1.5正弦函数的图象和性质
1.5 正弦函数的图像与性质学案
§5正弦函数的图像与性质5．1正弦函数的图像2．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：，，，，．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？[提示]列表、描点、连线．1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是()A ．向左、右无限延展B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称2．y ＝sin x 的图像的大致形状为()3．用五点法画y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．4．函数y ＝sin x 在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．“五点法”作图【例1】用五点法作函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的图像．1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．1．(1)作出函数y ＝2sin x (0≤x ≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y ＝sin 2x (0≤x ≤π)的图像．利用正弦函数图像解不等式【例2】利用y＝sin x的图像，在[0,2π]内求满足sin x≥－12的x的取值范围．用三角函数图像解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据图像写出不等式的解集．2．利用正弦函数的图像，求满足sin x≥12的x的集合．正弦函数图像的应用[探究问题]1．若已知函数y＝f(x)的图像，如何作出函数y＝|f(x)|的图像？[提示]将函数y＝f(x)的x轴上方的图像保持不变，将x轴下方的图像关于x 轴翻折到x轴上方即可．2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？[提示]可以利用函数的图像与x轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．【例3】函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x ＝sin x 的实数解的个数”应如何求解．2．(变结论)将例3中的函数f (x )不变，求方程“f (x )＝|log 2x |”的解的个数，应如何求解．数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.1．“五点法”是我们画y ＝sin x 图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐标分别为0，π2，π，3π2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x 轴的交点，这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．()(2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．()(3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．()(4)用五点法画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]－π2，－一个关键点．()2．函数y ＝－sin x ，x ∈－π2，3π2的简图是()3．在[0,2π]上，满足sin x ≥22的x 的取值范围为________．4．在[0,2π]内，用五点法作出函数y ＝2sin x －1的图像．正弦函数的性质性质定义域R 值域[－1,1]最大值与当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；最小值当x ＝2k π＋3π2(k ∈Z )时，y min ＝－1周期性周期函数，T ＝2π性质单调性在2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是增加的；在2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )上是减少的奇偶性奇函数对称性图像关于原点对称，对称中心(k π，0)，k ∈Z ；对称轴x ＝k π＋π2，k ∈Z 思考：正弦函数的周期为2π，在研究正弦函数性质时，选取哪个区间研究，既好学，又有效？[提示]选取－π2，32π上的图像来研究，即可掌握整个定义域上的性质．1．下列函数中是奇函数的是()A ．y ＝－|sin x |B ．y ＝sin (－|x |)C ．y ＝sin |x |D ．y ＝x sin |x |2．已知M 和m 分别是函数y ＝13sin x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于A ．23B ．－23C ．－43D ．－23．若函数f (x )＝sin 2x ＋a －1是奇函数，则a ＝________.4．函数y ＝|sin x |的值域是________．正弦函数的周期性与奇偶性【例1】求下列函数的周期：(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝|sin x |.1．求正弦函数的周期时要注意结合图像判断，不要盲目套用结论．2．函数y ＝sin x 为奇函数时其定义域必须关于原点对称，否则不具有奇偶性．如y ＝sin x ，x ∈[0,2π]是非奇非偶函数．1．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x sin x ；(2)f (x )＝|sin x |＋1.正弦函数的单调性及应用【例2】(1)比较下列各组数的大小：①sin π4与sin π8；②sin 4π7与sin19π7.(2)求函数y ＝log 12sin1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin 行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．