第1讲 数学建模简介

例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 时间和空间变化的数学模型后， 时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药 物的疗效，从而有效地指导临床用药. 物的疗效，从而有效地指导临床用药. 2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。 与数学世界的理想桥梁。
交通事故调查
一辆汽车在拐弯时急刹车， 结果冲到路边的沟里（见图 1.1）。交警立即赶到事故现 场。司机申辩说，当他进入 弯道时刹车已失灵，他还一 口咬定，进入弯道时其车速Y NhomakorabeaO
X
为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当 于17.9米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事故 发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？
数 学 建 模
一. 数学科学的重要性 科学技术是第一生产力； * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争； 高技术” * “高技术”本质上是一种数学技术； 高技术 本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行 数学科学是一种关键的、普遍的、 的技术； 的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用； 在经济竞争中数学科学是必不可少的; * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
数学模型(定义 ： 数学模型 定义)： 定义 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 是用数学符号、数学公式、程序、 是用数学符号、数学公式、程序、图、表等 刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化 表述. 表述
数学建模(定义 数学建模 定义) ： 定义 创立一个数学模型的全过程 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行 求解。 求解。 数学模型（Mathematical Model）：重结果； ）：重结果 数学模型（ ）：重结果； 数学建模（ ）：重过程 数学建模（Mathematical Modeling）：重过程 ）：
怎样收集数据和资料？ 怎样收集数据和资料？
可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验、计算机模拟来得到。 通过试验、计算机模拟来得到。
数学建模实例
A. 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 椅子能在不平的地面上放稳吗？ B.双层玻璃的功效 双层玻璃的功效 C.交通事故调查 交通事故调查 D.录像机计数器的用途 录像机计数器的用途
模型假设 （1）该车的重心沿一个半径为r的园做 圆周运动（根据交通学原理，现有公路 的弯道通常是按圆弧段设计的,需要检 验）。 （2）汽车速度v是常数（因刹车失灵， 所以刹车不起作用）。 （3）设摩擦力f作用在汽车速度的法线上， 摩擦系数为常数k，汽车质量为m。
模型建立
根据牛顿运动学定律： f=kmg=mv2/r （1.1） 模型求解 由（1.1）式得 v= kgr （1.2） 关于园半径的估计:假设已知园的弦长为c,弓形高度为h, 由勾股定理得, 由表1.1得 c≈33.27m, h≈3.55m, r≈40.75m.
实际问题分析
建立数学模型
提交论文与报告
求解数学模型
模型与模型解的分析及检验
以下介绍几种方法 一．小组群体思维 类似于现代科研工作，数学建模活动是 类似于现代科研工作， 群体的合作活动。 群体的合作活动。 * 数学建模是一种集体创新过程，需要一种集 数学建模是一种集体创新过程， 体创新思维方式。 体创新思维方式。 * 在合作过程中相互理解、相互协调、相互交 在合作过程中相互理解、相互协调、 流、从而集思广益
数学建模的意义： 数学建模的意义： 所谓数学模型， 所谓数学模型， 广义上理解 数学中的概念，如数、向量、 理解， 从广义上理解，数学中的概念，如数、向量、 集合、点、线、面、群、环、域、线性空间等 集合、 都是现实原型的数学模型． 都是现实原型的数学模型．但这些是前人已经 建立起来的、成熟的数学模型， 建立起来的、成熟的数学模型， 狭义上理解 是对现实存在的具体问题， 理解， 从狭义上理解，是对现实存在的具体问题， 建立新的数学模型，这后一种理解， 建立新的数学模型，这后一种理解，对学习数学 建模者来说更有意义。 建模者来说更有意义。
