初三九年级数学学沪科 第22章 训练习题课件专题技能训练(四) 与相似有关的证明与计算

专题技能训练
(2)若 E 是 BC 边的中点， ①如图②，当 AC＝BC 时，求证：EF＝EG； 证明：如图①，作 EP∥CD 交 AB 于 P， ∵E 是 BC 边的中点，∴P 是 BD 边的中点． ∵AC＝BC，CD⊥AB，∴BD＝AD，∴AD＝2DP. ∵EP∥CD，∴AFFE＝ADDP＝2，∴AF＝2EF. ∵△AFC∽△EGB，∴EAGF＝ABCE＝2，∴AF＝2EG，∴EF＝EG.
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∴AAQE＝BBEP，∴BP＝AEA·QBE＝（3 22）2＝9， ∴PH＝BP－BH＝9－3＝6， ∴PE＝ PH2＋EH2＝3 5. ∵△AEQ∽△EPQ∽△BPE， ∴BPEP＝PEQP，∴PQ＝PBEP2＝（3 95）2＝5.
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3．[2019·蜀山区模拟]如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°， CD⊥AB 于点 D，E 是 BC 边上一点，连接 AE 交 CD 于点 F， 作 EG⊥AE 交 AB 于点 G.
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2．[2019·安徽模拟]如图，△ABC 和△DEF 都是等腰直角三角 形，∠ACB＝∠EFD＝90°，△DEF 的顶点 E 与△ABC 的斜 边 AB 的中点重合．将△DEF 绕点 E 旋转，旋转过程中，线 段 AC 与线段 EF 相交于点 Q，射线 ED 与射线 BC 相交于点 P.
证明：如图①，延长 CD 交 AB 于 E， ∵∠ADE＝∠CAD＋∠ACD，∠BDE＝∠CBD＋∠BCD， ∴∠ADB＝∠ADE＋∠BDE＝∠CAD＋∠CBD＋∠ACB. ∵∠ADB＝∠ACB＋90°，∴∠CAD＋∠CBD＝90°.
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(2)如图②，过点 B 作 BE⊥BD，BE＝BD，连接 EC，若 AC·BD＝AD·BC，①求证：△ACD∽△BCE； 证明：∵∠CAD＋∠CBD＝90°，∠CBD＋∠CBE＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE. ∵AC·BD＝AD·BC，BD＝BE， ∴AADC＝BBCE，∴△ACD∽△BCE.
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(3)当 AQ＝2，AE＝3 2时，求 PQ 的长． 解：如图，过点 E 作 EH⊥BP 于点 H， 由题意知 AQ＝2，AE＝3 2，∴BE＝AE＝3 2. 又∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴由勾股定理易得 AC＝BC＝6. ∵∠B＝45°，BE＝3 2，EH⊥BC，∴EH＝BH＝3. ∵△AEQ∽△BPE，
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∵∠PEH＋∠EHP＝90°，∴∠PEH＝∠QHG， ∴△EPH∽△HQG，∴QPHG＝QPEH＝HEHG. ∵EF＝EH＝10，GF＝GH＝5，∴QPHG＝QPEH＝150＝2. 设 QG＝x，则 PH＝2x，QH＝10－2x， ∴PE＝20－4x，∴20－4x＝5＋x， ∴x＝3，∴PE＝8，作 HI⊥EF 于点 I，易得△HIN∽△EFM， ∴EHMN ＝EHFI＝180＝45.
AE＝EF， ∴△ABE≌△ECF，∴AB＝EC. ∵AB＝CD，∴EC＝CD.
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(2)若点 F 是 CD 的中点，求证：点 H 是 FG 的中点； 证明：∵∠EFC＋∠HFD＝90°，∠FEC＋∠EFC＝90°， ∴∠FEC＝∠HFD. 又∠C＝∠HDF，∴△ECF∽△FDH，∴DECF＝FEHF. ∵EC＝CD，F 为 CD 的中点， ∴EC＝2DF，∴HEFF＝DECF＝2，∴EF＝2FH. ∵EF＝GF，∴GF＝2FH，即点 H 为 FG 的中点．
(1)求证：△AFC∽△EGB；
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证明：∵CD⊥AB，EG⊥AE， ∴∠DFE＋∠DGE＝360°－90°－90°＝180°. 又∠BGE＋∠DGE＝180°，∴∠DFE＝∠BGE. ∵∠AFC＝∠DFE，∴∠AFC＝∠BGE. ∵∠ACE＝90°，∠AEG＝90°， ∴∠CAE＋∠AEC＝90°，∠BEG＋∠AEC＝90°， ∴∠CAF＝∠BEG，∴△AFC∽△EGB.
