2016年苏州市高考数学考前40练防错纠错8 复数与平面向量.doc
高考数学复数习题及答案doc
一、复数选择题1．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知复数21iz i=-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =- B ．直线12y x = C ．直线12x =-D ．直线12y4．已知复数5i5i 2iz =+-，则z =（ ） AB．C．D．5．设1z 是虚数，2111z z z =+是实数，且211z -≤≤，则1z 的实部取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]22-,D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6．若1m ii+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0C ．1D7．复数12iz i=+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3π而得到.则21arg()2z z -的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 9．复数2ii -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3510．设复数z 满足41iz i=+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知(),a bi a b R +∈是()()112i i +-的共轭复数，则a b +=（ ） A ．4B ．2C ．0D ．1-12．复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，对应的点在第三象限，且10z =，则z =（ ） A ．68i +B ．68i -C ．68i --D ．68i -+13．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ） A ．17i - B ．16i - C ．16i -- D ．17i -- 14．若复数z 满足213z z i -=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --15．已知i 是虚数单位，设11iz i，则复数2z +对应的点位于复平面（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、多选题16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 17．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）. A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1-18．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 19．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为220．下面是关于复数21iz =-+（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A ．||2z =B ．22z i =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-21．若复数z 满足()1z i i +=，则（ ）A ．1z i =-+B ．z 的实部为1C ．1z i =+D ．22z i =22．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b = B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠ C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 23．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ） A ．若12z z =，则12=z z B ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >24．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）．A ．234i i i i 0+++=B ．3i 1i +>+C ．若()2z=12i +，则复平面内z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足11z z -=+，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 25．任何一个复数z a bi =+（其中a 、b R ∈，i 为虚数单位）都可以表示成：()cos sin z r i θθ=+的形式，通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()()()n cos sin co i s s nn n z i n r i r n n N θθθθ+==+⎡⎤⎣∈⎦+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（ ） A ．22z z = B ．当1r =，3πθ=时，31z =C ．当1r =，3πθ=时，122z =- D ．当1r =，4πθ=时，若n 为偶数，则复数n z 为纯虚数26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z = B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数28．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --29．对任意1z ，2z ，z C ∈，下列结论成立的是（ ） A ．当m ，*n N ∈时，有m n m n z z z +=B ．当1z ，2zC ∈时，若22120z z +=，则10z =且20z = C ．互为共轭复数的两个复数的模相等，且22||||z z z z ==⋅ D ．12z z =的充要条件是12=z z30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ） A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件 B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件 C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件 D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题 1．A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b∈R）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚 解析：A 【解析】试题分析：根据复数乘法的运算法则，我们可以将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，分析实部和虚部的符号，即可得到答案． 解：∵复数Z=i （1﹣2i ）=2+i ∵复数Z 的实部2＞0，虚部1＞0 ∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限 故选A点评：本题考查的知识是复数的代数表示法及其几何意义，其中根据复数乘法的运算法则，将复数Z 化为a=bi （a ，b ∈R ）的形式，是解答本题的关键．2．B 【分析】对复数进行化简，再得到在复平面内对应点所在的象限. 【详解】，在复平面内对应点为，在第二象限. 故选：B.解析：B 【分析】对复数z 进行化简，再得到z 在复平面内对应点所在的象限. 【详解】21i z i =-()()()2111i i i i +=+-()1+1+i i i ==-，z 在复平面内对应点为()1,1-，在第二象限. 故选：B.3．C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C 【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-.4．B【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】 由题，得，所以. 故选：B.解析：B 【分析】根据复数的四则运算法则及模的计算公式，即可得到选项. 【详解】由题，得()()()5i 2+i 5i5i 5i 1+7i 2i 2i 2+i z =+=+=---，所以z == 故选：B.5．B 【分析】设，由是实数可得，即得，由此可求出. 【详解】 设，， 则，是实数，，则， ，则，解得， 故的实部取值范围是. 故选：B.解析：B 【分析】设1z a bi =+，由2111z z z =+是实数可得221a b +=，即得22z a =，由此可求出1122a -≤≤. 【详解】设1z a bi =+，0b ≠， 则21222222111a bi a b z z a bi a bi a b i z a bi a b a b a b -⎛⎫⎛⎫=+=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 2z 是实数，220bb a b∴-=+，则221a b +=， 22z a ∴=，则121a -≤≤，解得1122a -≤≤，故1z 的实部取值范围是11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B.6．C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题是纯虚数， 为纯虚数， 所以m=1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C 【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解. 【详解】 由题1m ii+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1. 故选：C 【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.7．A 【分析】对复数进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果. 【详解】 由，知在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题解析：A 【分析】对复数z 进行分母实数化，根据复数的几何意义可得结果.由()()()122112121255i i i z i i i i -===+++-， 知在复平面内对应的点21,55⎛⎫⎪⎝⎭位于第一象限， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数除法的运算以及复数的几何意义，属于基础题.8．C 【分析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】 ,,所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 【点睛】在复平面内运用复数的三解析：C 【分析】写出复数11z =的三角形式1cos 0sin 0z i =+，绕原点O 逆时针方向旋转3π得到复数2z 的三角形式，从而求得212z z -的三角形式得解. 【详解】11z =,1cos 0sin 0z i ∴=+,121(cossin )332Z i O OZ ππ=+=2111()222z z --∴=+所以复数在第二象限，设幅角为θ，tan θ=23πθ∴=故选：C在复平面内运用复数的三角形式是求得幅角的关键.9．C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】，的实部与虚部之和为. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C 【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .10．D 【分析】先对化简，从而可求出共轭复数，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】 解：因为， 所以，所以共轭复数在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D解析：D 【分析】先对41iz i=+化简，从而可求出共轭复数z ，再利用复数的几何意义可得答案 【详解】解：因为244(1)4(1)=2(1)22221(1)(1)2i i i i i z i i i i i i i i --===-=-=+++-， 所以22z i =-，所以共轭复数z 在复平面内的对应点位于第四象限， 故选：D【分析】先利用复数的乘法运算法则化简，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】 ， 故选：A解析：A 【分析】先利用复数的乘法运算法则化简()()112i i +-，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ． 【详解】()()112i i +-1223i i i =-++=-3a bi i ∴+=+ 3,1a b ==，4a b +=故选：A12．D 【分析】设，根据复数对应的向量与共线，得到，再结合求解. 【详解】 设，则复数对应的向量， 因为向量与共线， 所以， 又， 所以， 解得或，因为复数对应的点在第三象限， 所以， 所以，，解析：D 【分析】设(,)z a bi a R b R =+∈∈，根据复数z 对应的向量OZ 与(3,4)a =共线，得到43a b =，再结合10z =求解.设(,)z a bi a R b R =+∈∈，则复数z 对应的向量(),OZ a b =，因为向量OZ 与(3,4)a =共线，所以43a b =， 又10z =，所以22100+=a b ，解得68a b =-⎧⎨=-⎩或68a b =⎧⎨=⎩， 因为复数z 对应的点在第三象限，所以68a b =-⎧⎨=-⎩， 所以68z i =--，68z i =-+，故选：D13．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．14．A【分析】采用待定系数法，设，由复数运算和复数相等可求得，从而得到结果.设，则，，，解得：，.故选：A.解析：A【分析】采用待定系数法，设(),z a bi a b R =+∈，由复数运算和复数相等可求得,a b ，从而得到结果.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，()()22313z z a bi a bi a bi i ∴-=+--=+=+，133a b =⎧∴⎨=⎩，解得：11a b =⎧⎨=⎩， 1z i ∴=+.故选：A.15．A【分析】由复数的除法求出，然后得出，由复数的几何意义得结果.【详解】由已知，，对应点为，在第一象限，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法求出z i =-，然后得出2z +，由复数的几何意义得结果.【详解】 由已知(1)(1)(1)(1)i i z i i i --==-+-， 222z i i +=-+=+，对应点为(2,1)，在第一象限，故选：A.二、多选题16．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 17．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为11131222244z z i ⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为321112222z z z i ⎛⎫⎛⎫=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 20．BD【分析】把分子分母同时乘以，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判断即可.【详解】解：，，A 错误；，B 正确；z 的共轭复数为，C 错误；z 的虚部为，D 正确.故选：BD.【点解析：BD【分析】 把21iz =-+分子分母同时乘以1i --，整理为复数的一般形式，由复数的基本知识进行判【详解】 解：22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，||z ∴=A 错误；22i z =，B 正确；z 的共轭复数为1i -+，C 错误；z 的虚部为1-，D 正确.故选：BD.【点睛】本题主要考查复数除法的基本运算、复数的基本概念，属于基础题.21．BC【分析】先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由，得，所以z 的实部为1，，，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭 解析：BC【分析】 先利用复数的运算求出复数z ，然后逐个分析判断即可【详解】解：由()1z i i +=，得2(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-， 所以z 的实部为1，1z i =+，22z i =-，故选：BC【点睛】此题考查复数的运算，考查复数的模，考查复数的有关概念，考查共轭复数，属于基础题22．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．23．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.24．AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简，得出，从而判断D.【详解】，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；，则，解析：AD【分析】根据复数的运算判断A ；由虚数不能比较大小判断B ；由复数的运算以及共轭复数的定义判断C ；由模长公式化简11z z -=+，得出0x =，从而判断D.【详解】234110i i i i i i +++=--+=，则A 正确；虚数不能比较大小，则B 错误；()221424341z i i i i =++=+-+=，则34z i =--，其对应复平面的点的坐标为(3,4)--，位于第三象限，则C 错误； 令,,z x yi x y R =+∈，|1||1z z -=+∣，=，解得0x =则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线，D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了判断复数对应的点所在的象限，与复数模相关的轨迹（图形）问题，属于中档题.25．AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数，可判断C 选项的正误；计算出，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，，则，可得解析：AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A 选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B 选项的正误；计算出复数z ，可判断C 选项的正误；计算出4z ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，()cos sin z r i θθ=+，则()22cos2sin 2z r i θθ=+，可得()222cos 2sin 2z r i r θθ=+=，()222cos sin z r i r θθ=+=，A 选项正确； 对于B 选项，当1r =，3πθ=时，()33cos sin cos3sin3cos sin 1z i i i θθθθππ=+=+=+=-，B 选项错误；对于C 选项，当1r =，3πθ=时，1cos sin 3322z i ππ=+=+，则12z =，C 选项正确；对于D 选项，()cos sin cos sin cos sin 44n n n n z i n i n i ππθθθθ=+=+=+， 取4n =，则n 为偶数，则4cos sin 1z i ππ=+=-不是纯虚数，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.29．AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取，进行判断；D 中的必要不充分条件是.【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取，；，满足，但且不解析：AC【分析】根据复数乘法的运算律和复数的模及共轭复数的概念可判断出答案A 和C 正确；C 中可取11z =，2z i =进行判断；D 中12z z =的必要不充分条件是12=z z .【详解】解：由复数乘法的运算律知，A 正确；取11z =，；2z i =，满足22120z z +=，但10z =且20z =不成立，B 错误； 由复数的模及共轭复数的概念知结论成立，C 正确；由12z z =能推出12=z z ，但12||||z z =推不出12z z =，因此12z z =的必要不充分条件是12=z z ，D 错误.故选：AC【点睛】 本题主要考查复数乘法的运算律和复数的基本知识以及共轭复数的概念，属于基础题.30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
