D1_6两个重要极限(nei)
26两个重要极限63781
即 tan x ~ x x 0.
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例2求
0 型 0
解 令t arcsin x , 则 x sin t , 且x 0时， t 0 x0 arcsin
t 原式 lim 1 t 0 sin t
即 arcsin x ~ x x 0
例3 求
2
x x 2 2 sin 1 sin 2 1 2 2 lim 解 原式 lim 1 x 0 2 x 0 x2 2 x 1 2 2 即 1 cos x ~ x x 0 2
1 x 由此可以证明lim (1 ) e x x
1 x 关于 lim (1 ) e的注释 x x
1、 幂指函数型 （即底, 指数上均含有自变量） , 极限类型为
1 型.
底 1 无穷小量 具体地, 1 指 无穷小量
1 ( x)
lim 1 ( x ) 2、实质上可推广为： ( x )0
注2 使用此替换原则时必须 注意
1） 极限过程必须是需替换 的变量成为无穷小量的 过程
1 2 1 cos x 1 cos 1 1 2 x 如 lim lim 2 2 x 1 x 1 2x 22 x 4
2） 该替换原则只能用于乘 除法中, 即不能在加减运算中
进行直接替换！
正确解答
解 当x 0时, sin 2 x ~ 2 x ,
1 3 tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x , 2 1 3 x 1 2 . 原式 lim 3 x 0 ( 2 x ) 16
不能滥用等价无穷小代换.
两个重要极限
两边夹定理可知， lim | sin x | 0 , 从而 lim sin x 0.
图 2.13 例6.2 证明 lim cos x 1.
x 0
2 x x x 证 当 x 在 0 附近，即当 | x | 时, 由半角公式知 0 1 cos x 2 sin 2 2( )2 . 2 2 2 2
36
1 n 重要极限二： lim (1 ) e. n n 1 n 我们可以利用单调有界数列必有极限来证明 lim (1 ) 的存在性。 n n 1 n 证 设 f (n) (1 ) . 先证 f (n) 单调增加。事实上，由二项式展开有 n 1 n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)(n 2) 1 f ( n) (1 ) 1 2 3 n 1! n 2! n 3! n n( n 1)(n 2)...(n n 1) 1 ﹢ n n! n 1 1 1 1 1 2 1 (1 ) (1 )(1 ) 1! 2! n 3! n n 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ). 同理有 n! n n n 1 n 1 1 1 1 1 2 1 f (n 1) (1 ) 1 (1 ) (1 )(1 ) n 1 1! 2! n 1 3! n 1 n 1 1 1 2 n 1 (1 )(1 )(1 ) n! n 1 n 1 n 1
n
例 6.13
求 lim
sin x . sin x sin(x) lim 2 2 x x ( x x)(x)
lim 例 6.14
2 2 sin( x) lim 1 . x x x x 2 2
例 6.8
极限运算法则两个重要极限
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解 错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»
极限存在准则与两个重要极限 答案详解
解：圆的内接正 n 边形是由 n 个全等的等腰三角形，每个的顶角为 2 ，腰为半径 R ， n
则内接正 n 边形面积为
An
n1 2
R2 sin
2 n
，
从而圆的面积为
A
lim
n
An
lim
n
n
1 2
R
2
sin
2 n
lim
n
sin 2 n
2
x1
e4 （其中底数部分的极限
lim
x
1
2 x 1
x1 2
e ，指数部分的极限 lim x
2(2x 1) x 1
lim
x
4 2 x
1 1 x
4 ）
三、利用夹逼准则计算数列极限 lim ( n + n + + n ) ．
n n2 1 n2 2
n2 n
分析：对于极限式中连加项每一项式子都比较接近的通常采用夹逼准则去掉省略号再求极限，
夹逼准则主要是应用放缩法，注意放缩适度
解：
n
n n2
n
n n2 1
n n2
2Βιβλιοθήκη n n2 n
n
n n2 1
lim
n
n2 n2
n
lim
n
n2 n2 1
一、计算下列极限：
1.4 极限存在准则与两个重要极限
分析：构造第一个重要极限 lim sin 1, lim 1的形式，注意 可以是某一个趋于零
16个重要极限公式推导
16个重要极限公式推导《16个重要极限公式推导》在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上趋近于某个值的行为。
极限公式是一种常用的工具，可以帮助我们求解各种复杂的极限问题。
以下是16个重要的极限公式以及它们的推导过程。
1. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$推导过程：我们从单位圆的几何性质入手。
