7.6 函数展开成幂级数
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展开成幂级数公式
函数展开成幂级数公式在数学中，我们通常关注函数在一些点附近的展开，这种展开被称为泰勒级数展开。
泰勒级数展开可以将一个连续可导的函数表示为一个无穷多项的幂级数。
泰勒级数展开的公式如下：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是我们要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)分别是f(x)在a点处的一阶、二阶、三阶导数。
幂级数的形式为：f(x) = ∑ (n=0 to ∞) a_n * (x-a)^n其中，a_n是展开系数，可以通过函数的导数来计算。
对于任意函数，我们可以通过不断求导来计算幂级数的展开系数。
具体的计算方法如下：1.计算展开点a处的函数值f(a)；2.计算展开点a处的一阶导数f'(a)，作为展开系数a_1；3.计算展开点a处的二阶导数f''(a)，作为展开系数a_2；4.以此类推，计算展开点a处的高阶导数f'''(a)，作为展开系数a_3、a_4、a_5...通过这种方式，我们可以计算出函数在展开点附近的幂级数展开。
举例说明，假设我们要将函数f(x) = sin(x)展开成级数，展开点为a=0。
首先我们计算展开系数a_0、a_1、a_2...：a_0 = f(0) = sin(0) = 0a_1 = f'(0) = cos(0) = 1a_2 = f''(0) = -sin(0) = 0a_3 = f'''(0) = -cos(0) = -1a_4 = f''''(0) = sin(0) = 0将这些展开系数代入幂级数公式，我们可以得到sin(x)的幂级数展开为：sin(x) = 0 + 1*x + 0*x^2/2! + (-1)*x^3/3! + 0*x^4/4! + ...这就是sin(x)的泰勒级数展开。
7.6函数的幂级数展开
通过上节的学习知道:任何一个幂级数在其收敛区间
内,均可表示成一个函数(即和函数).
an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L S( x) x D
n0
本节要解决的问题是:给定函数 f (x),能否在某个区间内 展成幂级数.
f ( x) an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L n0
1 f (n) (0)xn f (0) f (0) x L 1 f (n)(0)xn L
n0 n!
1!
n!
1 x L xn L
易知该级数在(1,1)内收敛于 1 f ( x). 1 x
f (x)
级数
n0
f (n) ( x0 ) ( x n!
x0 )n为f ( x)在x
x0处的泰勒级数
即拉格朗日公式,所以泰勒公式是拉格朗日公式的推广,相应的余项 Rn( x)称为拉格朗日型余项.
注2：当x0
0时,()式变为f ( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
L
f (n) (0) xn n!
f (n1) ( )
(n 1)!
x
n1
,
在x0与x之间.
称为f (x)的马克劳林公式.
例：求f ( x) 1 的马克劳林级数,并讨论该级数在收敛域内 1 x
是否收敛于f ( x).
解：
f
( x)
(x
1 1)2
f
(
x)
(
x
2 1)3
LL
f
(n) (
x)
(1)n1
(
x
n! 1)n1
LL
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
7.6-7.7泰勒公式与泰勒级数及某些初等函数的幂级数展开式
α ≤ −1 −1 < α < 1
α >1
收敛域为( −1,1); 收敛域为( −1,1];
收敛域为[ −1,1].
1 当α = −1,± 时, 有 2
1 = 1 − x + x 2 − x 3 + L + ( −1)n x n + L ( −1,1) 1+ x
1 1 2 1⋅ 3 3 n ( 2n − 3)!! n 1+ x = 1+ x − x + x + L + ( −1) x +L 2 2⋅ 4 2⋅4⋅6 ( 2n)!! [−1,1]
x
0
dx 1 + x2
1 3 1 5 x 2 n +1 = x − x + x − L + ( −1) n +L 3 5 2n + 1 x ∈ [−1,1] −
dx ln(1 + x ) = ∫ 0 1+ x 1 2 1 3 xn n −1 = x − x + x − L + ( −1) +L 2 3 n x ∈ (−1,1] −
在（2）式中取 x° = 0, 得 ）
f ' ' ( 0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( 0) + f ' ( 0) x + x +L x + L, (3) 2! n! 级数（ ） 麦克劳林级数。 级数（3）称为函数 f (x) 的麦克劳林级数。
的幂级数， 函数 f ( x ) 的麦克劳林级数是 x 的幂级数，现在我们
1 3 1 5 x2n+1 Qsin x = x − x + x −L+ (−1)n +L 3! 5! (2n + 1)! 2n 1 2 1 4 n x ∴ cos x = 1 − x + x − L + ( −1) +L 2! 4! ( 2n)!
