高三第一次月考
无为开城中学2016届高三第一次月考数学试卷
说明：本试题分第I 卷和第II 卷两部分，满分100分
姓 名： 班 级： 得 分：
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1.已知集合{}3,2,1=M ,{}5,4,3,2=N ,{}9,7,5,3=P ,则P M )N (等于( )
A.{}5,3
B. {}9,7
C. {
}3,2,1 D. {}9,7,5,4,3,2,1 2.若1)1(+=-x x f ，则)3(f 等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3．在△ABC 中，“2
1
sin =
A ”是“030=A ”的 ( ) A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．若0<<b a ，则下列不等式成立的是 ( )
A ．b a 33<
B ．
b a 11< C ．a a -->43 D ．b a )41()41(< 5．如函数)3
sin(2)(π
+=wx x f )0(>w 的最小正周期为π，则该函数的图像 ( )
A ．关于点)0,3(π对称
B ．关于直线4
π
=
x 对称 C ．关于点)0,4
(π
对称 D ．关于直线3
π
=x 对称
6. 下列各角中与 437角的终边相同的是
A. 67
B. 77
C. 107
D. 137 7.在等差数列{}n a 中，12010=S 那么83a a +等于( ) A.12 B.24 C.36 D.48 8.如果向量)3,2(-= ，)2,3(=b ，那么 ( )
A ．//
B ．⊥
C ．a 与b 的夹角为060
D ．1||=a 9.过点(1,2)且垂直于2x +3y =0的直线方程为( )
A.3x -2y +1=0
B. 2x +3y +4=0
C.2x -3y -8=0
D. 3x +2y +5=0 10. 若2>a ，则2
1
-+
a a 的最小值是（ ） A .4
B .3
C .2
D .1
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：本大题有3个小题，每小题4分，共12分；将答案填写在第II
卷相应的题号后面的空格内. 11．若b a ,是方程0100302=+-x x 的两个实根，则=+b a lg lg 。
12. 向量|||3,a b a == 与b 的夹角是4
π
，则a b ⋅= ____.
13．在ABC ∆中，=∠=∠==A ,45,22,320
则B b a 。
一、 选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
二、 填空题（每小题4分，共20分）
11． ；12. ； 13. ；14. ； 15. 。
三、解答题：本大题共4个小题，满分38分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.
16.(本小题满分8分) 求函数()(62)
0.5log x f x -=
17．(本小题满分10分)已知13
12
sin =
α，),2(ππα∈，53cos -=β，)23,(ππβ∈
求（1））（βα+sin ；（2））（βα-cos 。
18.已知圆02:2
2
=+-+my x y x C ，其圆心C 在直线y = x 上。
（I ）求m 的值；
（II ）若过点)1,1(-的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程。
19. (本小题满分10分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ， )1(3
1-=n n
a S （*∈N n ） （1）求1a ，2a ;（2）求证：数列{n a }是等比数列。
无为开城中学2016届高三第一次月考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
卷
相应的题号后面的空格内. 11．若b a ,是方程0100302=+-x x 的两个实根，则=+b a lg lg 2 。
12. 向量|||3,a b a == 与b 的夹角是4
π
，则a b
⋅= _12___.
13．在ABC ∆中，=∠=∠==A ,45,22,320
则B b a 600或1200 。
山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试题[含答案]
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2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）{}28120,{14}A x x xB x x =-+<=∈<Z ∣∣ A B ⋂=A.B.C.D.{}1,2{}3,4{}3∅2.已知，则的大小关系为（ ）121311log ,ln ,e 22a b c ===,,a b c A. B.a b c <<a c b <<C.D.b a c <<b c a<<3.函数的图象大致为（ ）()2cos e e x xx xf x -+=-A.B.C.D.4.函数的一个零点所在的区间是（ ）()()1ln 2f x x x =-A.B.C.D.()0,1()1,2()2,3()3,45.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，()f x R 0x ()()2f x x x =+()()3370f m f m ++->则的取值范围为（ ）m A.B.C.D.(),0∞-()0,∞+(),1∞-()1,∞+6.已知条件，条件，若是的必要而不充分条件，则实()2:log 12p x +<()22:210q x a x a a -+++ p q 数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.(),2∞-()1,∞-+()1,2-[]2,87.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足T t T 称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至()01,2t ha a T T T T h ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭a T 25C a T =80C 大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：75C 75C 45C ）lg20.30,lg11 1.04≈≈A.8分钟 B.9分钟C.10分钟D.11分钟8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是()e x f x x ax a=-+1a >0x ()00f x <a （）A. B. C. D.(21,2e ⎤⎦33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ）A. B.()e xf x x =()ln f x x x=C.D.()e x f x x =-()cos 2f x x x=-10.已知正实数满足，则下列说法正确的是（）,m n 1m n +=A.的最小值是411m n +B.的最大值是22m n +12+的最大值是1211.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()ln f x x x a=--A.若有两个零点，则()f x 1a >B.若无零点，则()f x 1a C.若有两个零点，则()f x 12,x x 121x x <D.若有两个零点，则()f x 12,x x 122x x +>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，其中是其导函数，则__________.()()421f x x f x '=--()f x '()()2222f f ='+-'13.