(江苏专用)2016届高考数学理二轮复习考点整合专题二三角函数与平面向量
【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮复习 专题二 三角函数与平面向量考点整合 理第1讲 三角函数的图象与性质高考定位 高考对本内容的考查主要有：三角函数的有关知识大部分是B 级要求，只有函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质是A 级要求；试题类型可能是填空题，同时在解答题中也有考查，经常与向量综合考查，构成低档题．真 题 感 悟1．(2013·江苏卷)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 解析 利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期公式求解．函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为T＝2π2＝π. 答案 π2.(2011·江苏卷)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．解析 因为由图象可知振幅A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以周期T ＝π＝2πω，解得ω＝2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，解得一个符合的φ＝π3，从而y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (0)＝62.答案623．(2014·江苏卷)已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．解析 根据题意，将x ＝π3代入可得cos π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝12，∴2π3＋φ＝2k π＋π6或23π＋φ＝2k π＋56π(k ∈Z )．又∵φ∈[0，π)，∴φ＝π6.答案π64．(2015·浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析 f (x )＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋32，∴T ＝2π2＝π，由π2＋2k π≤2x－π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得：3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z ，∴单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π，k ∈Z . 答案 π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z )考 点 整 合1．三角函数的图象及常用性质(表中k ∈Z )y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)．3．正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，对称轴是过函数图象的最高点或者最低点且与x 轴垂直的直线；正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象是中心对称图形，不是轴对称图形.热点一 三角函数的图象 [微题型1] 图象变换【例1－1】 (2015·南通调研)为了得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，可将函数y ＝sin 2x 的图象向________平移________单位长度． 解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋5π12，因此，把y ＝sin 2x 的图象向左平移5π12个单位得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．答案 左5π12探究提高 对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx ＋φ变成ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φω，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向． [微题型2] 由三角函数图象求其解析式【例1－2】 (1)(2015·苏北四市模拟)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为________．(2)(2015·苏、锡、常、镇调研)函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值为________．解析 (1)由图象知T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，A ＝4. ∴ω＝2πT ＝2π16＝π8.∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋φ， 把点(6，0)代入得：π8×6＋φ＝0， 得φ＝－3π4.∴y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －3π4，又∵|φ|＜π2.∴y ＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4.(2)根据图象可知，A ＝2，3T 4＝11π12－π6，所以周期T ＝π，由ω＝2πT ＝2.又函数过点⎝⎛⎭⎪⎫π6，2，所以有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，而0＜φ＜π，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＝1.答案 (1)y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4 (2)1探究提高 已知图象求函数y ＝A sin ()ωx ＋φ(A ＞0，ω＞0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．【训练1】 (1)(2015·苏州模拟)已知函数f (x )＝2sin (2x ＋φ)(|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (0)＝________．(2)(2015·南师附中模拟)把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数表达式为________．解析 (1)由图可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，而|φ|＜π，所以φ＝－π6.故f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1.(2)将y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6的图象．答案 (1)－1 (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，x ∈R热点二 三角函数的性质[微题型1] 考查三角函数的单调性与对称性【例2－1】 (1)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)(2015·南通调研)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则φ等于________． 解析 (1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z 且ω＞0，得1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4≤x ≤1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋54π，k ∈Z .取k ＝0，得π4ω≤x ≤5π4ω，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， ∴π4ω≤π2，且π≤5π4ω，解之得12≤ω≤54. (2)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6后得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ的图象，因为该函数是奇函数，且0＜φ＜π，所以φ＝π3.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)π3探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用，解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式，再根据参数范围求解．或者，也可以取选项中的特殊值验证． [微题型2] 考查三角函数在闭区间上的最值(或值域)【例2－2】 (2015·宿迁高三摸底考试)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0，π))的图象如图所示．(1)求f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2)在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值．解 (1)由图可得A ＝3，f (x )的周期为8，则2πω＝8，即ω＝π4，f (－1)＝f (3)＝0，则f (1)＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又φ∈[0，π)，故φ＝π4，综上所述，f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.(2)g (x )＝f (x )＋3f (x ＋2) ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4（x ＋2）＋π4＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋33cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4 ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12.当x ∈[－1，3]时，π4x ＋7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，故当π4x ＋7π12＝π2即x ＝－13时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最大值为1，则g (x )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6；当π4x ＋7π12＝4π3即x ＝3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋7π12取得最小值为－32，则g (x )的最小值为g (3)＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3 3. 探究提高 求三角函数最值的两条思路：(1)将问题化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，结合三角函数的性质或图象求解；(2)将问题化为关于sin x 或cos x 的二次函数的形式，借助二次函数的性质或图象求解．【训练2】 (2015·河南名校联考)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋sin 2x －cos 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程； (2)设函数g (x )＝[f (x )]2＋f (x )，求g (x )的值域． 解 (1)f (x )＝12cos 2x ＋32sin 2x －cos 2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 则f (x )的最小正周期为π，由2x －π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )， 所以函数图象的对称轴方程为x ＝k π2＋π3(k ∈Z )． (2)g (x )＝[f (x )]2＋f (x )＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋122－14. 当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝－12时，g (x )取得最小值－14，当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1时，g (x )取得最大值2， 所以g (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.1．(1)y ＝－sin x 与y ＝sin x 的单调性正好相反，y ＝－cos x 与y ＝cos x 的单调性也同样相反．(2)y ＝|sin x |与y ＝|cos x |的周期是π，y ＝sin|x |不是周期函数，y ＝cos|x |是周期函数． (3)对于函数y ＝tan x ，不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上为增函数． 2．运用整体换元法求解单调区间与对称性：类比y ＝sin x 的性质，只需将y ＝A sin(ωx ＋φ)中的“ωx ＋φ”看成y ＝sin x 中的“x ”，采用整体代入求解．(1)令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，可求得对称轴方程；(2)令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，可求得对称中心的横坐标；(3)将ωx ＋φ看作整体，可求得y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，注意ω的符号． 3．奇偶性：(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R 是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；(3)函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 是奇函数⇔φ＝k π2(k ∈Z )．4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的图象求解析式(1)A ＝y max －y min2，B ＝y max ＋y min2.(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2πT.(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.一、填空题1．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向________平移________个单位．解析 因为y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，要得到函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，可以将函数y ＝2cos 3x 的图象向右平移π12个单位．答案 右π122．(2015·陕西卷改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5.∴y max ＝k ＋3＝8. 答案 83．(2014·南京、盐城模拟)设函数f (x )＝cos(2x ＋φ)，则“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的______条件．