一次函数、一次方程和一元一次不等式(基础)知识讲解.doc
一次函数、一次方程和一元一次不等式（基础）责编：某老师【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】要点一、一次函数与一元一次方程一次函数y kx b =+（k ≠0，b 为常数）.当函数y ＝0时，就得到了一元一次方程0kx b +=，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，这相当于已知直线y kx b =+（k ≠0，b 为常数），确定它与x 轴交点的横坐标的值.要点二、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点三、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点四、如何确定两个不等式的大小关系ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次方程1、若直线y kx b =+与x 轴交于（5，0）点，那么关于x 的方程0kx b +=的解为______.【答案】5x =【解析】kx b +＝0的解是直线y kx b =+与x 轴交点横坐标.【总结升华】当函数0y =时，就得到了一元一次方程kx b +＝0，此时自变量x 的值就是方程kx b +＝0的解.举一反三：【变式1】如图，已知直线y ax b =-，则关于x 的方程1ax b -=的解x ＝_________.【答案】4；提示：根据图形知，当y ＝1时，x ＝4，即1a x b -=时，x ＝4．∴方程1ax b -=的解x ＝4．【变式2】如图，直线y kx b =+分别交x 轴和y 轴于点A 、B ，则关于x 的方程kx b +＝0的解为_______.【答案】2x =-；提示：方程kx b +＝0的解其实就是当0y =时一次函数y kx b =+与x 轴的交点横坐标．由图知：直线y kx b =+与x 轴交于点（－2，0），即当x ＝－2时，y kx b =+＝0.类型二、一次函数与一元一次不等式2、如图，直线y=kx+b 交坐标轴于A （﹣3，0）、B （0，1）两点，则不等式﹣kx ﹣b ＜0的解集为（ ）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞3 D．x＜3【思路点拨】求﹣kx﹣b＜0的解集，即为kx+b＞0，就是求函数值大于0时，x的取值范围．【答案】A；【解析】解：∵要求﹣kx﹣b＜0的解集，即为求kx+b＞0的解集，∴从图象上可以看出等y＞0时，x＞﹣3．故选：A．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】=+与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不【变式】如图，直线y kx b+＋3≥0的解集是（）等式kx bA．x≥0 B．x≤0 C．x≥2 D．x≤2【答案】A；=+的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点提示：从图象上知，直线y kx b+≥－3．为B（0，－3），即当x＝0时，y＝－3，所以当x≥0时，函数值kx b3、（2016春•瑞昌市期中）如图，根据图中信息解答下列问题：（1）关于x的不等式ax+b＞0的解集是．（2）关于x的不等式mx+n＜1的解集是．（3）当x为何值时，y1≤y2？（4）当x为何值时，0＜y2＜y1？【思路点拨】紧密结合图象，根据直线与坐标轴的交点来确定不等式的解集，从而判断函数值的大小关系.【答案与解析】解：（1）∵直线y 2=ax +b 与x 轴的交点是（4，0），∴当x ＜4时，y 2＞0，即不等式ax +b ＞0的解集是x ＜4；故答案是：x ＜4；（2）∵直线y 1=mx +n 与y 轴的交点是（0，1），∴当x ＜0时，y 1＜1，即不等式mx +n ＜1的解集是x ＜0；．故答案是：x ＜0；（3）由一次函数的图象知，两条直线的交点坐标是（2，18），当函数y 1的图象在y 2的下面时，有x ≤2，所以当x ≤2时，y 1≤y 2；（4）如图所示，当2＜x ＜4时，0＜y 2＜y 1．【总结升华】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解答该类题目时，需要学生具备一定的读图能力，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出x 的值，是解答本题的关键．举一反三：【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞－2D ．x ＜－2【答案】B ；提示：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到x ＜1时不等式1k x b +＜2k x c +成立．4、画出函数21y x =+的图象，并利用图象求：(1)方程2x ＋1＝0的解；(2)不等式2x ＋1≥0的解集；(3)当y ≤3时，x 的取值范围；(4)当－3≤y ≤3时，x 的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数21y x =+的图象，方程2x ＋1＝0的解从“数”看就是自变量x 取何值时，函数值是0，从“形”看方程2x ＋1＝0的解就相当于确定直线21y x =+与x 轴的交点，故图象与x 轴交点的横坐标就是方程2x ＋1＝0的解．