高二数学概率
高二数学人选择性必修件全概率公式
某射手每次射击命中目标的概率是2/3，且各次射击的结 果互不影响。若该射手连续射击3次，求至少有2次命中目 标的概率。
答案详解及思路点拨
练习题1详解
本题考查古典概型概率的计算。首先确定基本事件总数n=C(9,2)，然后计算“取出的2个 球中恰有1个红球”包含的基本事件个数m=C(4,1)C(5,1)，最后根据概率公式P=m/n求出 概率。
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互补作用探讨
互补性体现
全概率公式和贝叶斯公式在处理复杂概率问题时具有互补性。全概率公式能够将问题分解为多个简单事件的概率 计算，而贝叶斯公式则能够利用已有的先验信息和新的观测数据进行概率更新。
联合应用
在实际应用中，可以将全概率公式和贝叶斯公式结合起来，先使用全概率公式计算事件的综合概率，再利用贝叶 斯公式根据新的观测数据进行概率更新，从而得到更为准确的结果。这种联合应用能够充分发挥两者的优势，提 高概率计算的准确性和效率。
全概率等于各划分事件概 率之和。
适用范围及意义
适用范围
全概率公式适用于那些可以划分为若干个互斥且完备的事件组合的情况。它在 解决复杂概率问题、进行概率分析和决策制定等方面具有广泛的应用。
意义
全概率公式的意义在于提供了一种系统化、规范化的方法来计算复杂事件的概 率。通过将事件划分为简单的互斥事件，并利用已知的概率信息进行计算，可 以简化问题的复杂度，提高计算的准确性和效率。
在医学诊断中应用
疾病诊断
根据患者的症状、体征以及实验室检 查结果，利用全概率公式可以辅助医 生进行疾病诊断。
疗效评估
预后预测
结合患者的病史、治疗情况等因素， 利用全概率公式可以预测患者的预后 情况。
通过对患者治疗前后的指标进行全概 率分析，可以评估治疗方法的疗效。
高二数学--概率与统计-(1)
高二数学 概率与统计考试要求1．统计（1）随机抽样① 理解随机抽样的必要性和重要性．② 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法． （2）总体估计① 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．② 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差． ③ 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释． ④ 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．⑤ 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题． （3）变量的相关性① 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． ② 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 不要求记忆线性回归方程系数公式()()()1122211,nniiiii i nniii i x ynx y xxyyb a y bxxnxxx-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：7．概率（1）事件与概率① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．② 了解两个互斥事件的概率加法公式． （2）古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （3）随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．1．课本概念与定理详解(1)随机抽样①简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体数较少． ②系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．③分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成．(2)众数、中位数、平均数①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．在直方图中取频率为0.5处的频数。
人教版高二数学概率统计在生活中的应用
人教版高二数学概率统计在生活中的应用数学概率统计作为一门重要的数学学科，不仅在学术研究中具有重要地位，也广泛应用于生活的各个领域。
人教版高二数学课程中的概率统计部分，更是通过生动的例子和实际应用，使学生能够更好地理解概率统计在日常生活中的重要性。
本文将探讨人教版高二数学概率统计在生活中的应用。
1. 概率统计在商业决策中的应用商业决策中离不开概率统计的支持。
例如，在市场营销中，企业需要根据市场调研数据和客户购买行为来预测产品销售量，以便制定合理的生产计划和营销策略。
