宏观经济学分析方法系列：变分法、欧拉方程、极值路径与动态经济模型分析

==================================附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化（08、09、10、11硕已讲，精细订正版）一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数)(x y y =，最优点*x 的一阶条件是0)(='*x y .在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线)(t x *．这个最大化的积分定义为独立变量t 、函数)(t x 及它的导数dt dx /的函数F 下的面积。

简言之，假设时间区域从00=t 到T t =1，且用x表示dt dx /，我们寻找最大化或最小化⎰Tdt t xt x t F 0)](),(,[ （20.1） 这里假定F 对t 、)(t x 、)(t x 是连续的，且具有对x 和x 的连续偏导数．将形如(20．1)，对每一个函数)(t x 对应着一个数值的积分称为“泛函”．一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”．极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类)(t x ．（讲！）例1 一家公司当希望获得从时间0=t 到T t =的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p ，而且也依赖于价格关于时间的变化率如dt dp /。

假设成本是固定的，并且每个p 和dt dp /是时间的函数，p代表dt dp /，公司的目标可以作如下数学表示 ⎰Tdt t p t p t Max 0)](),(,[ π另一家公司发现它的总成本依赖于生产水平)(t x 和生产的变化率xdt dx =/．假设这个公司希望最小化成本，且x 和x 是时间t 的函数，公司的目标可以写成⎰10)](),(,[min t t dt t x t x t C 满足1100)(,)(x t x x t x ==且这些初始和终值约束称为端点条件．例2 Ramsey 经济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式)(c U U =出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey 问题”—找出一条消费路径)(t c ，使家庭终生效用函数)(c U U =最大化：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-⎰⎰∞-+-∞-0))()((1)]([max 0)()(010dt e t c t k dt t c e B t R t g n t c ωϑϑβ二、欧拉方程：动态最优化的必要条件（三种形式）定理（泛函极值曲线即最优化)的必要条件）：对于一个泛函⎰10)](),(,[t t dt t xt x t F 连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线)(t x x **=是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F (20．2a) 称之为欧拉方程．尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，但是由式中稍微不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程．用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数．(20．2a)的欧拉方程表示为 )],,([),,(x x t F dtd x x t F x x = (20．2b)然后，用链式法则求x F 关于t 的导数，并且省略自变“量”，得)()(x F x F F F x x x x t x x++= (20．2c) 这里，22/dt x d x=下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。

图20-2证明：（重点！09、10、11硕，已讲）设)(t x x **=是图20-2中连接点),(00x t 和),(11x t 的曲线，并且它使下面泛函取得最大值⎰10)](),(,[t t dt t xt x t F (20．3) 即)(t x x **=为极值曲线，欧拉方程(20．2a)是)(t x x **=为极值曲线的一个必要条件．取)()(ˆt mh t x X +=*是)(t x x **=的相邻曲线，这里m 是任意常数，)(t h 是一个任意函数．为了使曲线Xˆ也通过点),(00x t 和),(11x t ，则X ˆ也满足端点条件：0)(0)(10==t h t h (20．4)一旦取定)(t x *和)(t h 之后，因)(t x *和)(t h 固定，则积分值⎰10)](),(,[t t dt t xt x t F 仅为m 的函数，不妨改写成 ⎰++=**10)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t xt mh t x t F m g (20．5)由于)(t x *使(20．3)中的泛函⎰10)](),(,[t t dt t x t x t F 实现最优化，所以(20．5)中的函数)(m g 仅当0=m 时（因为0=m 时的⎰++=**10)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g 才能还原为⎰10)](),(,[t t dt t x t x t F ）实现最优化，即有00==m dm dg(20．6)对(20．5)即⎰++=**10)]()(,)()(,[)(t t dt t h m t x t mh t x t F m g 用链式法则求m F ∂∂/．由于F 是x 和x的函数，依次又是m 的函数，代入(20．7)得 dt m h m x x F m mh x x F dm dg t t ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂+∂⋅∂∂+∂+∂⋅∂∂=**10)()(由于h m mh x =∂+∂*)(且h m h m x =∂+∂*)(，用条件(20．6)即00==m dmdg ，有0)()(100=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂=⎰=dt t h x F t h x F dm dg t t m (20．8)方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分，（注： 分部积分公式即)(),(t v v t u u udvvu vdu b t a t b t a t b a ==-=⎰⎰====令)(,t h u x F F v x =∂∂== 所以，dt xF dt d dt dt dF dt dt dv dv x ⋅∂∂=⋅=⋅=)( dt t h dt dtdu du ⋅=⋅=)( ）⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂==1010100)()()(0t t tt t t m dt t h x F dt d t h x F dt t h x F dm dg由(20．4)知，0)()(10==t h t h ，从而0)()(10==t h t h ，于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂==100)(0t t m dt t h x F dt d x F dm dg（20．9) 由于)(t h 是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即0=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂x F dt d x F 或 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂xF dt d x F这就是欧拉方程．定理证毕。