若，则的最小值为__________.,,0a b ab ∈>R 442a b ab ++14.已知函数若存在实数满足，且()32log ,03,(4),3,x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩ 1234,,,x x x x 1234x x x x <<<，则的取值范围是__________.()()()()1234f x f x f x f x ===()()341233x x x x --四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）已知函数.()()232f x x a x b=--+（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；x ()0f x <()2,3-,a b （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭a 16.（本小题满分15分）已知命题：“”为假命题，实数的所有取值构成的集合为.p 2,10x x ax ∃∈-+=R a A （1）求集合；A （2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.{121}B xm x m =+<<+∣t A ∈t B ∈m17.（本小题满分15分）已知函数（为实常数）.()321x f x a =-+a （1）若函数为奇函数，求的值；()f x a （2）在（1）的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值.[]1,6x ∈()2x uf xu 18.（本小题满分17分）已知函数.()ln 1a f x x x =+-（1）讨论函数的单调性；()f x （2）若函数有两个零点，且.证明：.()f x 12,x x 12x x >12121x x a +>19.（本小题满分17分）已知函数.()33f x x x=-（1）求函数在区间上的值域；()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围.()y f x =()(),P m f m 24y x a =-a2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考·数学参考答案､提示及评分细则1.B 因为，所以.{}{}28120{26},{14}2,3,4A x x x x x B x x =-+<=<<=∈<=Z ∣∣∣ {}3,4A B ⋂=故选B.2.C 因为，所以.故选C.1213311log log 2,01,ln ln20,e 122a a b c ==<<==-<=>c a b >>3.A 由，可知函数为奇函数，又由时，，有()()2cos e e x x x xf x f x -+==--()f x 01x < cos 0x >，可得；当时，，有，故当时，，可2cos 0x x +>()0f x >1x >21x >2cos 0x x +>0x >()0f x >知选项A 正确.4.B 因为，在上是连续函数，且，即在上()()1ln 2f x x x =-()0,∞+()2110f x x x =+>'()f x ()0,∞+单调递增，，所以，所以在上存在一()()11ln210,2ln402f f =-<=->()()120f f ⋅<()f x ()1,2个零点.故选B.5.D 当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又0x ()f x 1x =-()f x [)0,∞+0x =是定义域为的奇函数，故在上单调递增.因为，由()f x R ()f x R ()()f x f x -=-，可得，又因为在上单调递增，所以()()3370f m f m ++->()()373f m f m +>-()f x R ，解得.故选D.373m m +>-1m >6.C 由，得，所以，()2log 12x +<13x -<<:13p x -<<由，得，所以，()22210x a x a a -+++ 1a x a + :1q a x a + 因为是的必要而不充分条件，p q 所以⫋，解得，故选C.{}1x a x a +∣ {13}x x -<<∣12a -<<7.C 根据题意得，则，所以()11111075258025,2211hh ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()1452575252t h⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以，两边取常用对数得1120502th ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102115t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.2lg102lg2lg52lg2120.315lg lg ,10101151lg111lg111 1.04lg 11t t --⨯-====≈=---8.D 令，显然直线恒过点，()()e ,,1x g x x h x ax a a ==->()h x ax a=-()1,0A 则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线0x ()00f x <0x ()()00,x g x 下方”，，当时，，当时，，即()h x ax a =-()()1e xg x x =+'1x <-()0g x '<1x >-()0g x '>在上递减，在上递增，()g x (),1∞--()1,∞-+则当时，，当时，，1x =-()min 1()1e g x g =-=-0x ()1,0e g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦而，()()01h x h a =-<- 即当时，不存在整数使得点在直线下方，0x 0x ()()00,x g x ()h x ax a =-当时，过点作函数图象的切线，设切点为，0x >()1,0A ()e xg x x =(),e ,0t P t t t >则切线方程为，()()e 1e t t y t t x t -=+-而切线过点，即有，整理得，而，()1,0A ()()e 1e 1t tt t t -=+-210t t --=0t >解得，因，()1,2t =()()1e 01g h =>=又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，0x ()()00,x g x ()h x ax a =-即存在唯一整数2使得点在直线下方，()()2,2g ()h x ax a =-因此有解得，()()()()23222e ,333e 2,g h a g h a ⎧<⎧<⎪⇔⎨⎨⎪⎩⎩ 323e 2e 2a < 所以的取值范围是.故选D.a 323e 2e ,2⎛⎤⎥⎝⎦9.ABC 对于选项D ，因为，所以在定义域内恒成立，所以选项D 不合题意；()sin 2f x x =--'()0f x '<其它选项的导函数在各自的定义域内不恒小于（大于）或等于0.10.ACD 正实数满足，当且仅,m n ()11111,224n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++=+++= ⎪⎝⎭ 当时等号成立，故选项A 正确；12m n ==，故的最小值是，故选项B 错误；222()122mn m n ++= 22mn +12，故选项C正确；212m n =++=+，当且仅当时等号成立，故选项D 正确.1m n += 1212m n ==11.ACD 由可得，令，其中，()0f x =ln a x x =-()lng x x x=-0x >所以直线与曲线的图象有两个交点，y a =()y g x =在上单调递减，在上单调递增，()()111,x g x y g x x x -=-=='()0,1()1,∞+图象如图所示.