同时，在风险评估中，企业需要通过对概率统计的运用来评估不同决策方案的潜在风险，从而做出最优的决策。
2. 概率统计在医学研究中的应用在医学研究中，概率统计是评估治疗效果和判断药物安全性的重要工具。
例如，临床试验中，研究人员需要根据随机抽样的方法，将患者分为治疗组和对照组，然后通过概率统计的方法分析两组患者在治疗效果上的差异性，从而判断治疗方案的有效性。
此外，概率统计还可以应用于疾病的风险评估和预测，帮助医生更准确地进行诊断和预防。
3. 概率统计在金融领域中的应用金融领域对概率统计的需求非常高。
例如，在投资领域，投资者需要根据历史数据和市场变化的概率来评估不同投资方案的风险和收益，从而制定投资策略。
另外，在保险业中，根据概率统计的方法可以确定保险费率，并通过风险度量模型来评估保险合同的风险程度，在制定保险策略时具有重要作用。
4. 概率统计在社会科学中的应用社会科学中的调查研究需要利用概率统计的方法来分析数据和验证假设。
例如，社会学调查中，通过随机抽样的方法选择一部分受访者作为样本，然后根据样本数据进行统计分析，从而得出关于整个受访群体的结论。
此外，心理学、教育学等领域也常常利用概率统计的方法来研究人类行为和社会现象。
5. 概率统计在自然科学中的应用自然科学研究中，概率统计被广泛用于实验设计和数据分析。
例如，在物理实验中，科研人员通过多次观测和重复实验，利用概率统计的方法来确定实验结果的可靠性和误差范围。
高中数学模型系列之概率模型
高中数学模型系列之概率模型概率模型简介概率模型是数学中一个重要的分支，用于描述和分析不确定性和随机事件的规律。
它是基于概率论和统计学的理论基础，广泛应用于实际问题的建模和预测中。
概率的基本概念在概率模型中，我们首先需要了解一些基本的概率概念。
1. 随机试验：指具有不确定性的试验，其结果无法事先确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果的集合。
3. 事件：样本空间的子集，表示我们感兴趣的结果。
4. 概率：表示事件发生的可能性大小的数值。
概率计算方法在概率模型中，我们可以使用两种基本的计算方法来计算事件的概率。
1. 古典概型：适用于各种试验结果等可能发生的情况。
概率可以通过事件发生次数与样本空间大小的比值来计算。
2. 统计概型：适用于试验结果不等可能发生的情况。
概率可以通过统计数据进行估算。
概率模型的应用概率模型广泛应用于各个领域，下面列举几个常见的应用场景。
1. 游戏和赌博：在赌博中，使用概率模型可以帮助预测不同结果的可能性，从而进行合理的押注决策。
2. 金融和保险：在金融和保险行业中，概率模型可以用于计算风险和收益的概率，从而辅助决策和风险管理。
3. 生物学和医学：概率模型可以用于分析疾病的发生和传播，预测药物的疗效，以及评估基因变异对生物体的影响。
4. 工程和科学研究：在工程和科学研究中，使用概率模型可以帮助分析和优化复杂系统的性能和可靠性。
小结概率模型作为数学的一个重要分支，具有广泛的应用领域。
通过理解和运用概率模型，我们可以更好地理解和分析各种随机事件，从而做出更合理的决策和预测。
以上是关于高中数学模型系列之概率模型的简要介绍。
_注意：此文档为纯粹的数学介绍，具体应用中可能涉及到更多的细节和实际情况，请在具体问题中咨询相应领域的专业人士或进一步深入研究。
_。
高二数学等可能性事件的概率
1.一次掷出一分、二分、五分的硬币各一枚，写 出可能出现的所有结果.
(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)， (反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)， (反，反，正)，(反，反，反).
2.袋中有标有不同号码的白球5只，黑球6只，从 中任取3球.
(1)共有多少种不同的结果? (2)取出的3球中有2个黑球，1个白球的情况有几 种? (3)取出的3球中有1个黑球，2个白球的情况有几 种? (4)分别求出(2)(3)两种情况的概率.
等可能事件的概率
随机事件的概率： 在 大 量 重 复 进 行 同 一 试验 时 ， 事 件 A 发 生 的 频率ｍ
ｎ 总 是 接 近 于 某 个 常 数 ，在 它 附 近 摆 动 ， 这 时 就把 这 个 常 数 叫 做 事 件 A 的概 率 ， 记 做 P( A )
0 P(A) 1
一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一
3.把有4男4女的8个人平均分成两个小组，求两组 中男女人均相等的概率. 4.从1、2、3、4、5、6、7、8、9共九个数字中任 取2个数字
（1）这两个数字都是奇数的概率是多少？
（2）这两个数字之和是偶数的概率是多少？ 5.在100张奖券中有4张有奖，从这100张奖券中任 意抽2张，这2张都中奖的概率是多少？
6.从-3、-2、-1、0、5、6、7这七个数字中任 取两个数字相乘得到积，积为0的概率是______， 积为正数的概率是______，积为负数的概率是 _______
例一：三个均匀的相同的骰子掷出8点，但 至少有一个是一点，求其概率.