2．比较sin 215π与sin 42π5的大小．3．与正弦函数有关的值域问题[探究问题]1．对于形如y＝f[g(x)]的函数，如何求其值域？[提示]先求内函数u＝g(x)的值域，再求外函数y＝f(u)的值域．2．对于y＝A sin2x＋B sin x＋C型的函数，怎样求值域？[提示]利用换元法转化为二次函数求最值．【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3－2sin x；(2)y＝－sin2x＋3sin x＋54.1．(变条件)将例3(1)的条件变为“函数y＝1＋2sin x，x∈－π6，π6”求函数的最值．2．(变条件)将例3(1)中的函数变为“y＝3＋a sin x(a≠0)”试求函数的值域．求正弦函数的值域一般有以下两种方法：(1)将所给三角函数转化为二次函数，通过配方法求值域，例如转化为y＝a(sin x＋b)2＋c型的值域问题.(2)利用sin x的有界性求值域，如y＝a sin x＋b，－|a|＋b≤y≤|a|＋b.1．求正弦函数在给定区间[a，b]上的值域时，要注意结合图像判断在[a，b]上的单调性及有界性．2．利用正弦函数的单调性比较函数值的大小时，需利用诱导公式将角转化到正弦函数的同一个单调区间内．3．观察正弦曲线不难发现：(1)正弦曲线是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，即正弦曲线和x轴的交点，原点是其中的一个．(2)正弦曲线是轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋π2(k∈Z)；正弦曲线的对称轴一定过正弦曲线的最高点或最低点.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数y＝sin x的定义域为R.()(2)正弦函数y＝sin x是单调增函数．()(3)正弦函数y＝sin x是周期函数．()(4)正弦函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.()2．正弦函数y＝sin x，x∈R的图像上的一条对称轴是()A．y轴B．x轴C．直线x＝π2D．直线x＝π3．函数f(x)＝sin2x＋1的奇偶性是________．4．比较下列各组数的大小．(1)sin2016°和cos160°；(2)sin74和cos 5 3 .。
【精品课件】高中数学新北师大版必修第二册 1.5.1正弦函数的图象与性质再认识 课件(79张)
第二步:从圆O1与x轴的交点A起把圆弧分成12等份;
第三步:过圆O1上各分点分别作x轴的垂线,得到对应于角0,
6
,
3
, ,…,2π
2
等分点的正弦值;
第四步:相应地,再把x轴上从0到2π这一段分成12等份;
第五步:再把角x所对应的正弦线向右平移,使它的起点与x轴上表示数x的点重
合;
第六步:最后用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来,就得到了正弦函数
2
2
(4)值域:[-1,1]. 当且仅当x=2kπ+ (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最大值1;
2
当且仅当x=2kπ- (k∈Z)时,正弦函数y=sin x取得最小值-1.
2
(5)奇偶性:正弦函数y=sin x在R上是奇函数.
(6)对称性:对称轴x=kπ+ ,k∈Z,对称中心(kπ,0),k∈Z.
2
【思考】 (1)-2π是正弦函数的周期吗? 提示:是.2kπ(k∈Z,k≠0)都是它的周期. (2)正弦函数的对称轴之间的距离有什么特点?对称中心呢? 提示:对称轴之间的距离差了π的整数倍.对称中心之间也相差了π的整数倍.
【根底小测】 1.辨析记忆(对的打“√〞,错的打“×〞) (1)正弦函数在区间 [ , 2 ] 上是递增的.( )
2.函数y=sin x是( )
A.增函数
B.减函数
C.偶函数
D.周期函数
【解析】选D.由正弦曲线y=sin x的图象,可得函数y=sin x的增区间是
[2k， (k∈2kZ]),减区间是
2
2
周期为2π的周期函数.
[(k∈2kZ， )3,函数2k是]奇函数,且是
2
2
3.(教材二次开发:例题改编)以下关系式中正确的选项是( ) A.sin 11°<cos 10°<sin 168° B.sin 168°<sin 11°<cos 10° C.sin 11°<sin 168°<cos 10° D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
高中数学 第一章 三角函数 1.5.1-2 从单位圆看正弦函数的性质 正弦函数的图像课件 北师大版
[变式训练]
3．(1)函数 y＝2sin x 与函数 y＝x 的图像的交点有( )
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
(2)研究方程 10sin x＝x(x∈R)根的个数．
解析： (1)在同一直角坐标系中作出函数 y＝2sin x
பைடு நூலகம்
与 y＝x 的图像，由图像可以看出有 3 个交点．
(2)如图所示，当 x≥4π 时，1x0≥41π0＞1≥sin x；当 x＝52π 时，sin x＝sin 52π＝1， 1x0＝52π0，1＞52π0，从而 x＞0 时，有 3 个交点，由对称性知 x＜0 时，有 3 个交点， 加上 x＝0 时的交点为原点，共有 7 个交点．即方程有 7 个根．
[名师指津]
用“五点法”作正弦曲线应注意的问题
(1)弄清五个关键点的意义．
平衡点 最高点 平衡点 最低点
平衡点
0，0 ―→ π2，1 ―→ π，0 ―→ 32π，－1 ―→ 2π，0
其中，平衡点是正弦曲线凹凸方向改变的位置．
最高点和最低点是正弦曲线上升或下降变化趋势改变的位置．
(2)明确正弦曲线的结构特征．
【规律方法】 作形如函数 y＝asin x＋b，x∈[0,2π]的图像的步骤
[变式训练]
1．试用“五点法”画出 y＝1＋2sin x，x∈[0,2π]的简图．
解析： 按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3 2π
2π
sin x 0 1 0 －1 0
描点连线：
1＋2sin x 1 3 1 －1 1
题型二 利用正弦函数的图像求函数的定义域 求函数 f(x)＝lg(sin x)＋ 16－x2的定义域． 【思路探究】 画出函数 y＝sin x 的图像，由 sin x＞0 的 x 的范围与 16－x2≥0 的 x 的范围取 交集，即为定义域．
