河南省郑州市2019_2020学年高二数学上学期第八次周考试题文

河南省郑州市2019-2020学年高二数学上学期第八次周考试题 文一．选择题（共12小题）1．在ABC ∆中，60A =︒，a =222sin 2sin sin a b cA B C++++等于( )A ．4B ．2C ．D 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-，则9S 等于( ) A ．18B ．36C ．45D ．603．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，且sin sin sin A B c bC a b--+…，则() A ．A 的最大值为6πB ．A 的最小值为6π C ．A 的最大值为3πD ．A 的最小值为3π4．已知a ，b ，c ，d R ∈，则下列命题中必然成立的是( ) A ．若a b >，c b >，则a c > B ．若a b >，c d >，则a b c d>C ．若22a b >，则a b >D ．若a b >-，则c a c b -<+5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若46c π===，则(ABC ∆)A ．有两解B ．有一解C ．无解D ．解的个数无法确定6．等比数列{}n a 的前n 项和132n n S a +=+-，则a 的值为( ) A ．3B ．1-C ．3-D ．任意实数7．设等比数列{}n a 的公比3q =，前n 项和为n S ，则43(S a = ) A ．3B ．9C ．40D ．4098．已知等比数列{}n a 中，472a a +=，56-8a a =，则110(a a +=) A ．7-B ．7C ．5D ．-59．已知数列{}n a 的前n 项和公式是223n S n n =+则( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为3的等差数列C ．是公差为4的等差数列D ．不是等差数列10．设1x y >>，01a <<，则下列关系正确的是( )A ．a a x y -->B ．x y a a >C ．log log x y a a >D ．log log a a x y >11．已知0x >，0y >，且23x y +=，则316x y+的最小值为( )A ．169B．CD．23+12．若公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31164a a =，则6a 等于( ) A ．4B ．2C ．1D ．8二．填空题（共4小题）13．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45︒、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为 ．14．若数列{}n a 满足111(n n d n N a a +-=∈，d 为常数），则称数列{}n a 为调和数列，已知数列1{}nx 为调和数列，且1220200x x x ++⋯+=，则516x x += ．15．已知关于x 的不等式20ax x a -+<的解集为∅，则实数a 的取值范围是 ． 16．若实数x ，y 满足约束条件23202104x y x y x --⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则11y z x +=+的最小值为 ．三．解答题（共6小题）17．（10分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos (2)cos a B c b A =-． （Ⅰ）求角A 的大小；（5分）（Ⅱ）若4a =，BC边上的中线AM =ABC ∆的面积．（5分）18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2)cos cos 0a b C c B --=． （1）求角C 的大小；（5分）（2）已知c ABC ∆面积的取值范围．（7分）19．（12分）若不等式2520ax x +->的解集是1{|2}2x x << （1）求不等式22510ax x a -+->的解集．（6分）（2）已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为11{|}32x x x <>或，求关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集．（6分）20．（12分）已知关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<，a R ∈． （1）若不等式的解集为1{|1}2x x <<，求a ；（6分） （2）当a R ∈时，解此不等式．（6分）21．（12分）等差数列{}n a 满足45627a a a ++=，67839a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（6分） （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．（6分）22．（12分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（5分）（2）若2log n n n b a a =，12n n S b b b =++⋯+，求使121260n n S n +-+>成立的正整数n 的最大值．（7分）答案一．选择题（共12小题）1．解：60A =︒，a 2222sin sin sin sin a b c aA B C A++==++2．解：28515a a a +=-，55a ∴=，9592452S a ∴=⨯=．3．解：sin sin sin A B c b C a b --+…，∴由正弦定理可得a b c bc a b--+…，整理可得：222b c a bc +-…， 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴==…，(0,)A π∈，3A π∴≥，即A 的最小值为3π． 4．解：A ．a 与c 的大小关系不确定；B ．取2a =，1b =，1c =-，3d =-，满足a b >，c d >，则a bc d>不成立． C ．取2a =-，1b =-，不成立；D ．a b >-，a b ∴-<，则c a c b -<+，正确．5．解：ABC ∆中，6c b B π===，由正弦定理得sin sin c bC B=，sin3sin 4C π==，c b >，(0,)C π∈，C ∴有两个值，即ABC ∆有两解．6．解：根据题意，等比数列{}n a 的前n 项和132n n S a +=+-，则211327a S a a ==+-=+，322213318a S S =-=-=，433323354a S S =-=-=，则有2(7)5418a +⨯=，解可得1a =-； 7．解：根据题意，等比数列{}n a 的公比3q =，则41412341(13)4013a S a a a a a -=+++==-，则23119a a q a =⨯=，则4131404099S a a a ==8．解：56478a a a a ==-；又47+2a a =，联立解得47472,4;4,2a a a a =-===- 所以1101108,1;1,8a a a a =-===-9．解：2n …时，221232(1)3(1)41n n n a S S n n n n n -=-=+----=+， 1n =时，21121315a S ==⨯+⨯=，符合上式，41n a n ∴=+．10．解：对于A ，1x y >>，01a <<时，1a a x y >>，01a a x y --∴<<<，A 错误；对于B ，1x y >>，01a <<时，01x y a a <<<，B ∴错误； 对于C ，1x y >>，01a <<时，0log log x y a a >>，C ∴正确； 对于D ，1x y >>，01a <<时，log log 0a a x y <<，D ∴错误． 