函数展成幂级数
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式幂级数是一种特殊的无限级数形式，能够以函数的形式展开。
它在数学、物理和工程领域中具有重要的应用。
将一个函数表示为幂级数的形式，可以帮助我们在分析和计算中简化问题。
一个一般的幂级数的表示形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(f(x)\)是我们要展开的函数，\(a_0, a_1, a_2, a_3,\ldots\)是常数系数。
\(x\)是独立变量。
这里的\(x\)可以是实数或复数。
当幂级数展开时，我们通常选择一个特定的点作为展开点。
这个点通常是函数的一些特殊值，比如0或无穷大。
以0为展开点的幂级数称为麦克劳林级数，以无穷大为展开点的幂级数称为朗伯级数。
麦克劳林级数的形式如下：\[f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数，可以通过导数求值来确定。
朗伯级数的形式如下：\[f(x) = \ldots + \frac{a_{-3}}{x^3} + \frac{a_{-2}}{x^2} +\frac{a_{-1}}{x} + a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \ldots\]其中，\(a_{-3}, a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, a_3, \ldots\)是常数系数。
通过使用导数和积分的性质，我们可以确定函数\(f(x)\)的常数系数。
具体来说，如果我们知道函数在展开点的所有导数的值，我们可以使用泰勒公式来确定这些常数系数。
\[f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 +\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots\]其中，\(f(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的值，\(f'(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的一阶导数，\(f''(a)\)表示函数在展开点\(a\)处的二阶导数，依此类推。
函数展成幂级数的公式(一)
函数展成幂级数的公式(一)函数展成幂级数的公式1. 泰勒级数公式：泰勒级数是函数展开成幂级数的一种方式，可以表示为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中 $ f^{(n)}(a) $ 表示函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处的 $ n $ 阶导数。
举例：考虑函数 $ f(x) = e^x $，假设我们要在点 $ a = 0 $ 处展开泰勒级数。
根据泰勒级数公式，我们可以将 $ e^x $ 展开为：e x=∑e0 n!∞n=0x n=∑x nn!∞n=0这样我们就得到了 $ e^x $ 的幂级数展开形式。
2. 麦克劳林级数公式：麦克劳林级数是泰勒级数在 $ a = 0 $ 处展开的特殊情况，可以表示为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n举例：考虑函数 $ f(x) = (x) $，我们可以使用麦克劳林级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (0) = 0 $，以及$ f’(0) = (0) = 1 $。
然后，利用麦克劳林级数公式，展开 $ f(x) = (x) $：sin(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n=∑x2n+1(−1)n(2n+1)!∞n=0这样我们就得到了 $ (x) $ 的幂级数展开形式。
3. 泊松级数公式：泊松级数是一种特殊的幂级数，用于展开函数 $ f(x) $ 的某些特殊形式，可以表示为：f(x)=∑c n∞n=0(x−a)n其中 $ c_n $ 是级数中的系数。
举例：考虑函数 $ f(x) = (1+x) $，我们可以使用泊松级数将其展开。
首先，计算 $ f(0) = (1+0) = 0 $，以及$ f’(x) = $，进而计算$ f’(0) = 1 $。
然后，利用泊松级数公式，展开 $ f(x) = (1+x) $：ln(1+x)=∑c n∞n=0x n为确定系数 $ c_n $，我们对$ f’(x) = = _{n=0}^{}c_n(n+1)x^n $ 进行展开。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式
函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是一系列以幂的形式递增的项组成的级数。
将一个函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
在数学中，函数可以用幂级数的形式展开，形如：
f(x) = a₀ + a₁(x - c) + a₂(x - c)² + a₃(x - c)³ + ...
