Ch3-本构关系

本构关系
一、概述
§3.4 增量理论（流动理论）
塑性本构关系 —— 材料超过弹性范围之后的本构关系。此时， 应力与应变之间不存在一一对应的关系， 只能建立应力增量与应变增量之间的关系。 这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。 这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。 增量理论 进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。
1 1 9 2 ν p W = W −W = W − σijεij = W − σijσij + σm 2 4G 2E
p e
（3-14）
本构关系
Drucker公设 公设: 公设 对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， ），借助一个外部作用 对于处于在某一状态下的材料质点（或试件），借助一个外部作用， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力， 在其原有的应力状态之上，缓慢地施加并卸除一组附加应力，在这 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。 附加应力的施加和卸除的循环内，外部作用所做的功是非负的。 应力循环的过程： 应力循环的过程： 单元体在应力状态σij 下处于平衡。
（3-3）
1 εm = εkk 3 体积弹性模量 K = E / 3(1− 2 ) ν
则平均正应力与平均正应变的关系：
σ m = 3 Kε m
1 eij = sij 2G
包含5个独立方程
（3-4） （3-2）
（3-2）式用可用应力偏量 sij 和应变偏量 eij表示为 （3-5）
本构关系
1 1 由（3-5） ′ I2 = eijeij = 2
dσ 中性变载 dσ
φ = 0, φ = 0, φ = 0,
n 卸载 φ =0
dσ 加载
∂φ dσij = 0 中性变载 ∂σij ∂φ dσij < 0 卸载 ∂σij ∂φ dσij > 0 加载 ∂σij
这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化， 应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。
o o σij 处于加载面的内部，即σij ≠ σij，由于dσij是高阶小量，则 当
0 p (σij −σij )dεij ≥ 0
o 当σij 正处于加载面上，即 σij = σij，则
（3-20）
o
p dσijdεij ≥ 0
（3-21）
由此可对屈服面形状与塑性应变增量的特性导出两个重要的结论。 1、屈服曲面的外凸性。 、屈服曲面的外凸性。 2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。 、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致 正交性法则。 正交性法则 当 ij处于加载面上，Drucker公设导致的（3-21）通常叫作 σo Drucker稳定性条件。
dε = dλ ⋅ sij
p ij
（3-36）
本构关系
一 、理想材料的加卸载准则 理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。 由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到屈服面上， 应力增量 dσ 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。 dσ 加载 f (σij ) < 0, 弹性状态
dσ
n 卸载
f =0
∂f 加载 df = dσij = 0 ∂σij
屈服曲面必须是凸的。 如果屈服面是凹的，则3-22式不满足。 屈服曲面必须是凸的。
本构关系
2、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致——正交性法则。 、塑性应变增量向量与加载面的外法线方向一致 正交性法则。 正交性法则 n
A
n——加载面在A点的外法向。
dε p
如果dε p与n不重合，则总可以找到A0， 使3-22式不成立。
e 2、应变可分解为弹性应变和塑性应变。 εij = εij 应变可分解为弹性应变和塑性应变。 应变可分解为弹性应变和塑性应变 p + εij
3、材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。 材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变。 材料的弹性变形规律不因塑性变形而改变
即 性 变 由 ij唯 确 ， 塑 应 ε 无 。 弹 应 ε σ 一 定 与 性 变 关
[
]
[
]
（3-1）
[
]
其中 张量写法：
G = E / 2(1+ν )
εij =
其中
− σmδij 2G E 1 σm = σkk 为平均正应力。 3
σij 3 ν
（3-2）
本构关系
将三个正应变相加，得：
3ν 1 − 2ν ε kk = − σ mδ kk = σ kk 2G E E
记：平均正应变