同理：图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2x ＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表：在坐标系内描点(0，1)和1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，并过这两点画直线，即得函数21y x =+的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线21y x =+与x 轴交点1,02⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴ 方程2x ＋1＝0的解为12x =-； (2)由图象可知：直线21y x =+被x 轴在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭点分成两部分，在点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭右侧，图象在x 轴的上方．故不等式2x ＋1≥0的解集为12x ≥-； (3)过点(0，3)作平行于x 轴的直线交直线21y x =+于点M ，过M 点作x 轴的垂线，垂足为N ．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值y ≤3，则当y ≤3时，自变量x 的取值范围是x ≤1；(4)过(0，－3)作x 轴的平行线交直线21y x =+于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为H ，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤y ≤3．∴ 当－3≤y ≤3时，自变量的取值范围是－2≤x ≤1．【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：(1)一元一次方程0kx b y +=(0y 是已知数)的解就是直线y kx b =+上0y y =这点的横坐标；(2)一元一次不等式1y ≤kx b +≤2y (1y ，2y 是已知数，且1y ＜2y )的解集就是直线y kx b =+上满足1y ≤y ≤2y 那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式kx b +≤0y (或kx b +≥0y )(0y 是已知数)的解集就是直线y kx b =+上满足y ≤0y (或y ≥0y )那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】画出函数y=2x+6的图象，利用图象：（1）求方程2x+6=0的解；（2）求不等式2x+6＞0的解；（3）若﹣2≤y≤2，求x 的取值范围．【答案】解：图象为：（1）观察图象知：该函数图象经过点（﹣3，0），故方程2x+6=0的解为x=﹣3；（2）观察图象知：当x ＞﹣3时，y ＞0，故不等式2x+6＞0的解为x ＞﹣3；（3）当﹣2≤y≤2时，﹣4≤x≤﹣2．类型三、用一次函数的性质解决不等式的实际问题5、（1）如图，是函数y kx b =+的图象，它与x 轴的交点坐标是（－3，0），则方程kx b +＝0的解是_________；不等式kx b +＞0的解集是__________.（2）如图：OC ，AB 分别表示甲、乙两人在一次赛跑中．各自的路程S （米）和时间t （秒）的函数图象，根据图象写出一个正确的结论___________.【答案】（1）3x =-；3x <-；（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x ＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．【解析】（1）从图象上得到函数的增减性及与x 轴的交点的横坐标，即能求得方程kx b +＝0的解和不等式kx b +＞0的解集．（2）根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x ＝9秒时，两个人跑的路程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快．【总结升华】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解数形结合思想的应用．。
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系
13.3一次函数与一次方程、一次不等式安徽省利辛县巩店学区王店中学丁保付教学目标：1.使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。
2.引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系的过程，体会数形结合、分类、类比、归纳等数学思想方法的运用，积累数学活动经验。
通过自主探究、小组合作等活动，锻炼学生的自学能力、归纳概括的能力，增强学生间的合作意识。
3.通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，培养学生用联系的观点看待数学问题的意识。
教材分析：函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。
之前，学生已经从数的角度认识一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数和数轴表示不等式的解集。
而本节课通过函数图像动态的变化和点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
通过本节课的探究，学生不仅能加深对函数、方程（组）、不等式的理解，而且能在函数的观点下将三者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通。
