(万小红)二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质课件
03
二次函数的图像与性质的 应用
判断单调性
总结词
通过图像和导数判断二次函数的单调性
详细描述
利用二次函数的导数，可以判断函数的单调区间。导数大于0 时，函数递增；导数小于0时，函数递减。结合函数图像，可 以更直观地判断单调性。
求最值
总结词
利用二次函数的极值点求最值
VS
详细描述
二次函数存在极值点，极值点处的函数值 可能是最大值或最小值。通过求导并令导 数为0，可以找到极值点，从而求得最值 。
二次函数的图像和性质课件
contents
目录
• 二次函数的概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的图像与性质的应用 • 实际应用案例 • 总结与回顾
01
二次函数的概念
二次函数的定义
定义
一般地，形如$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次 函数。
解释
二次函数是包含未知数的二次多
总结二次函数的对称 轴、开口方向、顶点 坐标等性质。
易错点与难点回顾
01
回顾二次函数图像的绘制方法和 易错点，如混淆顶点坐标和对称 轴坐标等。
02
回顾二次函数的性质和易错点， 如错误地认为二次函数总是单调 的等。
学生自我测评与作业布置
设计相关题目，让学生自主检测掌握 情况。
布置相关作业，要求学生完成并提交 。
详细描述
在投资组合理论中，投资者需要根据不同资产的风险和收益特性来构建投资组合。二次函 数可以用来描述风险和收益之间的非线性关系，帮助投资者更好地理解投资组合的风险和 收益特性。
扩展知识点
投资组合理论、风险和收益的关系。
物理运动中的二次函数
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的像与性质
二次函数的像与性质二次函数是高中数学中的重要概念之一，它具有许多独特的性质和特点。
本文将从图像的形状、导数的特点以及性质与应用等方面探讨二次函数的像与性质。
一、图像的形状二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 均为常数且a ≠ 0。
根据二次函数的系数和常数的不同取值，其图像可以具有以下几种形状：1. a > 0 的情况：二次函数的图像开口向上，形如一个U型；当 a的绝对值越大时，图像越狭长，开口越窄；当a 的绝对值趋近于0 时，图像趋近于一条直线。
2. a < 0 的情况：二次函数的图像开口向下，形如一个倒置的U型；同样，当 a 的绝对值越大时，图像越狭长，开口越窄；当 a 的绝对值趋近于 0 时，图像趋近于一条直线。
二、导数的特点二次函数的导数也具有一些独特的特点，这些特点可以通过导数的求法和二次函数的一般形式来推导。
1. 导数的求法：对于一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，求其导数为 f'(x) = 2ax + b。
2. 导数的性质：根据导数的定义，二次函数的导数表示了函数在不同点上的斜率。
根据导数的性质，我们可以得出以下结论：a. 二次函数的导数 f'(x) 是一个一次函数，即其图像是一条斜率为常数的直线。
b. 当 a > 0 时，二次函数的导数 f'(x) 是递增函数，表示二次函数图像上的每个点的斜率都是正的。
c. 当 a < 0 时，二次函数的导数 f'(x) 是递减函数，表示二次函数图像上的每个点的斜率都是负的。
三、性质与应用除了图像的形状和导数的特点外，二次函数还具有以下几个重要的性质和应用：1. 零点与轴对称：二次函数的轴对称线为 x = -b/2a，通过轴对称线上的点可以判断二次函数的零点。
2. 极值点：对于 a > 0，二次函数的极小值点为轴对称线上的点，对应于图像的最低点；对于 a < 0，二次函数的极大值点为轴对称线上的点，对应于图像的最高点。
二次函数的性质与象
二次函数的性质与象二次函数是一种常见的数学函数，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为给定的实数且a不等于0。
本文将探讨二次函数的性质与象，包括图像的开口方向、顶点坐标、轴对称性、零点、对称轴以及拐点等。
1. 图像的开口方向二次函数的图像开口方向取决于系数a的正负性。
- 当a大于0时，图像开口向上，形成一个向上凸起的抛物线。
- 当a小于0时，图像开口向下，形成一个向下凹陷的抛物线。
2. 顶点坐标二次函数的顶点坐标可以通过求解二次函数的导数为零的点得到。
即对二次函数y = ax^2 + bx + c求导并令导数为零，解方程得到x的值，然后将x代入二次函数，得到对应的y值。
顶点坐标为顶点的x值和对应的y值。
3. 轴对称性二次函数的图像具有轴对称性，其对称轴是通过顶点的垂直线。
对称轴的方程可以通过将二次函数的x值代入函数中得到。
例如，如果顶点坐标为(h, k)，则对称轴的方程为x = h。
4. 零点二次函数的零点是函数与x轴的交点，即使函数值为0的x值。
零点可以通过求解二次函数的解得到，可以使用求根公式或配方法等方法求解。
5. 对称轴二次函数的对称轴是它的图像的轴对称线。
对称轴的方程可以通过求解二次函数的解得到。
6. 拐点当二次函数的开口方向变化时，存在一个拐点。
拐点是函数图像的转折点，也是函数的最值点。
对于向上凸起的二次函数，拐点是函数的最小值点；而对于向下凹陷的二次函数，拐点是函数的最大值点。
拐点的坐标可以通过对称轴方程得到。
综上所述，二次函数具有许多重要的性质与象，包括图像的开口方向、顶点坐标、轴对称性、零点、对称轴以及拐点等。
理解并掌握二次函数的这些性质与象，有助于我们更好地理解和应用二次函数。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数一般式的图像和性质
二次函数一般式的图像和性质
二次函数的一般式为y=ax²+bx+c(a≠0)，接下来给大家分享二次函数的一般式以及函数的性质和图像。
二次函数一般式
二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c (a≠0)。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k顶点坐标为（h,k)
二次函数的交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂) 函数与图像交于（x₁，0)和(x₂，0)
二次函数与图像的关系
（一）a与图像的关系
1.开口方向
当a＞0时开口向上
当a＜0时开口向下
2.开口大小
|a|越大图像开口越小
|a|越小图像开口越大
（二）b与图像的关系
当b=0时对称轴为y轴
当ab＞0时对称轴在y轴左侧
当ab＜0时对称轴在y轴右侧
（三）c与图像的关系
当c=0时图像过原点
当c＞0时图像与y轴正半轴相交
当c＜0时图像与y轴负半轴相交
二次函数的性质
（1）二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
（2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（4）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0, c）。
教学知识点二次函数的像与性质
教学知识点二次函数的像与性质二次函数是指以 x 的二次多项式 y=ax^2+bx+c为表达式的函数，其中 a, b, c 是常数且a ≠ 0。
二次函数的图像是一个拱形曲线，也叫做抛物线。
下面将介绍二次函数的像与性质：1.对称轴：二次函数的图像对称于其中一直线，称为对称轴，记作x=-b/2a。
对称轴将抛物线分成两个对称的部分。
2. 零点：二次函数的零点是函数图像与 x 轴的交点，即当 y=0 时的 x 值。
零点可以有 0、1 或 2 个。
可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0 来确定二次函数的零点。