当时，函数与的图象有两个交点，选项A 正确；1a >y a =()y g x =当时，函数与的图象有一个交点，选项B 错误；1a =y a =()y g x =由已知可得两式作差可得，所以，由对数平均不等式1122ln ,ln ,x xa x x a -=⎧⎨-=⎩1212ln ln x x x x -=-12121lnln x x x x -=-，则，选项C正确；121212ln ln 2x x x xx x -+<<-1<121x x <，则，选项D 正确.1212x x +<122x x +>12.0 因为，显然导函数为奇函数，所以.()()3412fx x f x'=--'()()22220f f -'+='13.4 因为，所以，0ab >44332222224a b a b ab ab b a ab ab ab ++=++=+⨯=当且仅当，即时等号成立.331,a b ab ba ab ==221a b ==14.因为.()0,1()()()()12341234,f x f x f x f x x x x x ===<<<由图可知，，即，且，3132log log x x -=3412431,4,82x x x x x x +===-334x <<所以.()()()()()()342343434333312333339815815x x x x x x x x x x x x x x --=--=-++=--=-+-在上单调递增，的取值范围是.233815y x x =-+- ()3,4()()3433x x ∴--()0,115.解：（1）由关于的不等式的解集为，x ()0f x <()2,3-可得关于的一元二次方程的两根为和3，x ()0f x =2-有解得3223,23,a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩1,6,a b =⎧⎨=-⎩当时，，符合题意，1,6a b ==-()()()2632f x x x x x =--=-+故实数的值为的值为；a 1,b 6-（2）二次函数的对称轴为，()y f x =322a x -=可得函数的减区间为，增区间为，()f x 32,2a ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦32,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭若函数在上单调递增，必有，解得，()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭321023a -- 149a - 故实数的取值范围为.a 14,9∞⎛⎤--⎥⎝⎦16.解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，p x 210x ax -+=可得，解得，22Δ()440a a =--=-<22a -<<故集合；()2,2A =-（2）由若是的必要不充分条件，可知⫋，t A ∈t B ∈B A ①当时，可得，满足⫋；121m m ++ 0,m B =∅ B A②当时，可得，若满足⫋，必有（等号不可能同时成立），121m m +<+0m >B A 12,212,0,m m m +-⎧⎪+⎨⎪>⎩解得，102m <由①②可知，实数的取值范围为.m 1,2∞⎛⎤-⎥⎝⎦17.解：（1）因为函数是奇函数，，()f x ()3322121x x xf x a a -⋅-=-=-++，解得()()33222302121xx x f x f x a a ⋅+-=--=-=++3;2a =（2）因为，由不等式，得，()33221x f x =-+()2x u f x 3322221xx xu ⋅⋅-+ 令（因为，故，[]213,65xt +=∈[]1,6x ∈()()3133291222t u t t tt -⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭由于函数在上单调递增，所以.()32922t t t ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭[]3,65()min ()31t ϕϕ==因此，当不等式在上恒成立时，.()2x uf x[]1,6x ∈max 1u =18.解：（1）的定义域为，()f x ()()2210,,a x a f x x x x ∞'-+=-=当时，在上恒大于0，所以在上单调递增，0a ()2x af x x -='()0,∞+()f x ()0,∞+当时，，0a >()20,x af x x a x -==='当时，，当时，.0x a <<()0f x '<x a >()0f x '>所以函数在上单调递减，在上单调递增；()f x ()0,a (),a ∞+（2）由题可得，两式相减可得，，1212ln 10,ln 10a ax x x x +-=+-=()121212ln ln x x x x a x x -=-要证，即证，12121x x a +>()1212121212ln ln x x x x x x x x -+>-即证，即证，1212122ln ln x x x x x x -+>-112122121ln x x xx x x -+>令，则，即证，121x t x =>12ln 0x x >1ln 21t t t ->+令，则，()()1ln 121t g t t t t -=->+()22213410(21)(21)t t g t t t t t ++='-=>++所以在上单调递增，所以，所以，故原命题成立.()g t ()1,∞+()()10g t g >=1ln 21t t t ->+19.解：（1），令，可得，可得函数的增区间为()233f x x =-'()0f x '<11x -<<()f x ()(),1,1,,∞∞--+可得函数在区间上单调递增，在上单调递减，()f x []32,1,1,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()1,1-由，()()()3333912,12,22,32228f f f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=-=-⨯=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由曲线在点处的切线方程为，整理为()y f x =P ()()()32333y m m m x m --=--()22332y m x m =--联立方程消去后整理为，()232332,4,y m x m y x a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y ()22343320x m x m a --+-=可得()()223Δ331620,m m a =---=整理为，43216932189a m m m -=--+令，有，()432932189g x x x x =--+()()()3236963612313g x x x x x x x '=--=+-令，可得或，()0g x '>103x -<<3x >可得函数的增区间为，减区间为，()g x ()1,0,3,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,,0,33∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭由，可得，()12243288,327g g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭min ()288g x =-有，可得16288a -- 18a。