一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系属于事实性知识；学生在探究三个一次之间关系的过程中，需要在函数运动变化的观点下，经历运用分类、类比，数形结合的思想方法，归纳出解一次方程和不等式的问题，其实是求函数的零点和非零点的问题，这些认知策略能有效地帮助学生积累数学活动经验，掌握学习方法，提高学习效率，因此，这些数学思想方法是元认知知识。
本节课将“三个一次”问题在函数的观点下来集中认识，这种用整体的观点处理问题的方法为今后学习二次函数与一元二次方程的关系，以及高中二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的知识做好知识和认知方法上的准备。
教学重点：探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。
教学难点：对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的揭示。
学情分析：1．之前，学生已经会解一次方程和一次不等式，从形的角度认识了一次函数的图像和在数轴上表示不等式的解集，学生具备了接受这节课的知识基础。
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系
一元一次方程一元一次不等式一次函数之间的关系随着数学的学习深入，我们会发现一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间有着紧密的联系。
在本文中，我将对这三者之间的关系进行探讨。
一元一次方程一元一次方程是数学中非常基础的概念，它表达的是一个未知数的值需要满足的条件。
一元一次方程的一般形式为ax+b=0（其中a和b为已知数，x为未知数）。
它有且只有一个解，解为x=-b/a。
我们可以通过将未知数表示出来，来解决各种各样的问题。
比如：“丽丽现在的年龄是小明的三倍，而小明现在的年龄是5岁，那么请问丽丽现在的年龄是多少岁？”这个问题可以表示成x=3*5，即x=15岁。
一元一次不等式一元一次不等式也可以表示为类似于ax+b≥0或者ax+b＜0的形式，它要求未知数满足一定的条件。
比如：“一个小卖部卖饮料，每一瓶饮料的成本是1元，销售价格是3元，如果要利润不少于4元，那么至少需要卖出几瓶饮料？”这个问题可以表示成x*2≥4，即x≥2瓶。
一次函数一次函数是以一次方程（即y=kx+b）为基础，表示为y=f(x)的函数。
事实上，一次函数可以通过一元一次方程的解析式来表示出来。
（y-y1）=k(x-x1)对应解析式为y=kx+(y1-kx1)。
因为一次函数中的k的值表示的是斜率，所以通过一次函数可以得到许多信息。
比如：两点之间的距离公式（d=√(x1-x2)²+(y1-y2)²）就可以表示为一次函数的形式。
如果我们要获得两个点的连线的斜率，那么只需要除以偏移量（即两个点在x轴上的距离）即可。
三者之间的关系可以看到，这三个数学概念之间有着紧密的联系。
具体而言，一元一次不等式可以看成在直线上面的点构成的区域，这个区域里面的点都是满足不等式的，而不在这个区域内的点则不满足这个不等式。
一元一次方程和一次函数则可以在二维坐标系上表示。
其中，一元一次方程对应的是一条直线，而一次函数则对应的是一条斜率为k，截距为b的直线。
专题2.1 一次方程及方程组(知识讲解)
专题2.1 一次方程及方程组（知识讲解）【基本考点要求】1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思【知识网络】【考点梳理】考点一、一元一次方程 1.等式性质（1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式。
（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式。
2.方程的概念（1）含有未知数的等式叫做方程。
（2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根)。
（3）求方程的解的过程，叫做解方程。
3.一元一次方程（1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程。
（2）一元一次方程的一般形式:0(0)ax b a +=≠。
（3）解一元一次方程的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来)。
特别说明：解一元一次方程的一般步骤（1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤；（2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组 特别说明：判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组 2.二元一次方程组的一般形式111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 特别说明：a 1、a 2不同时为0，b 1、b 2不同时为0，a 1、b 1不同时为0，a 2、b 2不同时为0 3. 二元一次方程组的解法(1) 代入消元法 (2) 加减消元法 特别说明：（1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解。
一次函数与一次方程、一次不等式课件
x -2 0
(B)
y
x
-2
0
(C)
(D)
思考
下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗 ？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1． 用函数值的角度看:
