2020届高三数学(理)小题每日一练(含部分往年真题)+答案详解 (13)

2020届高三数学（理）小题每日一练13. 14. 15. 16.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( ) A ．(－1，3) B ．(0，3) C ．(1，3)D ．(2，3)2．已知a ，b ∈R ，复数z ＝a －b i ，则|z |2等于( ) A ．a 2＋b 2－2ab i B ．a 2－b 2－2ab i C ．a 2－b 2D ．a 2＋b 23．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋a ，命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0，若p 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，12 B ．⎝⎛⎭⎫－12，12 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 4．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在该抛物线上，过点P 向y 轴作垂线，垂足为E ，则|PF |－|PE |的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l6．已知log x 3＝3，log y 7＝6，z ＝717，则实数x ，y ，z 的大小关系是( ) A ．x <z <y B ．z <x <y C ．x <y <zD ．z <y <x7.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若将f (x )图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z ) B ．⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－5π24，k π＋7π24(k ∈Z ) D．⎣⎡⎦⎤k π－11π24，k π＋π24(k ∈Z )8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x 2＋y 2≤1，若将军从点A (2，0)处出发，河岸线所在直线方程为x ＋y ＝3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为( )A.10－1 B ．22－1 C ．2 2D ．109．已知△ABC 中，AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，点P 是边BC 的中点，则AP →·BC →等于( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，交双曲线右支于点M ，若∠F 1MF 2＝45°，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x11．已知f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R 都有f (x )＋f (－x )＝2cos x ，f ′(x )＋sin x <0，若角α满足不等式f (π＋α)＋f (α)≥0，则α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－π2 B ．(]－∞，π C.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 D ．⎣⎡⎦⎤0，π212.如图，平行六面体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是边长为4的菱形，且∠BAD ＝60°，点A 1在底面上的射影O 是AC 的中点，且A 1O ＝4，点C 关于平面C 1BD 的对称点为P ，则三棱锥P ­ABD 的体积是( )A ．4B ．33C ．4 3D ．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知(x 2－2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 3＋a 4＝________． 14．已知sin(α2－π4)cos(α2＋π4)＝－34，则sin α＝________．15．如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s的值为________．16．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间Z (单位：分钟)服从正态分布N (33，42)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间Z (单位：分钟)服从正态分布N (44，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．有下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交上班不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁上班几乎不可能不迟到．从统计的角度认为以上所有合理说法的序号是________．参考数据：若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ<Z ≤μ＋3σ)≈0.997 3.（答案解析）1．解析：选D.