例二:在箱子中装有十张卡片,分别写有1 到10的十个整数,从箱子中任取一张卡片, 记下它的读数x，然后放回箱子中，第二 次再从箱子中任取一张卡片，记下它的 读数y，试求：
高二数学概率的几个基本性质
在掷骰子的试验中，我们可以定义许多事件，如： C1 ={出现1点}； C2 ={出现2点}； C3 ={出现3点}； C4 ={出现4点}； C5 ={出现5点}； C6 ={出现6点}； D1 ={出现的点数小于3}；D2={出现的点数大于4}； D3 ={出现的点数小于5}；D4={出现的点数大于3}； E ={出现的点数小于7};F ={出现的点数大于6}; G ={出现的点数为偶数}; H ={出现的点数为奇数};
A 且A B ， 则A=B
（3）并事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件 A 发生或事件 B发生, 则 I A B （4）交事件: 若某事件 I 发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则I A B （5）互斥事件: 事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生
（6）互为对立事件:事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一 个发生
思考：
什么情况下两个事件 A 与 B 的并事件发生的概率，会等于
事件 A 与事件 B 各自发生的概率之和？
概率的加法公式： 如果事件 A 与事件 B 互斥，则
P ( A B ) P ( A) P ( B )
特别地，如果事件 A 与事件 B 是互为对立事件，则
P ( A) 1 P ( B )
3.已知，在一商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.3 4 0.1 5人以上 0.04
求至多2个人排队的概率。 解：设事件Ak={恰好有k人排队}，事件A={至多2个人排队}, 因为A=A0∪A1∪A2,且A0，A1，A2这三个事件是互斥事件， 所以，P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)=0.1+0.16+0.3=0.56。
7.1.2全概率公式课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时，我们首先把一个复杂事件表
示为一些简单事件运算的结果，然后利用概率的加法公式和乘法公式求其
概率. 下面， 再看一个求复杂事件概率的问题.
例4 某学校有 A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐. 如
果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第
第二次选择B的概率：
() = (1 ) + (2 )
= (1 ) 1 + (2 ) 2
第一次可选择性为：A1 A2 A3
A1 A2 A3 两两互斥
第二次选择B的概率：
() = (1 ) + (2 ) + (3 )
= (1 ) 1 + (2 ) 2 + (3 ) 3
2% , 1%, 1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？
解：设事件 B 为“任取一件为次品”，事件 Ai 为“任取一件为 i 厂
的产品”，i＝1,2,3，则
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.2，
P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，P(B|A3)＝0.01.
7.1.2 全概率公式
复习导入：
1. 条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，即
P ( AB )
P ( B | A)
P ( A)
2. 概率的乘法公式：由条件概率公式可得
P ( AB) P ( A) P ( B | A).
3. 概率的加法公式：如事件B，C互斥，则有
P ( B C | A) P ( B | A) P (C | A).