解一元一次方程 ax +b =k 就是求当函数值为k 时对应的 自变量的值.
思考
下面三个方程有什么共同特点？ 你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
解: (1) 2x+20=0 (2) 令 y=0 , 即
2x 20
x 10
2x 20 0
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题.
从“数” 上看
从函数图象看, 直线 y=2x+20与x轴交
y
y 2x 20
20
点的坐标是 （-10、 10
0说）明了方程
O
x
2x+20=0的解是
x 10
从“形”上看
归纳 :
因为, 任何一个一元一次方程都可以化简为 kx+b=0的形式, 所以解一元一次方程 kx+b=0, 都可转化为求函数 y=kx+b中 y=0时的x的值。从图象上看, 就是一次函 数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标的值。
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
1 解方程 3x-2=0 当x为何值时，
19.2.3一次函数与一 次方程
回顾延伸:
让我们重新观察一下平面直角坐标 系，思考： （1）x轴上，点的纵坐标有何规律呢？ （2）x轴的上方，点的纵坐标有何规 律呢？ （3）x轴的下方，点的纵坐标有何规 律呢？
一次函数与一元一次方程,不等式
19.2.3 一次函数与方程、不等式龙湖中学郭燕一、教学目标1.知识与技能：①使学生理解并掌握一次函数与一元一次方程，一元一次不等式的相互联系。
②是学生能初步运用函数的图像来解释一元一次方程、一元一次不等式的解集，并通过函数图像来回答一元一次方程、一元一次不等式的解集。
2.过程与方法：通过对一次函数与一元一次方程，一元一次不等式关系的探究，引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系，发展学生的辩证思维能力。
3.情感态度与价值观：探究活动中，让学生体会数学知识的融会贯通，发现数学的美，以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心。
二．教学重难点：1.重点：①理解一次方程，一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系。
②掌握用图像求解方程不等式的方法。
2.难点：根据一次函数的图像求解方程和不等式三．教学过程：1.探究一次函数与方程的关系问题1（1）解方程2x-4=0（2）当自变量x取何值时，函数y=2x-4的值为0?（3）画出函数y=2x-4的图像，并确定它与x轴的交点坐标。
（4）第（1）（2）问题有何关系？（1）（3）呢？［从上述问题中，你能发现一次函数与一元一次方程的关系吗？］问题（2）（3）可以看作是同一个问题的两种形式，问题（1）（2）是从数的角度看，问题（3）是从形的角度看。
学生按要求探究，并总结结论从数的角度看，一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的y为0时x 的值。
从形的角度看，一元一次方程2x-4=0的解是一次函数y=2x-4的图像与x轴交点的横坐标。
2.新知构建①填写表格，使得以下的一元一次方程问题与一次函数问题是同一问题。
你能从函数的角度解方程2x+1=3吗？学生独立思考后，画出一次函数y=2x+1的图像，从数的角度，y=2x+1的函数值为3时，自变量x 的值是这个方程的解；从图像上可以看出，直线y=2x+1上纵坐标为3的点的横坐标为1，是这个方程的解。
任何以x 为未知数的一元一次方程，都可以化成ax+b=0(a,b 为常数,a ≠0)的形式，因此，方程2x+1=3的解,也可以看成直线y=2x-2与x 轴交点的横坐标。
八年级下册数学19.2.3 一次函数与方程、不等式
气球1 海拔高度：y =x+5； 气球2 海拔高度：y =0.5x+15．
(2)什么时刻，1 号气球的高度赶上2 号气球的高度？
这时的高度是多少？请从数和形两方面分别加以研究.
y =x+5
从数的角度看：解方程组
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数图象”看
确定直线y=kx+b 在x轴上方(或下方) 的图象所对应的x 取值范围
一次函数与二元一次方程组
问题3 1号探测气球从海拔5 m 处出发，以1 m/min 的速度上
升．与此同时，2 号探测气球从海拔15 m 处出发，以0.5 m/min 的速度 上升．两个气球都上升了1 h．
A(0,6) (1,3)
值范围,即x<2；不等式 -3x+6<0的
3
解集是图象位于 x轴下方的x的取值
范围，即x>2； （2）由图象可知，当x>1时，y<3.
B(2,0)
O1
x
归纳总结：一次函数与一元一次不等式的关系
求kx+b＞0(或<0) (k≠0)的解集
从“函数值”看
y=kx+b的值 大于(或小于)0时， x的取值范围
第十九章 一次函数
19.2.3 一次函数与方程、不等式
学习目标
1．认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元 一次不等式之间的联系．（重点）
2．会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意 义.（难点）
今天数学王国搞了个家庭Party，各个成员按照自 己所在的集合就坐，这时来了“x+y=5”.
第3节 一次函数与方程(组)及一元一次不等式