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x x−1≤0}，则∁R A =( )A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)2.设x ∈R ，则“ x +1≤2”是“|x−1|<2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A. 若a >b ，则a|c|>b|c|B. 若a >b ，则1a 2<1b 2C. 若a c 2>b c 2，则a >bD. 若a 2>b 2，则a >b 4.已知a ，b ∈R ，且2a−b−2=0，则9a +13b 的最小值为( )A. 2B. 4C. 6D. 85.已知函数f(x)的定义域为R ，f(x +2)为偶函数，f(2x +1)为奇函数，则( )A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=06.已知函数f(x)的定义域为R ，满足f(x +1)=f(1−x)，当x 1，x 2∈(1,+∞)，且x 1≠x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0恒成立，设a =f(−1)，b =f(0)，c =f(e)(其中e =2.71828…)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. c >a >bB. c >b >aC. b >a >cD. b >c >a7.已知函数f(x)={−x 2+ax,x ≤1ax−1,x >1，若∃x 1，x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围是( )A. a <2B. a >2C. −2<a <2D. a >2或a <−28.如果函数f(x)=12(m−2)x 2+(n−8)x +1(m ≥0,n ≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn 的最大值为( )A. 16B. 18C. 25D. 812二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考语文试题及答案
南开中学2024届高三第一次月检测语文学科试卷考试时间：150分钟第Ⅰ卷(共33分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，共150分。
考试结束后，将答题卡、答题纸与作文纸一并交回。
一、 (9分,每小题3分)阅读下面一段文字，完成1~3题。
2023年9月23日，钱塘江畔。
杭州用一场以“潮起亚细亚”为总主题的盛大开幕式，为第19届亚洲运动会( )。
这是一场( ) 的文化盛宴。
采集于良渚古城遗址的火种，历经一路传递，最终点燃主火炬，恰似中华五千年文明( )、生生不息；文艺演出上篇《国风雅韵》尽展钱塘繁华、江南风韵，又巧妙地与“亚运”谐音，透出中国语言文字的精妙；开幕式上播放的短片《相约杭州》诗情画意，纵贯古今，勾勒出古都杭州的隽美、活力与现代。
，这是杭州人的浪漫，是今日中国的自信与从容。
以体育促和平，以体育促团结，以体育促包容，杭州亚运会必将成为推动构建亚洲命运共同体的生动实践。
(取材于新华社官方账号，“新华社体育”相关报道)1.依次填入文中括号内的词语，最恰当的一组是 ( )A.启航意味深长薪火相传B.启航意蕴悠长薪火相传C.起航意蕴悠长一脉相承D.起航意味深长一脉相承2.下列填入文中横线处的句子，最恰当的一组是( )A. 开幕式用“活力浙江”之新向亚洲发出邀约，又以“诗画江南”之秀展现中国式现代化的万千气象。
B. 开幕式用“诗画江南”之新展现中国式现代化的万千气象，又以“活力浙江”之秀向亚洲发出邀约。
C. 开幕式用“活力浙江”之秀展现中国式现代化的万千气象，又以“诗画江南”之新向亚洲发出邀约。
D. 开幕式用“诗画江南”之秀向亚洲发出邀约，又以“活力浙江”之新展现中国式现代化的万千气象。
3.下列文学文化常识，解说不正确的一项是( )A.杭州，古称临安、钱塘，是三吴地区的大都会，自古繁华。
柳永的词作《望海潮》主要表现的就是杭州的富庶与美丽。
B. 六艺经传，指《诗》《书》《礼》《乐》《易》《春秋》六种经书，其中《乐》久已失传。
天津市和平区2024_2025学年高三语文上学期第一次月考试题
10. 文中画波浪线的句子，断句最合理的一项是（ ）
A. 今兹日戴星入曹局／治文书／往往不遑食／暮归／脱冠带／昏然就枕
B. 今兹日戴星入／曹局治文书／往往不遑食／暮归脱冠带／昏然就枕
C. 今兹日戴星入曹局／治文书往往不遑／食暮／归脱冠带／昏然就枕
5. 下列对表格的分析，不正确的一项是（ ）
A. 与许舍集市相比，雪浪集市规模较小，但是开设的频率较高。
B. 传统的许舍集市是定期集市，每月会开市一次，位于雪浪山庄和许舍小学旁边。
C. 传统的许舍集市因为规模大，历史久，吸引的人群会较多，影响力更大。
D. 许舍集市和雪浪集市在开市时间、地理位置、规模和服务人群上都存在很大不同。
农村集市的文化传承是家乡持续的精髓和重要支撑。集市持续了大量的民俗文化，本身形成了一个无界限的文化空间，集市的产生强化了人们的沟通和沟通，也反映出深厚的乡村文化氛围，有利于文化的传承和家乡的持续。
（摘编自聂李虎、过伟敏《家乡的持续——文化传承下的农村新集市》，有校改）
4. 下列对材料相关内容的理解，正确的一项是（ ）
C. 作者曾答应为周景春新田园中的亭子命名，但三年过去还未兑现，恰值景春之子来，于是回忆当年巡游之景，将亭子取名为“水木清华”。
D. 作者艳羡周景春的闲适生活，在为其亭取名之后，自己也另在郡北买了一座山，畅游其间，颇为自适。
12. 把文言文阅读材料中画横线的句子翻译成现代汉语。
（1）士大夫有良田美池可以适者，讵止君，然不得如君者恒多。
三、（15分）
阅读下面的文言文，完成下面小题。
水木清华亭记
【元】宋本
至治三年，予过朗，周君景春语子：“吾白马湖园田，子尝觞其会心亭者，吾岁一再至，至辄留数十日。虽颇野逸，吾犹以近城郭，过客夥，往往闻官府里巷事为可厌。别买小山敖山驿旁，筑亭其上，距城六十里而远，非亲戚故人来候，终岁无通刺者。其奇胜岑蔚，视白马湖不啻什百。”因共往临观，徘徊忘归，暮就宿亭中。既别君以北，怀其境，必形思梦，数数念君，为能自适。盖亲大林丘山者，莫樵牧农夫若。然其目不知书诗，昧道理，劳斧斤耜耒，指趼，以登陟作业，虽日涉，只见其苦。常试问之，将悼其生之在野，又乌知惬心目高深耶？知者独士大夫。士大夫有良田美池可以适者，讵止君，然不得如君者恒多。苟名士大夫，率不甘沉浮稠人中，必振拔骄傲，求尺寸名，诧九族侪类，西东驰骛无已时，其乡有十年、廿年不至者，况良田美池？否则暂至，集农夫耕获，校斗斛诈欺，不得自休息，穷日疲极而睡，旦复乘车骑马还市中，自适之乐夺矣。君爵禄不入心，又不愿自婴世故，闻人争竞是非，远避如不及。至山中，纳履策杖，翛然往来林下。遇田父道人，坐谈或略具酒茗资笑乐。于是山林可爱而玩者，若皆效奇以出，不为外夺故也。它士大夫能效君，则其园田讵皆无奇？是非君擅有斯乐不让，人不即之耳。
湖南师范大学附属中学2025届高三上学期第一次月考数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上投影向量为（）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,04.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21B.19C.12D.425.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D.820人6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ，求CD 的长．16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值； （2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 12345678910销售量千张1.9 1.982.2 2.36 2.43 2.59 2.68 2.76 2.7 04经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ； （3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n ∗∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．..