一、全概率公式：
高中数学高二专题14概率
专题14概率一、单选题1．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）A ．15B ．13C ．25D ．232．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A ．p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B ．该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C ．该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D ．该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大3．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A ．56B ．23C ．12D ．13二、填空题4．把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为5:4:6．且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为．三、单选题5．对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A ，B ，C ，D ，其中(Ω)60n =，()30n A =，()10n B =，()20n C =，()30n D =，()40n A B =U ，()10n A C =I ，()60n A D =U ，则（ ）A ．A 与B 不互斥 B ．A 与D 互斥但不对立C ．C 与D 互斥D ．A 与C 相互独立6．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦7．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 C ．()23P A B +=D ．()56P A B +=四、多选题8．4支足球队进行单循环比赛（任两支球队恰进行一场比赛），任两支球队之间胜率都是12．单循环比赛结束，以获胜的场次数作为该队的成绩，成绩按从大到小排名次顺序，成绩相同则名次相同．下列结论中正确的是（ ） A ．恰有四支球队并列第一名为不可能事件B ．有可能出现恰有三支球队并列第一名C ．恰有两支球队并列第一名的概率为14D ．只有一支球队名列第一名的概率为129．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ） A ．乙发生的概率为12B ．丙发生的概率为12C ．甲与丁相互独立D ．丙与丁互为对立事件10．已知事件A ，B ，且()0.4,()0.3P A P B ==，则（ ）A ．如果B A ⊆，那么()0.3P AB = B ．如果B A ⊆，那么()0.4P A B =UC ．如果A 与B 相互独立，那么()0.7P A B ⋃=D ．如果A 与B 相互独立，那么()0.42P AB =五、解答题11．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为12，乙、丙比赛乙胜概率为13，丙、甲比赛丙胜概率为23，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.12．甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为23，乙投篮命中的概率为34，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.13．甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．(1)求第三局结束时乙获胜的概率；(2)求甲获胜的概率．14．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？15．有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：ppm），数据统计如下：0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.820.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1.14 1.201.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.581.62 1.68（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；（2）有A，B两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.（ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入A水池和B水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有13的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入A水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由A水池进入B水池且不再游回A水池，求这两条鱼由不同小孔进入B 水池的概率.参考答案：1．C【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.【详解】[方法一]：【最优解】无序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况，其中数字之积为4的倍数的有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况，故概率为62155=.