解析 φ＝π2⇒f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝cos(2x ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z ) ⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．答案 必要不充分4．(2015·扬州模拟)已知直线y ＝2与函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)图象的两个相邻交点A ，B ，线段AB 的长度为2π3，则ω的值为________．解析 依题意，函数y ＝sin ωx ＋3cos ωx＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)， 于是有2πω＝2π3，ω＝3.答案 35．(2015·苏北四市调研)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω＞0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为________．解析 因为函数f (x )的最大值为2，所以最小正周期T ＝2＝2π2ω，解得ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx －π4，当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时，函数f (x )单调递增，所以函数f (x )在x ∈[－1，1]上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 6．若将函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________．解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4――→右平移φ g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x －φ）＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2φ，关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则π4－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝－k 2π－π8(k ∈Z )， 显然，k ＝－1时，φ有最小正值π2－π8＝3π8.答案3π87．(2015·南京、盐城模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.答案328．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析 由f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，得T 2≥π2－π6，即T ≥2π3；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，所以f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12；又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，所以f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.所以14T ＝7π12－π3＝π4，即T ＝π. 答案 π 二、解答题9．(2015·泰州模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求函数y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间； (2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，求f (x 0)的值．解 (1)T ＝2π2＝π，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－38π＋k π，18π＋k π，k ∈Z . (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－π8＝－65，即sin 2x 0＝－35，∴cos 2x 0＝±45，∴f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π4＝2(sin 2x 0＋cos 2x 0)＝25或－725. 10．(2015·北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x2－2sin 2x2.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22. 11．(2015·咸阳模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(A ＞0，ω＞0)，g (x )＝tan x ，它们的最小正周期之积为2π2，f (x )的最大值为2g ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)设h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3时，h (x )有最小值为3，求a 的值．解 (1)由题意，得2πω·π＝2π2.所以ω＝1.又A ＝2g ⎝⎛⎭⎪⎫17π4＝2tan 174π＝2tan π4＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 令2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )．故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )．(2)因为h (x )＝32f 2(x )＋23cos 2x＝32×4×sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋23cos 2x＝3(sin x ＋cos x )2＋23cos 2x ＝3＋3sin 2x ＋3(cos 2x ＋1) ＝3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，又h (x )有最小值为3，所以有3＋3＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12.因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ，π3， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ＋π6，5π6，所以2a ＋π6＝－π6，即a ＝－π6.第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C 级要求，二倍角的正弦、余弦及正切是B 级要求，应用时要适当选择公式，灵活应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题；(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B 级要求，主要考查：①边和角的计算；②三角形形状的判断；③面积的计算；④有关的范围问题．由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视．真 题 感 悟1．(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________．解析 ∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2＋tan β1＋2tan β＝17，解得tan β＝3. 答案 32．(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1 ＝12225－7250＝17250. 答案172503．(2010·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan Ctan B＝________． 解析 b a ＋a b ＝6cos C ⇒6ab cos C ＝a 2＋b 2，6ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2，a 2＋b 2＝3c 22.tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos C ·cos B sin A ＋sin B cos A sin A sin B ＝sin C cos C ·sin （A ＋B ）sin A sin B ＝1cos C ·sin 2C sin A sin B ， 由正弦定理得：上式＝1cos C ·c2ab ＝4.答案 44．(2014·江苏卷)若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是________．解析 ∵sin A ＋2sin B ＝2sin C . 由正弦定理可得a ＋2b ＝2c ，即c ＝a ＋2b2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝3a 2＋2b 2－22ab 8ab ≥26ab －22ab 8ab ＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即ab＝23时等号成立．∴cos C 的最小值为6－24. 答案6－24考 点 整 合1．三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2．正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A.热点一 三角变换的应用 [微题型1] 求值【例1－1】 (1)(2015·苏北四市模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝________．(2)(2015·邯郸模拟)已知cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α＝________．(3)(2015·金华模拟)已知tan αtan α－1＝－1，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝________．解析 (1)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23.由cos α＝2cos2α2－1， α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66. (2)cos （π－2α）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－cos 2α22（sin α－cos α）＝－（cos 2α－sin 2α）22（sin α－cos α）＝2(cos α＋sin α)＝－22. 所以cos α＋sin α＝－12.(3)由tan αtan α－1＝－1得tan α＝12，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－sin(π－α)cos(π＋α)＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2＝sin 2α＋sin αcos α＋2(sin 2α＋cos 2α) ＝3sin 2α＋sin αcos α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋tan α＋2tan 2α＋1＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＝135. 答案 (1)－66 (2)－12 (3)135探究提高 在三角函数求值过程中，要注意“三看”，即： (1)看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化；(2)看名称，把一个等式尽量化成同一名称或近似的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切；(3)看式子，看式子是否满足三角函数的公式，如果满足，直接使用，如果不满足，则需要转化角或转换名称，才可以使用． [微题型2] 求角【例1－2】 (2015·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________．解析 因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.所以cos(α－2β)＝17，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－1114×17＋5314×437＝12.又π4＜α＋β＜3π4，所以α＋β＝π3. 答案π3探究提高 解答这类问题的方法一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可，特别要注意对三角函数值符号的判断．【训练1】 (2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2 sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45 ＝－4＋3310.热点二 正、余弦定理的应用 [微题型1] 判断三角形的形状【例2－1】 (2015·南师附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是________．解析 因为(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， 所以(a 2＋b 2)(sin A cos B －cos A sin B ) ＝(a 2－b 2)(sin A cos B ＋cos A sin B )， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一 由正弦定理得sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B ， 因为sin A ·sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，所以sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 法二 由正弦定理、余弦定理得a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，即a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， 即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，所以a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0，即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形探究提高 判断三角形的形状要对所给的边角关系进行转化，使之变为只含有边或角的式子然后判断．如本题既可化为角的关系A ＝B 或A ＋B ＝π2来判断，也可化为边的关系a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2来判断．同时在判断三角形的形状时一定要注意“解”是否唯一，并注意挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响． [微题型2] 解三角形【例2－2】 (2014·苏、锡、常、镇模拟)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值． 解 (1)由cos A ＝1213，且0<A <π，得sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.又S △ABC ＝12bc sin A ＝30，所以bc ＝156，所以AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144.(2)由(1)知bc ＝156，又cos A ＝1213，c －b ＝1，在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A )＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，所以a ＝5. 探究提高 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的．其基本步骤是： 第一步：定条件即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．[微题型3] 求解三角形中的实际问题【例2－3】 (2013·江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ·sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)． 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ， 所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ·sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内．探究提高 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【训练2】 (2015·南通模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c sin B ＝b cos C ＝3. (1)求b ；(2)若△ABC 的面积为212，求c .解 (1)由正弦定理得：sin C sin B ＝sin B cos C . 又sin B ≠0， 所以sin C ＝cos C ， ∴C ＝45°.又b cos C ＝3， 所以b ＝3 2.(2)因为S △ABC ＝12ac sin B ＝212，c sin B ＝3，所以a ＝7，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝25. 所以c ＝5.1．对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法．2．三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解．3．三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sinA ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题，如：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解，注意确定解的个数.一、填空题1．