这里，a₀、a₁、a₂等表示系数，c表示展开点。
展开的级数可以无限进行，其中每一项都是(x - c)的幂与系数的乘积。
幂级数的收敛范围取决于函数的性质和展开点c。
幂级数是一种非常有用的工具，可以在物理、工程、经济学等领域中找到广泛的应用。
它们允许我们使用简单的代数运算来处理复杂的函数，并在不同的精度要求下进行近似计算。
要将一个函数展开成幂级数，我们通常需要使用泰勒级数或麦克劳林级数。
泰勒级数是关于展开点c的多项式级数，而麦克劳林级数是泰勒级数在展开点c=0时的特例。
展开函数成幂级数的方法需要一定的计算技巧和数学知识。
一些常见函数的幂级数展开公式包括正弦函数、余弦函数、指数函数和自然对数函数等。
总结起来，函数展开成幂级数的公式是一种用于分析和计算函数的工具。
幂级数是以幂的形式递增的项组成的级数。
将函数展开成幂级数可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，以及进行进一步的计算和近似。
泰勒级数和麦克劳林级数是常用的展开方法。
幂级数在各个领域有着广泛的应用。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式在数学中，幂级数是一种特殊的函数表示方法，它可以用无限多个幂次项的和来表示一个函数。
幂级数的形式可以写为：f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...其中，a₀，a₁，a₂，a₃等是系数，可以是实数或复数，x是自变量。
幂级数的展开系数a₀，a₁，a₂，a₃等根据函数的性质不同而有所不同。
下面介绍几个常见函数的幂级数展开公式。
1. 指数函数(exp(x)的幂级数展开)：指数函数exp(x)可以展开为无限和的形式：exp(x) = 1 + x + (x²/2!) + (x³/3!) + ...其中，n!表示n的阶乘。
2. 正弦函数(sin(x)的幂级数展开)：正弦函数sin(x)可以展开为无限和的形式：sin(x) = x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - (x⁷/7!) + ...3. 余弦函数(cos(x)的幂级数展开)：余弦函数cos(x)可以展开为无限和的形式：cos(x) = 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - (x⁶/6!) + ...4. 自然对数函数(ln(x)的幂级数展开)：自然对数函数ln(x)可以展开为无限和的形式：ln(x) = (x-1) - (x-1)²/2 + (x-1)³/3 - (x-1)⁴/4 + ...以上仅列举了几个常见函数的幂级数展开公式，实际上，许多其他函数也可以通过幂级数展开来表示，例如三角函数的反函数、双曲函数、指数函数的反函数等。
幂级数展开的优点是可以用有限项的和来近似计算一个函数的值，特别是在自变量比较接近展开点的情况下，保留有限项可以获得较高的精度。
此外，幂级数展开也有助于理解函数的性质和行为。
在实际应用中，幂级数展开在物理、工程、计算机科学等领域有重要的应用，例如在信号处理、图像处理、优化求解等方面都得到了广泛应用。
总之，幂级数是一种重要的函数展示方法，在数学和应用领域都有着重要的地位。
函数怎么展开成幂级数
函数怎么展开成幂级数
展开函数成幂级数是将一个函数表示为幂级数的形式，其中幂级数是以自变量的幂次递增的一系列项的和。
下面是展开函数成幂级数的一般步骤：
1. 确定展开点：选择一个适当的展开点，通常是函数定义域内的某个特定点，例如0点或其他常用点。
2. 确定幂级数的形式：幂级数的一般形式是
f(x) = c? + c?(x-a) + c?(x-a)2 + c?(x-a)3 + ...
3. 求取各项系数：通过求导、积分或其他方法，计算幂级数的每一项系数c?, c?, c?, ...