[方法二]：有序从6张卡片中无放回抽取2张，共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6,(2,1) ,(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况，其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为122 305=.故选：C.【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解；方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；2．D【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p甲则[][]21321331231211(1)(1)(1)(1)22p p p p p p p p p p p p p =-+-+-+-甲 123123()2p p p p p p =+-；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙， 则123123213123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙 则132132312123(1)(1)()2p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()123123213123123()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙 []()213123312123231()2()20p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D 3．A【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率305366P ==. 故选：A 4． 0.0535/0.6 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空．【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6n n n ，所以总数为15n ， 所以甲盒中黑球个数为40%52n n ⨯=，白球个数为3n ； 乙盒中黑球个数为25%4n n ⨯=，白球个数为3n ； 丙盒中黑球个数为50%63n n ⨯=，白球个数为3n ；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A ，所以，()0.40.250.50.05P A =⨯⨯=；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B ， 黑球总共有236n n n n ++=个，白球共有9n 个， 所以，()93155n P B n ==． 故答案为：0.05；35．5．D【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据(),()()P A C P A P C ⋂的关系判断事件是否独立.【详解】由()30n A =，()10n B =，()40n A B =U ，即()()()n A B n A n B =+U，故A 、B 互斥，A 错误；由()()()(Ω)60n A D n A n D n =+==U ，A 、D 互斥且对立，B 错误； 又()20n C =，()10n A C =I ，则()10n D C =I ，C 与D 不互斥，C 错误； 由()1(2(Ω))n A n P A ==，()1(3(Ω))n C n P C ==，()(Ω)1()6P A C C n n A ⋂⋂==，所以()()()P A C P A P C ⋂=，即A 与C 相互独立，D 正确. 故选：D 6．C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 7．C【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件A B +，然后计算概率． 【详解】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立， 事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42()63P A B +==． 故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用概率相加，本题()()()P A B P A P B +≠+．8．ABD【分析】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有246C =场比赛，比赛的所有结果共有6264=种；选项A ，这6场比赛中不满足4支球队得分相同的的情况； 选项B ，举特例说明即可；选项C ，在6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有246C =种可能，再分类计数相互获胜的可能数，最后由古典概型计算概率；选项D ，只有一支球队名列第一名，则该球队应赢了其他三支球队，由古典概型问题计算即可.【详解】4支足球队进行单循环比赛总的比赛共有246C =场比赛，比赛的所有结果共有6264=种；选项A ，这6场比赛中若4支球队优先各赢一场，则还有2场必然有2支或1支队伍获胜，那么所得分值不可能都一样，故是不可能事件，正确；选项B ，其中()()()()()(),,,,,,,,,,,a b b c c d d a a c d b 6场比赛中，依次获胜的可以是,,,,,a b c a c b ，此时3队都获得2分，并列第一名，正确；选项C ，在()()()()()(),,,,,,,,,,,a b b c c d d a a c d b 6场比赛中，从中选2支球队并列第一名有246C =种可能，若选中a ，b ，其中第一类a 赢b ，有a ,b ,c ,d ,a ,b 和a ,b ,d ,c ,a ,b 两种情况，同理第二类b 赢a ，也有两种，故恰有两支球队并列第一名的概率为643648⨯=，错误； 选项D ，从4支球队中选一支为第一名有4种可能；这一支球队比赛的3场应都赢，则另外3场的可能有328=种，故只有一支球队名列第一名的概率为814642⨯=，正确.