参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii ii i n n i i i i x x y y x y nx yay bx x xx nx====−−−==−−−∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1.已知{}()260,{lg 10}Axx x B x x =+−≤=−<∣∣，则A B = （）A.{}32xx −≤≤∣ B.{32}x x −≤<∣C.{12}x x <≤∣ D.{12}x x <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集． 【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =−≤≤=−<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ∩=<<∣， 故选：D ．2.若复数z 满足()1i 3i z +=−+（i 是虚数单位），则z 等于（）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =−+，再由模长公式即可得出结果. 【详解】依题意()1i 3i z +=−+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z −+−−+−+====−+++−，所以z =. 故选：C3.已知平面向量()()5,0,2,1a b ==−，则向量a b +在向量b上的投影向量为（ ）A.()6,3− B.()4,2− C.()2,1− D.()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=−+⋅==所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b bb +⋅==− .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A.21 B.19C.12D.42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =−=∴=−=−，()767732212S ×∴=×−+×=， 故选：A5.某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nµσ∼，记()()p k P k X k µσµσ=−≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A.136人B.272人C.328人D.820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22µσ=×==，()()(),0.750.547p k P k X k p µσµσ=−≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p ≈，()()900.510.5470.2265P X ≥×−，∴该校及格人数为0.22651200272×≈（人），故选：B ． 6.已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ∈−=⋅=，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 64αβαβ⋅+⋅=，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⋅=⋅=，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅−⋅=−，π,0,2αβ∈，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7.已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b−=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（）A.B.C.(D.(【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay −=交于,A B 两点， 则2F 到渐近线0bx ay −=的距离d b，所以AB =， 因为123AB F F >，所以32c ×>，可得2222299a b c a b −>=+，即22224555a b c a >=−，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是 .故选：B8.已知函数()220log 0x a x f x x x ⋅≤= > ，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（）A.()0,1 B.()(),00,1−∞∪ C.[)1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u==，得1u =． 所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x==，可得2x =， 因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞−]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D −中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A.E F M P ，，，四点共面B.平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C.//EF 平面PMND.平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ， 由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF 平面QGMN W =， 所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=°， 90EMG ∴∠=°，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10.已知函数()5π24f x x=+，则（）A.()f x 的一个对称中心为3π,08B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C.()f x 在区间5π7π,88上单调递增D.若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m∈【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x+求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f =+×=≠，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x=−−++，为奇函数，故B 正确； 对于C ，当5π7π,88x∈时，则5π5π2,3π42x +∈ ，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88 上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x+ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确. 故选：BD11.已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++−=，则（ ）A.()f x 的图象关于点()2,1对称B.()f x 是以8为周期的周期函数C.()20240g =D.20241(42)2025k f k =−=∑ 【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++−=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =−=∑，可得D 错误. 