(2013·苏、锡、常、镇模拟)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝______．解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＋2α ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝－79.答案 －792．(2015·晋中模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos α等于________． 解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，54π.⎝⎭45⎝⎭45∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤φ＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝－45×22＋35×22＝－210.答案 －2103．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________．解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5. 答案54．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC的面积是________．解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①. ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案3325．(2015·苏、锡、常、镇模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝45 3，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是________．解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453， ∴12cos α＋32sin α＝45， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.⎝⎭6⎝⎭65答案 －456．(2015·南京、盐城模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为________三角形．解析 依题意，A ＋C ＝2π3，b 2＝ac ；又由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，故a ＝c ，故A ＝C ＝π3，即△ABC 为等边三角形．答案 等边7．(2015·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析 ∵cos A ＝－14，0＜A ＜π，∴sin A ＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8. 答案 88．在△ABC 中，tanA ＋B2＝2sin C ，若AB ＝1，则12AC ＋BC 的最大值为________． 解析 因为tan A ＋B2＝2sin C ，所以sin A ＋B 2cos A ＋B 2＝2sin C ⇒2sin A ＋B 2·cosA ＋B22⎝⎛⎭⎪⎫cos A ＋B 22＝2sin C ⇒sin （A ＋B ）1＋cos （A ＋B ）＝2sin C ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以A ＋B ＝π－C ，所以sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， 所以sin C 1－cos C＝2sin C ，因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.因为BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ＝233，所以12AC ＋BC ＝33sin B ＋233sin A ＝33·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＋233sin A ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A ＋2sin A ＝213sin(A ＋φ)，其中0＜φ＜π2且tan φ＝35，所以当sin(A ＋φ)＝1时，12AC ＋BC 取得最大值，为213. 答案213二、解答题9．(2015·江苏卷)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解 (1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.因为AB ＜BC ，所以C 为锐角， 则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此sin 2C ＝2sin C ·cos C ＝2×217×277＝437. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值．解 (1)因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B .由正、余弦定理得 a ＝2b ·a 2＋c 2－b 22ac.因为b ＝3，c ＝1，所以a 2＝12，a ＝2 3.(2)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋1－126＝－13.由于0＜A ＜π， 所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－19＝223. 故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝sin A cos π4＋cos A sin π4 ＝223×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×22＝4－26. 11．(2015·苏北四市模拟)某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l 上的四边形电气线路，如图所示，为充分利用现有材料，边BC ，CD 用一根5米长的材料弯折而成，边BA ，AD 用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且AB ＝BC ，(1)设AB ＝x 米，cos A ＝f (x )，求f (x )的解析式，并指出x 的取值范围； (2)求四边形ABCD 面积的最大值． 解 (1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A .同理，在△CBD 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C . 因为∠A 和∠C 互补，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos C ＝CB 2＋CD 2＋2CB ·CD ·cos A . 即x 2＋(9－x )2－2x (9－x )cos A ＝x 2＋(5－x )2＋2x (5－x )cos A . 解得cos A ＝2x，即f (x )＝2x，其中x ∈(2，5)．(2)四边形ABCD 的面积S ＝12(AB ·AD ＋CB ·CD )·sin A ＝12[x (5－x )＋x (9－x )] 1－cos 2A .＝x (7－x )1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＝（x 2－4）（7－x ）2＝（x 2－4）（x 2－14x ＋49）.记g (x )＝(x 2－4)(x 2－14x ＋49)，x ∈(2，5)． 由g ′(x )＝2x (x 2－14x ＋49)＋(x 2－4)(2x －14)＝2(x －7)(2x 2－7x －4)＝0， 解得x ＝4(x ＝7和x ＝－12舍)．所以函数g (x )在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减． 因此g (x )的最大值为g (4)＝12×9＝108.所以S 的最大值为108＝6 3. 故所求四边形ABCD 面积的最大值为6 3 m 2.第3讲 平面向量高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求．主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．真 题 感 悟1．(2015·江苏卷)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．解析 ∵a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3. 答案 －32．(2011·江苏卷)已知e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则k 的值为________．解析 因为e 1，e 2是夹角为23π的两个单位向量，所以e 1·e 2＝||e 1||e 2cos 〈e 1，e 2〉＝cos2π3＝－12，又a·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.答案 543．(2014·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．解析 由题图可得，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋34CD →＝AD →－34AB →.∴AP →·BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝AD →2－12AD →·AB →－316AB →2＝2，故有2＝25－12AD →·AB →－316×64，解得AD →·AB →＝22.答案 224．(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB→＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析 如图，DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，则λ1＝－16，λ2＝23，λ1＋λ2＝12.答案 12考 点 整 合1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底． 2．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →)． (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面向量的有关运算 [微题型1] 平面向量的线性运算【例1－1】 (2015·北京卷)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________． 解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →) ＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －16探究提高 解决此类问题的关键是先选择一组基底，并运用平面向量的基本定理，将条件和结论表示成基底的线性组合，再通过对比已知等式列方程组可得． [微题型2] 平面向量的坐标运算【例1－2】 (2015·保定模拟)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(1，3)，c ＝(k ，7)，若(a ＋2c )∥b ，则k ＝________．解析 依题意得a ＋2c ＝(3，1)＋(2k ，14)＝(3＋2k ，15)，因为b ＝(1，3)，(a ＋2c )∥b . 所以3(3＋2k )＝15， 解得k ＝1. 答案 1探究提高 在应用两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是 x 1y 2－x 2y 1＝0；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断． [微题型3] 平面向量数量积的运算【例1－3】 (1)(2015·湖北卷)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________． (2)(2015·天津卷)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________．解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →， ∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32. 又BE →＝λBC →；DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.答案 (1)9 (2)2918探究提高 求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方法．【训练1】 (1)(2015·福建卷改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________．(2)(2015·苏州期末)已知a ，b ，c 是单位向量，a ⊥b ，则(a ＋b ＋2c )·c 的最大值是________．解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB→|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4· (－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时(负值舍去)取得最大值13.(2)依题意，设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(cos θ，sin θ)，则(a ＋b ＋2c )·c ＝(2cos θ＋1，2sin θ＋1)·(cos θ，sin θ)＝(2cos θ＋1)cos θ＋(2sin θ＋1)·sin θ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的最大值是2＋ 2. 答案 (1)13 (2)2＋ 2 热点二 平面向量与三角的交汇 [微题型1] 平面向量与三角形【例2－1】 已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________(填重心、垂心、内心或外心)．解析 由已知，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，设△ABC 中BC 边的中点为D ，知AB →＋AC →＝2AD →，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心．故填重心．。
高考数学《复数》专项练习.doc
《复数》专项练习参考答案1 ．（2016 全国 Ⅰ 卷，文 2，5 分）设(12i)( a i) 的实部与虚部相等， 其中 a 为实数，则 a ＝ ()（ A ） 3 （ B ）2 （C ） 2 （ D ）3【答案】 A【解析】 (1 2i)( a i) a 2(1 2a)i ，由已知， 得 a 2 1 2a ，解得 a 3 ，选 A ．2 ．（ 2016 全国 Ⅰ卷，理 2，5 分）设(1i) x 1 yi ，其中 x ， y 是实数，则x yi = ()（ A ） 1 （ B ） 2（ C ） 3 （D ） 2【答案】 B【解析】因为 (1 i) x=1+yi, 所以 xxi=1+ yi,所以 x=1,y x 1,故|x yi | =|1+i | 2, 故选 B ．3 ．（ 2016 全国 Ⅱ卷，文 2，5 分）设复数 z 满足 z i3 i ，则 z ＝ ()（ A ） 1 2i （ B ） 1 2i （ C ） 3 2i（ D ） 3 2i【答案】 C【解析】由 zi 3i 得 z 3 2i ，所以 z 3 2i ，故选 C ．4 ．（ 2016 全国 Ⅱ 卷，理 1，5 分）已知 z(m 3) (m 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 ( )（ A ） ( 31)，（ B ） ( 1，3)（ C ） (1,+ ) （ D ） (- ， 3)5 ．（ 2016 全国 Ⅲ卷，文 2，5 分）若 z4 3i ，则z＝ ( )| z|（ A ） 1 （B ） 1（ C ）4 3i（ D ）4 3i【答案】 D5 5 5 5【解析】∵ z4 3i ，∴ z ＝4－ 3i ，| z| ＝ 42 32 ．则 z4 3i 4 3 i ，故选 D ．| z| 42 32 556 ．（ 2016 全国 Ⅲ卷，理 2，54i()分）若 z ＝ 1＋2i ，则(A)1 (B)1(C)i(D)izz 1【答案】 C【解析】∵ z ＝ 1＋ 2i ，∴ z ＝ 1－ 2i ，则4i4ii ，故选 C ．zz 1(1 2i)(12i) 17 ．（ 2015 全国 Ⅰ卷，文 3，5 分）已知复数 z 满足 (z － 1)i ＝ 1＋i ，则 z ＝()A ．－ 2－ iB ．－ 2＋iC ． 2－ iD ． 2＋ i 【答案】 C【解析一】 (z － 1)i ＝ 1＋ i zi － i ＝ 1＋ izi ＝ 1＋ 2iz ＝ ＝＝2－ i ．故选 C ．【解析二】 (z －1)i ＝1＋ i z － 1＝z ＝ ＋1 z ＝ ＋ 1＝2－ i ．故选 C ．8 ．（ 2015 全国Ⅰ卷，理 1，5 分）设复数 z 满足1+z ＝ i，则 |z| ＝ ( )1 z（ A） 1 （B） 2 （ C） 3 （ D） 2【答案】 A【解析一】1+z ＝i 1＋ z＝ i(1－ z) 1＋ z＝ i－ zi z＋ zi＝－ 1＋ i1 z(1＋ i)z＝－ 1＋ i9 ．（ 2015 全国Ⅱ卷，文2，5 分）若 a 为实数，且＝ 3＋ i，则 a＝ ( )A．－ 4 B．－ 3 C． 3 D． 4【答案】 D【解析】由已知得2＋ ai＝ (1＋ i)(3＋ i)＝ 2＋ 4i，所以 a＝ 4，故选 D．10．（ 2015 全国Ⅱ卷，理2， 5 分）若 a 为实数，且 (2＋ai)(a－2i)＝－ 4i，则 a＝ ( ) A．－ 1 B．0 C． 1 D． 2【答案】 B【解析】 (2＋ ai)(a－2i)＝－ 4i 2a－4i＋ a2 i＋ 2a＝－ 4i 2a－ 4i＋a2i＋ 2a＋ 4i＝ 0 4a＋ a2i＝ 0 a＝0．11．（ 2014 全国Ⅰ卷，文3， 5 分）设 z＝＋ i ，则 |z| ＝ ()A．B．C．D． 2【答案】 B【解析】 z＝＋ i＝＋ i＝i，因此 |z| ＝，故选 B．12．＝( )A． 1＋ iB． 1－ i C．－ 1＋ i D．－ 1－ i【答案】 D【解析】·＝＝＝＝－ (1＋ i)＝－ 1－ i，故选 D．13．（ 2014 全国Ⅱ卷，文2， 5 分）＝( )A． 1＋ 2i B．－ 1＋2i C． 1－ 2i D．－ 1－ 2i【答案】 B【解析】＝＝－ 1＋ 2i，故选 B．