1.5 正弦函数和余弦函数的图像与性质再认识(解析版)-高一数学同步备课系列【培优题】
1.5正弦函数和余弦函数的图像与性质再认识【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】一、单选题1．设sin 42a =︒，cos46b =︒，122c -=，则（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】D 【分析】转化为比较42、44、45的正弦值的大小，利用正弦函数的单调性比较可得答案. 【详解】sin 42a =，cos 46sin 44b ==，122sin 452c -===， 因为sin y x =在锐角范围内为增函数，且424445<<， 所以sin 42sin 44sin 45<<，即a b c <<. 故选：D 【点睛】本题考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于基础题.2．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-，则ω的最小值等于（ ） A ．23B ．32C ．2D ．3【答案】B【分析】由题意可得函数的四分之一周期小于等于 3π，由周期公式可得ω的不等式，解不等式可得.【详解】∵函数()sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是1-， ∵只需函数的四分之一周期小于等于 3π即可，即2 34πωπ≤，解得32ω≥，∵ω的最小值为32故选：B . 【点睛】本题主要考查三角函数的最值和周期性，通过三角函数的图象记忆性质是解题的关键，属于中档题. 3．函数()2sin f x x =的定义域和值域都是[a ，b ]，这样的区间[a ，b ]（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．不存在【答案】C 【分析】考虑()2sin f x x =与y x =的交点情况，由函数()2sin f x x =的值域为[]22-,，故只需考虑[]2,2x ∈-，数形结合，即可得到答案． 【详解】在同一坐标系中作出函数()2sin f x x =和函数y x =的图象，如图所示由图可知：()2sin f x x =的定义域和值域都是[],a b ，这样的区间有[]22-,，[]2,0-，[]0,2共3个，故正确的答案为C 故选C 【点睛】本题考查函数图象的应用，属于基础题． 4．设sin,sin,sin1256a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c << 【答案】A 【分析】利用正弦函数的单调性即可比较大小. 【详解】∵y sinx =在02π⎛⎫⎪⎝⎭，在单调递增，又1265πππ<<,∵1265sinsinsinπππ<<，∵a c b <<故选：A【点睛】本题考查三角函数的大小比较，考查正弦函数的单调性，属于基础题.5．要得到函数[]3sin ,0,2πy x x =-∈的图象，只需将函数[]3sin ,0,2πy x x =∈的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B【解析】由于()y f x =与()y f x =-的图象关于x 轴对称，所以要得到函数3sin ,y x =-[]0,2πx ∈的图象，只需将函数[]3sin ,0,2πy x x =∈的图象关于x 轴对称. 考点：正弦函数的简单应用.6．已知某函数图象如下图所示，则此函数的解析式可能是（ ）A ．()1sin 1xxe f x x e -=⋅+ B ．()1sin 1x x e f x x e ⋅+-=C ．()1cos 1xxe f x x e -=⋅+D ．()1cos 1x x e f x x e -=⋅+【答案】B 【分析】分析各选项中函数的奇偶性及其在y 轴右侧函数值符号变化，结合图象可得出合适的选项. 【详解】根据题意，由图象可得：该函数为偶函数，且在y 轴右侧，先为正值，后为负值，据此分析选项，四个选项中函数的定义域均为R .对于A 选项，()1sin 1xxe f x x e-=⋅+，()()()()()()1111sin sin sin sin 1111x x x x xx x x x x e e e e e f x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅-=-⋅=⋅=++++，该函数为偶函数，当()0,x π∈时，sin 0x >，101xxe e -<+，则()0f x <，不合乎题意； 对于B 选项，()1sin 1x x e f x x e ⋅+-=，()()()()()()1111sin sin sin sin 1111x x x x x x xx x x e e e e e f x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅-=-⋅=⋅=++++， 该函数为偶函数，当()0,x π∈时，sin 0x >，101x x e e +->，则()0f x >，合乎题意；对于C 选项，()1cos 1xxe f x x e-=⋅+，()()()()()1111cos cos cos cos 1111x x x x xx x x x xe e e e ef x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅=⋅=-⋅=-++++， 该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()1cos 1x x e f x x e -=⋅+，()()()()()1111cos cos cos cos 1111x x x x x x xx x x e e e e e f x x x x x f x e e e e e ---------=⋅-=⋅=⋅=-⋅=-++++， 该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：B.【点睛】本题考查函数的图象分析，注意结合图象分析函数的奇偶性、单调性以及函数值符号，考查推理能力，属于中等题．7．函数1sin3y x =-的图像与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A ．