函数展开成幂级数PPT课件
3! 5!
(2n 1)!
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例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1, f (x)m(m1)(1x)m2, , f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn, , 所以 f(0)1, f (0)m, f (0)m(m1), , f (n)(0)m(m1)(m2) (mn1), , 于是得幂级数
❖求幂级数展开式的间接展开法
例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数. 解 已知
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (<x<).
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导得
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n (<x<).
2! 4!
(2n)!
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
并求出收敛半径R;
•第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n).
如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn (RxR).
但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x).
因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
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解 因为(sin x) cos x，利用(7.22)式得
cos x (sin x) [ (1)n
x2n1 ]
n0
(2n 1)!
= (1)n
x2n
n0
(2n)!
=1-
x2 2!
x4 L
4!
(1)n x2n L ( x ) (2n)!
(7.25)
例6
将函数e
x 3
展成
x
的幂级数．
解 将(7.21)式中的 x换成 x ，得
下面将给出 f ( x)展成麦克劳林幂级数的步骤：
麦克劳林幂级数的步骤： (1) 求出 f ( x)在 x 0的各阶导数值 f (n)(0)，若函数 f ( x)的
某阶导数不存在，则 f ( x)不能展开为幂级数；
(2) 写出幂级数 f ( x) f (n)(0) xn ，并求出其收敛域；
f
(n)(
x)
n!an
(n
1)!an1(
x
x0
)
(n
2)! 2! an2(
x
x0
)2
L
由此可得 f (n)( x0 ) n!an，于是
an
1 n!
f
(n)( x0 )(n
0,1, 2,L
)
(7.16)
这表明，如果函数 f ( x)有幂级数展开式(7.15)那么
该幂级数的系数an由公式(7.16)确定，即该幂级数为
定理 7.9 设函数 f ( x)在点 x 0 的某一邻域U ( x0 )内具有 各阶导数，则 f ( x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必 要条件是在该邻域内 f ( x)的泰勒公式中的余项 Rn( x) 当n 时趋于零，
即
lim
n
Rn
(
x)
0
，
x
U
(
x0
)
证明 f ( x)的n阶泰勒公式为 f ( x) pn( x) Rn( x)，
2!
n!
所以 e x 1 1 x x2 L xn1 L ( x 0)
x
2! 3!
n!
两边逐项微分，得
d (ex 1) 1 2 x L n 1 xn2 L
dx x 2! 3!
n!
其收敛域为(,0) U (0, )．
例 10 将 1 展成为 x 2的幂级数，并求收敛域． 5 x
２. 间接展开法
间接展开法是以一些函数的幂级数展开式为基础， 利用幂级数的性质，变量替换等方法，求出某些函数的 幂级数展开式．
例 3 将函数ln(1 x)展开成 x的幂级数．
解 因为
1 1 x x2 L (1)n xn L (1 x 1) (7.23) 1 x
上式两边分别从0到 x逐项积分，得
在该区间内就表示函数 f ( x)．
假设函数 f ( x)在点 x0的某邻域U ( x0 )内能展开成幂级数，
即有 f ( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 L an( x x0 )n L x U ( x0 ) (7.15)
根据和函数的性质，知 f ( x)在U ( x0 )内应具有任意阶导数，且
x n1
是级数
xn (
x
)的通项，
(n 1)!
n0 n!
所以对任意 x R上式均成立，因此得到
e x xn ( x )
n0 n!
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(7.21)
例 2 将函数sin x展成 x的幂级数．
解 由 f (n)( x) sin( x n ),得
2 f (0) 0, f (0) 1, f (0) 0, f (0) 1,L ,
2
n
由1 x 1 1，得0 x 2，即收敛域为0,2．
f (0) f (0) x L 1 f (n)(0) xn L 1 f (n)(0) xn
n!
n1 n!