故选：ABD【点睛】本题考查利用计数原理解决实际问题的概率问题，还考查了事件成立与否的判定，属于较难题. 9．ACD【分析】先计算出甲乙丙丁的概率，故可判断AC 的正误，再根据独立事件的乘法公式可判断C 的正误，根据对立事件的意义可判断D 的正误.【详解】设A 为事件“第一次取出的球的数字是奇数”，B 为事件“第二次取出的球的数字是偶数”，C 为事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，D 为事件“两次取出的球的数字之和是偶数”， 则()3162P A ==，()3233165652P B =⨯+⨯=，故A 正确.()3332655P C =⨯⨯=，()3222655P D =⨯⨯=，故B 错误.而()()()321655P AD P A P D ⨯===⨯，故C 正确. 两次取出的数字之和要么为奇数，要么为偶数，故丙与丁互为对立事件， 故D 正确. 故选：ACD. 10．ABD【分析】根据事件关系及运算有()()P AB P B =、()()P A B P A =U ，由事件的相互独立知()()()P AB P A P B =，结合事件的运算求()P A B U 、()P AB .【详解】A ：由B A ⊆，则()()0.3P AB P B ==，正确； B ：由B A ⊆，则()()0.4P A B P A ==U ，正确； C ：如果A 与B 相互独立，则()()()0.12P AB P A P B ==，()()()()0.58P A B P A P B P AB =+-=U ，错误；D ：由C 分析及事件关系知：()()10.42P AB P A B =-⋃=，正确. 故选：ABD. 11．(1)23(2)13108【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可； （2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为： 甲胜乙、丙胜甲；乙胜甲，丙胜乙.设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件A ，B ，C ，则A ，B ，C 相互独立，设比赛完3局时，甲、乙、丙各旁观1局为事件M ，则M AC AB =U ，则()()()()()()()1212223233P M P AC P AB P A P C P A P B =+=+=⨯+⨯=，所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为23.（2）设甲、乙、丙第i 局比赛获胜分别为事件i A ，i B ，i C ，1,2,3,4,5i =， 设比赛完5局甲获得最终胜利为事件D ，则123451234512345123451234512345,D B B A A A B C A A A A A B B A A A B C A AC C A A AC B A A =+++++()()()()()()12345123451111112323272P B B A A A P B P B P A P A P A ==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()()12345123451211112332354P B C A A A P B P C P A P A P A ==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()()12345123451111112323272P A A B B A P A P A P B P B P A ==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()()12345123451112112323354P A A B C A P A P A P B P C P A ==⨯⨯⨯⨯=，()()()()()()12345123451221112333227P AC C A A P A P C P C P A P A ==⨯⨯⨯⨯=， ()()()()()()12345123451211112332354P AC B A A P A P C P B P A P A ==⨯⨯⨯⨯=， 所以()11111113725472542754108P D =+++++=. 所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为13108. 12．(1)512； (2)1112.【分析】（1）利用独立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好有1人命中的概率；（2）首先求出两人都没有命中的概率，利用对立事件的概率求法即可得至少有1人命中的概率.【详解】（1）记“甲投篮命中”为A 事件，“乙投篮命中”为B 事件, 则2()3P A =，3()4P B =，由甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A 与B 互为独立事件， 那么，恰好有1人命中的概率P 21135P(AB)P(AB)343412=+=⨯+⨯=. （2）由（1），两人都没有命中的概率111()3412P AB =⨯=，所以，至少有1人命中的概率1P P(AB 112)11=-=. 13．(1)427(2)265432【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】（1）设事件A为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()1212114 33333327P A=⨯⨯+⨯⨯=（2）设事件B为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111 224P=⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率21111111 2222224P=⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率31111111156 2662263248P=⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率4111114 2666108P=⨯⨯⨯⨯=故()1234265 432P B P P P P=+++=14．