4. 写出幂级数展开：将求得的各项系数代入幂级数的一般形式中，得到展开后的幂级数表达式。
需要注意的是，在某些情况下，函数可能只能在给定的展开点的某个特定范围内展开为幂级数。
具体来说，有几种常见的方法可以用来展开函数成幂级数：
1. 泰勒级数：使用泰勒级数展开函数，其中泰勒级数是在展开点附近的无穷项幂级数。
泰勒展开通常基于函数在展开点处的各阶导数。
2. 麦克劳林级数：麦克劳林级数是一种特殊的泰勒级数，其中只考虑展开点的0阶到n阶导数项。
此方法适用于将函数在0点处展开的情况。
3. 广义幂级数：广义幂级数是一种在非零展开点附近展开的级数形式，通过将函数表示为其他函数的级数和来展开。
请注意，展开函数成幂级数是一个复杂的过程，对于某些函数可能很难获得完整的幂级数表达式。
此外，幂级数可能只在某个收敛域内是收敛的。
因此，在实践中，特定函数的幂级数展开需要根据具体情况使用适当的方法和技巧。
函数展开成幂级数的方法
函数展开成幂级数的方法幂级数是指一种形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n
x^n$ 的函数展开方法。
这种展开方法可以将函数展开成一个关于 $x$ 的无限多项式。
对于给定的函数 $f(x)$，我们可以使用以下步骤将其展开成幂级数：
1.选择幂级数的中心 $x_0$。
2.将函数 $f(x)$ 以 $x_0$ 为中心进行平移，得到函数
$f(x-x_0)$。
3.使用泰勒展开式将函数 $f(x-x_0)$ 展开成如下形
式：
$$f(x-x_0) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
其中 $f^{(n)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $n$ 阶导数。
通过以上步骤，我们就可以将函数 $f(x)$ 展开成幂级数：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}
\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$$
注意，幂级数的收敛性取决于函数 $f(x)$ 在
$x_0$ 处的可微性以及 $x_0$ 周围的情况。
如果函数
$f(x)$ 在 $x_0$ 处不可微或者 $x_0$ 周围的函数值发生快速变化，那么幂级数可能会不收敛。
例如，对于函数 $f(x) = |x|$，无论选择任何值作为幂级数的中心，幂级数都不会收敛。
函数展成幂级数的公式
函数展成幂级数的公式首先，我们来了解一下函数展成幂级数的定义。
给定一个函数 f(x)，我们希望能够找到一系列常数 a0、a1、a2...an 和幂级数∑(n=0 to∞)an(x-c)^n，使得对于给定的 x 的一些范围内，f(x)可以用幂级数进行近似表示。
这个幂级数的展开点 c 表示了幂级数的发散点或收敛点。
接下来，我们介绍一些常见的函数展成幂级数的公式。
1.泰勒级数：泰勒级数是展开函数的一种特殊情况，它是函数f(x)在一些点c处的幂级数表示。
泰勒级数的公式为：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(c)(x-c)^2/2!+f'''(c)(x-c)^3/3!+... 2.麦克劳林级数：麦克劳林级数是中心点c为0的泰勒级数，它是函数在原点附近的幂级数表示。
麦克劳林级数的公式为：f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2!+f'''(0)x^3/3!+...3.求和公式：对于一些特定的函数，我们可以使用求和公式来展开函数为幂级数表示。
例如：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ...exp(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - x^4/4 + ...这些公式是函数展成幂级数的基础，可以通过逐阶求导和求和运算得到。
其中，泰勒级数和麦克劳林级数是最常见的展开形式，适用于大多数函数的近似表示。
求和公式则适用于一些特定的函数，如三角函数、指数函数和对数函数等。
此外，函数展成幂级数还有一些重要的性质和定理，如幂级数的收敛域、幂级数的计算方法（如微积分运算）、幂级数的和函数和导数等。
函数展开成幂级数
令 x = x0 , 即得
1 (n) an = f ( x0 ) n!
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的
(n = 0,1,2,L )
泰勒系数
∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
x
1 1 1 , = 解 Q = x −1 4 − x 3 − ( x − 1) 3(1 − ) 3 1 x −1 x −1 2 x −1 n ) +L+ ( ) + L] = [1 + +( 3 3 3 3 x −1 < 3 x −1 1 ∴ = ( x − 1) 4− x 4− x
1 ( x − 1) 2 ( x − 1) 3 ( x − 1) n = ( x − 1) + + + L+ +L 2 3 n 3 3 3 3 x −1 < 3 (n) f (1) = 1 , n! (n) 于是 故 f (1) = n . n 3 n! 3
∴ lim Rn ( x ) = lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = 0 ;
n→ ∞ n→ ∞
充分性
n→ ∞
Q f ( x ) − sn+1 ( x ) = Rn ( x ),
n→ ∞
∴ lim[ f ( x ) − sn+1 ( x )] = lim Rn ( x ) = 0,
(n)
x ∈(−∞,+∞)
f x . 例3 将 ( x) = (1+ x) (α ∈ R)展开成 的幂级数
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2. 泰勒定理: 若f(x) 在x0 的某邻域内具有各阶导数, 则f(x)在 x0 的泰勒级数在该邻域内收敛于f(x)
⇔ lim Rn ( x) = 0
n→∞
(由泰勒公式很容易得出结论,证明略) 注: (1) 若f(x)在 x0 的泰勒级数收敛于f(x),即 ∞ f ( n ) ( x0 ) 泰勒展开式 f ( x) = ∑ ( x − x0 ) n n! n =0 则称 f(x)在 x0 可以展开成泰勒级数 (2) 如果函数可以展开成幂级数,则展开式唯一.
