初三数学ppt课件
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初三数学课件ppt
包括一元一次不等式的性质和解法， 以及不等式组的性质和解法。
函数
函数的定义和性质
包括函数的定义、函数的表示方法、函数的单调性、奇偶性和周 期性等。
一次函数和反比例函数
包括一次函数和反比例函数的定义、性质和图像，以及它们的实际 应用。
函数的应用
通过实例和问题解决，让学生了解函数在实际生活中的应用，如路 程、速度和时间的关系等。
01
点、线、面的关系
理解点、线、面在三维空间中的关系，如点在面上、线在面上、线与线
相交、线与线平行等。
02
立体图形的分类与性质
了解常见的立体图形，如长方体、正方体、球体、圆柱体等，理解其性
质和特点。
03
立体图形的表面积与体积计算
掌握立体图形的表面积和体积计算公式，理解表面积与体积的关系。
03
概率与统计初步
数据中获取有用的信息。
统计方法
常见的统计方法包括描述性统计 和推断性统计，其中描述性统计 是对数据进行整理和描述，而推 断性统计则是对数据进行推理和
预测。
统计应用
统计在各个领域都有广泛的应用 ，如经济学、社会学、医学等。
数据处理与图表
数据处理
数据处理是指对数据进行清洗、去重、排序、筛选等操作 ，以便更好地利用数据进行分析和预测。
圆
圆的性质
掌握圆的基本性质，如圆上任一点到圆心的距离等于半径，圆心 角与圆周角的关系等。
圆的周长与面积计算
掌握圆的周长和面积计算公式，理解周长与直径、半径的关系，面 积与半径的关系。
圆与三角形、四边形的关系
理解圆与三角形、四边形在面积和周长计算中的关系，如圆内接三 角形、外切三角形等。
立体几何初步
2024版初三数学最新课件
了解相似变换的概念和性质，掌握相似变换在几 何图形中的应用。
05
概率统计初步认识
Chapter
概率基础概念介绍
随机事件与概率
解释随机事件的定义，阐述概率是描述随机事件发生可能 性的数值。
概率的性质
介绍概率的加法公式、乘法公式、全概率公式等基本性质。
条件概率与独立性
阐述条件概率的概念，探讨事件之间的独立性关系。
表示方法
函数可以用解析式、表格、图象等 多种形式表示。
函数三要素
定义域、值域、对应关系是构成函 数的三个基本要素。
一次函数图象和性质
1 2
一次函数图象 一次函数的图象是一条直线。
斜率与截距
直线的斜率和截距决定了一次函数的性质。
3
函数性质 一次函数具有单调性，当斜率大于0时，函数单 调递增；当斜率小于0时，函数单调递减。
二次函数基础知识
二次函数定义 形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的函数称为 二次函数。
图象特征 二次函数的图象是抛物线，对称轴为x=-b/2a。
函数性质 二次函数的性质与开口方向、顶点坐标和对称轴有关。当 a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)，对称轴为x=-b/2a。
理解垂径定理、切线长定理等圆的性质，掌握点与圆、直线与圆的 位置关系。
圆的证明
了解证明与圆有关问题的基本方法，如利用垂径定理、切线长定理等。
几何变换初步了解
平移变换
了解平移变换的概念和性质，掌握平移变换在几 何图形中的应用。
旋转变换
了解旋转变换的概念和性质，掌握旋转变换在几 何图形中的应用。
05
概率统计初步认识
Chapter
概率基础概念介绍
随机事件与概率
解释随机事件的定义，阐述概率是描述随机事件发生可能 性的数值。
概率的性质
介绍概率的加法公式、乘法公式、全概率公式等基本性质。
条件概率与独立性
阐述条件概率的概念，探讨事件之间的独立性关系。
表示方法
函数可以用解析式、表格、图象等 多种形式表示。
函数三要素
定义域、值域、对应关系是构成函 数的三个基本要素。
一次函数图象和性质
1 2
一次函数图象 一次函数的图象是一条直线。
斜率与截距
直线的斜率和截距决定了一次函数的性质。
3
函数性质 一次函数具有单调性，当斜率大于0时，函数单 调递增；当斜率小于0时，函数单调递减。
二次函数基础知识
二次函数定义 形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）的函数称为 二次函数。
图象特征 二次函数的图象是抛物线，对称轴为x=-b/2a。
函数性质 二次函数的性质与开口方向、顶点坐标和对称轴有关。当 a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。 顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)，对称轴为x=-b/2a。
理解垂径定理、切线长定理等圆的性质，掌握点与圆、直线与圆的 位置关系。
圆的证明
了解证明与圆有关问题的基本方法，如利用垂径定理、切线长定理等。
几何变换初步了解
平移变换
了解平移变换的概念和性质，掌握平移变换在几 何图形中的应用。
旋转变换
了解旋转变换的概念和性质，掌握旋转变换在几 何图形中的应用。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)反比例函数k的几何意义 课件(17张ppt)
(3)若点(a,y)在该函数图象上,且a＞－2,求y的取值范围.