14．（ 2014 全国Ⅱ卷，理2， 5 分）设复数 1 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1 ＝ 2＋ i，z ，z z 则 z1z2＝ ( )A．－ 5 B．5 C．－ 4＋ i D．－ 4－ i【答案】 A【解析】由题意得z2＝－ 2＋ i，∴ z1z2＝ (2＋ i)(－ 2＋ i)＝－ 5，故选 A．15．（ 2013 全国Ⅰ卷，文 2， 5 分）＝()A ．－ 1－B ．－ 1＋C ． 1＋D ． 1－ i【答案】 B【解析】＝－ 1＋ i ，故选 B ．16．（ 2013 全国 Ⅰ卷，理 2， 5 分）若复数 z 满足 (3－ 4i)z ＝ |4 ＋ 3i| ，则 z 的虚部为 ()A ．－ 4B ．－C ．4D ．【答案】 D【解析】 ∵ |4 ＋ 3i| ＝＝ 5， ∴ (3－ 4i)z ＝ 5，∴ z ＝i ，虚部为 ，故选D ．17．（ 2013 全国 Ⅱ卷，文 2， 5 分）＝ ()A ． 2B ． 2C ．D ． 1【答案】 C【解析】＝ |1 － i| ＝ 12( 1)2 ＝．选 C ．18（ 2013 全国 Ⅱ卷，理 2，5 分）设复数 z 满足 (1－i)z ＝ 2i ，则 z ＝ ()A ．－ 1＋ iB ．－ 1－iC ． 1＋ iD ． 1－ i 【答案】 A【解析】 由题意得 z ＝＝＝＝＝－ 1＋ i ，故选 A ．19．（ 2012 全国卷，文 2，5 分）复数 z ＝的共轭复数是 () A ． 2＋ iB ． 2－ I C ．－ 1＋ iD ．－ 1－ i【答案】 D【解析】 z ＝＝－ 1＋ i ， ∴ ＝－ 1－ i ，故选 D ．20．（ 2011 全国卷，文 2，5 分）复数＝ ()A ． 2－ iB ． 1－ 2iC ．－ 2＋ iD ．－ 1＋ 2i【答案】 C【解析】＝－ 2＋ i ，故选 C ．21．（ 2016 北京，文 2， 5 分）复数12i = ( )2 i（ A ） i （B ） 1＋ i （ C ） i （D ） 1 i【答案】 A【解析】12i(1 2i)(2 i) 2 i 4i 2 i ，故选 A ．2 i (2 i)(2 i) 522．（ 2016 北京，理 9， 5 分）设 aR ，若复数 (1i)( a i) 在复平面内对应的点位于实轴上，则 a _____________． 【答案】－ 1【解析】 (1＋ i)(a ＋ i)＝ a ＋ i ＋ ai ＋ i 2＝ a ＋ i ＋ ai － 1＝ (a － 1)＋(1＋ a)i ，由题意得虚部为 0，即 (1 ＋ a)＝0，解得 a ＝－ 1 ．23．（ 2016 江苏，文 / 理 2， 5 分）复数 z (1 2i)(3 i), 其中 i 为虚数单位，则z 的实部是 ____．【答案】 524．（ 2016 山东，文 2， 5 分）若复数 z2，其中 i 为虚数单位，则z ＝() 1 i（ A） 1＋ i （ B） 1i （ C）1 ＋i （D） 1i【答案】 B25．（ 2016 山东，理 1， 5 分）若复数 z 满足 2 z z 3 2i, 其中 i 为虚数单位，则 z＝ () （ A） 1＋2i （ B） 1 2i （ C） 1 2i （D） 1 2i【答案】 B26．（ 2016 上海，文 / 理 2， 5 分）设z 3 2i ，其中 i 为虚数单位，则z 的虚部等于 _______．【答案】 3i3 2i3i, 故z的虚部等于 3 ．【解析】z 2i27．（ 2016 四川，文1，5 分）设 i 为虚数单位，则复数 (1＋ i)2＝( )(A) 0 (B)2 (C)2i (D)2＋ 2i【答案】 C【解析】 (1 i) 2 1 2i i 2 2i ，故选C．28．（ 2016 天津，文9， 5 分）i是虚数单位，复数z 满足 (1 i) z 2 ，则z的实部为_______．【答案】 1【解析】 (1 i) z 221 i ，所以 z 的实部为1．z1 i29．（ 2016 天津，理 9，5 分）已知 a,b R ，i是虚数单位，若(1 i)(1 bi)＝ a，则a的值为 ____．【答案】 2b【解析】由 (1 i)(1 bi) 1 b1 b a a 22 ，故(1 b)i a ，可得b，所以b，a1 0 1 b答案为 2．。
江苏省苏州市高三数学复数测试题
一、复数选择题1．i 是虚数单位，复数13i +=（ ） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 2．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i3．若复数(2)z i i =+（其中i 为虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．5B ．5C ．5-D ．5i4．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是1z ，2z ，则12z z -=（ ）A 2B ．2C ．2D ．85．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A 2B ．2 C ．22D ．4 6．已知复数512z i =+，则z =（ ） A ．1 B 5 C 5D ．57．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i -C ．35D ．35i 8．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+9．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i --D ．1i - 11．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -12．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i += 13．在复平面内，已知平行四边形OABC 顶点O ，A ，C 分别表示25-+i ，32i +，则点B 对应的复数的共轭复数为（ ）A ．17i -B ．16i -C ．16i --D ．17i --14．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i 15．题目文件丢失！二、多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限17．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =18．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =20．已知复数1cos 2sin 222z i ππθθθ⎛⎫=++-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位），则（ ） A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 B ．z 可能为实数C ．2cos z θ=D ．1z 的实部为12- 21．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =22．下列说法正确的是（ ）A ．若2z =，则4z z ⋅=B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虛部相等D ．“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件 23．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限24．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称25．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数26．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根27．下面四个命题，其中错误的命题是（ ）A ．0比i -大B ．两个复数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C ．1x yi i +=+的充要条件为1x y ==D ．任何纯虚数的平方都是负实数 28．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 29．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ）A ．1B ．4-C ．0D ．530．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】.故选：B.解析：B【分析】由复数除法运算直接计算即可.【详解】()211i i i i++==--. 故选：B. 2．C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-，故选C3．B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】，所以，故选：B解析：B【分析】由已知等式，利用复数的运算法则化简复数，即可求其模.【详解】(2)21z i i i =+=-，所以|z |=故选：B4．B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知，，则，故.故选:B.解析：B【分析】根据复数的几何意义，求两个复数，再计算复数的模.【详解】由图象可知1z i =，22z i =-，则1222z z i -=-+，故12|22|z z i -=-+==故选:B .5．A【分析】将代入，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解.【详解】由，得，则，故选：A.解析：A【分析】将1z i =-代入1z z-，利用复数的除法运算化简，再利用复数的求模公式求解. 【详解】 由1z i =-，得2111z i i i i z i i---===---，则11z i z =--==-，故选：A.6．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C 【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.7．A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A. 8．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ⋅=-，所以()13133i z i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A9．B【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-，故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.10．A【分析】由得出，再由复数的四则运算求解即可.【详解】由题意得，则.故选：A解析：A【分析】由()1,1-得出1i z =-+，再由复数的四则运算求解即可.【详解】由题意得1i z =-+，则1i 1i i 111i 1i i i 1z z -----+==⋅==-++-. 故选：A 11．A【分析】先化简，由此求得，进而求得的虚部.【详解】，所以，则的虚部为.故选：A解析：A【分析】 先化简z ，由此求得z ，进而求得z 的虚部.【详解】()()()()212251212125i i i i z i i i i ----====-++-， 所以z i ，则z 的虚部为1.故选：A12．B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．A【分析】根据复数的几何意义得出坐标，由平行四边形得点坐标，即得点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意，设，∵是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴，即，∴点对应是，共轭复数为．解析：A【分析】根据复数的几何意义得出,A C 坐标，由平行四边形得B 点坐标，即得B 点对应复数，从而到共轭复数．【详解】由题意(2,5),(3,2)A C -，设(,)B x y ，∵OABC 是平行四边形，AC 中点和BO 中点相同，∴023052x y +=-+⎧⎨+=+⎩，即17x y =⎧⎨=⎩，∴B 点对应是17i +，共轭复数为17i -． 故选：A ．14．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+， 则z 的虚部是1．故选：B ．15．无二、多选题16．AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+，所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC18．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，122z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()2020633644311122z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.19．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 20．BC【分析】由可得，得，可判断A 选项，当虚部，时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得，的实部是，可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以，所以，所以A 选解析：BC【分析】 由22ππθ-<<可得2πθπ-<<，得01cos22θ<+≤，可判断A 选项，当虚部sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，可判断B 选项，由复数的模计算和余弦的二倍角公式可判断C 选项，由复数的运算得11cos 2sin 212cos 2i z θθθ+-=+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，可判断D 选项.【详解】 因为22ππθ-<<，所以2πθπ-<<，所以1cos21θ-<≤，所以01cos22θ<+≤，所以A 选项错误；当sin 20θ=，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，复数z 是实数，故B 选项正确；2cos z θ===，故C 选项正确：()()111cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2sin 212cos 2i i z i i i θθθθθθθθθθθ+-+-===+++++-+，1z 的实部是1cos 2122cos 22θθ+=+，故D 不正确. 故选：BC【点睛】本题主要考查复数的概念，复数模的计算，复数的运算，以及三角恒等变换的应用，属于中档题.21．AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.【点睛】 本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.22．AD【分析】由求得判断A ；设出，，证明在满足时，不一定有判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】若，则，故A 正确；设，由，可得则，而不一定为0，故B 错误； 当时解析：AD【分析】由z 求得z z ⋅判断A ；设出1z ，2z ，证明在满足1212z z z z +=-时，不一定有120z z =判断B ；举例说明C 错误；由充分必要条件的判定说明D 正确.【详解】 若2z =，则24z z z ⋅==，故A 正确；设()11111,z a bi a b R =+∈，()22222,z a b i a b R =+∈由1212z z z z +=-，可得()()()()222222121212121212z z a a b b z z a a b b +=+++=-=-+-则12120a a b b +=，而()()121122121212121212122z z a bi a b i a a bb a b i b a i a a a b i b a i =++=-++=++不一定为0，故B 错误；当1z i =-时22z i =-为纯虚数，其实部和虚部不相等，故C 错误；若复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数，则210a -≠，即1a ≠± 所以“1a ≠”是“复数()()()211z a a i a R =-+-∈是虚数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：AD【点睛】本题考查的是复数的相关知识，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.23．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.24．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误； 对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．25．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．26．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i =-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.27．ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，解析：ABC【分析】根据虚数不能比大小可判断A 选项的正误；利用特殊值法可判断B 选项的正误；利用特殊值法可判断C 选项的正误；利用复数的运算可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，由于虚数不能比大小，A 选项错误；对于B 选项，()()123i i ++-=，但1i +与2i -不互为共轭复数，B 选项错误； 对于C 选项，由于1x yi i +=+，且x 、y 不一定是实数，若取x i =，y i =-，则1x yi i +=+，C 选项错误；对于D 选项，任取纯虚数()0,ai a a R ≠∈，则()220ai a =-<，D 选项正确. 故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.28．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥，此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 29．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