(1)35；(2)小明更容易晋级复赛.【分析】（1）对A类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e，设小明只能答对4个问题的编号为：a b c d,,,，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分；或第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分；或第一轮答对一题得0分，第二轮答对两题得60分；分别求出小芳和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.【详解】（1）对A 类的5个问题进行编号：,,,,a b c d e ，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，则有()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 共10种， 设小明只能答对4个问题的编号为：a b c d ,,,，则小明在第一轮得40分，有()()()()()(){},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共6种， 则小明在第一轮得40分的概率为：63105=； （2）由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为35，则小明在第一轮得0分的概率为：32155-=， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分∴当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：()()10.50.50.510.510.50.50.125P =⨯⨯⨯-+-⨯=⎡⎤⎣⎦；()230.40.60.60.40.2885P =⨯⨯+⨯=；当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为：30.50.50.50.50.0625P =⨯⨯⨯=；430.40.40.0965P =⨯⨯=； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳和小明晋级复赛的概率分别为：()()50.510.510.50.50.50.50.125P ⎡⎤=⨯-+-⨯⨯⨯=⎣⎦；620.40.40.0645P =⨯⨯=；当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 小芳晋级复赛的概率分别为：()()710.510.50.50.50.0625P ⎡⎤=-⨯-⨯⨯=⎣⎦；∴小芳晋级复赛的概率为：13570.1250.06250.1250.06250.375P P P P +++=+++=；小明晋级复赛的概率为：2460.2880.0960.0640.448P P P ++=++=；0.4480.375>Q ， ∴小明更容易晋级复赛.15．（1）中位数为1；众数为0.82；极差为1.61；估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.34；（2）（ⅰ）49；（ⅱ）910.【分析】(1)由中位数—排序后处于中间的数，如有两个数取其平均数；众数—出现频率最高的数、极差—最大数与最小数的差；p 百分比位数—数据集中有n 个数：当np 为整数时12np np x x ++，当np 不为整数时[]1np x +；即可求出对应值；(2) （ⅰ）记A ：“两鱼最终均在A 水池”； B ：“两鱼最终均在B 水池”求出概率，由它们的互斥性即可求得两条鱼最终在同一水池的概率；（ⅱ）记n C ：“两鱼同时从第n 个小孔通过”且鱼的游动独立，知1()100n P C =，而10个事件互斥，则“两鱼同时从一个小孔通过”的概率即可求，它与“两条鱼由不同小孔通过”为互斥事件，进而求得其概率【详解】解：（1）由题意知，数据的中位数为0.98 1.0212+= 数据的众数为0.82数据的极差为1.680.07 1.61-= 估计这批鱼该项数据的80百分位数约为1.31 1.371.342+= （2）（ⅰ）记“两鱼最终均在A 水池”为事件A ，则212()339P A =⨯=记“两鱼最终均在B 水池”为事件B ，则212()339P B =⨯=∵事件A 与事件B 互斥，∴两条鱼最终在同一水池的概率为224()()()999P A B P A P B =+=+=U （ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件1C ，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件2C ，L L 依次类推；而两鱼的游动独立 ∴12111()()1010100P C P C ===⨯=L 记“两条鱼由不同小孔进入B 水池”为事件C ，则C 与1210...C C C U U U 对立，又由事件1C ，事件2C ，10C L L 互斥∴121011()(...)1010010P C P C C C ==⨯=U U U 即12109()1(...)10P C P C C C =-=U U U 【点睛】本题考查了数据特征值的概念，以及利用条件概率公式，结合互斥事件、独立事件等概念求概率；注意独立事件：多个事件的发生互不相关，且可以同时发生；互斥事件：一个事件发生则另一个事件必不发生，即不能同时发生。
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树状图是进行列举的一种常见方法，从上面的 树状图可以看出，试验的所有可能结果数为64种。 由于是随机涂色，因此这64种结果的出现是可能的， 试验属于古典概型。这64种结果中，红色不被选中 的结果有27种。
概率
江西省临川二中 袁庆
例1：（2008年辽宁省高考第7题改编） 4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这四 张卡片中有放回地每次取一张卡片，共取2张，则 抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是（）
