函数展为幂级数
简明微积分函数展开为幂级数
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
第五节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、 幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂 就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，我们通常关注函数在一些点附近的展开，这种展开被称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开可以将一个连续可导的函数表示为一个无穷多项的幂级数。
泰勒级数展开的公式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是我们要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是f(x)在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
幂级数的形式为：f(x) = ∑ (n=0 to ∞) a_n * (x-a)^n其中，a_n是展开系数，可以通过函数的导数来计算。
对于任意函数，我们可以通过不断求导来计算幂级数的展开系数。
具体的计算方法如下：1.计算展开点a处的函数值f(a)；2.计算展开点a处的一阶导数f'(a)，作为展开系数a_1；3.计算展开点a处的二阶导数f''(a)，作为展开系数a_2；4.以此类推，计算展开点a处的高阶导数f'''(a)，作为展开系数a_3、a_4、a_5...通过这种方式，我们可以计算出函数在展开点附近的幂级数展开。
举例说明，假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成级数，展开点为a=0。
首先我们计算展开系数a_0、a_1、a_2...：a_0 = f(0) = sin(0) = 0a_1 = f'(0) = cos(0) = 1a_2 = f''(0) = -sin(0) = 0a_3 = f'''(0) = -cos(0) = -1a_4 = f''''(0) = sin(0) = 0将这些展开系数代入幂级数公式，我们可以得到sin(x)的幂级数展开为：sin(x) = 0 + 1*x + 0*x^2/2! + (-1)*x^3/3! + 0*x^4/4! + ...这就是sin(x)的泰勒级数展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数展开成幂级数
xn 1 (1<x1). n 1
上述展开式对x=1也成立, 这是因为上式右端的幂级数当 x=1时收敛, 而ln(1x)在x=1处有定义且连续. 所以展开式成立 的范围是(1<x1).
x
x a 提示: x n n )dx n dx = n 1 ., 1( s(x)dx = 0 a x = a x x 2 n n x x =1 x <1) . 0 xn (1< n 1 n =0 n =0 n =0 1 x
所以
1 1 2 cos(x ) =1 (x ) (x )4 ( < x < ) ,
4 2!
1 x 1 x2 1 xn , 2! n! 它的收敛半径R=.
对于任何有限的数x、 (介于0与x之间), 有 n 1 | x | e , | Rn (x)| =| x n 1 | < e| x| (n 1)! (n 1)! | x |n 1 而 lim = 0 , 所以 lim | Rn (x)|= 0 ,从而有展开式 n n (n 1)! e x =1 x 1 x2 1 xn (<x<). 2! n!
一、泰勒级数
泰勒级数
f (x0 ) f (x0 ) 2 f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 ) (x x0 )3 . , 2! 3! 麦克劳林级数 f (0) 2 f (n) (0) n f (0) f (0)x x x ., 2! n! 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).
(n 1) sin[ ] | x |n 1 2 n 1 | Rn (x)| =| x | 0 (n ). (n 1)! (n 1)! 因此得展开式 3 5 2n 1 x x x n 1 sin x= x (1) (<x<). 3! 5! (2n 1)!
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
15
6.3.5
函数展开为幂级数
2n x n 例．将幂级数 的和函数展为 x 1 的 幂级数。 n 1 n !
e 2 2n ( x 1)n 1 n! n 0
x ( , )
16
6.3.5
函数展开为幂级数
作
业
习 题 六 （P41）
1（1）（4）（6）（8）； 2（2）（4）（6）。
n n0
3
n 1
1
4
n ] ( x 3 ) n 1
1
( 0 x 6)
例 9．将 f ( x ) ln x 展开成 x 2 的 幂级数。
ln x ln 2 ( 1)
n 1
n 1
( x 2) ， n n2
n
（0 x 4 ）
14
6.3.5
( 1)n1
n 1
(1)
n 1
xn n
xn n
1 x 1
12
6.3.5
函数展开为幂级数
例 5．将 f ( x) ln( 1 2 x 3 x 2 ) 展开成 x 的幂级数。
(1) 3 n f ( x) x n n 1
n n
1 1 ( x ) 3 3即为Maclaurin来自数n 0
f
( n)
(0) n x n!
6
6.3.5
函数展开为幂级数
将函数展开为幂级数的方法: 1. 直接法：将函数 f (x) 展开为幂级数的步骤：
（1）求出 f ( n) ( x0 ) ， n 0, 1, 2,
（2）写出 f ( x ) 在 x0 点的 Taylor 级数
x2 x4 x6 cos x 1 2! 4! 6!
2n x ( 1)n (2n)! n0
2 n1 x ( 1) n ， (2 n 1)! x ( , ) . 2n x ( 1)n (2n)!
x ( ， )
1 n 1 f ( x ) [1 ( 1) n1 ] x n 2 ， ( 1 x 1) 3 n0 2
13
6.3.5
函数展开为幂级数
1 例 8．将函数 f ( x ) 展开成 ( x 3) 的 幂级数。 x(1 x )
f ( x ) ( 1) [
（2） e x 的 Maclaurin 级数为 x2 x3 xn 1 x 2! 3! n!
, x (, ) .
e （3） Rn ( x ) （ 在 0 与 x 之间） 。 x n 1 ， ( n 1)!
x e n 1 x ∵ Rn ( x ) ， x e ( n 1)! ( n 1)!