当$x$接近于0时，我们可以认为边长为$x$的小角度$x$是相似三角形中的等腰三角形。
根据单位圆上的弧长公式，我们有$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。
2. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$推导过程：我们将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到$\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1-\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$。
因为$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x}=0$，所以$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1$，即$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$。
3. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$推导过程：类似于第2个公式的推导，我们可以得到$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right)=a$。
2.6两个重要极限(nei)
A −ε< y ≤ x ≤ z < A +ε
即
A−ε< x < A+ε
所以有 | x − A|<ε 故
limx = A
例1 证明 证:当 | x |< 由
x→0
limsin x = 0
x→0
π 2
时
lim| x |= 0 及
x→0
0 ≤| sin x |≤| x | lim0 = 0
x→0
得
limsin = 0
重要极限2. 重要极限
(1)
(p74-78)
(n为正整数)
记 (2.8)
(2) 或 lim(1+ z) = e
z→0
1 z
(2.9)
(2.10)
*证明(1)设 极限存在 . (P74～P76) 证: 利用二项式公式 , 有
1)n xn = (1+ n
证明数列
n1 =1+1! n
n(n−1) 1 + 2! 2 n
lim+
−1
sin x =1 x
o
A
x
−1
二、两个重要极限 1. lim0 sin x = 1 x→
x
记
证明:首先易见 证明 首先易见
sin x lim− x→ 0 x
令x=−t
=
t→0
lim+
sin( − t ) sin t sin x − sin t = lim+ = lim+ = lim+ t→0 t→0 x→ 0 t x −t −t
2 2
sin
2
x 2
2
x 2
浅谈两个重要极限解题技巧
浅谈两个重要极限解题技巧极限是高等数学中非常重要的一个概念，它在数学和物理等领域中都有着广泛的应用。
在解题过程中，掌握一些重要的极限解题技巧对于提高解题效率和准确性都有着非常重要的意义。
本文将从两个重要的极限解题技巧进行浅谈，希望能够对大家在学习和应用极限时起到一定的帮助和指导。
一、变量代换法变量代换法在解极限题时是一种非常常用且有效的技巧。
它常常适用于那些包含复杂变元的极限题目，通过合理的变量代换，可以将原极限题目转化成更加简单的形式，从而更容易求解。
对于极限\lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^n，我们可以用变量代换方法进行解题。
首先令a=\frac{1}{n}，则当n \to \infty时，a \to 0。
这样原极限题目就可以转化成\lim_{a \to 0} (1+\frac{1}{a})^{1/a}。
这时候再用一些常用的极限公式和技巧，就能够比较容易地求解出极限的值。
二、夹逼定理夹逼定理也是解极限题时经常用到的一种重要技巧。
夹逼定理适用于那些求解极限题目时比较难以直接求解的情况，通过构造一个上下夹逼的序列，可以找到目标极限值的范围，从而更容易求解出极限的值。
对于极限\lim_{n \to \infty} \frac{sin n}{n}，我们可以通过夹逼定理进行解题。
由于-1 \leq sin n \leq 1，所以-\frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}，根据夹逼定理，当n \to \infty时，-\frac{1}{n} \to 0，\frac{1}{n} \to 0，所以\lim_{n \to \infty} \frac{sin n}{n}=0。
在进行极限题的解题过程中，变量代换法和夹逼定理都是非常重要的解题技巧。
希望大家在学习和应用极限过程中，能够灵活运用这些技巧，提高解题效率和准确性。
对两个重要极限的重要性的认识
e x x x =+∞→)11(lim 1sin lim 0=→xxx对两个重要极限的重要性的认识摘要 ：通过对两个重要极限重要性的理解和认识, 总结有关两个重要极限的论文成果，指出两个重要极限在微积分的计算过程中起到了重要的桥梁纽带作用，主张学习数学知识不仅局限于课本，要培养提高探究问题的能力，系统全面的看待问题，深刻细致的体会微积分思想的严谨性。