1 A 3
1 B 2
2 C 3
3 D 4
第二次抽取 两次抽态。因此王爷没有说啥啊，只是点咯点头就算是应允咯。对方已经给咯台阶，必须见好就收，否则他这么多年来精心树立の友爱兄弟の形象将会毁于壹旦。随二十三小 格壹同前来贺寿の有穆哲、塔娜，不出意料，还有婉然。 壹进咯王府，二十三小格自然是由苏培盛引领着先去朗吟阁见四哥，而女眷们则被红莲直接请到咯霞光苑，排字琦、 淑清、惜月三各人已经恭候多时。穆哲与排字琦作为嫡福晋，三天两头地见面，不是在永和宫向德妃娘娘请安，就是在某各宴席上比邻而座，因此见过礼之后，两各人就亲热 地聊咯起来。塔娜是第壹次来王府，啥啊都新鲜得不行，因此小丫头の眼睛都不够使咯，左看看，右看看，自娱自乐，不亦乐乎。都是至亲家眷，因此没有分男宾女宾，只开 壹席。而且由于婉然是新妇，“初见”四哥、四嫂，需要先行见礼和敬茶。因此女眷们在霞光苑里壹边闲聊，壹边等待着两位爷の到来。二十三小格随苏培盛来到朗吟阁の时 候，秦顺儿也早早地守在院门口候着呢。如此高の接待规格，让他更加心情忐忑。“给四哥请安。二十三弟祝四嫂福如东海，寿比南山。”“四哥替四嫂谢过。四哥也祝二十 三弟娶得如花美眷，夫妻二人永结同心。”“弟弟谢过四哥。”随着这壹番客套下来，两人分坐两侧，二十三小格既然放低咯姿态来到王府，索性将这各姿态壹放到底：“四 哥，您最近读到啥啊好书咯？”“四哥能读啥啊，不过是研读些佛法经书而已。”“久闻四哥对佛家学说研究颇深，不知四哥有啥啊高见。”“佛说：今生种种皆是前生因果。 佛说：壹切有为法，尽是因缘合和，缘起时起，缘尽还无，不外如是。佛说：你可以拥有爱，但不要执著，因为分离是必然の。佛说：壹念愚即般若绝，壹念智即般若生。佛 说：握紧拳头，你の手里是空の；伸开手掌，你拥有全世界。佛说：这世间，人皆有欲，有欲故有求，求不得故生诸多烦恼，烦恼无以排遣故有心结，人就陷入“无明”状态 中，从而造下种种惑业。佛说：人在荆棘中，不动不刺。佛说：你永远要宽恕众生，不论他有多坏，甚至他伤害过你，你壹定要放下，才能得到真正の快乐。佛说：你啥啊时 候放下，啥啊时候就没有烦恼。……第壹卷 第437章 四哥当所有の女眷们都已经把所有の话题全部说尽，为咯不至于冷场，而东拉西扯、口干舌燥、望眼欲穿の时候，两位 爷终于出现在咯霞光苑の宴客前厅。刚刚当众女眷热络地聊着家常长理短之时，只有婉然壹各人，心事重重，不言不语。望着这熟悉得不能再熟悉の霞光苑，她恍如隔世壹般。 时光荏苒，生命轮回，五年前の那各大年三十，她是彬彬有礼、落落大方、心无旁骛の年家大仆役；四年前の春天里，她是忐忑不安、彷徨迷茫、心有所属の玉盈姑娘；而今 天，她却是罪孽深重、十恶不赦、心如死灰の二十三贝子府の婉然格格。此时，眼见两位爷进咯屋子，女眷们停止交谈纷纷起身，穆哲、塔娜和婉然作为弟妹更是上前壹步， 第壹时间向王爷请安。而王爷根本没有看向这几位弟妹们，他の眼睛壹直盯着前方の条案，等几位二十三弟妹们壹并请过安之后，他才不慌不忙地回咯壹句：“起来吧。”再 次听到他那充满磁性の声音，再次闻到他那淡淡の檀香味道，婉然担心自己是否还能继续在这里呆下去。那不带壹丝感情の话语硬生生地撞入她の耳膜，差点儿将她击倒在地。 壹屋子の人都在盯着她，除咯他。婉然用尽咯全身の力气，才勉强将自己の双脚牢牢地钉在地上，排字琦赶快拿眼神示意咯壹下红莲，红莲会意，赶快走到壹边，将早早就准 备好の茶盘端咯过来。在等两位爷の漫长时间里，这两盏茶已经被红莲换过四次咯！见红莲端上咯茶盘，婉然晓得那各时刻到咯。她慢慢地伸出手，努力将茶盏端得平稳，这 简直比刚才将双脚牢固地钉在地上还要困难成百上千倍。她唯有放缓行动，放缓再放缓。手中の茶盏似有千斤重，婉然根本就端不起来，她试咯两次，都是徒劳，第三次，她 使足咯全身の力气，几乎是将两只手全部覆在咯茶盏上，才勉力将茶盏端离茶盘。然后她使出全力终于将颤抖の身子稳住，缓缓地转过身，面对王爷，低垂下眼帘说道：“请 四哥喝茶。”那壹声“四哥”，就像是王母娘娘手中の玉簪，瞬时在两各人之间划出壹条浩瀚渺遥、大浪滔天の银河，似是在说，嫦娥应悔偷灵药，碧海青天夜夜心。望着眼 前の这盏茶，他没有婉然の竭力隐忍，他有の是毫不犹豫，立即伸手接咯过来，没有丝毫迟疑地喝咯下去。这哪里是啥啊改口茶，这只是壹杯忘情水，这只是壹口孟婆汤！喝 下去，忘记此前种种，喝下去，从此萧郎是路人！那整整满盏の茶，壹滴不剩地全部顺着他の喉咙壹路向下，郁积在他胸膛，仿佛他咽下の，更是壹团烈焰，焚心似火，要将 他炸得粉身碎骨。他要坚持，他要努力，因为他要在粉身碎骨之前响亮地说出那四各字：“多谢弟妹。”从今往后，这各世上再也没有玉盈，再也没有盈儿，只有婉然，他の 二十三小弟妹。从今往后，这各世上再也没有她の心上人，只有雍亲王爷，她の四哥。第壹卷 第438章 圆场当排字琦听到王爷字正腔圆地说出咯“多谢弟妹”这四各字，她 の心里总算是壹块石头落咯地，为咯及时巩固成果，不要再节外生枝，她赶快走上前去，亲亲热热地朝婉然说道：“哎呀，小弟妹，四嫂这盏茶再不给喝可就凉咯，不但茶凉 咯，这菜也都凉咯。怕大家饿肚子，四嫂
3
4
1
2 3 4
2
3 4 5
3
4 5 6
4
5 6 7
5
6 7 8
事件A包含的可能结果数 8 1 P( A) 试验的所有可能结果数 16 2
例2：一面旗帜由3部分构成，给这三部分分别 涂上颜色。现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择， 列出所有可能结果，计算红色被选中的概率。
红
绿
红 黄
黑
红 绿 黄 黑 红 绿 黄 黑 绿 红 绿 黄 黑 红 绿 黄 黑
P ( A) 所以，“红色不被选中”的概率
由对立事件概率的关系知：P ( A) 37
37 即“红色被选中”的概率为 64
27 64
，
。
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课后思考：连续掷两次骰子得到的点数之和为 点，掷到自家（即为5点或9点）的概率是多少？
本期看点：在古典概型中，某个事件发生的概 率的计算，需把握两个量： ①试验的所有可能结果数; ②事件A包含的可能结果数。 这些结果我们用列举法一一表示。列举可以列表， 也可以用有序实数对，还可以用树形图。不管用哪 种方法，务必做到不重不漏。
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