7.【例 4】如图,在平面直角坐标系中,反比例函数 y＝k(k＞0)的
x
图象经过点 A(2,m),过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,且△AOB 的面积
为 5. (1)求k和m的值; (2)当x≥8时,求函数值y的取值范围.
解:(1)∵A(2,m),
第二十六章 反比例函数 与反比例函数有关的面积问题
k 的几何意义及应用
函数
图象形状 图象位置 增减性 延伸性 对称性
y
函数图象的 在每一支
双曲线既
k＞0
两支分支分 曲线上,y 双曲线向 是轴对称
O x 别位于第一、都随x的增 四边无限 图形(对称
三象限
大而减小 延伸,与 轴:y=±x),
y 函数图象的 在每一支 坐标轴没 又是中心
自主归纳
y
P(m,n) B
oA
x
K与图形面积
S矩形OAPB OA• AP
m•n
k
反比例函数图像上任意一点向x轴和y轴作垂线，
得到矩形的面积为 S矩形OAPB k
如图:连接OP，则
SOAP
1 • OA • AP 2
y
1 m•n
2
P(m,n) B
oA
x
1 k 2
反比例函数图像上任意一点向x轴或y轴作垂线，
5.若D、E、F是此反比例函数在第三象限图像上的三个点，
过D、E、F分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N、K，连接
OD、OE、OF，设△ ODM、△OEN、 △OFK 的面积分别
为S1、S2、S3，则下列结论成立的是( D )
y A（1，4）A S1﹤S2 Nhomakorabea﹤ S3
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.1.1 锐角三角函数(第1课时) 课件(共24张PPT)
课堂练习
1.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来 的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
2.以下对坡度的描述正确的是(
)
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
例题讲解 例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
解：甲梯中，tan
4 8
1 2
.
乙梯中， tan
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
5
5
.
132 52 12
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为 夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
探究新知 知识点一 正切
梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种 判断办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
┌ A ∠A的邻边b C
谢谢聆听
其实就是坡角的正切．
例题讲解 例4 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
九年级上册数学ppt课件
一、教材分析
（一）教材所处的地位及作用。 本节课是九年级上册（人教版）
第二十三章第二节 中心对称的第一课 时。它是初中数学的一项重要内容。 它与轴对称、轴对称图形、旋转有着 密不可分的联系,实际生活中也随处可 见中心对称的应用。
（二）教学目标
1 、知识目标：
(1)理解并掌握中心对称的概念和性质。
2.动手操作
学生在教师的引导下动手操作， 旋转三角板，画出关于点O对称的 两个三角形，在学生画出两个中心 对称的三角形后，及时展开中心对 称性质的研究。
设计意图
通过学生动手操作、合作交流， 来获取知识，这样设计有利于突破 难点，也让学生体会到观察、猜想、 归纳的数学思想及学习过程，提高 学生分析问题和解决问题的能力。
(2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD绕点O旋转180°,你又有什么发现?
O
重合
B
（2） C
重合
设计意图
鼓励学生通过观察、思考 和讨论，用自己的语言来描述 这些图案的共同特征，初步感 受中心对称的概念。这种以实 际问题为切入点导入新课，不 仅自然，而且也反映了数学来 源于生活，学习数学是为了服 务于生活。
3、归纳验证
归纳：通过动手操作、合作交流，探索 中心对称的性质，让学生在整个学习过 程中感受学习数学的乐趣，使学生学会 “文字语言”与“数学语言”这两种表 达方式。
验证：学生在探究过程中进行了画图、 旋转还有证明等活动，引导学生从中体 会到数形结合和从特殊到一般的数学思 想，而且这一过程也有利于培养学生严 谨、科学的学习态度。
教法
数学是一门培养人的思维，发展 人的思维的重要学科，因此在教学中， 不仅要使学生“知其然”，而且还要 使学生“知其所以然”。针对初三年 级学生的认知结构和心理特征，本节 课可选择“引导探索法”，引导学生 自主探索，合作交流，这种教学理念 紧随新课改理念，也反映了时代精神。
（一）教材所处的地位及作用。 本节课是九年级上册（人教版）
第二十三章第二节 中心对称的第一课 时。它是初中数学的一项重要内容。 它与轴对称、轴对称图形、旋转有着 密不可分的联系,实际生活中也随处可 见中心对称的应用。
（二）教学目标
1 、知识目标：
(1)理解并掌握中心对称的概念和性质。
2.动手操作
学生在教师的引导下动手操作， 旋转三角板，画出关于点O对称的 两个三角形，在学生画出两个中心 对称的三角形后，及时展开中心对 称性质的研究。
设计意图
通过学生动手操作、合作交流， 来获取知识，这样设计有利于突破 难点，也让学生体会到观察、猜想、 归纳的数学思想及学习过程，提高 学生分析问题和解决问题的能力。
(2)线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．把 △OCD绕点O旋转180°,你又有什么发现?