(2). f ( x) = ln(1 + x)
∞ 1 = ∑ (−1) n x n , (−1 < x < 1) 1 + x n =0
∞ ∞ xn x 1 n −1 dx = ∑ [ ∫ (−1) n x n dx] = ∑ (−1) ln(1 + x) = ∫ 0 1+ x 0 n n =1 n =0
∞
2.
1 展开为 x − 5的幂级数 2 x − 5x + 6 1 1 1 1 1 1 = = − = − 2 x − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 3 x − 2 ( x − 5) + 2 ( x − 5) + 3
∞ 1 1 1 1 1 1 = ⋅ − ⋅ = ∑ ( −1) n n +1 − n +1 ( x − 5) n 2 1 + x − 5 3 1 + x − 5 n =0 3 2 2 3 x−5 2 <1 ⇒ 3< x <7 x −5 <1 3 当x = 3时, 对应常数项级数发散；
= ∑ (−1) n x 2 n +1 , (−1 < x < 1)
n =0
∞
1 例 将 分别展开成 x 的及 x－1 的幂级数 3− x
1 1 1 1 ∞ x n = ⋅ = ⋅ ( ) ① x 3 ∑ 3 3 − x 3 1− n =0 3 ∞ xn = ∑ n +1 , (−3 < x < 3) n =0 3
x2 xn e x = 1 + x + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅, (−∞ < x < +∞) n! 2!
(2). f ( x) = sin x = ∑ (−1)
n =0
∞
n −1
x 2 n +1 , (−∞ < x < ∞) (2n + 1)!
nπ ), (n = 1,2,...) 2 f ( n ) (0) = 0,1,0,−1,...(n = 0,1,2,...) (循环) x3 x5 x 2 n +1 n −1 ∴ x − + − ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) + ⋅ ⋅ ⋅ 收敛半径 R = +∞ 3! 5! (2n + 1)! n +1 sin(ξ + π) | x |n +1 2 | Rn ( x) |= x n +1 ≤ (n + 1)! , (0 < ξ < x) (n + 1)! 0 所以 lim Rn ( x) = 0 f n ( x) = sin( x +
x2 xn 收敛半径 R = +∞ ∴1 + x + + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ 2! n! n+ n+1 eξ | x| | x | , (0 < ξ < x ) | Rn ( x) |= x n +1 < e ⋅ (n + 1)! (n + 1)! ∞ | x |n +1 有限 趋于零,因为 ∑ 收敛 n = 0 ( n + 1)! lim Rn ( x) = 0 所以 n→∞
∞
∞
x n +1 xf ( x) = ∑ = e x −1 ⇒ n =1 ( n + 1)! 此时
n
( x − 1)e x + 1 f ' ( x) = ⇒ 2 x
1 1 3 (2) e = 1 + n + ( n ) + ( n ) 3 + ⋯ 2! 3! 1 2 24 n − n ∴ e > n ⇒ e < 2 n 24 由正项级数的比较判别法知原级数收敛.
∞
n 4. 证明 : (1) ∑ = 1. n =1 ( n + 1)!
1 (1) 记 f ( x) = ∑ xn ,则 n = 0 ( n + 1)!
