11()1x f x x x+'=--=-.原不等式即转化为11ln()1(2)22n x f x ---+>+-.……………………………7分 由（Ⅰ）知，()f x 为(,1]-∞-上的减函数，又*n ∈N ，即112212n --<-+≤-，从而11(2)(1)12n f f --+≥-=.…………………9分 另一方面，令ln()1()2x g x x -=+-，[e,0)x ∈-. 又21ln()()0x g x x -+-'=≤对[e,0)x ∈-恒成立， ∴ ()g x 为[e,0)-上的减函数. 从而，11()(e)e 2g x g ≤-=+.又e 2>，所以111e 2+<.…………………………11分 故当1a =-时，对任意的*n ∈N ，不等式11ln()1(2)()122n x f f x x --'-+>⋅++对于[e,0)x ∈-恒成立.………………………12分【文科】解：（Ⅰ）2()(1)f x x ax b '=-+- ,…………………………………2分 又(0)1,(0)1f f '==.所以2,1b c ==.………………………………………5分（Ⅱ）设过（0，3）与曲线()()g x f x x =-相切的直线为l ，.切点坐标为(,())t g t ，又3211()132g x x ax =-+，2(),g x x ax '=- 则切线l 的方程为32211(1)()()32y t at t at x t --+=--.又过点(0,3)，所以3232113132t at t at -+-=-+，即3222032a t t -+=，…………………………………………7分 又过点(0,3)可作曲线()()g x f x x =-的三条不同切线.等价于方程3222032a t t -+=有三个相异实根.………………………………8分 令322()232a h t t t =-+，2()2(2)h t t at t t a '=-=⋅-.由0a >，则,(),()t h t h t '的变化情况列表如下：………………………………………………………………………………………………10分 由()h t 的单调性知：要使()0h t =有三个相异实根，当且仅当32024a -<，即a >∴a 的取值范围是)+∞.…………………………………………………………12分。
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石家庄市第一中学2011届高三数学（理）补充试题1.已知集合 P = {x ∈N | 1≤x ≤10}，集合Q = {x ∈R | x 2+x －6=0}，则P ∩Q 等于( A ) A ． {2} B ．{1，2} C ．{2，3} D ．{1，2，3}2. (1－i)2·i=( D ） A ．2－2i B ．2+2iC ．－2D ．23.不等式组22|2|2,log (1) 1.x x -<⎧⎨->⎩的解集为（ C ）A ．)3,0(B ．)2,3(C ．)4,3(D ．)4,2(4. 双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（ A ）A ．0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ B.0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ C.0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ D.0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩5.若ln 2ln 3ln 5235a b c ===，，，则( C ) A ．a b c << B . c b a << C . c a b << D. b a c <<6.若函数f (x )=121x +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( A )A.单调递减无最小值B. 单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值7.如果3nx ⎛⎫- ⎝的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ C ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-8.设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ C ） A.)0,(-∞B.),0(+∞C.)3log ,(a -∞D.),3(log +∞a9.设椭圆的两个焦点分别为12F F 、，过1F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ D ）A.2B .12C .21 10.函数f x x ax ()=--223在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是（ D ） A. a ∈-∞(,]1 B. a ∈+∞[,)2 C. a ∈[,]12 D. a ∈-∞⋃+∞(,][,)1211.若动点),(y x 在曲线)0(14222>=+b by x 上变化，则y x 22+的最大值为（ A ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)4(2)40(442b b b b B ．⎪⎩⎪⎨⎧≥<<+)2(2)20(442b b b b C ．442+b D ．b 2 12. 设(0,0)O ,(1,0)A ,(0,1)B ,点P 是线段AB 上的一个动点,AP AB λ=,若OP AB PA PB ⋅≥⋅,则实数λ的取值范围是（ B ）A.112λ≤≤B.11λ≤≤C.112λ≤≤D.11λ≤≤+ 二、填空题： 13.已知sin α=2απ≤≤π，则tan α= －2 . 14．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ， ∠APB =60°，则动点P 的轨迹方程为 x 2+y 2=4 .15． ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 116.已知在ABC ∆中，09034ACB BC AC ∠===，，，P 是AB 上的点，则点P 到AC BC 、的距离乘积的最大值是 3 .三、解答题：17.如图，函数y=2sin(πx ＋φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2π)的图象与y 轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求φ的值；(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.与 解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1） 所以 2sin 1x =,即 1sin 2x = ,因为02l π≤≤所以6l π=. (Ⅱ）由函数2sin()6y x ππ=+及其图象，得115(,0),(,2),(,0),636M P N - 所以 11(,2,)(,2)22PM PN =--=- 从而cos ,PM PNPM PN PM PN⋅<>=⋅1517=,故15,arccos 17PM PN <>= . 18．某运动员射击一次所得环数X 的分布如下：X 067 8 9 10 P0.2 0.3 0.3 0.2 现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为ξ.(I)求该运动员两次都命中7环的概率; (II)求ξ的分布列;(III) 求ξ的数学期望E ξ.解：(Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为04.02.02.0)7(=⨯=P ； (Ⅱ) ξ的可能取值为7、8、9、10.04.0)7(==ξP ;21.03.03.02.02)8(2=+⨯⨯==ξP ;39.03.03.03.023.02.02)9(2=+⨯⨯+⨯⨯==ξP ;36.02.02.03.022.03.022.02.02)10(2=+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==ξP .