将函数展成幂级数
简明微积分函数展开为幂级数
f (n)(0) 1
n 0f(nn)！ (0)xn n 0xnn！1
l lim| an1| lim(n1)!0 n an n 1
收敛半径 R 1 , n! l
收敛区间(为 ，)
对于任x、 何 (0有 1 限 ) 数
第五节 函数展开成幂级数
一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒级数
定义 如果f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导
数，则称幂级数
f(x0)f'(x0)(xx0)f''2(!x0)(xx0)2
f(nn)(!x0)(xx0)n
为f(x)在x0的泰勒级数.
(1)
当x0=0时，泰勒级数为:
得到展开式： e x 1 x x 2 x n ( x ) (6)
2 ! n !
间接展开法 利用一些已知的函数展开式、 幂级数运算(如四则运算、逐项求导、逐项积 分)以及变量代换等，将所给函数展开成幂级 数.
1 1qq2qn1 1q
(-1q1)
(c)利用公式(3)写出麦克劳林级数，
f(0 )f'(0 )xf"(0 )x 2 f(n )x n
2 !
n !
并求出收敛半径R;
(d如 ) 能证明在收敛 (-R区 , R间 )内，余项
Rn(x)0(n)，则 (c步 ) 骤写出的幂 就是函f (数 x)的幂级数展. 开式
例 1将函 f(x) 数 ex展开 x的成 幂级
23
n
(1 x 1)
(11)
arctanx x 1x3 1 x5 (1)n1 x2n1
35
2n 1
收敛区间为 [-1,1]
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
考研数学指导将函数展开为幂级数的方法
考研数学指导将函数展开为幂级数的方
法
2015年考研复习已经开始，现在正值考研初期复习，数学作为考研必考的重要科目，针对考生需求，太奇考研小编为即将考研的朋友编辑整理了“2015考研数学初期复习指导：将函数展开为幂级数的方法”，希望对广大考友有所帮助!
将函数展开成幂级数的方法主要有两种：直接展开法和间接展开法。
直接展开法指的是：利用泰勒级数的定义及泰勒级数收敛的充要条件，将函数在某个区间直接展开成指定点的泰勒级数的方法。
间接展开法指的是：通过一定运算将函数转化为其他函数，进而利用新函数的幂级数展开式将原来函数展开为幂级数的方法。
所用运算主要是加法运算，数乘运算，(逐项)积分运算和(逐项)求导运算。
常见函数的麦克劳林级数展开式为：
下面举例帮大家巩固以上知识点：。
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当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
则 pn (x)
a1 2a2 (x x0 ) n an (x x0 )n1
pn (x)
pn(n) (x)
2 !a2 n(n 1)an (x x0 )n2 n!an
a0 pn (x0 ) f (x0 ),
a1 pn (x0) f (x0),
a2
1 2!
pn
(
x0
)
1 2!
条件是
f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x)
0
.
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
三、将函数展开成 x 的幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开
1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;
第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步
判别在收敛区间(－R,
R)
内
lim
n
Rn
(
x)
是否为
0.
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
特点:
x 的一次多项式
f (x0 ) f (x0 )
p1(x)
o x0 x
x
以直代曲
如何提高精度 ? 需要解决的问题
如何估计误差 ?
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1. 求 n 次近似多项式
要求:
令 pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式
f
(
n) (x0 ) (x n ! Rn (x)
x0
)n Mf((nn1x)1()n!)1
(n 1) !
(x x0 )n1
( 在 x0 与
x
之间)
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
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注意到 Rn (x) o[(x x0 )n ]
③
在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为
f
(x0 )
f (x0 )(x
x0 )
f (x0 ) (x 2!
x0 )2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
o[(x
x0 )n ]
④
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
x0
)
n
Rn
(
x)
①
其中 Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0
)n1
( 在 x0 与x 之间) ②
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 .
公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .
* 可以证明:
④ 式成立
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f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(x
x0
)2
特例:
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
f (n1) ( )
(n 1) !
(
x
x0 )n1
( 在 x0
与x
之间)
(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变给为出拉格朗日中值定理
第6、7节 将函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本次内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
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一、泰勒公式的建立
在微分应用中已知近似公式 :
y
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
y f (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
)
n1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1, ), 故得级数
1
x 1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
f
(x0),
, an
1 n!
pn(n)
(
x0
)
1 n!
f
(n) (x0 )
故
pn (x)
f (x0 )
f (x0)(x x0)
1 2!
f
( x0
)(x
x0 )2
Hale Waihona Puke 1 n!f (n) (x0 )(x x0 )n
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2. 泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f (x) f (x0 ) f ( )(x x0 )
( 在 x0 与x 之间)
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为
可见
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
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二、泰勒 ( Taylor ) 级数
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x
n!
f x0
( x0 2!
)
(
x
x0
)n Rn (x)
)2
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,其中
Rn (x)