江苏省2016届高考数学模拟试题分类汇编：06平面向量与复数
第六章 平面向量与复数 第35课 向量的有关概念和线性运算(无锡期中) 8．如图，在△ABC 中，12CD AE DA EB ==，若DE CA CB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=▲ ．23(常州期末) 12、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+u u u r u u u r u u u r 均为正数），则11m n+的最小值为7434+ (苏北四市摸底) 13．在ΔABC 中，2AB =，3AC =，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (x ，)y ∈R ，则x y +的值为 ▲ ．58第36课 平面向量基本定理和坐标运算（苏州期初）7. 设R x ∈，向量),,2(),1,(y b x a ==且)3,5(2-=+b a ，则=+y x1-（苏州期末）５.已知向量a =(1，2)，b =(x ，-2)，且a ⊥(a -b )，则实数x = ▲ ．9 （南京期初）5．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，4)，且 a ∥(2a ＋b )，则实数m 的值为▲________．2(常州期末)10、22(4,2),(1,)2x x xx a b -==r r ，x R ∈，若a b ⊥r r ，则||a b -r r ＝ 2(扬州期末)10．已知(cos ,sin )m αα=u r ，(2,1)n =r ，(,)22ππα∈-，若1m n ⋅=u r r ，则3sin(2)2πα+=▲ ． 725-(盐城期中) 9．设向量(5cos ,4sin )OA θθ=++u u u r ，(2,0)OB =u u u r ，则||AB uuu r的取值范围是▲ . [4,6]（泰州期末）在ABC ∆中，角,A B 的对边分别为,a b ，向量B CED(cos ,sin ),(cos ,sin )A B B A ==m n ．（1）若cos cos a A b B =，求证：//m n ；（2）若⊥m n ,a b >，求tan2A B-的值． 15. 证明：（1）因为cos cos a A b B =，所以sin cos sin cos A A B B =，所以//m n . ……………7分（2）因为⊥m n ，所以cos cos sin sin 0A B A B +=，即cos()0A B -=， 因为a b >，所以A B >，又,(0,)A B π∈，所以(0,)A B π-∈，则2A B π-=，…12分所以tantan 124A B π-==.（无锡期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a =r (2，0)，b =r(0，1).设向量()1cos x a b θ=++r r r ，2sin y ka b θ=-+⋅u r r r ，其中02πθ<<.（1）若x r ∥y u r ，且π3θ=，求实数k 的值；（2）若x r ⊥y u r，求实数k 的最大值，并求取最大值时cos θ的值.解：（1）当π3θ=时，32,2x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，32,4y k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u r ， …………………2分因为x r ∥y u r ，所以332242k ⋅=-⋅，所以12k =-. …………………6分（2）依题意，()2,1cos x θ=+r ，()22,sin y k θ=-u r. 因为x r ⊥y u r，所以()24sin1cos k θθ=+，即()21sin 1cos 4k θθ=+. ………………8分令()2sin1cos y θθ=+，即()()21cos 1cos y θθ=-+，其中02πθ<<.令()cos 0,1t θ=∈，则321y t t t =--++，()0,1t ∈. 则()()2321131y t t t t '=--+=-+-.令0='y ，则13t =， …………………10分 ∴当10,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0>'y ，即321y t t t =--++在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当1,13t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '<，即321y t t t =--++在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 故当13t =，即1cos 3θ=时，3227max y =，此时实数k 取最大值827．…………14分第37课 平面向量的数量积(盐城期中)10．如图，在平行四边形ABCD 中，6AB =，4AD =，点P 是DC 边的中点，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ . 7(南京盐城一模) 11．如图，在ABC ∆中，3AB AC ==，1cos 3BAC ∠=，2DC BD =u u u r u u u r ，则AD BC ⋅u u u r u u u r的值为 ▲ . 2-（南京期初）12．已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且AE →·BD →＝1，则BD →·BE →的值为▲________．3(扬州期中) 7．在ABC ∆中，若1AB =，2BC =，CA =则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的值是▲ ． 5-（盐城三模）10．已知向量,a b r r 满足(4,3)a =-r ，||1b =r，||a b -=r r ，则向量,a b r r 的夹角为 ▲ . 3π（或60︒）（南京三模）11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝▲________．32（无锡期末）11、已知平面向量,αβu r u r 满足1β=u r ，且αu r 与βα-u r u r 的夹角为120o，则αu r 的模的取值范围是（苏锡常镇 调研一）在平面直角坐标系xOy 中，设M 是函数24()(0)x f x x x+=>的图（南京三模）PBCD 盐城期中AB CD南京盐城一像上任意一点，过M 点向直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别是A ，B ，则MA MB ⋅u u u r u u u r= .答案：2-解析：设 (,)M a b ，则 24(0)a b a a+=> ，据题设 得(0,)B b ，向量(,0)MB a =-u u u r ， 设(,)A m m 则 直线 MA 斜率为-1， 即1b m a m -=--， 得 2a bm +=向量 (,)22b a a bMA --=u u u r ，22a ab MA MB -⋅=u u u r u u u r ，把24(0)a b a a +=>代入得22422a a MA MB --⋅==-u u u r u u u r【命题立意】本题旨在考查向量的线性运算，向量的数量积，向量的坐标运算．考查运算能力，及灵活运用数学知识能力．难度中等.（南通调研一）12.已知边长为6的正三角形ABC ,,21,21AC AE BC BD ==AD 与BE 交点P ,则PD PB ⋅的值为【答案】3．【命题立意】本题旨在考查向量的线性运算，向量的数量积，向量的坐标运算．考查运算能力，推理论证能力及灵活运用数学知识能力．难度中等.【解析】法一：设AB →＝→a ，AC →＝→b ．则→a ·→b ＝8．设AP →＝λAB →+μAE →＝λ→a ＋μ3→b ，AP →＝ηAD →＝η2→a +η2→b ， 又B 、P 、E 三点共线，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧λ＝η2μ3＝η2λ+μ＝1解之得：λ＝14，μ＝34，η＝12． PB →＝AB →－AP →＝34→a －14→b ，PD →＝14→a +14→b ，PB →·PD →＝(34→a －14→b )(14→a +14→b )＝116(3→a 2＋2→a ·→b －→b 2）＝3．法二：以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，B (－2，0)，C (－2，0)，A (0，23)，E (23，433)， P (0，3)．所以，PB →·PD →＝(－2，－3)·(0，－3)＝3．第38课 平面向量的应用(苏北四市摸底) 9．已知|1|=a ，||2=b，+=a b ，则向量,a b 的夹角为 ▲ ．23π（南通三模）10.如图，已知ABC ∆的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ，交BC 于点Q .若3,5AB AC ==u u u r u u u r ，则()()AP AQ AB AC +⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r的值为 ▲ ．-16（苏北三市三模）12．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ，b 是相互垂直的单位向量，且(a -cb -c )=1，则|c |的最大值为 ▲．（南通二调）１２.如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线,m n 的同侧，且A 到,m n 的距离分别为1，3．点,B C 分别在,m n ，5AB AC +=u u u r u u u r，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的最大值是 ▲ ．214（南京盐城二模）11．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝4．若点D 在边BC 上，且BD →＝2DC →，AD ＝273，则AC 的长为▲________．3（泰州期末）12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点,A B 分别为x 轴，y 轴上一点，且2AB =，若点P ，则AP BP OP ++u u u r u u u r u u u r的取值范围是 ▲ ． [7,11]（苏北四市期末）11.已知||=||=OA OB u u u r u u u r =1OA OB ⋅u u u r u u u r ．若点C 满足||=1OA CB +u u u r u u u r，则||OC u u u r的取值范围是 ▲ ．第39课 复数（苏州期初）2.设复数i zi 21+=（i 为虚数单位），则=z i -2（盐城三模）2．若复数z 满足(2)43i z i -=+（i 为虚数单位），则||z = ▲ .（苏锡常镇调研二）2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．1- （苏锡常镇调研一）2．已知i 为虚数单位，复数z 满足43zi i+=，则复数z 的模为 . 答案：5解析：243z i i +=，34z i =--，34=5z i =--。
2016年苏州市高考数学考前40练防错纠错6 立体几何.doc
防错纠错6 立体几何吴江中学 樊晓嵘修改一、填空题1. a 、b 、c 是空间三条直线，若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 的位置关系是________.【解析】a 、c 可能平行、相交、异面【易错、易失分点点拨】在处理两条直线位置关系时，要多想象，多借助实物进行演示. 2.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，,P Q 分别是11,AA CC 的中点，则四边形1D PBQ 的形状一定是______. 【解析】菱形【易错、易失分点点拨】容易得到该四边形对边互相平行且四边相等，学生可能看图会想当然把该四边形认为是正方形，事实上邻边并不垂直.点拨：处理立体几何问题时千万不能想当然，要有严格的推理.3.若四面体的四个顶点到平面α的距离相等，则这样的平面α的个数是 ． 【解析】7【易错、易失分点点拨】过点 A 作直线AO 垂直平面BCD 于点O ，则过AO 中点且垂直AO 的平面即满足条件，类似的像这样的平面共有4个（其中三点在平面α的一侧，另一点在平面的另一侧）．本题容易忽视第二类情况（两点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧），即到对棱距离相等的平面共3个而导致出错． 4.空间四边形ABCD 中，CD AB =且AB 与CD 所成的角为6π，F E ,分别为AD BC ,的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 ．【解析】取BD 中点G ，连结,EG FG ，则由三角形的中位线定理知1,,2EG CD EG CD =∥1,2FG AB FG AB =∥，因为AB 与CD 所成的角为6π，所以656ππ或=∠FGE ,所以EF 与AB 所成角为12512ππ或．【易错、易失分点点拨】异面直线所成角一般要通过平移将其转化为平面角，要特别注意异面直线所成角的范围是(0,90]，防止漏解． 5. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题： ①若,αββγ⊥⊥，则//αγ； ②若,m m αβ⊥⊥，则//αβ；BDCEGF③若//,m m n α⊥，则n α⊥； ④若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥. 则所有正确命题的序号是_________. 【解析】本题②④正确. 【易错、易失分点点拨】点拨：做这类辨析题时，要多想象，多借助于实物.6. 已知三棱锥P-ABC 中，PA 、PB 、PC两两互相垂直，1PA PB PC ==,棱锥外接球的表面积为______________.【解析】可把该三棱锥补成长方体，它们是同一个外接球，长方体的体对角线即为外接球的6π. 【易错、易失分点点拨】本题学生容易得到错解24π.原因是误把直径当半径. 点拨：体对角线是外接球直径，千万不可疏忽.7. 如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则21:V V 【解析】112211111334224ADE ABC V S h S h V ==⨯⨯=所以121:24V V =【易错、易失分点点拨】部分同学会疏忽得到错解121:8V V =忘记乘以13了. 点拨：棱锥的体积公式不要忘记13.8.如图所示，在长方体中14,2,3,AB cm AD cm AA cm ===则在长方体表面上连接1,C A 两点的所有曲线长度最小值为__________．【解析】将长方体的面分别展开平铺，当四边形11AA D D 和四边形11DD C C 在同一平面内时，最小距离为四边形11AAC C 的对角线，长=，当四边形11AA D D 和四边形ABCD 在同一平面内时，最小距离为四边形11BCD A 的对角线，长度是53)43(222=++，四AB C DD 1C 1B 1A 1边形ABCD 和四边形11CDD C 在同一平面内时，最小距离为四边形11D ABC 的对角线，长=cm 41．【易错、易失分点点拨】该题考查的是几何体的表面距离的最值问题，结合平面内连结两点的直线段是最短的，所以将长方体的侧面沿着不同的方向展开，使得两个点落在同一平面内，利用勾股定理来求解，选出最小的那个就是，容易出错的地方在于考虑不全面，沿着一个方向展开求得结果就是，从而出现错误，所以一定要注意应该有三条路径． 二、解答题9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，求证:平面1BC D ∥平面11AB D . 【解析】11//,BD B D BD ⊄ 平面11AB D ，11B D ⊂平面11AB D//BD ∴平面11AB D ，同理1//BC 平面11AB D 又因为11,,BD BC B BD BC =⊂ 平面1BC D 所以平面1BC D ∥平面11AB D【易错、易失分点点拨】在证明面面平行时，有的同学喜欢跳步，直接由线线平行得到面面平行，少了由线线平行到线面平行的过程，在考试中是要被扣分的.立体几何逻辑性非常强，证明时要严格按照定理的要求来进行书写，切不可漏条件.10.如图，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAB ．已知PA AB =，点D ，E 分别为PB ，BC 的中点．（1）求证：AD ⊥平面PBC ；（2）若F 在线段AC 上，满足//AD 平面PEF ，求AF FC的值．【解析】（1）⊥BC 平面PAB ，⊂AD 平面PAB.AD BC ⊥∴AB PA = ，D 为PB 中点，.PB AD ⊥∴⊥∴=⋂AD B BC PB , 平面PBCAPBCDEFDABCA 1D 1C 1B 1（2）连结,DC 交PE 于G ，连结,FG//AD 平面PEF ，⊂AD 平面ADC ，平面⋂ADC 平面,FG PEF =//,AD FG D ∴ 为PB 中点，E 为BC 中点，连结,DE 则DE 为BPC ∆的中位线，DEG ∆∽CPG ∆，1.2DG DE GC PC ∴== 【易错、易失分点点拨】学生的薄弱环节就是线面平行的性质定理不会用，要加强性质定理的训练.另外本题第2问还要注意书写格式，如果将第2问改为：当AFFC为何值时，可使得//AD 平面PEF .这两类问题一定要注意谁是条件，谁是结论，书写格式千万要注意.11.四面体ABCD 被一平面所截，截面与棱AD 、AC 、BC 、BD 分别交于Q 、M 、N 、P ，且截面MNPQ 是一个平行四边形. 求证：DC//平面MNPQ.【解析】因为截面MNPQ 是一个平行四边形，//MQ PN ∴ 又因为MQ ⊄平面BCD ，PN ⊂平面BCD ，//MQ ∴平面BCD 因为MQ ⊂平面ACD ，平面ACD 平面BCD=CD ，所以//MQ CD ∴ CD ⊄ 平面MNPQ ，MQ ⊂平面MNPQ ，∴DC//平面MNPQ.【易错、易失分点点拨】本题的目的是想再次训练线面平行的性质定理，如果学生对线面平行的性质定理不熟悉，那么该题他就会无从下手；或者会有很多推理的错误或漏洞.12. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 上一点. （1）若点D 是BC 的中点，求证:1//A C 平面1AB D ； （2）若平面1AB D ⊥平面11BCC B ，求证:AD BC ⊥.【解析】（1）连结1A B ，设11AB A B E = ，则E 为1A B 的中点， 连结DE ，由D 是BC 中点，得1//DE A C ，又D E ⊂平面1AB D ，且1AC ⊄平面1AB D ，所以1//A C 平面1AB D .DC EF（2）在平面11BCC B 中过B 作1BF B D ⊥，交1B D 于F ，因为平面1AB D ⊥平面11BCC B ，平面1AB D 平面111BCC B B D =，BF ⊂平面11BCC B ， 所以BF ⊥平面1AB D ，所以BF AD ⊥，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，因为AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥， 又1BB BF B = ，所以AD ⊥平面11BCC B ，所以AD BC ⊥【易错、易失分点点拨】本题主要问题在第（2）问，学生如果对面面平行的性质定理理解不深刻，可能就会做错，甚至无从下手.所以立体几何中的性质定理依然是学生的薄弱环节，要加以重视.。