解法一：∵A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |0<x <3}，∴A ∩B ＝{x |2<x <3}＝(2，3)，故选D.解法二：∵2∉A ，∴由交集的定义排除选项A ，B ，C ，故选D. 2．解析：选D.∵z ＝a －b i ，∴|z |2＝a 2＋b 2，故选D.3．解析：选C.∵命题p ：∃x 0∈R ，f (x 0)＝0是假命题，∴方程f (x )＝0没有实数根，∵f (x )＝ax 2＋x ＋a ，∴方程ax 2＋x ＋a ＝0没有实数根．∵a ＝0时，x ＝0为方程ax 2＋x ＋a ＝0的根，∴a ≠0，∴Δ＝1－4a 2<0且a ≠0，∴a <－12或a >12，故选C.4．解析：选B.由抛物线的标准方程y 2＝2px (p >0)即是y 2＝8x 得p ＝4，由抛物线的定义得|PF |＝|PE |＋p2，所以|PF |－|PE |＝2，故选B.5．解析：选D.解法一：若α∥β，则m ∥n ，这与m 、n 为异面直线矛盾，所以A 不正确．将已知条件转化到正方体中，易知α与β不一定垂直，但α与β的交线一定平行于l ，从而排除B 、C.故选D.解法二：构造图形如图所示，知D 项正确．6．解析：选D.∵log x 3＝3，∴x 3＝3，∴x ＝313＝916.∵log y 7＝6，∴y 6＝7，又y >0，∴y ＝716.∵u ＝x 16在区间(0，＋∞)上是增函数，∴916>716，即x >y .又v ＝7x 在区间(－∞，＋∞)上是增函数，∴716>717，即y >z ，∴x >y >z .故选D.7．解析：选A.解法一：设函数f (x )的最小正周期为T ，由函数的图象得T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝π6时，f (x )取得最大值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又|φ|<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.∵将函数f (x )图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝A sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6，∴g (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3(A >0)，由2k π－π2≤2x ＋2π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴函数g (x )的单调递增区间是[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )，故选A.解法二：设函数f (x )的最小正周期为T ，由函数的图象得T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，利用周期性将函数f (x )的图象补充到如图所示的情况，由函数f (x )的图象及函数的周期性得函数f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )，又将函数f (x )图象上的所有点向左平移π4个单位长度得到函数g (x )的图象，∴函数g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－7π12，k π－π12(k ∈Z )，故选A.8.解析：选A.由题意得“将军饮马”的路程最短问题即在直线x ＋y ＝3上找一点P ′，使得P ′到点A (2，0)与圆上一点的距离之和最小问题，如图，点A (2，0)关于直线x ＋y ＝3的对称点为B (3，1)，OB 与直线x ＋y ＝3的交点为P ，∵|P A |＝|PB |，∴|P A |＋|PO |＝|PB |＋|PO |＝|OB |，又|P ′A |＋|P ′O |＝|P ′B |＋|P ′O |≥|OB |＝10，∴当点P ′与点P 重合时，|P ′A |＋|P ′O |取得最小值10.又圆O 的半径为1，∴在直线x ＋y ＝3上找一点P ′使得P ′到点A (2，0)与圆上一点的距离之和的最小值为10－1，即“将军饮马”的最短总路程为10－1，故选A.9．解析：选B.由正弦定理得AC sin B ＝AB sin C ，∵AB ＝2，B ＝π4，C ＝π6，∴AC ＝2sinπ4sin π6＝22，∴AP →·BC →＝12(AC →＋AB →)(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝2，故选B.10．解析：选A.过点O (O 为坐标原点)作OA ⊥F 1M 于点A ，过点F 2作F 2B ⊥F 1M 于点B ，因为F 1M 与圆x 2＋y 2＝a 2相切，且∠F 1MF 2＝45°，所以|OA |＝a ，|F 2B |＝|BM |＝2a ，|F 2M |＝22a ，|F 1B |＝2b .又点M 在双曲线的右支上，所以|F 1M |－|F 2M |＝2a ＋2b －22a ＝2a ，整理得b ＝2a ，即ba＝2，于是该双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .故选A.11．解析：选A.解法一：∵f (x )＋f (－x )＝2cos x ，∴f (x )－cos x ＝－(f (－x )－cos(－x ))，设g (x )＝f (x )－cos x ，则g (x )＝－g (－x )，∴g (x )是奇函数，又f ′(x )＋sin x <0，∴g ′(x )＝(f (x )－cos x )′<0，∴g (x )是R 上的减函数．