O
重合
B
（2） C
重合
设计意图
鼓励学生通过观察、思考 和讨论，用自己的语言来描述 这些图案的共同特征，初步感 受中心对称的概念。这种以实 际问题为切入点导入新课，不 仅自然，而且也反映了数学来 源于生活，学习数学是为了服 务于生活。
3、归纳验证
归纳：通过动手操作、合作交流，探索 中心对称的性质，让学生在整个学习过 程中感受学习数学的乐趣，使学生学会 “文字语言”与“数学语言”这两种表 达方式。
验证：学生在探究过程中进行了画图、 旋转还有证明等活动，引导学生从中体 会到数形结合和从特殊到一般的数学思 想，而且这一过程也有利于培养学生严 谨、科学的学习态度。
教法
数学是一门培养人的思维，发展 人的思维的重要学科，因此在教学中， 不仅要使学生“知其然”，而且还要 使学生“知其所以然”。针对初三年 级学生的认知结构和心理特征，本节 课可选择“引导探索法”，引导学生 自主探索，合作交流，这种教学理念 紧随新课改理念，也反映了时代精神。
人教版初三数学9年级下册 第26章(反比例函数)26.1.1 反比例函数 课件(共17张ppt)
复习回顾
➢什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就
说x是自变量，y是x的函数。
复习回顾
➢我们学习过的函数有哪些？它们的一般形式是什么？
一次函数： y=kx+b (k,b是常数，k≠0）
正比例函数（特殊的一次函数）：y=kx (k是常 数，k≠0），其中k为比例系数
v
1463
（3）你能写出 v 关于 t 的解析
t
式吗？
思考： 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如
果有，请直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩形 草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的
变化而变化．
y 1 000 x
x y
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单 位：人）的变化而变化．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x = 4 时，求 y 的值.
（3）当 y =8时，求x的值.
变式训练
已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=1.5 时，求 y 的值；
（3）当 y=6 时，求 x 的值.
规律提炼
课堂小结 反比例函数的定义 一般形式 如何求解析式
拓展提高
1、如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那 么y与x具有怎样的函数关系？ 2、如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且 x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？
二次函数：y ax2 bx c （a≠0,且a,b,c均
➢什么是函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个 变量x与y ，并且对于x的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就
说x是自变量，y是x的函数。
复习回顾
➢我们学习过的函数有哪些？它们的一般形式是什么？
一次函数： y=kx+b (k,b是常数，k≠0）
正比例函数（特殊的一次函数）：y=kx (k是常 数，k≠0），其中k为比例系数
v
1463
（3）你能写出 v 关于 t 的解析
t
式吗？
思考： 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如
果有，请直接写出解析式．
问题2 某住宅小区要种植一块面积为 1 000 m2的矩形 草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽 x（单位：m）的
变化而变化．
y 1 000 x
x y
问题3 已知北京市的总面积为 1.68×104 km2 ，人 均占有面积 S（单位： km2 /人）随全市总人口 n（单 位：人）的变化而变化．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；
（2）当 x = 4 时，求 y 的值.
（3）当 y =8时，求x的值.
变式训练
已知 y 与 x2 成反比例，并且当 x=3 时，y=4．
（1）写出 y 关于 x 的函数解析式； （2）当 x=1.5 时，求 y 的值；
（3）当 y=6 时，求 x 的值.