11．解：0x >，0y >，且23x y +=，∴31131()(2)636x y x y x y +=++11()(2)18x y x y =++210189x y y x =++101699y x +=…． 当且仅当218x y y x =时，取等号，∴316x y +的最小值为169． 12．解：根据题意，等比数列{}n a 中31164a a =，则有27311()64a a a ==，又由等比数列{}n a 的各项都是正数，则78a =；等比数列{}n a 的公比为2，则64a =； 二．填空题（共4小题）13．解：如图所示，在ABC ∆中，AB =20AC =，120BAC ∠=︒，由余弦定理得2222cos1353400BC AB AC AB AC=+-︒=，所以BC = 由正弦定理得sin sin AB ACB BAC BC ∠=∠=．由135BAC ∠=︒知ACB ∠为锐角，故cos ACB ∠=cos cos(45)cos cos45sin sin 45ACB ACB ACB θ=∠+︒=∠︒-∠︒==14．解：由数列1{}nx 为调和数列，可得1111(11n n n n x x d n N x x ++-=-=∈，d 为常数）， {}n x ∴是公差为d 的等差数列，又122012020200()2x x x x x ++⋯+==+， 12020x x ∴+=，又516120x x x x +=+，51620x x ∴+=．15．解：当0a =时，不等式化为0x -<，解得0x >，所以{|0}x x >，不符合要求； 当0a ≠时，因为关于x 的不等式20ax x a -+<的解集为∅，所以00a >⎧⎨⎩…，即2140a a >⎧⎨-⎩…，解得12a …；所以实数a 的取值范围是1[2，)+∞．16．解：作出不等式组对应的平面区域如图： 11y z x +=+的几何意义为平面区域内的点到定点(1,1)D --的斜率， 由图象知DC 的斜率最小，其中2104x y x +-=⎧⎨=⎩解得3(4,)2C -，则31124110z -+==-+，三．解答题（共6小题）17．解：（1）由cos (2)cos a B c b A =-得sin cos (2sin sin )cos 2sin cos sin cos A B C B A C A B A =-=-，即sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =， 在三角形中sin 0A ≠，1cos 2A ∴=，则3A π=． （2）M 是BC 的中点，2BM CM ∴==，由余弦定理得2222228412b θθθ=+-⨯⨯=+-=-，222222)8412c πθθθ=+-⨯⨯-=++=+，两式相加得2224b c +=，又2222212cos 2242a b c bc A b c bc bc =+-=+-⨯=-，即1624bc =-，则8bc =，则三角形的面积11sin 822S bc A ==⨯=18．解：（1）在ABC ∆中，(2)c o s c o s a b C c B --=，∴由正弦定理，可得(2sin sin )cos sin cos A B C C B -=，即sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=， sin()2sin cos B C A C ∴+=，ABC ∆中，sin()sin()sin 0B C A A π+=-=>，sin 2sin cos A A C ∴=，即sin (12cos )0A C -=，可得1cos 2C =． 又C 是三角形的内角，3C π∴=．（2）3C π=，c =，∴由余弦定理可得：222232cos 2a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--=…， 1322ABC S ab ∆∴=…，故ABC ∆面积的取值范围为(0，3]2．19．解（1）因为等式2520ax x +->的解集是1{|2}2x x <<，所以12和2是一元二次方程2520ax x +-=的两根，∴1222a⨯=-，解得2a =-， ∴不等式22510ax x a -+->可化为22530x x --+>，即22530x x +-<，(21)(3)0x x ∴--<，解得132x -<<，所以不等式22510ax x a -+->的解集为1(3,)2-； （2）由（1）知2a =-，∴二次不等式220x bx c -++<的解集为11{|}32x x x 或，∴13和12是一元二次方程220x bx c -++=的两根，∴11322b +=--，11322c⨯=-， 解得53b =，13c =-，所以不等式20cx bx a -+>可化为：2152033x x --->，即2560x x ++<，解得32x -<<-．所以关于x 的不等式20cx bx a -+>的解集为(3,2)--． 20．解：（1）关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<的解集为1{|1}2x x <<， 所以0111121112a a a ⎧⎪>⎪⎪+=+⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得2a =；（2）不等式2(1)10ax a x -++<等价于(1)(1)0ax x --<，a R ∈； 当0a =时，不等式化为10x ->，解得1x >； 当0a >时，不等式等价于1()(1)0x x a--<，若01a <<，则11a >，解得11x a<<； 若1a =，则11a=，解得x ∈∅； 若1a >，则11a <，解得11x a<<；当0a <时，不等式等价于1()(1)0x x a-->，且101a<<，解得1x a <或1x >；综上，0a =时，不等式的解集为(1,)+∞， 01a <<时，不等式的解集为1(1,)a；1a =时，不等式的解集为空集； 1a >时，不等式的解集为1(a，1)；0a <时，不等式的解集为(-∞，1)(1a⋃，)+∞．21．解：（1）等差数列{}n a 满足45627a a a ++=，67839a a a ++=． 所以55227a a +=，解得59a =，同理7339a =，解得713a =， 所以数列的公差为2d =．所以92(5)21n a n n =+-=-． （2）由于21n a n =-，所以121n a n +=+， 所以111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， 则：11111111(1)(1)2335212122121n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=-+++． 22．解：（1）等比数列{}n a 的公比1q >，且满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，可得24332(2)28a a a a +=+=-，解得38a =，2420a a +=，则218a q =，31120a q a q +=，解得12a q ==，1(2q =舍去），可得2n n a =，*n N ∈； （2）2log 2n n n n b a a n ==，121224382n n n S b b b n =++⋯+=+++⋯+，1214283162n n S n +=+++⋯+， 相减可得12481622nn n S n +-=++++⋯+-12(12)212n n n +-=--，化简可得12(1)2n n S n +=+-，121260n n S n +-+>，即为112(1)221260n n n n +++--+>，化为12128n +<，即6n <， 可得正整数n 的最大值为5．。