23π B ．πC ．43π D ．53π 【答案】C 【分析】作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可.【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，利用割补法，将23π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成一个长为3π，宽为2的长方形，后面π到53π，同理；∵1sin3y x =-的图象与直线3x π=，53x π=及x 轴所围成的面积为24233ππ⨯=， 故选：C. 【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ωϕ=+，由z 取0，2π，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．8．函数()()12cos 20211f x x x π=++⎡⎤⎣⎦-在区间[]3,5-上所有零点的和等于（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】D 【分析】由图可得函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，画出函数图象，可得出()f x 在[]3,5-有8个零点，且关于1x =对称，即可求出. 【详解】()()112cos 20212cos 11f x x x x x ππ=++=-⎡⎤⎣⎦--， 令()0f x =，则12cos 1x x π=-， 则函数的零点就是11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标， 可得11y x =-和2cos y x π=的函数图象都关于1x =对称，则交点也关于1x =对称， 画出两个函数的图象，观察图象可知，11y x =-和2cos y x π=在[]3,5-有8个交点， 即()f x 有8个零点，且关于1x =对称，故所有零点的和为428⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查求函数的零点之和，解题的关键是将题目化为找11y x =-和2cos y x π=交点的横坐标，从而通过函数图象求解.9．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a b a b b a b⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【分析】由题知()2tan()(0)f x x ωω=>，利用T πω=求出ω，再根据题给定义，化简求出()h x 的解析式，结合正弦函数和正切函数图象判断，即可得出答案. 【详解】根据题意，()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π， 所以()2tan()(0)f x x ωω=> 的周期为π， 则1Tππωπ===， 所以{}2sin ,,2()max 2tan ,2sin 32tan ,,2x x h x x x x x ππππ⎧⎛⎤∈ ⎪⎥⎪⎝⎦==⎨⎛⎫⎪∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，由正弦函数和正切函数图象可知A 正确. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象，以及正弦函数的图象，解题关键是对新定义的理解.10．已知函数()3log ,03πcos ,393x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当1234x x x x <<<时，满足()()()()1234f x f x f x f x ===，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是（ ）A ．297,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13521,4⎛⎫⎪⎝⎭C ．[)27,30 D ．13527,4⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【分析】作出()f x 的图象，由图象可知3132log log x x =，则可得出121x x ⋅=，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x =对称，所以3412x x +=，且393,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，那么()12343312x x x x x x ⋅⋅⋅=-，利用二次函数的性质求出其值域即可. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示，可以发现3132log log x x =，即3132log log x x -=，所以()3132312log log log 0x x x x +=⋅=，121x x ⋅=. 由余弦函数的图象可知，()f x 在[]3,9上的图象关于直线6x =对称，所以3412x x +=，且393,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 因此1234x x x x ⋅⋅⋅变形为()()()223333331212636g x x x x x x =-=-+=--+，所以当33x =时，()3min 27g x =；当392x =时，()3max 1354g x =. 所以1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是13527,4⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的应用，考查函数与方程思想的运用，难度一般,准确画出函数的图象是关键.二、多选题11．已知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线y 轴对称B ．()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的图象关于直线2x π=轴对称D ．