(1)求证：△AEQ∽△BPE；
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证明：∵△ABC 和△DEF 都是等腰直角三角形， ∴∠A＝∠B＝∠DEF＝45°. ∴∠PEB＋∠AEQ＝∠PEB＋∠EPB＝180°－45°＝135°， ∴∠AEQ＝∠BPE， ∴△AEQ∽△BPE.
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(2)求证：PE 平分∠BPQ； 证明：∵△AEQ∽△BPE，∴AEQQ＝BPEE. 而 AE＝BE，∴AEQQ＝APEE， ∵∠A＝∠DEF＝45°，∴△AEQ∽△EPQ，∴∠AEQ＝∠EPQ， ∵∠AEQ＝∠BPE，∴∠EPQ＝∠BPE，即 PE 平分∠BPQ.
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②如图③，当BACC＝n 时，探究EEGF的值，并说明理由． 解：如图②，作 EH∥CD 交 AB 于 H， ∵△AFC∽△EGB，∴EAGF＝ABCE＝n2，∴AF＝n2EG. ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴△ADC∽△CDB∽△ACB，∴CADD＝BCDD＝BACC＝n，∴BD＝n2AD， 由①易得，AFFE＝DAHD＝n22，∴AF＝n22EF，∴EEGF＝n1.
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(3)如图②，若正方形 AEFG 的顶点 E在矩形 ABCD 的边 BC 上， 顶点 F 在矩形 ABCD 的边 CD 的延长线上，点 H 为 AD，GF 的延长线的交点，且FCDD＝12，求GFHH的值．
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解：由(1)得，EC＝CD. ∵FCDD＝12. ∴FCDE＝12， ∵∠EFC＋∠DFH＝90°，∠H＋∠DFH＝90°，∴∠EFC＝∠H. 又∵∠C＝∠FDH＝90°，∴△ECF∽△FDH，∴FEHF＝FCDE＝12. ∵EF＝GF，∴FFHG＝12. ∴GFHH＝3.
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②若ABBC＝ 22，求BEEF的值； 解：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EBC＝90°， ∴∠2＋∠EBC＝90°，∴∠BHC＝90°. ∵EF∥AC，∴∠F＝∠2，∠BHC＝∠BEF＝∠ABC＝90°， ∴△BEF∽△ABC，∴BEEF＝ABBC＝ 22.
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(2)联系拓展：如图②，在四边形 EFGH 中，∠EFG＝90°， EF＝EH＝10，GF＝GH＝5，EM⊥HN，点 M、N 分别在边 FG、EF 上，求EHMN的值． 解：如图，作矩形 PEFQ，连接 EG， ∴∠P＝∠Q＝90°，PE＝QF. 由题意易得△EHG≌△EFG， ∴∠EHG＝90°，∴∠EHP＋∠GHQ＝90°.
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5．[2019·瑶海模拟]如图①，在矩形 ABCD 中，点 E 在边 AD 上， 点 F 在边 BC 的延长线上，连接 EF 与边 CD 相交于点 G，连 接 BE 与对角线 AC 相交于点 H，AE＝CF，∠1＝∠2.
(1)①求证：EF∥AC；
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD∥BF. ∵AE＝CF，∴四边形 ACFE 是平行四边形，∴EF∥AC.
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②求AABC··CBDD的值． 解：如图②，连接 DE， ∵BE⊥BD，BE＝BD， ∴△BDE 是等腰直角三角形，∴DBDE＝ 2. ∵△ACD∽△BCE， ∴∠ACD＝∠BCE，ABCC＝CCDE，
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∴∠ACB＝∠DCE. ∴△ACB∽△DCE， ∴AACB＝DDCE， ∴AABC··CBDD＝AABC·CBDD＝DDEC·CBDD＝DBDE＝ 2.
专图①，正方形 AEFG 的顶点 E、F 分别在 矩形 ABCD 的边 BC、CD 上，AD、FG 交于点 H.
(1)求证：CE＝CD；
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证明：∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°， ∴∠BAE＝∠FEC. 在△ABE 和△ECF 中，∠∠BBA＝E∠＝C∠，CEF，
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第22章 相似形
专题技能训练(四) 与相似有关的证明与计算
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1．[2019·蚌埠模拟]如图①，设 D 为锐角△ABC 内一点， ∠ADB＝∠ACB＋90°.
(1)求证：∠CAD＋∠CBD＝90°；