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题5平面向量复数第40练平面向量小题综合练理含解析
江苏专用高考数学一轮复习加练半小时专题5平面向量复数第40练平面向量小题综合练理含解析[基础保分练]1.如图，点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 的交点，下列向量组：①AD →与AB →；②AD →与BC →；③OA →与OC →；④CA →与DC →，其中可作为平行四边形所在平面一组基底的向量组是________．2．(2019·苏州模拟)已知α是锐角，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34，sin α，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α，13，且a ∥b ，则α为________．3．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若(a －2b )⊥c ，则k ＝________. 4．给出下列命题：①若|a |＝0，则a ＝0；②若a 是单位向量，则|a |＝1；③a 与b 不平行，则a 与b 都是非零向量．其中真命题是________．(填序号)5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE →＝2EO →，则ED →＝________. 6．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝22|b |，且(a ＋b )·(3a －2b )＝0，则a 与b 的夹角为________． 7.如图所示，点A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段OC 与线段AB 交于圆内一点P ，若OC →＝mOA →＋2mOB →，AP →＝λAB →，则λ＝____________.8.如图，若点G 为△ABC 的重心，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，则AG →·CG →＝________.9．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 10．已知△OAB 是边长为1的正三角形，若点P 满足OP →＝(2－t )OA →＋tOB →(t ∈R )，则|AP →|的最小值为________．[能力提升练]1．(2018·南通调研)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c ·a ＝c ·b ＝1，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是________．2．在△ABC 中，E 为AC 上一点，AC →＝3AE →，P 为BE 上任一点，若AP →＝mAB →＋nAC →(m >0，n >0)，则3m ＋1n的最小值是________．3.已知△ABD 是等边三角形，且AB →＋12AD →＝AC →，|CD →|＝3，那么四边形ABCD 的面积为________．4．在平面内，定点A ，B ，C ，O 满足|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－2，动点P ，Q 满足|AP →|＝1，PQ →＝QC →，则4BQ →2－37的最大值是________．5．(2018·盐城模拟)在△ABC 中，D 是边BC 上一点，且BD →＝DC →，点列P n (n ∈N *)在直线AC 上，且满足P n A →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →，若a 1＝1，则数列{a n }的通项a n ＝________.6．(2018·南京模拟)△ABC 是边长为3的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝3a ，AC →＝3a ＋b ，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①b 为单位向量；②a 为单位向量；③a ⊥b ；④b ∥BC →； ⑤(6a ＋b )⊥BC →.答案精析基础保分练1．①④ 2.30°或60° 3.－3 4.②③ 5.23AD →－13AB → 6.π4解析 设a ，b 的夹角为θ， ∵(a ＋b )·(3a －2b )＝0， ∴3a 2＋a ·b －2b 2＝0，∴3|a |2＋|a |×|b |×cos θ－2|b |2＝0， ∵|a |＝22|b |， ∴3×12|b |2＋22|b |×|b |×cos θ－2|b |2＝0，又a ，b 为非零向量， ∴cos θ＝22，θ＝π4， ∴a 与b 的夹角为π4.7.23解析 ∵AP →＝OP →－OA →， 且OP →和OC →共线， ∴存在实数μ，使OP →＝μOC →＝μ(mOA →＋2mOB →)， 又AP →＝λAB →， ∴μ(mOA →＋2mOB →)－OA → ＝λ(OB →－OA →)，即(μm －1)OA →＋2μm OB →＝λOB →－λOA →，∴⎩⎪⎨⎪⎧μm －1＝－λ，2μm ＝λ，解得λ＝23.8．－59解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos60°＝4＋1－2×2×1×12＝3，∴AC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴△ABC 为直角三角形，且C ＝90°.以点C 为原点，边CA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)， 则A (3，0)，B (0,1) 又G 为△ABC 的重心，∴点G 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫33，13. ∴AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，13，CG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，13，∴AG →·CG →＝－233×33＋13×13＝－59.9．内心解析 ∵AB →|AB →|，AC→|AC →|分别表示向量AB →，AC →方向上的单位向量，∴AB→|AB →|＋AC→|AC →|在∠BAC 的角平分线上， 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，可得到OP →－OA →＝AP → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|， ∴向量AP →在∠BAC 的角平分线上， ∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心． 10.32解析 以O 为原点，以OB 为x 轴，建立平面直角坐标系， ∵△AOB 为边长为1的正三角形，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，B (1,0)， OP →＝(2－t )OA →＋tOB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t ，3－32t ，AP →＝OP →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋12，32－32t ，|AP →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32t 2 ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34≥32.能力提升练1．2 2 2.12 3.92 34．12解析 由题意得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →， 同理OC →⊥AB →，OA →⊥BC →， ∴O 是△ABC 的垂心， 又|OA →|＝|OB →|＝|OC →|， ∴O 为△ABC 的外心，因此，△ABC 的中心为O ，且△ABC 为正三角形， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝∠AOB ＝120°， 建立平面直角坐标系， 易得|OA →||OB →|cos120°＝－2， ∴|OA →＝|OB →|＝2，∴B (－3，－1)，C (3，－1)，A (0,2)， 设P (x ，y )，∵|AP →|＝1，∴x ＝cos θ，y ＝2＋sin θ， ∵PQ →＝QC →， ∴Q 为PC 的中点，∴Q ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，1＋sin θ2， ∴|BQ →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋cos θ22＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋sin θ22， ∴4|BQ →|2＝(33＋cos θ)2＋(3＋sin θ)2 ＝37＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， ∴4|BQ →|2－37＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤12.5.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1解析 由BD →＝DC →，可知D 为BC 的中点， ∴P n D →＝P n B →＋BD →＝12BC →－BP n →，∵P n A →＝P n B →＋BA →＝a n ＋1P n B →＋a n P n D →， ∴BA →－BP n →＝a n ＋1P n B →＋a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC →－BP n →，∴BA →＝(1－a n ＋1－a n )BP n →＋12a n BC →，又点列P n (n ∈N *)在直线AC 上， 即A ，P n ，C 三点共线， ∴1－a n ＋1－a n ＋12a n ＝1，∴a n ＋1＝－12a n ，∴数列{a n }是以a 1＝1为首项，－12为公比的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1.6．②④⑤。
高三平面向量与复数试卷及详细答案
平面向量与复数单元测试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．与向量a ＝(－5,12)方向相反的单位向量是( ) A ．(5，－12) B ．(－513，1213) C ．(12，－32)D ．(513，－1213)2．设向量a ，b 均为单位向量，且|a ＋b |＝1，则a 与b 夹角为( ) A.π3 B.π2 C.2π3D.3π43．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC →＋CB →＝0，则OC →等于( )A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB →D ．－13OA →＋23OB →4．已知复数z ＝(1＋2i )23－4i ，则1|z |＋z 等于( )A ．0B ．1C ．－1D ．25．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i 的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12i B ．－32＋32i C.36＋12iD.32＋32i6．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(1,2)，向量c 满足(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，则c 等于( )A ．(2,1)B ．(1,0)C ．(32，12)D ．(0，－1)7．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |＝( ) A ．2 B ．3 C. 3D ．48．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形但不一定是直角三角形D ．直角三角形但不一定是等腰三角形9．设a ＝(4,3)，a 在b 上的投影为522，b 在x 轴上的投影为2，且|b |≤14，则b 为( )A ．(2,14)B ．(2，－27) C ．(－2，－27)D ．(3,6)10．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13)D ．(223，－13)或(－223，－13)11．(2012·江西)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z－2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－212．设a 、b 为不共线的非零向量，AB →＝2a ＋3b ，BC →＝－8a －2b ，CD →＝－6a －4b ，那么( )A.AD →与BC →同向，且|AD →|>|BC →|B.AD →与BC →同向，且|AD →|<|BC →|C.AD →与BC →反向，且|AD →|>|BC →|D.AD →∥BD →二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知复数z ＝1－3i3＋i，z 是z 的共轭复数，则z 的模等于________． 14．已知A ，B ，C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上三点，OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OA →＝________.15．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，n )，若|a ＋b |＝a ·b ，则n ＝________. 16．对于向量a ，b ，c ，给出下列四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ＝|c |·b ，c ＝|b |·a ，则|a |＝|b |＝|c |＝1； ③若|a |＝|b |＝2，则(a ＋b )⊥(a －b )； ④若|a ·b |＝|b ·c |且b ≠0，则|a |＝|c |. 其中正确的命题序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知向量m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A2)，m ·n ＝－1.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝23，b ＝2，求c 的值． 18．(本小题满分12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，若实数k 使|k a ＋b |＝|a －k b |成立，求满足不等式a ·b ≥0的k 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )． (1)若x ∈(0，π2]，试判断a 与b 能否平行？ (2)若x ∈(0，π3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值． .20．(本小题满分12分)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足(2a ＋c )·BC →·BA →＋c ·CA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2 3.试求AB →·CB →的最小值． 21．(本小题满分12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？ 22．(本小题满分12分)已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝(3A cos x ，A2cos2x )(A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在[0，5π24]上的值域．答案一、选择题1． 答案 D解析 与a 方向相反的向量只能选A ，D ，其中单位向量只有D. 也可用公式n ＝－a|a |＝－(－5，12)(－5)2＋122＝(513，－1213)求得． 2． 答案 C解析 如图所示，四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 为边长为1的等边三角形，记AB →＝a ，AD →＝b ，则a 与b 的夹角为2π3，故选C.3． 答案 A解析 OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A.4． 答案 A解析 z ＝(1＋2i )23－4i ＝(4i －3)(3＋4i )25＝－16－925＝－1，所以1|z |＋z ＝1－1＝0.故选A.5．答案 D解析 方法一：由(z －i)(32－12i)＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.方法二：(z －i)(32－12i)＝1且|32－12i|＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i.6． 答案 A解析 设c ＝(x ，y )，由(c ＋b )⊥a ，(c －a )∥b ，可得⎩⎨⎧x ＋1－y －2＝0，y ＋1＝2(x －1)，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，因此c ＝(2,1)． 7． 答案 A解析 由|a ＋b |＝7，可得|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×|b |cos π3＋|b |2＝7，所以|b |2＋|b |－6＝0，解得|b |＝2或|b |＝－3(舍去)．故选A.8． 答案 C解析 由(OB →＋OC →－2OA →)(AB →－AC →)＝0，得(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0. ∴AB 2→－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|.∴AB ＝AC . 9． 答案 B解析 方法一：(验证排除法) ∵b 在x 轴上的投影为2，∴b 的横坐标为2，排除C ，D 项；又|b |≤14，排除A 项；故选B.