第三节一次函数与方程（组）及一元一次不等式二、核心纲要直线:y = kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程kx+b = 0 (k≠0)的解.求直线y = kx+b与x轴交点时，可令y = 0，得到方程k + B = 0,解方程得x=bk-，直线y=kx+b交x轴于点(bk-,0)，bk-就是直线y =kx+b与x轴交点的横坐标，可令y轴交点的横坐标.注：(1)从“数”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔在一次函数y=kx+b(k≠0)中，令y=0时，x的值.(2)从“形”看:kx+b=0(k≠0)的解⇔一次函数y=kx+b(k≠0)的图像与x轴交点的横坐标.2.—次函数与一元一次不等式的关系(1) 任何一次一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax + b<0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大(小）于0时，求自变量相应的取值范围.(2) 函数图像的位置决定两个函数值的大小关系①函数y1的图像在函数y2的图像的上方⇔y1>y2，如下图所示；②函数y1的图像在函数y2的下方⇔y1<y2，如下图所示；③特别说明：函数y 的图像在x 轴上方⇔y >0；函数y 的图像在X 轴下方y <0.3.一次函数与二元一次方程（组）的关系(1)一次函数的解析式：y =kx +b (k ≠0)本身就是一个二元一次方程，直线y =kx +b (k ≠0)上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程y =kx +b (k ≠0)，因此二元一次方程的解也就有无数个. (2) —次函数:y = kx +b (k ≠0)① 从“数”看，它是一个二元一次方程； ② 从“形”看，它是一条直线。
4.两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 (1) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y =k 1x +b 1不平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1≠k 2.(2) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y =k 1x +b 1平行于直线y =k 2x +b 2⇔k 1=k 2,b 1≠b 2. (3) 二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y =k 1x +b 1与y =k 2x +b 2重合⇔k 1=k 2,b 1=b 2.5.比较两个函数值大小的方法 (1) 画图像，求交点.(2) 过交点作平行于y 轴的直线. (3) 谁高谁大.6.数学思想数形结合和转化思想.本节重点讲解：一个定理，一个证明，两个思想.三、全能突破1.若直线y =(m -3)x +6与x 轴交于点(3,0)，则m 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.如图19-3-1所示，一次函数y =kx +b 的图像经过A 、B 两点，则kx +b ≥0的解集是( ) A. x >0 B. x ≥—3 C. x >2 D. -3≤x ≤23.已知ax +b =0的解是2,则直线y =ax +b 与x 轴的交点坐标是______。
一次函数与一元一次方程、不等式
8、人们常用“心有余而力不足”来为自 己不愿 努力而 开脱， 其实， 世上无 难事， 只怕有 心人， 积极的 思想几 乎能够 战胜世 间的一 切障碍 。 9、如果你希望成功，当以恒心为良友， 以经验 为参谋 ，以当 心为兄 弟，以 希望为 哨兵。 ——爱 迪生
1 知识小结
任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常 数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为当某 个一次函数的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图 象上看，相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴的交点 的横坐标．即“形”题用“数”解，“数”题用“形”解， 充分体现了数形结合的思想．
1 【2016·桂林】如图，直线y＝ax＋b过点A(0，2) 和点B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( D ) A．x＝2 B．x＝0 C．x＝－1 D．x＝－3
2 【中考·合肥】已知方程 1 x＋b＝0的解是x＝
2 －2，下列可能为直线y＝
1 2
x＋b的图象的是
( C)
3 如图，若一次函数y＝－2x＋b的图象交y轴于点
因为任何一个以x为未知数的一 元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解 一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为 0时，求自变量x的值.
一次函数与一元一次方程的联系： 任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变
形为ax＋b＝0(a≠0，a，b为常数)的形式，所以解一 元一次方程可以转化为：求一次函数y＝ax＋b(a≠0， a，b为常数)的函数值为0时，自变量x的取值；反映 在图象上，就是直线y＝ax＋b与x轴的交点的横坐标．
一次函数与一元一次方程和不等式同步辅导(含答案)--绝对经典
11.3.1 -11.3.2 一次函数与一元一次方程和不等式重点知识讲解1．一元一次方程ax+b=0（a≠0）与一次函数y=ax+b（a≠0）的关系（1）一元一次方程ax+b=0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）的函数值为0时的特殊情形．（2）直线y=ax+b与x轴交点的横坐标就是一元一次方程ax+b=0的解x=-ba。