()f x 的最大值为12【答案】BCD【分析】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，画出其图象，然后逐一判断即可.【详解】1sin 2,,222()sin cos 13sin 2,,222x x f x x x x x ππππ⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦==⎨⎛⎤⎪-∈ ⎥⎪⎝⎦⎩，其图象如下所示：由图可知，()f x 的图象关于直线2x π=对称，故A 错误，C 正确；()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故B 正确；()f x 的最大值为12，()f x 的最小值为12-，故D 正确故选：BCD【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.12．已知函数cos ,sin cos ()sin ,sin cos x x xf x x x x 则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的值域是0,1 B ．()f x 是以π为最小正周期的周期函数C ．()f x 在区间π,π2上单调递增 D ．()f x 在0,2π上有2个零点【答案】ACD【分析】采用数形结合，并逐一验证可得结果.【详解】根据题意，画出函数()f x 在[]0,2π的图象，如图所示A. 根据图像可知，()f x 的值域是[]0,1，正确；B. ()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，错误；C. ()f x 在区间π,π2上单调递增，正确； D. ()f x 在[)0,2π上有2个零点，正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.三、填空题13．已知()f x 的定义域为(0,1]，则(sin )f x 的定义域是________．【答案】(2,2)k k πππ+，k Z ∈【分析】由()f x 的定义域为(0,1]，解不等式0sin 1x <≤，求解即可得解.【详解】解：由()f x 的定义域为(0,1]，则(]sin 0,1x ∈，解得22,k x k k Z πππ<<+∈，即(sin )f x 的定义域是(2,2)k k πππ+，k Z ∈，故答案为：(2,2)k k πππ+，k Z ∈.【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法，属基础题.14．设函数()()2212019sin 1x x f x x ++=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=________. 【答案】2【分析】构造函数()()1g x f x =-，可知()g x 为R 上奇函数，且()g x 的最大值为1M -，最小值为1m -，结合奇函数的性质，可求出M m +.【详解】由题意，()()22212019sin 22019sin 111x x x x f x x x +++==+++， 令()()222019sin 11x x g x f x x +=-=+， 所以()g x 的最大值为1M -，最小值为1m -.又()()222019sin 1x x g x g x x ---==-+，所以()g x 为R 上奇函数， 所以110M m -+-=，即2M m +=.故答案为：2.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．在()0,2π内使sin cos x x >成立的实数x 的取值范围是______． 【答案】3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】易得sin 0x >，即()0,x π∈，在平面直角坐标系中画出()sin ,0,y x x π=∈与()cos ,0,y x x =∈π的图象，观察图象即可得结果.【详解】 ∵sin cos x x >，∵sin 0x >，∵()0,x π∈，在同一平面直角坐标系中画出()sin ,0,y x x π=∈与()cos ,0,y x x =∈π的图象，如图所示，观察图象易得3,44x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 故答案为3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查学生灵活运用正弦、余弦函数的图象与性质，考查了数形结合的数学思想，属于道中档题． 16．设函数()cos sin f x x x =+，若在区间()0,2π上，函数()y f x k =-有4个零点，则实数k 的取值范围是______．【答案】( 【分析】去绝对值，将()f x 的解析式化简，作出()y f x =的图象，函数()y f x k =-有4个零点，则()y f x =与y k =的图象有4个不同的交点，数形结合即可得到答案.【详解】当π3π0,,2π22x ⎛⎫⎡⎫∈⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭时，()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π3π,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，作出()y f x =的图象，如图所示， 函数()y f x k =-有4个零点，则()y f x =与y k =的图象有4个不同的交点，所以(k ∈．故答案为：(【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，涉及到正弦型函数的作图，考查学生数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.四、解答题17．求下列函数的值域: (1)sin sin y x x =+;(2)sin 2sin 1x y x -=+.【答案】(1)[]0,2.(2)1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【分析】(1)先分类讨论去绝对值，得到2sin ,sin 00,sin 0x x y x ≥⎧=⎨<⎩，分别求每段的值域可得结果；(2)分离常数得31sin 1y x =-+，根据1sin 1x -<≤求值域即可.