1. 考虑问题的立场 司机或行人的哪方面的利益 考虑问题的立场, 更为重要？ 更为重要？ 2. 公路情况 是否有弯道？车道间是否设有安 公路情况: 是否有弯道？ 全隔离带？ 全隔离带？…… 3. 车流情况：车流的密度大小？ 车流情况：车流的密度大小？ 4. 行人情况 穿越公路的速度大小？穿越公路的 行人情况: 穿越公路的速度大小？ 人群密度？ 性质？ 人群密度？穿越公路的 性质？
模型建立 方法一: 方法一 m圈总长度等于录像带转过的长度,即
π
∑
n
2 ( r + wi ) = vt
(1.3)
i =1
w 2 2πr + πw t =π n + n v v
(1.4)
方法二: 方法二 右轮面积的变化=录像带转过的长度×厚度
π [(r + wn) − r ] = wvt
2 2
(1.5)
通常可以根据路面与汽车轮胎的情况测出摩擦 系数的值,也可以通过交通部门获得,本例取 kg=8.175m/s。代入(1.2)式得 v=18.2m/s。
模型解释 这一结果比司机所说的车速(17.9m/s)略 大一些,但基本上可以认为司机所说的结 果是可以接受的。
录像机计数器的用途
问题 一盘录像带从头至尾用时183分30秒,计 分 秒计 一盘录像带从头至尾用时 数器从0000变到 变到6152,现在录像机计数器 数器从 变到 现在录像机计数器 问剩下的一段能否录下1小时的节 为4580,问剩下的一段能否录下 小时的节 问剩下的一段能否录下 目。我们希望建立计数器与录像带转过 时间之间的关系,并回答能否录 小时的节 时间之间的关系 并回答能否录1小时的节 并回答能否录 目？
现 实 世 界
建立数学模型 翻译为实际解答
数 学 世 界
推理 演绎 求解
实际解答：如对现实对象的分析、预报、 实际解答 如对现实对象的分析、预报、 如对现实对象的分析 决策、控制等结果。 决策、控制等结果。 始于现实世界并终于现实世界
三. 数学建模的过程 数学建模的过程可概括为以下五个阶段： 数学建模的过程可概括为以下五个阶段： 建模的过程可概括为以下五个阶段 1. 科学地识别和剖析问题； 科学地识别和剖析问题； 2. 建立数学模型； 建立数学模型； 3. 对研究中所选择的模型求解数学问题； 对研究中所选择的模型求解数学问题； 4. 对有关计算提出算法和设计计算机程序； 对有关计算提出算法和设计计算机程序； 解释原问题的结论并评判这些结论。 5. 解释原问题的结论并评判这些结论。
w 2 2π r t =π n + n v v
(1.6)
方法三: 方法三 微积分法:
自t到t + dt录像带在右轮上缠饶的长度
vdt=2π (r+wn)dn
两边积分得
(1.7)
v ∫ dt = 2π
因此
0
t
∫
n
0
( r + wn ) dn
(1.8) (1.9)
w 2 2π r t =π n + n v v
t(分) 0 n(转) 0
20 1153
40 2045
60
80
100
120
140 5135
160 5619
183.5 6152
2800 3466 4068 4621
经数据处理得 a=2.50×10-6,b=1.44×10-2。 将之代入(1.8)式，即可得到t与n的关系式。 模型检验( 模型检验(应从另一组数据进行检验,并计算误差)。 模型应用 当n=4580时,将n值代入(1.8)式得t=118.5分, 剩下一段录像带还可录183.5-118.5=65(分)。
现代数学： 在理论上更抽象； 现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。 在应用上更为广泛。 * 数学很重要的一方面在于数学知识与数学 方法的应用. 方法的应用. 更重要的方面是数学的思维方式的确立. 思维方式的确立 *更重要的方面是数学的思维方式的确立.
穿越公路模型（ 例3.2.1 穿越公路模型（P17例2.2.8） 例 ） 一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“ 一条公路交通不太拥挤,以致人们养成“冲” 过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“ 过马路的习惯,不愿行走到邻近较远处的“斑马 当地交通管理部门不允许任意横穿公路, 线”.当地交通管理部门不允许任意横穿公路, 为方便行人，准备在一些特殊地点增设“ 为方便行人，准备在一些特殊地点增设“斑马 让行人可穿越公路, 线”,让行人可穿越公路,并且还要保证行人的 平均等待时间不超过15秒 平均等待时间不超过 秒. 增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？ 增设“斑马线”需考虑哪些方面的问题？
* 对实体本身的模拟 飞机形状进行模拟的模型飞机； 如:飞机形状进行模拟的模型飞机； * 对实体某些属性的模拟 对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机； * 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象
任何一个模型仅为一个真实系统某一方面 的理想化，决不是真实系统的重现. 的理想化，决不是真实系统的重现
交警在现场获取的相关数据: 交警在现场获取的相关数据:
x y x y
0 0 18 3.54 3 1.19 21 3.31 6 2.15 24 2.89 9 2.82 27 2.22 12 3.28 30 1.29 15 3.53 33.27 0 16.64 3.55