方法二：设向量b ＝(2，y )，由题意得a ·b |a ||b |＝cos α＝522|a |＝22.将a ＝(4,3)，b ＝(2，y )代入上式计算，得y ＝－27或y ＝14.又|b |≤14，故y ＝14不合题意，舍去．则y ＝－27，即b ＝(2，－27)． 故应选B. 10． 答案 B解析 方法一：|a |＝|b |，要使所求向量e 与a 、b 夹角相等，只需a ·e ＝b ·e . ∵(72，12)·(45，－35)＝(12，－72)·(45，－35)＝52，排除C 、D. 又∵(72，12)·(－45，35)＝(12，－72)·(45，35)＝－52.∴排除A.方法二：设a ＝OA →，b ＝OB →.由已知得|a |＝|b |，a ⊥b ，则与向量a ，b 的夹角相等的向量在∠AOB 的角平分线上，与a ＋b 共线．∵a ＋b ＝(4，－3)，∴与a ＋b 共线的单位向量为±a ＋b |a ＋b |＝±(45，－35)，即(45，－35)或(－45，35)．11． 答案 A解析 ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z －2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z －2的虚部为0.12． 答案 A解析 AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝2a ＋3b ＋(－8a －2b )＋(－6a －4b )＝－12a －3b ，BC →＝－8a －2b ，∴AD →＝32BC →.∴AD →与BC →同向，且|AD →|＝32|BC →|.∴|AD →|>|BC →|.故选A. 二、填空题13．答案 1解析 z ＝1－3i 3＋i ＝－i 2－3i 3＋i ＝－i (i ＋3)3＋i ＝－i ，|z |＝|i|＝1.14．答案 －32解析 由题意知，OACB 为菱形，且∠OAC ＝60°，AB ＝3，∴AB →·OA →＝3×1×cos150°＝－32.15． 答案解析 易知a ＋b ＝(3，n ＋1)，a ·b ＝2＋n .∵|a ＋b |＝a ·b ，∴32＋(n ＋1)2＝2＋n ，解得n ＝3.16． 答案 ③解析 当b ＝0时，①不正确；当b ＝0时，且c ＝0时，②不正确；③中，∵|a |＝|b |＝2，∴(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝0.∴(a ＋b )⊥(a －b )，故③正确；④中取a ≠0且a ⊥b ，而c ＝0时，则结论不正确，故④不正确．三、解答题17． 答案，(1)－12，(2)2解析，(1)∵m ＝(2cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，－2sin A 2)，m ·n ＝－1，∴2cos 2A2－2sin 2A 2＝－1，∴cos A ＝－12.(2)由(1)知cos A ＝－12，且0<A <π，∴A ＝2π3. ∵a ＝23，b ＝2，由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，即23sin 2π3＝2sin B .∴sin B ＝12.∵0<B <π，B <A ，∴B ＝π6.∴C ＝π－A －B ＝π6，∴C ＝B .∴c ＝b ＝2. 18．答案，k ∈[－1，－13]∪[1,3]解析，由|k a ＋b |＝|a －k b |，得(k a ＋b )2＝(a －k b )2. 即有k 2a 2＋b 2＋2k a ·b ＝a 2－2k a ·b ＋k 2b 2. ∴8k cos(α－β)＝3(k 2－1)．若k ＝0，则有|a |＝|b |，与已知矛盾． ∴k ≠0，∴cos(α－β)＝3(k 2－1)8k .而a ·b ＝cos α·2cos β＋sin α·2sin β＝2cos(α－β)＝3(k 2－1)4k ，且a ·b ≥0. ∴0≤3(k 2－1)4k ≤2.解得－1≤k ≤－13或1≤k ≤3. 19．答案，(1)a 与b 不能平行 (2)2 2 解析，(1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2.这与|cos2x |<1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x .又因为x∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]．于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x ＝22，当2sin x＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号．故函数f (x )的最小值等于2 2.20．答案，(1)23π，(2)－2解析，(1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0， 所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0. 即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0. 则(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0.所以2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0. 即cos B ＝－12，所以B ＝2π3. (2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3， 所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4. 当且仅当a ＝c 时取等号，此时ac 最大值为4. 所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2. 即AB →·CB →的最小值为－2. 21．答案，(1)t ＝12，(2)t ＝12解析，(1)设a －t b ＝m [a －13(a ＋b )]，m ∈R ， 化简得(23m －1)a ＝(m3－t )b . ∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0，m3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，t ＝12.∴t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一直线上．(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°＝(1＋t 2－t )|a |2. ∴当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |. 22．答案，(1)A ＝6，(2)[－3,6]解析，(1)f (x )＝m ·n ＝3A sin x cos x ＋A 2cos2x ＝A (32sin2x ＋12cos2x )＝A sin(2x ＋π6)．因为A >0，由题意知A ＝6. (2)由(1)知f (x )＝6sin(2x ＋π6)．将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位后得到y＝6sin[2(x＋π12)＋π6]＝6sin(2x＋π3)的图像；再将得到图像上的各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋π3)的图像．因此g(x)＝6sin(4x＋π3)．因为x∈[0，5π24]，所以4x＋π3∈[π3，7π6]．故g(x)在[0，5π24]上的值域为[－3,6]．。
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防错纠错8 复数与平面向量一、填空题1．若复数1i z m =-(i 为虚数单位，m R ∈) 22i z =-，则复数z 的虚部为 ． 【解析】把1z mi =-代入22z i =-得1,m =故复数z 的虚部为1-．【易错、易失分点点拨】本题学生易错答为i ．点拨：复数的实部与虚部均为实数．复数部分的考点就是复数的概念、复数相等的充要条件、复数代数形式的四则运算，其考查带有综合性．求复数的模注意开方；复数相等的充要条件中必须把两个复数都化为“标准的代数形式”．2（课本112第4题改编）．已知复数2(23)(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则实数m = ．【解析】由于2(23)(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则有2(23)0,(3)0m m m --=-≠且，1m ∴=-【易错、易失分点点拨】本题学生的答案会正确，但过程易错，会出现如下过程：由于2(23)(3)z m m m i =--+-为纯虚数，则有2(23)0m m --=31m m ∴==-或．点拨：要注意复数z a bi =+为纯虚数的充要条件是0,0a b =≠．故要健全考试说明中涉及的基本概念．3．已知(3,2)a m =-与(,)b m m =- 共线，则m 值的个数是 ．【解析】由a 与b 共线可得20m m -=，解之得5m =或0m =，故m 的值有2个．【易错、易失分点点拨】本题学生的答案易为1个，错解如下：由a 与b共线可得32m m m-=-，解之得5m =或0m =(舍)．点拨：零向量与任一向量平行．4．已知同一平面上的向量a ，b ，c 两两所成的角相等，并且||||||(0),a b c m m ===>则a b c ++的模等于 ．【解析】（1）当向量a ，b ，c 共线同向时，所成角均为00，所以||||||||3a b c a b c m ++=++=，（2）当向量a ，b ，c 不共线时，三者两两所成的角θ为0120，所以22m a b b c c a ===- ，故2||0a b c ++= ．综上，||a b c ++为0或3m ．【易错、易失分点点拨】本题学生的答案易为0．误以为a ，b ，c皆为不共线向量．点拨：要注意题设中的隐含条件，对于题中同时给出两个及以上的向量须研究每个向量的方向与模，同时要研究两个向量是否具备共线或垂直关系．5．在边长为1的正三角形ABC 中，AB BC BC CA CA AB ++=．【解析】cos120cos120cos120AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB ++=++ 11132222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【易错、易失分点点拨】本题学生易错解如下：AB BC BC CA CA AB ++cos60cos60cos60AB BC BC CA CA AB =++11132222=++=．这是由于对两向量夹角的定义理解不透造成的．点拨：两向量夹角的定义的前提是其起点要重合．向量AB与BC ，BC 与CA ，CA 与AB的夹角通过平移后发现都不是60°，而是120°．6．设()()321a x,,b ,,==-若a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ．【解析】cos ||||a b a b θ⋅== θ为钝角，所以0cos <θ则032<-x 且32x -≠⨯所以32x <且6x ≠-．【易错、易失分点点拨】本题学生易错解如下：cos ||||a b a b θ⋅==θ为钝角，所以0cos <θ．点拨：向量a 与b 的夹角为锐角的充要条件是a b 0<且a 与b 不共线．这里，a 与b 不共线不能忽略，同时也需整合向量a 与b的夹角为钝角的充要条件．7．已知,,a b c 满足0a b c ++= ，且a b 与的夹角为60 ，b c 与的夹角为135，a =则c =．【解析】：,,a b c 构成三角形ABC ,且BC =120,45BCA CAB ∠=∠=，由正弦定理,sin sin sin120sin 45AB BC AB BCA CAB ==∠∠即AB ∴=即c ∴= ． 【易错、易失分点点拨】本题学生产生的错因是（1）把,,a b c画成三个共起点的向量，就不会把夹角和模长结合起来分析问题了；（2）误以为a b与的夹角就是BCA ∠导致画图出错．8．设平面向量a b ，r r满足3a b -≤r r a b ⋅r r的最小值为 ． 【解析】：两边平方得22962a b a b +-⋅≤ ，由22966a b a b a b +≥≥-⋅得：122a b -⋅≤16a b ∴⋅≥-【易错、易失分点点拨】本题学生产生的错因是（1）不知道转化为a b ∴⋅（2）学生在用基本不等式时平时只用222a b ab +≥，而忽略了222a b ab +≥-．点拨：（1）向量问题中处理模的基本方法首选平方．（2）平方是将向量代数化的重要途径． 二、解答题9．向量a 、b 都是非零向量，且向量3a b + 与75a b - 垂直， 4a b - 与72a b -垂直，求a 与b的夹角．【解析】由题意，得()()3750a b a b +⋅-= ，① ()()4720a b a b -⋅-=，②将①、②展开并相减，得24623a b b ⋅= ，即22ab b ⋅= ，代入①式、②式均可得22a b = ，则a b =，1c o s 2a b a b θ⋅∴==⋅ ．又∵0θ180 ≤≤，∴60θ=．【易错、易失分点点拨】本题易出现下列错解：由题意，得()()3750a b a b +⋅-=，①()()4720a b a b -⋅-= ，②将①、②展开并相减，得24623a b b ⋅=，③ ∵0b ≠ ，故12a b = ，④ 将④代入②，得22a b = ， 则a b = ，设a 与b 夹角为θ，则22112cos cos 2b a b a b bθθ⋅∴=∴===⋅ ．∵0θ180≤≤，∴60θ= ．此解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．点拨：对于实数,0ab bc b =≠，则a c =，但向量的数量积不满足消去律，所以即使0b ≠，也不能随便约去．10．已知()()cos ,sin ,cos ,sin ,a b ααββ==a 与b之间有关系,ka b kb +=- 其中0>k ，（1）用k 表示a b ⋅ ;（2）求a b ⋅ 的最小值，并求此时a b ⋅的夹角的大小．【解析】（1）要求用k 表示a b ⋅,而已知,ka b kb +=- ，故采用两边平方，得223,ka b a kb +=-()()()2222222222232,8331k a b ka b a k b ka b k a b k a k b ++⋅=+-⋅∴⋅⋅=-+-()()22223318k a k ba b k-+-⋅=()()c o s ,s i n ,c o s ,s i n ,a b ααββ==221,1a b ∴== 222331184k k k a b k k-+-+∴⋅==（2）k k 212≥+ , 即2142412=≥+k k k k ∴a b ⋅的最小值为21， 又cos a b a b γ⋅=⋅⋅ ,1a b == γc o s 1121⨯⨯=∴.∴o60=γ,此时a 与b的夹角为60°【易错、易失分点点拨】本题学生可能会把,ka b a kb +-直接坐标化，导致过繁运算，实际还是归结为向量运算不够熟练．点拨：实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式子左右两边平方，且有()22222a b a b a b a b +=+=++⋅或222a b a b ++⋅ .11．如图，在ABC RT ∆中，已知a BC = ，若长为a 2的线段PQ 以点A 为中点，问PQ 与BC 的夹角θ取何值时⋅的值最大？并求出这个最大值.【解析】解法一：0,=⋅∴⊥,,,-=-=-= ()()-⋅-=⋅∴⋅+⋅-⋅-⋅=a ⋅+⋅--=2()a -⋅--=2 a ⋅+-=212θc o s 22a a +-= 故当1cos =θ,即0=θ（与方向相同）时, ⋅最大.其最大值为0. 解法二：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设()()(),,0,0,00,b C c B A b AC c AB ，，则== 且.,2a BC a PQ ==设点P 的坐标为()y x ,,则()y x Q --,.()()b y x y c x ---=-=∴,,, ()().2,2,,y x b c --=-= ()()()b y y x c x --+--=⋅∴().22by cx y x -++-=.c o s 2a bycx -==θ θc o s 2a by cx =-∴BQyθc o s 22a a +-=⋅∴故当1cos =θ,即0=θ（与方向相同）时， ⋅最大，其最大值为0.【易错、易失分点点拨】本题易从如下两方面出现错误：1．不会利用2AP AQ a ⋅=- 及0AC AB ⋅= 这两个关系式，即没有把BP 表示为AP AB - ， CQ 表示为AQ AC -致使该题在运算上发生错误．2．在运用坐标运算过程中，未知数多，如()()()(),0,0,,,,,B b C c P x y Q x y --而忽视了这些量内在的联系222222,b c a x y a +=+=还有cos θ的表示式2cos bx cya θ-=，这些关系不能充分利用，导致运算错误．12．已知椭圆的中心在原点，离心率为21，一个焦点()0,m F - (m 是大于0的常数．) (1)求椭圆的方程； (2)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF =，求直线l 的斜率．【解析】（1）设所求椭圆方程为()012222>>=+b a by a x由已知得m b m a a c m c 3,2,21==∴==， 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x （2）设(),,00y x Q 直线l 的方程为(),m x k y +=则点()F Q M km M 、、 ,,0三点共线，||2||MQ QF =,QF MQ 2=∴.当QF MQ 2=时，由于()(),,,0,km O M m F -由定比分点坐标公式，得0021,33x m y km =-=，又Q 在椭圆1342222=+my m x 上,127912=+∴k ，解得62±=k同理，当QF MQ 2-=时，有131222=+m m k ，解得0=k .故直线l 的斜率是0±或 【易错、易失分点点拨】第（2）问学生易出现如下错误：设()yo xo Q ,,直线l 的方程为()m x k y +=,则点()km O M ,.由已知F 、Q 、M 三点共线，且||2||MQ QF =，2MQ QF ∴=，由于()0,m F -，()km O M ,，从而得0021,33x m y km =-=，又Q 在椭圆1342222=+m y m x 上,127912=+∴k ，解得62±=k ．归因：缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将QF MQ 2=进行转化时出现错误．点拨：依题意QF MQ 2=应转化为QF MQ 2±=再分类求解k ．平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量关系式转化为坐标满足的关系式，再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视．。