【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x −=−=−，且()()()00,21g f x g x =++−=，即()()21f x g x +−=①，用x −替换()()21f x g x ++−=中的x ，得()()21f x g x −+=②，由①+②得()()222f x f x ++−=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++−=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++−=+=−−=−，所以()()()()82422f x f x f x f x +=−+=−−= ，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+−，则()()()()882121g x f x f x g x +=++−=+−=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++−=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =−=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.6(31)x y +−的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180− 【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅−，化简即可得到结果． 【详解】在6(31)x y +−的展开式中， 由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅−=−，得2x y 的系数为180−. 故答案为：180−．13.已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x ′−>，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,−∪+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ′′−=，因此可得()()2f x f x ′>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−，两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x ′−>，所以()()2f x f x ′>.构造函数()()2xf x h x =e，则()()()22x f x f x h x ′−′=e ，所以当0x >时，()()0,h x h x ′>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞−−上小于零，在()1,0−上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,−∪+∞.故答案为：()()1,01,−∪+∞14.已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λµλµ=+∈，则λµ+的取值范围是__________.【答案】 【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λµ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可. 【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ ，其中π,0,3BOC θθ∠=∈ ，由(),R OC OA OB λµλµ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλµ =+，整理得1cos sin 2λµθθ+=，解得cos λµθ=，则ππcos cos ,0,33λµθθθθθ+=++=+∈，ππ2ππ,,sin 3333θθ+∈+∈所以λµ +∈ . 方法二：设k λµ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λµ=+=； 当点C 运动到AB的中点时，k λµ=+，所以λµ +∈故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB =，求CD 的长．【答案】（1）2π3C =（2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】 由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =−，所以2π3C =． 【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB=所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin BADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =， 又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+−，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABCACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅， 即4816CD =，所以3CD =． 16.已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,−∞−+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值； （2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围． 【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα−−==′+⋅+，由1111ln 10e e e a f a −=+=′，得1a =， 当1a =时，()ln 1f x x =′+，函数()f x 在10,e上单调递减，在1,e∞ +上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =． 【小问2详解】由（1）知min 11()e ef x f ==−．函数()g x 的导函数()()1e xg x k x −=−′①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=−，使得()()12111e 1e k g x g f x k=−=−<−<−≤，即()()120f x g x −≥，符合题意． ②若()0,0kg x =，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x −<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x ′<在(),1∞−上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x ′>在(+∞)上单调递增，所以()min ()1ekg x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x −≥，只需min min ()()g x f x ≤， 即1e ek ≤−，解得1k ≤−．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞−−∪+．17.