3
6.3.5
函数展开为幂级数
前面讨论了幂级数的收敛性及如何求幂级数的和函数问题。现 在考虑它的反问题，给定函数，能否将其表达成一个幂级数， 即所谓函数展开为幂级数的问题。
定义
设 f ( x ) 在点 x0 的某邻域内具有任意阶导数，则称
f ( n ) ( x0 ) 幂级数 ( x x0 )n 为 f ( x ) 在点 x0 处的泰勒级数， n! n0 f ( n ) ( x0 ) 记为 f ( x ) ~ ( x x0 )n 。 n! n 0
n
2 n n x x x (4) e x 1 x ， x ( , ) 2! n! n0 n !
9
6.3.5
函数展开为幂级数
例 2. 将函数 f ( x ) sinx 展开成 x 的幂级数。
2 n 1 x3 x5 x sin x x ( 1)n1 3! 5! (2n 1)! 2 n 1 x ( 1)n1 (2n 1)! n 1
例 6．将函数 f ( x ) sin x 展开成 x 的幂级数。
2
2 n 1 2n 2 x f ( x ) ( 1) n1 ， x ( , ) ( 2n ) ! n 1
x2 例 7．将函数 f ( x ) 展开成 x 的幂级数。 2 2 x x
f ( x ) 在点 x0 0 处的泰勒级数，称为 f ( x ) 的麦克劳林级数
记为 f ( x ) ~
n 0
f ( n ) (0) n x 。 n!
4
6.3.5
函数展开为幂级数
当函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内具有任意阶导数时，其在
x0 处 的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以 f ( x ) 为
8
n 1
6.3.5
函数展开为幂级数
n 1
x e n 1 x ∵ Rn ( x ) ， x e ( n 1)! ( n 1)!
e 相对 n 是一个常数，
又∵级数
n 1
x
x
n 1
( n 1)!
收敛， ∴ lim n
x
n 1
( n 1)!
0，
Rn ( x ) 0 ， x (, ) . ∴ lim Rn ( x ) 0 ， 从而 lim n
6.3.5 函数展开为幂级数
6.3.5
函数展开为幂级数
复 习
1．泰勒 (Taylor ) 公式
设 f ( x ) 在点 x0 的某一邻域内具有直到 ( n 1) 阶的导数，则在该邻域内有
f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2!
和函数？对此，有如下定理：
定理 11 设 f ( x) 在 x0 的某邻域 N ( x0 ) 内具有任意阶导 数，则 f ( x ) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必 要条件是 f ( x) 在 x0 处的泰勒公式的余项 Rn ( x ) 满足
lim Rn ( x ) 0 ， x N ( x0 ) 。
在上式中令 x0 0 ，得：
f (0) 2 f ( x ) f (0) f (0) x x 2!
f ( n ) ( 0) n x Rn ( x ) ， n!
f ( n1) ( ) n1 。 Rn ( x ) x （ 介于 0 与 x 之间） ( n 1) !
总 习 题 （P59）
9（2）（3）。
17
10
6.3.5
函数展开为幂级数
2．间接展开法
利用已知函数的幂级数展开式，经过适当的运算（如四则运算、 变量代换，逐项求导、逐项积分等） ，求出所给函数的幂级数展 开式的方法称为 间接展开法。
例 3 将 f (x ) cos x 展为 x 的幂级数。
解
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
( n) f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n ， 2! n!
并求出其收敛半径 R 和收敛域 B；
f ( n1) ( ) （3）求出 Rn ( x ) ， xB ； ( x x0 )n1 （ 在 x0 与 x 之间） ( n 1) !
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) n!
f ( n1) ( ) 其中 Rn ( x ) 。 ( x x0 )n1 （ 介于 x0 与 x 之间） (n 1) !
2
6.3.5
函数展开为幂级数
2.麦克劳林( Maclaurin )公式
n
5
6.3.5
函数展开为幂级数
定理12（唯一性）
如果f ( x )在x0的邻域内能展开成 x x0的幂级数
( n) f ( x0 ) n an ( x x0 ) ，则必有 an (n 0,1, 2 n! n 0
)。
特别当 x0 0，
若f (x)可展开为 x 的幂级数，则它 的展开式必唯一，
函数展开为幂级数
例 10.将函数 f ( x ) arctanx 展开成 x 的幂级数。
2 n 1 x3 x5 x7 x arctan x x ( 1) n 1 3 5 7 2n 1
( 1) n 1
n 1
x 2 n 1 2n 1
( 1 x 1)
（4）若 lim Rn ( x ) 0 ，则 f ( x )
n
n 1
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n , x B . n!
7
6.3.5
函数展开为幂级数
例 1．将函数 f ( x ) e x 展开成 x 的幂级数。
解： （1） f ( x) f ( x) f ( x) f ( n) ( x ) e x ， f (0) f (0) f (0) f ( n) (0) e0 1 ，
11
6.3.5
函数展开为幂级数
例 4．将 f ( x ) ln(1 x) 展为 Maclaurin 级数：
解 : ln(1 x )
1 1 x
( 1)n x n
n =0
1 x x2
( 1)n x n
,
1 x 1
x2 x3 ln(1 x ) x 2 3