σ kk
（3-25）
r dσ ⋅n ≥ 0
（3-26）
只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。 判断能否产生新的塑性变形，需判断： （1）dσij 是否在 φ = 0上。 加卸载准则 （2）dσij 是否指向φ = 0 的外部。 加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。 加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。 卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。 卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。
τ yz 1 , ε x = σ x −ν (σ y + σ z ) , γ yz = E G τ zx 1 ε y = σ y −ν (σ z + σ x ) , γ zx = , E G τ xy 1 ε z = σ z −ν (σ x + σ y ) , γ xy = , E G
A0
因此，ε p必须与加载面φ = 0的外法线重合。 d φ = 0 的外法线方向即其梯度方向。
dε ijp 可表示为：
∂φ dε = dλ ∂σij
p ij
（3-23）
本构关系
§3.3 加载、卸载准则
Drucker稳定性条件 稳定性条件： 稳定性条件
dσ ⋅ dε p ≥ 0
由于 dε p与外法线n同向，上式改写成：
1 1 1 2 1 1 2 W = J2 = τγ = Gγ = σε = σ φ 2G 2 2 2 6G
e
本构关系
§3.2 Drucker公设
两类力学量 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 外变量：能直接从外部可以观测得到的量。如总应变，应力等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量：不能直接从外部观测的量。如塑性应变，塑性功等。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 内变量只能根据一定的假设计算出来。 关于塑性应变和塑性功的假设： 关于塑性应变和塑性功的假设： 1、材料的塑性行为与时间，温度无关。 材料的塑性行为与时间，温度无关。 材料的塑性行为与时间
e p dεij = dεij + dεij
e 由Hooke定律， dεij =
（3-30） （3-31） （3-32）
dσij 2G
−
ν 3 dσmδij E
∂φ 由Drucker公设， dε = dλ ∂σij
p ij
本构关系
∂φ dε = dλ ∂σij
p ij
流动法则
p 给出了塑性应变增量dεij与加载函数φ之间的关系。
o
σij
σij + dσij
在单元体上施加一附加力，使应力达到 σij， o σij 刚好在加载面上，即开始发生塑性变形。 继续加载至σij + dσij，在这期间，将产生 dε ijp。 塑性应变 最后，将应力又卸回到 σij 。完成应力循环。
o
图3-1
σ 以 ij 表示应力循环过程中任一时刻的瞬时应力状态。 0 按Drucker公设，附加应力 σij −σij） 在应力循环中所作的功非负。 （ +
e ij p ij
p εij可以由外变量εij、σij表示出来。 根据以上假设， 表示出来。 根据以上假设，内变量
本构关系
对于各向同性材料：
p ij e ij
1 ν 3 ε = εij −ε = εij − ( σij − σmδij ) 2G E
（3-12）
将总功分解为弹性功和塑性功。 将总功分解为弹性功和塑性功。 e p W = ∫σijdεij = ∫σijdεij + ∫σijdεij （3-13） 1 e p = σijεij + ∫σijdεij 2 =We +W p 这样， 表示出来。 这样，内变量W p也可以由外变量W、σij 表示出来。 对于各向同性材料：
（3-9）
本构关系
Mises屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和 屈服条件的物理解释中将弹性应变能分解为体积应变能和 形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为： 形状改变比能。这里，由弹性本构关系将三者表示为：
1 1 We = σijεij = (sij +σmδij )(eij +εmδij ) 2 2 3 1 = σmεm + sijeij 2 2 =We +We V φ
塑性力学
第 3 章
本构关系
塑性力学
第三章 塑性本构关系
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6 弹性本构关系 Drucker公设 加载、卸载准则 增量理论（流动理论） 全量理论（形变理论） 岩土力学中的Coulomb屈服条件和 流动法则
本构关系
§3.1 弹性本构关系
在弹性阶段，材料的本构关系即广义Hooke定律：
本构关系
二、理想塑性材料与Mises条件相关联的流动法则
对于理想塑性材料，屈服函数f就是加载函数φ。 流动法则写成： Mises屈服条件： 有
∂f dε = dλ ∂σij
p ij
（3-35）
f = J2 −τ s2 = 0