∞ ∞
∞
(2) ∑ e − n 收敛.
n =1
∞
n f ' ( x) = ∑ x n −1 , n =1 ( n + 1)! ex −1 f ( x) = , x≠0 x n ∑ (n + 1)! = f ' (1) = 1. n =1
x
(−1 < x ≤ 1)
(3). f ( x) = e
− x2
2 作变量替换 t = − x
e− x
2
t2 tn = e = 1+ t + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ 2! n!
t 2
2n x4 x6 n x = 1 − x + − + ⋅ ⋅ ⋅ + (−1) + ⋅ ⋅ ⋅, (−∞ < x < ∞) 2! 3! n! x (4). f ( x) = 1+ x2 ∞ 1 x = x⋅ = x ⋅ ∑ ( −1) n x 2 n 1+ x2 1+ x2 n =0
( −1 < x < 3)
= ∑ (−1) (
n n =0
∞
1 2n+2
−
2
)( x − 1) n , 2 n+3
1
( −3 < x < 5)
(−1 < x < 3)
练习
1.将 ln(1 + x − 2 x 2 )展开成x的幂级数并求收敛域
ln(1 + x − 2 x 2 ) = ln(1 + 2 x)(1 − x) = ln(1 + 2 x) + ln(1 − x) ( −1) n −1 ⋅ 2 n n ∞ 1 n 1 =∑ x − ∑ x | x |< 2 n n =1 n =1 n 1 当x = − 时, 对应常数项级数收敛； 2 1 当x = 时，对应常数项级数发 散, 2 1 1 ∴ 级数的收敛域为 (− , ]. 2 2
1 1 1 1 = = − x 2 + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3) 2(1 + x) 2(3 + x)
1 1 = − x −1 x −1 4(1 + ) 8(1 + ) 2 4
1 ∞ 1 ∞ x −1 n n x −1 n = ⋅ ∑ (−1) ( ) − ⋅ ∑ (−1) n ( ) 4 n=0 2 8 n=0 4
1 1 1 1 1 ∞ x −1 n ② 3 − x = 2 − ( x − 1) = 2 ⋅ x − 1 = 2 ⋅ ∑ ( 2 ) n=0 1− 2 ∞ ( x − 1) n = ∑ n +1 , (−1 < x < 3) 2 n =0
1 例 将 x 2 + 4 x + 3 展开成 x－1的幂级数
此时, f(x)可以用前n+1项近似表示,误差为 | Rn ( x ) | 由此引入泰勒级数: 1. 定义 若f(x)在 x0 的某邻域内具有各阶导数,则 f ′′( x0 ) f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) f(x)在 x0 的泰勒级数 + ⋅⋅⋅ + ( x − x0 ) n + ⋅ ⋅ ⋅ n! ∞ 泰勒系数 f ( n ) ( x0 ) n f ( x) ~ ∑ ( x − x0 ) n! n =0 ∞ f ( n ) ( 0) n x x0 = 0 f ( x) ~ ∑ 麦克劳林级数 n! n =0
当x = 7时，对应常数项级数发 散, ∴ 级数的收敛域为 (3,7).
x + ln(1 − x ) 3.∫ dx 2 0 x
1
1 n 1 2 1 3 1 n ln(1 − x) = −∑ x = − x − x − x − ⋯ − x − ⋯ , 2 3 n n =1 n 1 1 x + ln(1 − x ) 1 n−2 1 1 ∫0 x 2 dx = ∫0 (− 2 − 3 x − ⋯ − n x − ⋯)dx 1 1 x2 1 x n −1 = (− x − ⋅ − ⋯ − ⋅ − ⋯) |1 0 2 3 2 n n −1 = −1.
第四节 函数展开成幂级数
第四节 函数展开成幂级数
前面个区间内用幂级数表示 一. 泰勒级数 第三章研究过泰勒公式:
f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) 余项 + ⋅⋅⋅ + ( x − x0 ) n + Rn ( x) n! 其中f(x) 在 x0 的某邻域内具有n+1阶导数.
f ′′(0) 2 f ( n ) (0) n (3) f (0) + f ′(0) x + x + ⋅⋅⋅ + x + ⋅⋅⋅ 2! n! 求出收敛半径R