(7.19)
级数(7.19)称为函数 f ( x)的麦克劳林级数．
如果 f ( x)能在( R, R)内展开成 x的幂级数，则有
f ( x) 1 f (n)(0)xn ,( x R) n1 n!
x4 L
(1)n1 x2n2 L
逐项积分，得
arctan x x 1 x3 1 x5 L (1)n1 x2n1 L
35
2n 1
当 x 1时交错级数 (1)n1
1
收敛；
n0
2n 1
当 x 1时，交错级数 (1)n
1
收敛．
n0
2n 1
因此收敛域为[1,1]．
例 5 将函数cos x 展成 x的幂级数．
n0 n! (3) 判断在收敛域内余项 Rn( x)的极限，
即lim f (n1)( x) xn1是否为零。
n (n 1)! 如果为零，则幂级数在此收敛域内等于函数 f ( x)；
如果不为零，幂级数虽然收敛，但它的和函数也不是 f ( x)．
例 1 将函数 f ( x) e x展成 x的幂级数．
其中 pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 ) L
1 n!
f (n)( x0 )( x
x0 )n
叫做函数 f ( x)的n次泰勒多项式，而Rn( x) f ( x) pn( x)
就是定理中所指的余项．
由于n次泰勒多项式 pn( x)就是级数(7.17)的前n 1项部分和，
3
x
e 3
(1)n
1 ( x )n
n0
n! 3
1 x 1 ( x )2 L (1)n 1 ( x )n L ( x )
3 2! 3
n! 3
例 7 将函数sin2 x 展成 x的幂级数．
解 因为sin2 x 1 (1 cos 2 x)， 2
将（7.25）式中的 x换成 2 x ，
L
由 x 2 1得3 x 2 3，即收敛域为(1,5)． 3
例 11 将ln x 展成 x 1的幂级数，并求收敛域．
解 由(7.24)式得
t2 ln(1 t) t
L
n1 t n
L
t 1
2
n
所以 ln x ln[1 ( x 1)]
( x 1) 1 ( x 1)2 L n1 1 ( x 1)n L
（7.20）
(7.20)式称为函数 f ( x)的麦克劳林展开式．
函数 f ( x)定义区间内任一点 x0，是否可以展开为一个幂级
级数，取决于它的各阶导数在 x x0时是否存在，以及当n 时， 余项 Rn( x)是否趋于 0．
下面，将介绍一些初等函数展开为幂级数．
1、直接展开法
利用泰勒公式或麦克劳林公式，将函数 f ( x)展开为幂级数．
得到 cos 2 x (1)n (2 x)2n ，
n0
(2n)!
于是 sin2 x 1 (1 cos 2 x) 2
1 [1 1 (2 x)2 (2 x)4 L (1)n1 (2 x)2n L ]
2
2! 4!
(2n)!
(1)n1 (2x)2n ( x )
n1
2 (2n)!
解 由 f ( x) e x 得 f (n)(0) 1，从而
f (n)(0) xn xn
n0 n!
n0 n!
其收敛域为(, )，对于任何有限数 x，
余项绝对值为lim n
Rn( x)
lim n
e x xn1 (n 1)!
lim e x n
x n1 (n 1)!
因e x 是有限数，
§7.6 函数展开成幂级数
前面讨论了幂级数的收敛域及其和函数的性质，
但在许多应用中，我们遇到的却是相反的问题：给定函数 f ( x)，需考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”， 就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，
且其和恰好就是给定的函数 f ( x)。
如果能找到这样的幂级数，我们就说， 函数 f ( x)在该区间内能展开成幂级数，而这个幂级数
根据级数收敛的定义
n0
1 n!
f
(n)
(
x0
)(
x
x0 )n
f ( x),x U ( x0 )
lim
n
pn
(
x)
f ( x),x U ( x0 )
lim
n
f
(x)
pn( x)
0,x U( x0 )
lim
n
R
n
(
x
)
0,
x
U
(
x0
)
下面着重讨论 x0 0的情形，在(7.17)式中，取 x0 0，得
例8
将函数
f (x)
x2
x 展成x的幂级数．
x2
解
x
x
f ( x) x2 x 2 ( x 2)( x 1)
因为
1 3
(
x
1
1
x
2
) 2
1 3
( 1
1
x
1
1
x
)，
2
1
(1)n xn (1 x 1)，
1 x n0
1 ( x )n (2 x 2)
1 x n0 2 2
ln(1 x) x dt x 1 x2 1 x3 L (1)n1 1 xn L (7.24)
0 1 t
23
n
可以证明：在 x 1处上式仍成立，
因此收敛域为(1,1].
例 4 将函数arctan x 展开成 x 的幂级数．
解 将式(7.23)式中的 x换成 x2，有
1 1 x2
1 x2
根据幂级数的性质有
f