规律提炼
课堂小结 反比例函数的定义 一般形式 如何求解析式
拓展提高
1、如果y是z的反比例函数，z是x的反比例函数，那 么y与x具有怎样的函数关系？ 2、如果y是z的反比例函数，z是x的正比例函数，且 x≠0，那么y与x具有怎样的函数关系？
二次函数：y ax2 bx c （a≠0,且a,b,c均
初三数学ppt课件
1.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函数 的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结合图 形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的 大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位 置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值 范围等. 2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利 用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x 轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范 围. 3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函 数解析式，即已知任意三点坐标选用一般式； 已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式； 已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
a﹥0 b﹤0 c﹤0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
8
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( D)
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= 3，
CB=2 3,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它
的顶点坐标.
OC= 3
OA= 3 3
y 1 x2 4 3x 3 33
顶点坐标为（ 2 3，1）
13
挑恭 战喜 成你 功
把你的喜悦和大家一起分享, 也请把你的收获告诉你的同桌吧!
14
四、方法小结
2m1时图象过原点另一个交点坐标为103当m1且m3时抛物线的顶点在第四象限轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论13如图所示已知抛物线yaxcb2cao30求抛物线的解析式和它的顶点坐标
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
a﹥0 b﹤0 c﹤0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
8
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( D)
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= 3，
CB=2 3,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它
的顶点坐标.
OC= 3
OA= 3 3
y 1 x2 4 3x 3 33
顶点坐标为（ 2 3，1）
13
挑恭 战喜 成你 功
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14
四、方法小结
2m1时图象过原点另一个交点坐标为103当m1且m3时抛物线的顶点在第四象限轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论轴只有一个交点抛物线与轴总有交点且当抛物线与为何值时无论13如图所示已知抛物线yaxcb2cao30求抛物线的解析式和它的顶点坐标
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AB=2 OC=3
(1)y= -x2+4x-3
(2) y= x-3
(3) 3
11Biblioteka 战二已知：二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证：不论m为何值时，函数的图像与x轴总有交点 ，并指出m为何值时，只有一个交点； (2)当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数 图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限，求m的取值范围.
(1) (m 1)2 4 2(m 1) (m 3)2,
无论m为何值时， 0.
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时，
抛物线与x轴只有一个交点.
(2)m=1时,图象过原点,另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时，抛物线的顶点在第四象限
12
挑战三
如 图 所 示 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 负 半
1.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函数 的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结合图 形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的 大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位 置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值 范围等. 2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利 用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x 轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范 围. 3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函 数解析式，即已知任意三点坐标选用一般式； 已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式； 已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.
10
②求得抛物线解析式;
Y=-10/3x2 +20/3x+10 ③求出抛物线与x轴的交点;
O
1
(-1,0) (3,0)
10
挑战一
(青海省)如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两 个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，
(1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求 此直线的解析式； A (1,0) B (3,0) C(0,-3) (3)求△ABC的面积.
( D) B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0
7
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的有( D )
A.abc＞0
B. b2-4ac＞0
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
a﹥0 b﹤0 c﹤0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
9
你能帮我了吗 ?
某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出
的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).
如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面40/3米，则水流
落地点B离墙的距离OB是
(B)
A.2米
B.3米
C.4米
D.5米
提示
40/3
①抛物线顶点M（1,40/3)
与y轴交点A(0,10)
4
3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大至为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 -3＜x＜1 .
-3
１
.-3
5
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图所示，下列结论：
1
直击考点
1、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)称 为y是x的二次函数，它的图像是抛物线.
2(1.)抛a物决线定y开=口ax方2+b向x+:c的aa﹥﹤特00,,开 开征口 口与向 向a下 上、;, b、c的符号：
((32))ca与决b定决抛定物对线称与轴y位轴置交:点aa位,, bb置异 同号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
c﹥ 0,交点在y轴正半轴上
c 0,交点在原点
c ﹤ 0,交点在y轴的负半轴上
2
y=ax2+bx+c(a≠0)
3. 抛物线与x轴交点个数的判定.
(1)b2-4ac＞0 2个交点.
(2)b2-4ac = 0 (3)b2-4ac＜0
01个个.交点.
4.常用的二次函数解析式的求法：
(1)一般式：y=ax2+bx+c
(2)顶点式：y=a(x-m)2+n
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 5.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，最值为
y=4ac b2,要善于利用图像的对称性,同时抓住抛物 线的顶4a点、与x轴的交点，与y轴的交点这几个关键 点来解决有关的问题。
3
检阅阵容
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= 3，
CB=2 3,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它
的顶点坐标.
OC= 3
OA= 3 3
y 1 x2 4 3x 3 33
顶点坐标为（ 2 3，1）
13
挑恭 战喜 成你 功
把你的喜悦和大家一起分享, 也请把你的收获告诉你的同桌吧!