关键词 ： 重要极限；重要性；证明；应用1.绪论两个重要极限在微积分的计算和整个微积分思想中起着举足轻重的作用，目前，关于这方面的分析已经很成熟，有关于它们的来源，证明，应用和深入扩展，本文系统的总结了部分具有代表性的成果，从而可以直观全面的认识和体会两个重要极限的重要性，对刚接触极限理论，没有深入认识两个重要极限的学生来说，具有指导意义。
《数学分析》课程在讲述关于两个重要极限 和 时，着重强调了它在整个极限计算中有重要地位。
它能将许多复杂的极限计算迅速简化, 应用非常灵活。
因此，这两个重要的极限可以说是全部微积分学计算的基础, 其重要性就不难理解了。
试想, 若没有它们, 那么只要遇见微积分相关的计算题, 必须用最基本的方法，有些还不一定求得出来，更不用说由它们推广出的更复杂的应用了。
2.两个重要极限的证明两个重要极限是极限理论的重要内容, 也是解决极限问题的一种有效方法,在学生的学习中, 起着重要作用，了解它们的证明方法对充分理解和认识它们是十分必要的，它的证明过程也是对两边夹定理及单调有界数列必有极限这一准则的恰当应用。
2.1第一个重要极限：1sin lim0=→xxx证明：作单位圆，如图1：图1设x 为圆心角AOB ∠，并设20π<<x 见图不难发现：AO D AO B AO B S S S ∆∆<<扇形，即：x x x tan 2121sin 21<<，即 x x x tan sin <<，1sin cos cos 1sin 1<<⇒<<⇒xx x x x x （因为20π<<x ，所以上不等式不改变方向）当x 改变符号时，x xx sin ,cos 及1的值均不变，故对满足20π<<x 的一切x ，有1sin cos <<xxx 。
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得
limsin 0
(根据准则I P71)
定理2.12如果数列 yn f (n) 是单调有界的, (证明略) 则 一定存在 lim f ( x) x
例证明 存在
1 1 2 3 yn 1 : 0, , , , n 2 3 4
1 lim yn lim(1 ) x x n
n
lim (1 n1 1) n lim
(1 n1 1) n 1
n
1 n1 1
e
1 ) n 1 lim [(1 1 ) n 1 1） e （ n ] lim (1 n n n n
x
lim (1 1 ) x e x
sin x sin x x tan x 即 cos x 同除以 sin x 得 (sinx 0) :
x 1 1 si n x cos x
即
因为 所以
x 0
lim cos x 1 lim 1
x 0
si n x cos x 1 x
si n x lim 1 x 0 x
例1. 求
解: 令 t x , 则
t
lim (1 1) t t
1
lim
t
lim (1 (1x ) ) ( x ) e , 则 说明 ：若利用
( x )
原式 lim (1
x
1 ) x 1 x
e 1
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e
故
x
lim (1 1 ) x e x
1
说明: 此极限也可写为 lim(1 )注: 幂函数,也不是指数函数,这种函数称为幂指函数.
公式 推广成一般形式可写为: 或 lim (1 z ) e
z 0
1 z
记
其中
x
的极限过程对前者使 ( x) 后者使 ( x) 0
恒成立,又因为 y x z 所以,在那个时刻以后有
A y x z A
即
A x A
所以有 | x A |
故
lim x A
例1证明
limsin x 0
x 0
证:当 | x |
由
x 0
2
时
lim | x | 0 及
x0
0 | sin x || x | lim 0 0
x, y , z
yxz
lim x A
lim y lim z A
则
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证:因为 lim y lim z A
所以对于, 0
, 从某个时刻以后,恒有
| y A | , | z A |
即: A y A , A z A
si n x 1 x
即可 (如图作单位圆,并
y
1
C
见右图)由图中易见有 S扇形OAB
1 x 2
B
S△OAB
1 si n x 2
S△OAC
1
x
o
1
A
x
1 tan x 2 1 2 1 s扇 1 x 2 2
1 1 1 si n x x tan x 于是有 2 2 2
例8. 求
解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
sin t t
1
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例9. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R 2 sin cos n n
证明: 证:
n
n
R
cos n
lim An lim R
公式的特点是: 第一,所求极限的函数为幂指函数; 第二,其指数为无穷大,底数由两项组成,一项是1,另一项
是无穷小;
第三,
无穷小所在的项与无穷大所在的项(指数)
互为倒数.因而公式的极限是 1 型极限,不是1 型 极限或不能化为 1 型的极限不能应用公式求. 为将极限函数化符合上述诸条件的形式,常需 对所求极限的函数进行恒等变形或变量代换.