∵g (π＋α)＝f (π＋α)－cos(π＋α)＝f (π＋α)＋cos α，g (α)＝f (α)－cos α，∴f (π＋α)＋f (α)＝g (π＋α)＋g (α)≥0，∴g (π＋α)≥－g (α)，∴g (π＋α)≥g (－α)，∴π＋α≤－a ，∴α≤－π2，故选A.解法二：∵函数f (x )＝cos x －x 满足题设条件f (x )＋f (－x )＝2cos x ，f ′(x )＋sin x <0，∴取函数f (x )＝cos x －x ，则不等式f (π＋α)＋f (α)≥0可化为cos(π＋α)－π－α＋cos α－α≥0，即－cos α－π－α＋cos α－α≥0，化简得α≤－π2，故选A.12.解析：选C.如图，连接A 1C 1，OC 1，∵平行六面体的底面是菱形，∴AC ⊥BD ，又A 1在底面ABCD 上的射影O 是AC 的中点，∴A 1O ⊥底面ABCD ，∴A 1O ⊥BD ，又A 1O ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1，∴平面BDC 1⊥平面ACC 1A 1，过点C 作平面BDC 1的垂线PC ，垂足为E ，且E ∈OC 1，PE ＝EC ，即点P 为点C 关于平面BDC 1的对称点，∴点P 到平面ABCD 的距离等于点E 到平面ABCD 的距离的2倍．∵底面ABCD 是边长为4的菱形，且∠BAD ＝60°，∴AC ＝A 1C 1＝43，AO ＝OC ＝23，∴∠OC 1A 1＝∠COC 1＝30°，OC 1＝8，∴OE ＝3，∴点E 到平面ABCD 的距离等于点C 1到平面ABCD 的距离的38，又A 1C 1∥平面ABCD ，所以点C 1到平面ABCD 的距离为A 1O ＝4，∴点E 到平面ABCD 的距离等于32，∴点P 到平面ABCD的距离等于3.∵S △BAD ＝12×4×4×sin 60°＝43，∴三棱锥P ­ABD 的体积为13×43×3＝43，故选C.13．解析：由(x 2－2)6＝(2－x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 12x 12得a 3＝0，a 4＝C 26×24＝240，∴a 3＋a 4＝240.答案：24014．解析：解法一：∵sin(α2－π4)cos(α2＋π4)＝－34，∴(22sin α2－22cos α2)(22cos α2－22sinα2)＝－34，化简得(cos α2－sin α2)2＝32，∴1－2sin α2cos α2＝32，∴1－sin α＝32，∴sin α＝－12. 解法二：∵sin(α2－π4)cos(α2＋π4)＝－34，∴sin(α2－π4)·cos(π2＋α2－π4)＝－34，∴－sin(α2－π4)·sin(α2－π4)＝－34，∴sin 2(α2－π4)＝34， ∴1－cos （α－π2）2＝34，∴1－sin α2＝34，∴sin α＝－12.答案：－1215．解析：解法一：根据图形，由题意可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →. 因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.解法二：如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0.由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms 2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23.∴2r ＋3s ＝3. 答案：316．解析：对于说法①，江先生乘坐公交的时间不大于43分钟才不会迟到，因为P (Z ≤43)<P (Z ≤45)，且P (33－12<Z ≤33＋12)≈0.997 3，所以P (Z ≤43)<P (Z ≤45)≈0.5＋0.5×0.997 3≈0.998 7，所以“江先生上班迟到”还是有可能发生的，所以说法①不合理；对于说法②，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于48分钟才不会迟到，因为P (44－4<Z ≤44＋4)≈0.954 5，所以P (Z ≤48)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于41分钟才不会迟到，因为P (33－8<Z ≤33＋8)≈0.954 5，所以P (Z ≤41)≈0.5＋0.954 5×0.5≈0.977 3，所以“江先生8：02出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.977 3，二者可能性一样，所以说法②不合理；对于说法③，若江先生乘坐公交上班，则其乘坐公交的时间不大于37分钟才不会迟到，因为P (33－4<Z ≤33＋4)≈0.682 7，所以P (Z ≤37)≈0.5＋0.5×0.682 7≈0.841 4，所以“江先生8：06出门，乘坐公交上班不迟到”发生的可能性约为0.841 4，若江先生乘坐地铁上班，则其乘坐地铁的时间不大于44分钟才不会迟到，因为P (Z ≤44)＝0.5，所以“江先生8：06出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性约为0.5，又0.841 4>0.5，所以说法③是合理的；对于说法④，江先生乘坐地铁的时间不大于38分钟才不会迟到，因为P (44－6<Z ≤44＋6)≈0.997 3，所以P (Z ≤38)≈(1－0.997 3)×0.5≈0.001 4，所以“江先生8：12出门，乘坐地铁上班不迟到”发生的可能性非常小，所以说法④合理．所以四个说法中合理的是③④.答案：③④。