已知四棱锥P ABCD −中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥==为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以PE BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ， 所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ∩=⊂平面PEC ， 所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥． 【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E −，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<， 所以()(),,11,2,1x y z λ−=−，所以,2,1x y z λλλ===−，即(),2,1F λλλ−．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==−=−，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⋅=⋅=，，即2020a b a b c += +−= ，，取()1,2,3m =−− ，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅===整理得2620λλ−=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C ypx p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r −+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】 由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==×=，所以抛物线1C 的方程是2y x =. 设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥−=−=≥，所以当232ι=时，线段PQ .【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a −−=−−，即()21y a x a a b −=−+，即()0x a b y ab −++=.直线()21:111a DM y x a −−=−−，即()10x a y a −++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r −+−+−=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r −+−+−=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r −+−+−=的两个解，22224224,11r r a b ab r r −−∴+==−−代入方程()0x a b y ab −++=得()()222440x y r x y +++−−−=，220,440,x y x y ++= ∴ ++= 解得0,1.x y = =− ∴直线MN 恒过定点()0,1−.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x −=−,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19.龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况． 日期t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43 259 2.68 2.76 2.7 0.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t ======∑∑∑. （1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n ∗∈. ①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε−<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛． 参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni ii i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====−−−==−−−∑∑∑∑. 【答案】（1）673220710001200y t +（2）433774n n P =+⋅− （3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,a b 的值，进而得到y 关于t 的回归方程； （2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】 解：剔除第10天的数据，可得2.2100.4 2.49y ×−==新，12345678959t ++++++++=新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t = =−×==−= ∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t == − −×× ==−× − ∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =−×=，所以6732207ˆ60001200y t +. 【小问2详解】 解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n −−=+≥，其中12111313,444416P P ==×+=， 所以11233,(3)44n n n n P P P P n −−−+=+≥，又由2131331141644P P ++×， 所以134n n P P − +是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n −+=≥ 所以1434(),(2)747n n P P n −−=−−≥，又因为1414974728P −=−=−，所以数列47n P − 是首项为928−，公比为34−的等比数列，故1493()7284n n P −−=−−，所以1934433()()2847774n n n P −=−−+=+−.【小问3详解】 解：①当n 为偶数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =； 当n 为奇数时，19344334()()28477747n n n P −=−−+=−⋅<单调递增，最小值为114P =， 综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14. ②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε−=⋅−=⋅<⋅=， 所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期第一次月考化学试卷(解析版)
2025届师大附中高三月考化学试卷(一)故答案选A 本试题卷分选择题和非选择题两部分。
时量75分钟，满分100分。
可能用到的相对原子质量：H ：1 C ：12 O ：16 Sb ：122一、选择题：本题共14小题，每小题3分，共42分。
每小题只有一个选项符合题目要求。
1. 化学与生活、生产密切相关，下列说法正确的是A. “酒香不怕巷子深”体现了熵增的原理B. 船体上镶嵌锌块，是利用外加电流法避免船体遭受腐蚀C. 烟花发出五颜六色的光是利用了原子的吸收光谱D. “太阳翼”及光伏发电系统能将太阳能变为化学能【答案】A 【解析】【详解】A ．酒香不怕巷子深体现了乙醇的挥发性，乙醇由液态变为气态，混乱度增加，是熵增的过程，A 正确；B ．船体上镶嵌锌块，锌比铁活泼，做负极，可以保护铁，是利用牺牲阳极法避免船体遭受腐蚀，B 错误；C ．烟花发出五颜六色的光被称为焰色反应，利用的是原子的发射光谱，C 错误；D ．“太阳翼”及光伏发电系统能将太阳能变为电能，D 错误；。