2．一元一次不等式与一次函数的关系（1）一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0（a≠0）是一次函数y=ax+b（a≠0）•的函数值不等于0的情形．（2）直线y=ax+b上使函数值y>0（x轴上方的图像）的x的取值范围是ax+b>0的解集；使函数值y<0（x轴下方的图像）的x的取值范围是ax+b<0的解集．经验与方法技巧1．利用一次函数求一元一次方程的解题步骤（1）将一元一次方程化成ax+b=0的形式．（2）画出y=ax+b的图像，确定其与x轴交点的横坐标．2．利用一次函数求一元一次不等式的解集的技巧根据不等式的特点，灵活采用求解方法：（1）利用一个一次函数；（2）•利用两个一次函数．典型例题例1画出y=-3x+5的图象，利用图像求方程-3x+5=0的解．解析取点（0，5），（53，0），图像如图所示．∵直线y=-3x+5与x轴交点的横坐标为53，∴方程-3x+5=0的解为x=53。
评注画函数图像时要准确，求出直线y=-3x+5与x•轴交点的横坐标即为方程的解．例2画出函数y=-3x+12的图像，利用图像求：（1）不等式-3x+12>0的解集．（2）不等式-3x+12≤0的解集．（3）如果y的值在-6≤y≤6的范围内，那么相应的x的值在什么范围内？解析取点（0，12），（4，0），作出函数图像，如图所示，由图像可以看出：（1）当y>0时，x的取值范围为x<4，∴不等式-3x+12>0的解集为x<4．（2）当y≤0时，x的取值范围为x≥4．∴不等式-3x+12≤0的解集为x≥4．（3）当-6≤y≤6时，x的取值范围为2≤x≤6．评注借助图像求不等式的解集，关键是要清楚以下几点：①y>0时，x•的取值范围就是x轴上方的图像所对应的x的取值范围．②y<0时，x的取值范围就是x•轴下方的图像所对应的x的取值范围．③y=0时，x的值就是图像与x轴交点的横坐标．④当y>a或y<a（a≠0）时，应先确定当y=a时对应的x值，然后再进一步确定x的取值范围．例3若y1=-x+3，y2=3x-4，当x取何值时，y1<y2？解析∵y1<y2，∴-x+3<3x-4，解得x>74，∴当x>74时，y1<y2．评注此题是两个一次函数之间的关系，可以直接借助一元一次不等式求出x的取值范围．教材例题习题的变形题例（P41例2）用画图像的方法解下列各题：（1）解不等式：5x+4>2x+10．（2）解方程：5x+4=2x+10．解析（1）如图，原不等式可化为3x-6>0，画出直线y=3x-6，由图像可以看出，当x>2时，这条直线上的点在x轴的上方，即这时y=3x-6>0，所以不等式的解集为x>2．（2）原方程可化为3x-6=0．由图像可以看出，y=3x-6与x轴交点的横坐标为2，所以原方程的解为x=2．评注①从函数的角度看问题，能发现一次函数与一元一次不等式、•一元一次方程之间的联系，体现了数形结合的思想．②本题求不等式的解集时，还可将不等式的两边分别看作两个一次函数，画出两条直线，比较直线上点的位置的高度，也可求得不等式的解集．学科内综合题例1甲、乙两辆摩托车分别从相距20km的A，B两地出发，相向而行，图中的L1，L2分别表示甲、乙两辆摩托车离开A地的距离s（km）与行驶时间t（h）•之间的函数关系．（1）哪辆摩托车的速度较快？（2）经过多长时间，甲摩托车行驶到A，B两地的中点？解析（1）由图像可以看出，甲摩托用了0．6h行驶了20km，而乙摩托车用了0．•5h 行驶了20km，所以乙摩托车的速度较快．（2）设L1的关系式为y=kx，把x=0．6，y=20代入，得20=0．6k，解得k=1003，∴y=1003x.当y=10时，10=1003x．所以经过0．3h，甲摩托车行驶到A，B两地的中点．评注本题第（1）题是比较速度的大小，这一点可以通过图像提供的数量直接分析出来．第（2）题的关键是要分析出甲摩托车行驶到中点时所行驶的路程为10km．例2已知y=12x-2．（1）x取何值时，y>0？（2）x取何值时，y<0？（3）当x>4时，求y的取值范围．解析作出y=12x-2的图像，如图所示．（1）当x>4时，y>0．（2）当x<4时，y<0．（3）当x>4时，y的取值范围是y>0．评注本题可以通过图像直观地得出结论．综合应用题例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10～20人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，•甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，再给其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？解析设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时所需的费用为y1元，选择乙旅行社时所需的费用为y2元，则y1=200×0．75x，即y1=150x；y2=200×0．8（x-1），即y2=160x-160．由y1=y2，得150x=160x-160，解得x=16；由y1>y2，得150x>160x-160，解得x<16；由y1<y2，得150x<160x-160，解得x>16．因为参加旅游的人数估计为10～20人，所以，当x=16时，甲、•乙两家旅行社的收费相同；当17≤x≤20时，选择甲旅行社费用较少；当10≤x≤15时，选择乙旅行社费用较少．评注已知前提条件，设计方案是解决实际问题的一种常见形式．明确每一种收费方式占优势时对应的自变量的取值范围是解决此类问题的关键，•借助不等式就可确定自变量的取值范围．