14
四、方法小结
6
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、
-1 1
c间的关系判断正确的是( D )
A.ab < 0
B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为 A.x > a/b
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
-1
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在
(D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
a <0,b >0,c >0
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为
(A )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0
当x=-1时,y=a-b+c
x=- b/2a=-1
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( C ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
8
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( D)
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
你发现了吗 ?
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数问题与一
元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数问题紧
密联系.
(1)y= -x2+4x-3
(2) y= x-3
(3) 3
11Biblioteka 战二已知：二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证：不论m为何值时，函数的图像与x轴总有交点 ，并指出m为何值时，只有一个交点； (2)当m为何值时，函数图像过原点，并指出此时函数 图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限，求m的取值范围.
(1) (m 1)2 4 2(m 1) (m 3)2,
无论m为何值时， 0.
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时，
抛物线与x轴只有一个交点.
(2)m=1时,图象过原点,另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时，抛物线的顶点在第四象限
12
挑战三
如 图 所 示 ， 已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 负 半
1.二次函数的图象有着丰富的内涵,解决二次函数 的题目应尽可能地画出大致的抛物线图象,结合图 形,解决问题.利用a、b、c的值可判断二次函数的 大致位置情况；反之，若已知二次函数的大致位 置，也可以判断出一些特殊关系式或字母的取值 范围等. 2.二次函数还与一元二次方程的知识紧密联系.利 用方程根的性质、根的判别式，可判定抛物线与x 轴交点的情况；反之，可以求某些字母的取值范 围. 3.要准确辨析条件，选用适当的形式求二次函 数解析式，即已知任意三点坐标选用一般式； 已知顶点坐标、对称轴或最值常可选用顶点式； 已知抛物线与x轴的两个交点坐标常选用交点式.
10
②求得抛物线解析式;
Y=-10/3x2 +20/3x+10 ③求出抛物线与x轴的交点;
O
1
(-1,0) (3,0)
10
挑战一
(青海省)如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两 个交点分别为A(x1,0)，B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，
(1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求 此直线的解析式； A (1,0) B (3,0) C(0,-3) (3)求△ABC的面积.
( D) B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0
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9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的有( D )
A.abc＞0
B. b2-4ac＞0
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
a﹥0 b﹤0 c﹤0 X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
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你能帮我了吗 ?
某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出
的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).
如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面40/3米，则水流
落地点B离墙的距离OB是
(B)
A.2米
B.3米
C.4米
D.5米
提示
40/3
①抛物线顶点M（1,40/3)
与y轴交点A(0,10)
4
3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大至为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 -3＜x＜1 .
-3
１
.-3
5
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图所示，下列结论：
1
直击考点
1、一般地，y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)称 为y是x的二次函数，它的图像是抛物线.
2(1.)抛a物决线定y开=口ax方2+b向x+:c的aa﹥﹤特00,,开 开征口 口与向 向a下 上、;, b、c的符号：
((32))ca与决b定决抛定物对线称与轴y位轴置交:点aa位,, bb置异 同号 号， ，在 在yy轴 轴右 左侧 侧； ，
c﹥ 0,交点在y轴正半轴上
c 0,交点在原点
c ﹤ 0,交点在y轴的负半轴上
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y=ax2+bx+c(a≠0)
3. 抛物线与x轴交点个数的判定.
(1)b2-4ac＞0 2个交点.
(2)b2-4ac = 0 (3)b2-4ac＜0
01个个.交点.
4.常用的二次函数解析式的求法：
(1)一般式：y=ax2+bx+c
(2)顶点式：y=a(x-m)2+n
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 5.二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=-b/2a，最值为
y=4ac b2,要善于利用图像的对称性,同时抓住抛物 线的顶4a点、与x轴的交点，与y轴的交点这几个关键 点来解决有关的问题。
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检阅阵容
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB= 3，
CB=2 3,∠CAO=30°，求抛物线的解析式和它
的顶点坐标.
OC= 3
OA= 3 3
y 1 x2 4 3x 3 33
顶点坐标为（ 2 3，1）
13
挑恭 战喜 成你 功
把你的喜悦和大家一起分享, 也请把你的收获告诉你的同桌吧!
14
四、方法小结
6
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、
-1 1
c间的关系判断正确的是( D )
A.ab < 0
B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为 A.x > a/b
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
-1
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在
(D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
a <0,b >0,c >0
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为
(A )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0
当x=-1时,y=a-b+c
x=- b/2a=-1
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( C ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
8
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是( D)
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
你发现了吗 ?
抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数问题与一
元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数问题紧
密联系.