2. 下列化学用语或化学图谱不正确的是A. 3NH 的VSEPR 模型：B. 乙醚的结构简式：3223CH CH OCH CHC. 乙醇的核磁共振氢谱：D. 邻羟基苯甲醛分子内氢键示意图：【答案】D 【解析】【详解】A ．3NH 中心原子N 原子价层电子对数：()13+5-3142×=，VSEPR 模型为四面体，含1对孤电子对，模型如图：，A 正确；B ．乙醚的结构简式：3223CH CH OCH CH ，B 正确；C ．乙醇的结构32CH CH OH 有三种氢原子，且个数比为，3：2：1，的核磁共振氢谱：，C 正确；D ．邻羟基苯甲醛分子内氢键示意图：，D 错误；故选D 。
3. 实验室中，下列实验操作或事故处理不合理的是A. 向容量瓶转移液体时，玻璃棒下端应在容量瓶刻度线以下B. 苯酚不慎沾到皮肤上，先用抹布擦拭，再用65C °水冲洗C. 用二硫化碳清洗试管内壁附着的硫D. 对于含重金属(如铅、汞或镉等)离子的废液，可利用沉淀法进行处理 【答案】B 【解析】【详解】A. 向容量瓶转移液体时，为防止刻度线上端沾有溶液导致体积偏大，玻璃棒下端应在容量瓶刻度B. 由于酒精溶于乙醇，苯酚不慎沾到皮肤上，可先用酒精洗涤，B 错误；C. 硫易溶于二硫化碳，可用二硫化碳清洗试管内壁附着的硫，C 正确；D. 对于含重金属(如铅、汞或镉等)离子的废液，可利用沉淀法进行处理，D 正确； 答案选B 。
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三(上)第一次月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年海南省北京师大万宁附中高三（上）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M ={x|x 2+x−2≤0}，Q ={x ∈N||x|≤2}，则M ∩Q =( )A. {0,1}B. {−2,−1,0,1}C. [−2,1]D. [0,1]2.设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A. 充要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( )A. 1a <1bB. ac 2<bc 2C. b a >a bD. a 2>ab >b 24.已知函数f(x)=e x (2x−1)x−1，则f(x)的大致图象为( )A. B.C. D.5.若正实数x ，y 满足xy +3x =3，则12x +y 的最小值为( )A. 7B. 8C. 9D. 106.设函数f(x)=log 2|x|−x −2，则不等式f(x−2)≥f(2x +2)的解集为( )A. [−4,0]B. [−4,0)C. [−4,−1)∪(−1,0]D. [−4,−1)∪(−1,0)7.已知函数f(x)={x 2−ax +5,(x ≤1)a x ,(x >1)满足对任意实数x 1≠x 2，都有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0成立，则a 的取值范围是( )A. 0<a ≤3B. a ≥2C. a >0D. 2≤a ≤38.如图，圆锥的高SO = 3，底面直径AB =2，C 是圆O 上一点，且AC =1，若SA 与BC 所成角为θ，则sin 2θ2−cos 2θ2=( )A. 134B. −34C. 58D. − 134二、多选题：本题共3小题，共18分。
黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考(月考)数学试题(含答案)
黑龙江省齐齐哈尔市多校2025届高三第一次联考（月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−4,−3,−2,0,2,3,4}，B={x|2x2−9≤0}，则集合A∩B的真子集的个数为( )A. 7B. 8C. 31D. 322.已知x>0，y>0，则“x≥4，y≥6”是“xy≥24”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg/L)与时间t(小时)的关系为N=N0e−kt (N0为最初污染物数量，且N0>0).如果前4个小时消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要( )A. 3.8小时B. 4小时C. 4.4小时D. 5小时4.若函数f(x)=ln(x2−2mx+m+2)的值域为R，则m的取值范围是( )A. (−1,2)B. [−1,2]C. (−∞,−1)∪(2,+∞)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)5.已知点(m,27)在幂函数f(x)=(m−2)x n的图象上，设a=f(log43)，b=f(ln3)，c=f(3−12)，则a，b，c的大小关系为( )A. c<a<bB. b<a<cC. a<c<bD. a<b<c6.已知函数f(x)={e x−ax,x>0−x2+(a−4)x+4a,x≤0，若关于x的不等式f(x)≥0的解集为[−4,+∞)，则a的取值范围为( )A. (−∞,e2]B. (−∞,e]C. [0,e2]D. [0,e]7.设函数f(x)=log4x−(14)x，g(x)=log14x−(14)x的零点分别为x1、x2，则A. x1x2=1B. 0<x1x2<1C. 1<x1x2<2D. x1x2≥28.已知a>0，b>0，c>0，且a+3b−c≥0，则ba +a6b+c的最小值为( )A. 29B. 49C. 59D. 89二、多选题：本题共3小题，共18分。
福建省龙岩第一中学2023-2024学年高三上学期第一次月考英语试题(原卷版)
龙岩一中2024届高三上学期第一次月考(满分：150分时间：120分钟)第一部分听力(共两节，满分30分)第一节(共5 小题;每小题1.5 分，满分7.5 分)听下面5 段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
1. When will the speakers meet?A. At 2:50.B. At 3:00.C. At 4:00.2. Where does the conversation probably take place?A. On a farm.B. In the street.C. At a supermarket.3. What will the man do next year?A. Attend a marketing course.B. Look for a part-time job.C. Continue to work in the company.4What was damaged in the storm?.A. The car.B. The roof.C. A window.5. What are the speakers talking about?A. The road conditions.B. A driving experience.C. A car accident.第二节(共15 小题;每小题分，满分22.5 分)听下面5 段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C 三个选项中选出最佳选项。
听第6 段材料，回答第6、7 题。
6. Where are the cups?A. In the plastic bag.B. In the box.C. In the back of the car.7. What have the speakers left behind?A. The frying pan.B. The plates.C. The tent.听第7 段材料，回答第8、9 题。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。