例2兄弟俩赛距，哥哥先让弟弟跑9m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3m，•哥哥每秒跑4m．列出函数关系式，作出函数图像，观察图像回答下列问题：（1）何时弟弟跑在哥哥前面？（2）何时哥哥跑在弟弟前面？（3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？解析设哥哥跑了ts，则哥哥所跑的路程与时间的关系式为s1=4t；弟弟所跑的路程与时间的关系为s2=3t+9．图像如图所示．当s1=s2时，4t=3t+9，t=9．（1）当0≤t<9时，弟弟跑在哥哥的前面．（2）当t>9时，哥哥跑在弟弟的前面．（3）∵20<36，∴弟弟先跑过20m．∵100>36，∴哥哥先跑过100m．评注本题可以从时间或路程两个角度进行分析．在同一时间内，谁跑的路程远，谁就在前面，谁就先跑过20m，100m．也可比较他们各自所用的时间，谁用的时间短，•谁就先跑过．本题既可以通过计算来进行比较，也可通过图像直观地进行判断．创新题例（探究题）我边防局接到情报，在离海岸5海里处有一可疑船只A•正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶．图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（min）之间的关系．（1）A，B哪一个的速度快？（2）至少要用多长时间才能追上可疑船只A？解析由图像可确定L表示快艇B的图像，L表示可疑船只A的图像．（1）快艇10min行驶了5海里，所以其速度为5÷10=0．5（海里/min）．可疑船只10min行驶了7-5=2（海里），所以其速度为2÷10=0．2（海里/min）．所以快艇B的速度快．（2）设L1的关系式为y1=kx，把（10，5）代入，得5=10k，解得k=0．5，∴y1=0．5x．设L2的关系式为y2=kx+5，把（10，7）代入，得7=10k+5，解得k=0．2，∴y2=0．2x+5．当y1≥y2，即0．5x≥0．2x+5时，0．3x≥5，x≥503.所以至少需要503min，快艇才能追上可疑船只．中考题例（2004年苏州卷）如图，平面直角坐标系中画出了函数y=kx+b的图像．（1）根据图像，求k和b的值．（2）在图中画出函数y=-2x+2的图像．（3）求x的取值范围，使函数y=kx+b的函数值大于函数y=-2x+2的函数值．解析（1）∵直线y=kx+b经过点（-2，0），（0，2）．∴02,20,k bb=-+⎧⎨=+⎩解得1,2,kb=⎧⎨=⎩∴y=x+2．（2）y=-2x+2经过（0，2），（1，0），图像如图所示．（3）当y=kx+b 的函数值大于y=-2x+2的函数值时，也就是x+2>-2x+2，解得x>0，•即x 的取值范围为x>0．11.3.1 一次函数与一元一次方程同步练习［要点再现］1.由于任何一元一次方程都可以转化为 的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当 时，求 的值。
一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解
一次函数与一元一次不等式（基础）【学习目标】1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．【要点梳理】【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，知识要点】要点一、一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.要点二、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.要点三、如何确定两个不等式的大小关系（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．【典型例题】类型一、一次函数与一元一次不等式1、如图，直线交坐标轴于A（－3，0）、B（0，5）两点，则不等式＜0的解集为（ ）A．＞－3 B．＜－3 C．＞3 D．＜3【思路点拨】＜0即＞0，图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式＞0的解集.ax b +ax b +ax b +ax b +a b a y ax b =+x ax b +a x y ax b =+y ax b =+x y ax b cx d +>+a c 0ac ≠⇔y ax b =+y cx d=+x ⇔y ax b =+y cx d =+y kx b =+kx b--x x xx kx b --kx b +x kx b +【答案】A；【解析】观察图象可知，当＞－3时，直线落在轴的上方，即不等式＞0的解集为＞－3，∵＜0∴＞0，∴＜0解集为＞－3．【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．举一反三：【高清课堂：393614 一次函数与一元一次不等式，例2】【变式】如图，直线与坐标轴的两个交点分别为A（2，0）和B（0，－3），则不等式＋3≥0的解集是（ ）A．≥0 B．≤0 C．≥2 D．≤2【答案】A；提示：从图象上知，直线的函数值随的增大而增大，与轴的交点为B （0，－3），即当＝0时，＝－3，所以当≥0时，函数值≥－3．2、直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为（ ）．A． B． C． D．无法确定【答案】B；x y kx b =+x kx b +x kx b --kx b +kx b --x y kx b =+kx b +x x xx y kx b =+y x y x y x kx b +b x k y l +=11:x k y l 22:=x x k b x k 21>+1->x 1-<x 2-<x【解析】从图象上看的解，就是找到在的上方的部分图象，看这部分图象自变量的取值范围.