ξ分布列为(Ⅲ) ξ的数学希望为07.936.01039.0921.0804.07=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE .19. 如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC,AC ⊥BD,AC 与BD 相交于点O ，且顶点P 在底面上的射影恰为O 点，又BO=2,PO=2,PB ⊥PD. (Ⅰ)求异面直接PD 与BC 所成角的余弦值；(Ⅱ)求二面角P －A B －C 的大小； (Ⅲ)设点M 在棱PC 上，且,PMMCλλ=问为何值时，PC ⊥平面BMD. 解法一：PO ⊥ 平面ABCD ， PO BD ∴⊥又,2,PB PD BO PO ⊥==由平面几何知识得：1,OD PD PB ===（Ⅰ）过D 做//DE BC 交于AB 于E ，连结PE ，则PD E ∠或其补角为异面直线PD 与BC所成的角，四边形ABCD 是等腰梯形，1,2,OC OD OB OA OA OB ∴====⊥BC AB CD ∴===又//AB DC∴四边形EBCD 是平行四边形。
ED BC BE CD ∴====E ∴是AB 的中点，且AE =又PA PB ==，PEA ∴∆为直角三角形，2PE ∴===在PED ∆中，由余弦定理得222215cos2PD DE PE PDE PD DE +-∠===⋅故异面直线PD 与BC 所成的角的余弦值为（Ⅱ）连结OE ，由（Ⅰ）及三垂线定理知，PEO ∠为二面角P AB C --的平面角sin PO PEO PE ∴∠==045PEO ∴∠=,∴二面角P AB C --的大小为045 （Ⅲ）连结,,MD MB MO ，PC ⊥ 平面,BMD OM ⊂平面BMD ，PC OM ⊥ ,又在Rt POC ∆中，1,PC PD OC PO ===PM MC ∴==2PM MC ∴= 故2λ=时，PC ⊥平面BMD .解法二：PO ⊥ 平面ABCD , PO BD ∴⊥,又PB PD ⊥，2,BO PO == 由平面几何知识得：1,2OD OC BO AO ====.以O 为原点，,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为(0,0,0)O ，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,0,0)C -，(0,1,0)D -，P（Ⅰ）(0,1,PD =-，(1,2,0)BC =--，2PD BC PD BC ∴==⋅=.cos ,PD BC PD BC PD BC⋅∴<>==. 故直线PD 与BC. （Ⅱ）设平面PAB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由于(2,2,0)AB =-，(AP =-，由00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得x z ⎧=⎪⎨=⎪⎩取(1,1n =，又已知平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)=m ，cos ,⋅∴<>==⋅m n m n m n 又二面角P AB C --为锐角，∴所求二面角P AB C --的大小为45（Ⅲ）设00(,0,)M x y ，由于,,P M C三点共线，00z =PC ⊥ 平面BMD ，OM PC ∴⊥,00(1,0,(,0,)0x z ∴-⋅=000x ∴=由（1）（2）知：023x =-，0z =,2(3M ∴-,2PM MC λ∴== 故2λ=时，PC ⊥平面BMD .20.在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记(0)n a nn b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由2421n n S n S n +=+得：1213a a a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1211122()42212n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++⨯+++===+++⨯＝2(1)1n n a n a +++，所以n a n =.（Ⅱ）由n an n b a p =，得n n b np =。
所以23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+ ， 当1p =时，(1)2n n n T +=； 当1p ≠时，234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+ ， 23111(1)(1)1n n n n n n p p p T p p p pp npnp p-++--=+++++-=-- ，即121,12(1),1(1)1n n n n p T p p np p p p ++⎧=⎪⎪=⎨-⎪-≠⎪--⎩. 21.设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B.（I ）求双曲线C 的离心率e 的取值范围：（II ）设直线l 与y 轴的交点为P ，且.125=求a 的值. 解：（I ）由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y ax 有两个不同的实数解.消去y 并整理得（1－a 2）x 2+2a 2x －2a 2=0. ①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率).,2()2,26(226,120.11122+∞≠>∴≠<<+=+= 的取值范围为即离心率且且e e e a a a aa e（II ）设)1,0(),,(),,(2211P y x B y x A.125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x =-=-∴=由此得 由于x 1+x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172.12152.1212289,,601170,13a x a a x a a x a a a =--=---=->=所以消去得由所以 22.已知函数()2472x f x x-=-， []01x ∈，(Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1a ≥，函数()[]223201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()01g x f x =成立，求a 的取值范围.解：对函数()f x 求导，得()()2241672x x fx x -+-=-，()()()221272x x x --=--令()0fx =，解得112x =或272x = 当x 变化时，()fx ，、()f x 的变化情况如下表：所以，当102x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是减函数；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()f x 是增函数； 当()01x ∈，时，()f x 的值域为[]43--，. （Ⅱ）对函数()g x 求导，得()()223g x x a =-，因此1a ≥，当()01x ∈，时， ()()2310g x a -≤ ， 因此当()01x ∈，时，()g x 为减函数，从而当[]01x ∈，时有 ()()()10g x g g ∈⎡⎤⎣⎦，又()21123g a a =--，()02g a =-，即当[]1x ∈0，时有()21232g x a a a ⎡⎤∈---⎣⎦，任给[]11x ∈0，，()[]143f x ∈--，，存在[]001x ∈，使得()()01g x f x =，则[]2123243a a a ⎡⎤---⊃--⎣⎦，，即212341232a a a ⎧--≤-⎨-≥-⎩（）（）解1（）式得 1a ≥或53a ≤- 解2（）式得 32a ≤又1a ≥，故：a 的取值范围为312a ≤≤。