三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F ，即),,(xx t F F =． 2、求F 对x 和x 的偏导数，记x x F x F F x F =∂∂=∂∂/,/．3、代入欧拉方程(20．2a)或(20．2b)．4、求x F 关于t 的导数．由于x F 是t ，x x 和的函数，且xx 和又是t 的函数，因此，需要用链式法则．5、如果没有导数项(x x 和)，立即解出x ；如果有xx 和项，直到作出所有导数的积分，然后求出x 。

在例3，例4中，给出了这个方法的例子．例3 设⎰+Tt dt x t e x 032)46( ，试用(20. 4)中所列程序及(20．2a)的记号，最优化这个泛函如下：1、设 xt e x F t 4632+= 2、则 t xF xe x F t 4,123=∂∂=∂∂ 3、代入欧拉方程(20．2a)，有)4(123t dt d xe t =4、但4/)4(=dt t d ，代入上式，4123=t xe5、由于没有x 和x项，所以可直接求出x ，将这个解表成)(t x ， t e t x 331)(-= 这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线．所以有必要使用充分条件检验。

见下一节．例4 泛函⎰-+202)5124(dt t xt x满足4)2(1)0(==x x求上述泛函的候选极值曲线，现在用(20．2b)的记号．1、设 t xt xF 51242-+= 2、则 xF t F x x 812==且 3、代入欧拉方程(20．2b)，x dtd t 812= 4、记dtdx x = ，且x dt x d dt dx dt d ==⎪⎭⎫ ⎝⎛22，xt 812= 5、由于有x，对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常数．xc t dt x tdt 8681212=+=⎰⎰再积分，xc t c t dt xdt c t 828)6(21312=++=+⎰⎰解出x ，8841)(212c t c t t x ++= 代入边值条件， 88)0(22==c c x 441)2(81)2(41)2(112==++=c c x 代入式中，得解：12141)(3++=t t t x四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的．1、如果泛函)](),(,[t xt x t F 在x t x ),(是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。

2、如果泛函)](),(,[t xt x t F 在x t x ),(是联合凸的，则对于最小值情况，必要条件是充分的．联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定．给定判别式：x x x x x x xxF F F F D= 1、(a)如果，01<=xx F D ，且02>=D D ，D 是负定的，F 是严格凹的，得到一个全局最大的极值曲线．(b)如果，01≤=xx F D ，且02≥=D D ，检验变量所有可能的次序，D 是半负定的，F 是简单凹的，则得到局部最大的极值曲线．2、(a)如果01>=xx F D ，且02>=D D ，D 是正定的，F 是严格凸的，从而得到一个全局最小的极值曲线．(b)如果01≥=xx F D ，且02≥=D D ，检验变量所有可能的次序，D 是半正定的，F 是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线．例5 下面是例3的充分条件的例子，这里泛函是xt e x F t 4632+=，t x xe F 312=，t F x 4=012000121231131=>===D e D e F F F F D t t x x x x x x xx1D 不符合对于全局最优的正定准则，但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的．012000222132====D D e F F F F D txx x x x x x x对每个变量的两种可能的顺序，D D D ,0,021≥≥是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件．用完全的相似的方式，可检验出例4的充分条件．五、泛函约束的动态优化（已讲）求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分⎰Tdt x t x t F 0]),(,[ (20．10) 满足积分约束k dt x t x t G T=⎰0]),(,[ (20．11) 这里，k 是一个常数，利用拉格朗日乘子方法，将约束(20．11)乘以λ，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数：⎰+T dt G F 0)(λ (20．12)对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件，而非充分条件G F H x H dt d x H λ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂这里 (20．13)例6 泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大．这样的问题称为等周问题，且通常将泛函记为)(t y ，而不是)(t x ．调整这个记号，求包含最大区域A 的给定长度k 的曲线Y ，这里⎰-=dx y y x A )(21 曲线的长度是k dx yx x =+⎰1021 像20．6节解释的，建立拉格朗日函数 dx y y y x x x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-1021)(21 λ (20．14)设H 等于(20．14)的被积函数，则欧拉方程是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y H dx d y H从(20．14)，212121yy x y H y H ++=∂∂-=∂∂λ且 代入欧拉方程， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-222111212112121y y dx d y y dx d y y x dx d λλλ 两边直接积分，然后整理，)(112c x y y--=+ λ方程的两边平方，解出y， 21221212212212212222122)()()()()()()1()(c x c x y c x c x y c x y c x yy c x y---±=---=-=--+-=λλλλ两边积分得2122)(c x c y--±=-λ 两边平方，然后整理，可以表示成一个圆22221)()(λ=-+-c y c x这里，c，2c和 由0x，1x和k决定。