当时，，故选B.【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.举一反三：【变式】直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式＜的解集为（ ）A．＞1 B．＜1 C．＞－2 D．＜－2【答案】B；提示：与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是（1，－2），根据图象得到＜1时不等式＜成立．3、画出函数的图象，并利用图象求：(1)方程2＋1＝0的解；(2)不等式2＋1≥0的解集；(3)当≤3时，的取值范围；(4)当－3≤≤3时，的取值范围．【思路点拨】可用两点法先画出函数的图象，方程2＋1＝0的解从“数”看就是自变量取何值时，函数值是0，从“形”看方程2＋1＝0的解就相当于确定直线与轴的交点，故图象与轴交点的横坐标就是方程2＋1＝0的解．同理：图象在轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2＋1＞0的解集．【答案与解析】解：列表：x012-y 10x k b x k 21>+1l 2l 1-<x x k b x k 21>+1l 1y k x b =+2l 2y k x c=+x 1k x b +2k x c +x x x x 1y k x b =+2l 2y k x c =+x 1k x b +2k x c +21y x =+x x y x y x 21y x =+x x x 21y x =+x x x x x在坐标系内描点(0，1)和，并过这两点画直线，即得函数的图象．如图所示．(1)由图象可知：直线与x 轴交点，∴ 方程2＋1＝0的解为；(2)由图象可知：直线被轴在点分成两部分，在点右侧，图象在轴的上方．故不等式2＋1≥0的解集为；(3)过点(0，3)作平行于轴的直线交直线于点M，过M 点作轴的垂线，垂足为N．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值≤3，则当≤3时，自变量的取值范围是≤1；(4)过(0，－3)作轴的平行线交直线于点P ，过P 作轴的垂线，垂足为H，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数值－3≤≤3．∴ 当－3≤≤3时，自变量的取值范围是－2≤≤1．【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系： (1)一元一次方程(是已知数)的解就是直线上这点的横坐标；(2)一元一次不等式≤≤(，是已知数，且＜)的解集就是直线上满足≤≤那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式≤(或≥)(是已知数)的解集就是直线上满足≤(或1,02⎛⎫-⎪⎝⎭21y x =+21y x =+1,02⎛⎫-⎪⎝⎭x 12x =-21y x =+x 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 12x ≥-x 21y x =+x y y x x x 21y x =+x y y x 0kx b y +=0y y kx b =+0y y =1y kx b +2y 1y 2y 1y 2y y kx b =+1y y 2y kx b +0y kx b +0y 0y y kx b =+y 0y≥)那条射线所对应的自变量的取值范围.举一反三：【变式】（2015春•东城区期末）已知直线y=kx+b 经过点A（5，0），B（1，4）．（1）求直线AB 的解析式；（2）若直线y=2x﹣4与直线AB 相交于点C，求点C 的坐标；（3）根据图象，写出关于x 的不等式2x﹣4＞kx+b 的解集．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b 经过点A（5，0），B（1，4），∴，解得，∴直线AB 的解析式为：y=﹣x+5；（2）∵若直线y=2x﹣4与直线AB 相交于点C，∴．解得，∴点C（3，2）；（3）根据图象可得x＞3．类型二、用一次函数的性质解决不等式的实际问题4、（2015•新疆）某超市预购进A、B 两种品牌的T 恤共200件，已知两种T 恤的进价如表所示，设购进A 种T 恤x 件，且所购进的两种T 恤全部卖出，获得的总利润为W 元． 品牌 进价/（元/件） 售价/（元/件）A 50 80B 4065（1）求W 关于x 的函数关系式；（2）如果购进两种T 恤的总费用不超过9500元，那么超市如何进货才能获得最大利润？并求出最大利润．（提示：利润=售价﹣进价）【思路点拨】（1）由总利润=A 品牌T 恤的利润+B 品牌T 恤的利润就可以求出w 关于x 的函数关系式；y 0y（2）根据“两种T恤的总费用不超过9500元”建立不等式求出x的取值范围，由一次函数性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设购进A种T恤x件，则购进B种T恤（200﹣x）件，由题意得：w=（80﹣50）x+（65﹣40）（200﹣x），w=30x+5000﹣25x，w=5x+5000．答：w关于x的函数关系式为w=5x+5000；（2）∵购进两种T恤的总费用不超过9500元，∴50x+40（200﹣x）≤9500，∴x≤150．∵w=5x+5000．∴k=5＞0∴w随x的增大而增大，∴x=150时，w的最大值为5750．∴购进A种T恤150件．∴购进A种T恤150件，购进B种T恤50件可获得最大利润，最大利润为5750元．【总结升华】本题考查了由销售问题的数量关系求函数的解析式的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。