1 1 = lim 1 1 = = lim x x x x 2 2 2 2
x 2 x 2 2 2
e2 ．
0 3. 极限为 0
例1 求极限 解 原式 l im
lim
si nkx x0 x
该极限为1
k si nkx si nkx k l im k x 0 x 0 kx kx
可当公式 记注使用
类似可求得
例2 求极限
lim
x
tankx k x 0 x
1 x
l i m x si n
第六节 极限存在准则及 两个重要极限
一、极限存在的准则
第二章
二、 两个重要极限
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本节课学习目标
通过本课程的学习，我们要学会两个重 要极限公式，要会用重要极限公 式计算一些函数的极限.
一. 函数极限存在的准则
1. 定理2.11(准则Ⅰ)P71(夹逼准则) 如果在某个变化过程中,三个变量 总有关系: 且
例2. 求
解: 原式 =
lim [(sin 1 cos 1 ) 2 ] 2 x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
x
(1 sin 2 ) x
1 sin 2 x
e
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例3 求
2 x lim(1 ) x x
x 2 2
解
1 2 x lim(1 ) = lim 1 x x x x 2
即
si n x lim 1 x 0 x
注: 其中 x
可推广为一般形式: 记
的极限过程使 ( x) 0
一般公式的特点是: 1. 分子为正弦函数; 2. 正弦函数符号下的 ( x) 与分母完全一致;
型. 0 在变性时一般会有三角函数或反三角函数的 0 型的 极限经恒等变形或变量代换,往往可用公式求出极限,常用 的恒等变形有分子,分母同除(或同乘)以 x 的因式, 或直接应用三角公式,代数公式.
z 0
1 z
(2.9)
(2.10)
*证明(1)设 极限存在 . (P74～P76) 证: 利用二项式公式 , 有
证明数列
xn (1 1 ) n n
n1 1 1! n
n ( n1) 1 2! 2 n n ( n1)( n2) 1 3 3! n
n ( n1)( nn1) 1 n! nn
n
sin 2 n
n
说明: 计算中注意利用
课堂练习
1求:
sin 3 x lim x 0 x
3 sin 3 x sin 3 x lim 解： = lim0 3x 3 x x 0 x
重要极限2. (p74-78)
(1) (n为正整数)
记 (2.8)
(2) 或 lim (1 z ) e
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2 , ) (说明数列是单调的)
又
xn (1 1 ) n 1 1 n
又
1 )n xn (1 n
11
11
3 1 2 n 1
3 ( 明数列是有界的)
根据定理 2 .1可知数列 xn 有极限 . 记此极限为 e , 即
所以只须证
0 x 作角 见右图)由图中易见有 注意右图演示各图形大小 2
x 0
lim
si n x 1 x
即可 (如图作单位圆,并
y
1 B
S△OAB
S扇形OAB
SS △OAB S扇形OAB △OAC
A
C
S△OAC
1
x
o
1
x
二、两个重要极限 1. lxi0 si nx 1 m
例4 求
lim(1 2 x)
x 0
1 x
例6求极限 解 原式
1 cos x lim x 0 x2
2 si n2 x2
lim
x 0
x x x si n2 si n2 2 lim 2 1 1 lim 2 x 0 2 2 x 0 x 2 x2 4 2 x si n 1 2 lim 2 x 0 x 2
解 原式 l i m
x
例3 求极限
1 1 x si n5 x si n3 x lim x 0 x
sin
1 x
sin5 x sin3 x sin5 x sin3 x lim lim 53 2 lim 解 原式 x0 x x 0 x x 0 x x si n x 2 1 m 例4 求极限 lxi1 x 1
x
记
证明:首先易见
si n x 令x t si n ( t ) si nt si nt si n x lim lim lim lim lim x 0 t 0 t 0 t 0 x 0 x t t t x
所以只须证
0 x 作角 2
x 0
lim
n
lim (1 1 ) n e n