3.顶点：二次函数的图像的顶点是抛物线的最高或最低点，是函数图像的最高或最低值。
顶点的x坐标等于对称轴的x坐标，即-b/2a；顶点的y坐标可以通过将x值代入函数表达式来计算。
4.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
5.纵轴交点：纵轴交点是二次函数图像与y轴的交点，即当x=0时的y值。
纵轴交点等于常数项c。
6.零点与顶点关系：零点和顶点是二次函数重要的性质之一、零点的x坐标固定，对称轴的x坐标也固定，因此零点越远离顶点，离对称轴的距离越大。
同时，零点可以帮助确定开口方向，当零点为实根时，开口方向外凹，当零点为虚根时，开口方向内凹。
7.变换：二次函数也可以进行平移、伸缩等变换。
平移把函数的图像向上下左右移动；伸缩可以使函数的图像变高变矮、变宽变窄。
这些变换会改变二次函数的性质，如对称轴、顶点、零点等。
8.最大值或最小值：二次函数的最大值或最小值即为函数图像的顶点的y坐标。
当a>0时，函数的最小值为顶点的y坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的y坐标。
最大值或最小值是通过求解二次函数表达式的顶点y坐标来确定的。
以上是二次函数的一些基本性质，了解这些性质可以帮助我们更好地理解和分析二次函数的图像和特征。
二次函数与三角函数的图像与性质
二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。
2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。
对称轴上的点关于抛物线对称。
3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。
4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。
二次函数最多有两个零点。
5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。
二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。
2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。
3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。
–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。
4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。
–角度制：1° = π/180 rad。
5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。
–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。
–正切函数：tan x = 对边/邻边。
三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。
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二次函数的图像和性质复习题
一、例题：
已知函数151232++-=x x y .
（1） 确定该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2） 当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小.
（3） 写出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；写出该抛物线与y 轴的交点坐标；
（4） 当13≤≤-x 时，求函数的最大值和最小值
（5） 当63<≤x 时，求函数值y 的范围。
（6） 当33≤≤-x 时，求函数的最大值和最小值
二、填空题：
1、已知函数()x x m y m 3112+-=+，当=m 时，它是二次函数.
25个单位，再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为 ． 3、抛物线①213x y -=②2231x y -
=③2323x y =的开口由小到大顺序是 ； 4、已知抛物线y=3(x-1)2+k 上有三点A(2,y 1),B(2,y 2),C(-5,y 3),则y 1,y 2,y 3的大小关系为 ；
5、若二次函数2
223m m x mx y -+-=的图象经过原点，则m ＝_________；
6、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________；
7、若二次函数9)1(22-++=m x m y 有最大值,且图象经过原点,则m=______。
8、已知二次函数232)1(2-++-=m mx x m y ，则当=m 时，其最大值为0．
三、选择题：
1、已知：抛物线的顶点在x 轴上，则 b 的值一定是（ ） A 1 B 2 C －2 D 2或－2
2、二次函数2()1y x m =--．当x ≤l 时，y 随x 的增大而减小， m 的取值范围是（ ）
A ．m =l
B ．m >l
C ．m ≥l
D ．m ≤l
3、二次函数0,2
=+++=b a b ax x y 若中，则它的图象必经过点（ ）
A （1-，1-）
B （1，1-）
C （1，1）
D （1-，1）
4、二次函数c
bx
x
y+
+
=2的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为1
2
2+
-
=x
x
y，则b与c分别等于（）
A、6，4
B、－8，14
C、－6，6
D、－8，－14
5、二次函数c
bx
ax
y+
+
=2的图象开口向上，顶点在第四象限内，且与y轴的交点在x轴下方，则点p
（
b
c
a,）在（）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
5、如图，抛物线)0
(
2>
+
+
=a
c
bx
ax
y的对称轴是直线1
=
x，且经过点P（3，
0），则c
b
a+
-的值为
A. 0
B. －1
C. 1
D. 2
6、已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）
A、a＞0
B、b＜0
C、c＜0
D、a+b+c＞0
7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc ＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）
A、①②③④
B、②④⑤
C、②③④
D、①④⑤
8、如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（1/2，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）
A、1
B、2
C、3
D、4
9、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）
A、ac＞0
B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3
C、2a-b=0
D、当x＞0时，y随x的增大而减小
10、已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0 ）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：
①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2，其中正确的个数有（）
A．1个B．
2个C．3个D．4个。