【详解】解:(1)当sin 0x ≥时,sin sin x x =;当sin 0x <时,sin sin x x =-,2sin ,sin 00,sin 0x x y x ≥⎧∴=⎨<⎩.当sin 0x ≥时,0sin 1x ≤≤,02y ∴≤≤;当sin 0x <时,0y =,故02y ≤≤,∴函数sin sin y x x =+的值域为[]0,2； (2)sin 2sin 1331sin 1sin 1sin 1x x y x x x -+-===-+++.1sin 1,0sin 12,x x -<≤∴<+≤ 则11sin 12x ≥+，33sin 12x ∴-≤-+，311sin 12x ∴-≤-+ 所以该函数的值域为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了三角型函数的值域，注意分离常数法的使用，是基础题.18．方程sin x ＝12a -在x ∵π,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个实数根，求a 的取值范围．【答案】11a <≤－【解析】试题分析：根据正弦函数的单调性，得到当[,]3x ππ∈时，在区间[,]3ππ上且2x π≠时，存在两个自变量x 对应同一个sin x ．由此得到若()f x 有两个零点，即1sin 2a x -=，在[,]3x ππ∈上有两个零点，由此建立关于a 的不等式，解之即可得到实数a 的取值范围． 试题解析：首先作出sin y x =，[,]3x ππ∈的图象，然后再作出12a y -=的图象，如果sin y x =，[,]3x ππ∈与12a y -=的图象有两个交点，方程1sin 2a x -=，[,]3x ππ∈就有两个实数根． 设1sin y x =，[,]3x ππ∈，212a y -=. 1sin y x =，[,]3x ππ∈的图象如图．112a -≤<，即11a -<≤sin y x =，[,]3x ππ∈的图象与12a y -=的图象有两个交点，即方程1sin 2a x -=在[,]3x ππ∈上有两个实根． 点睛：本题给出三角函数式，求满足函数在指定区间上有两个零点的参数a 的取值范围，着重考查了三角函数的单调性与函数的图象与性质等知识，属于中档题．19．已知函数()2sin 1f x x =-.（1）求函数f (x )的最大值，并求此时x 的值；（2）写出()0f x >的解集.【答案】（1）最大值1，2,2x k k Z ππ=+∈；（2）5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 【分析】（1）当sin 1x =时，函数取最大值得解；（2）根据三角函数的图象解不等式得解集.【详解】（1）当sin 1x =即2,2x k k Z ππ=+∈时，()2111max f x =⨯-=；（2）由题得1sin 2x >，所以不等式的解集为5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈.【点睛】关键点睛：解答这类题的关键是熟练掌握三角函数的图象和性质，再灵活利用其解题.20．已知函数()sin 2sin f x x x =+，[]0,2x π∈．（1）作出函数()f x 的图象；（2）求方程()3f x =的解．【答案】（1）图象见解析；（2）2x π=.【分析】（1）将函数()y f x =表示为分段函数，即可作出函数()y f x =的图象；（2）分[]0,x π∈和(],2x ππ∈两种情况解方程()3f x =即可.【详解】（1）当0x π≤≤时，sin 0x ≥，则()3sin f x x =；当2x ππ<≤时，sin 0x ≤，则()sin 2sin sin f x x x x =-=-.()3sin ,0sin,2x x f x x x πππ≤≤⎧∴=⎨-<≤⎩，函数()y f x =的图象如下图所示：（2）当0x π≤≤时，令()3f x =，即3sin 3x =，得sin 1x =，解得2x π=； 当2x ππ<≤时，令()3f x =，得sin 3x -=，该方程无解.综上所述，方程()3f x =的解为2x π=.【点睛】 本题考查三角函数图象的作法，同时也考查了三角方程的求解，考查计算能力，属于基础题.21．已知函数21()cos sin 42a f x x a x =+--的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，最大值为2，求实数a 的值. 【答案】6-或103【分析】将函数化为二次函数型的顶点式，结合二次函数的对称轴与sin x 值域的关系，由最大值为2求得a 的值．【详解】()21()12sin sin 24a f x x a x =-+-221sin 2442a a a x ⎛⎫=--+-+ ⎪⎝⎭ （1）当02a <时，当0x =即sin 0x =时原函数取得最大值，既有1242a -+= 解得6a =-；21 （2）当012a时，当sin 2ax =时原函数取得最大值，即有212442a a -+=，解得2a =-或3a =，均与012a矛盾，为增根，舍去；（3）当12a >时，当2x π=即sin 1x =时原函数取得最大值， 即有221122442a a a ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭，解得103a =；综上所述，实数a 的值为6-或103.【点睛】本题考查了三角函数与二次函数的综合应用，三角函数值域与二次函数对称轴的关系，属于基础题．。
1.5正弦函数的图像与性质基础练习题
【详解】
， ，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查集合的交运算以及正弦函数的值域，考查运算求解能力，属于基础题.
10．D
【解析】
试题分析： ,所以函数 的最小正周期为 ,函数 在区间 上是增函数,函数 的图像关于直线 对称,函数 是偶函数.
C．函数 的图像关于直线 对称D．函数 是奇函数
11．函数 图象的一条对称轴方程为（）
A． B． C． D．
12．函数 的周期，振幅，初相分别是
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的最小正周期为_____________
14．函数 的最小正周期是_______
15．y＝3sin 在区间 上的值域是________.
1.5正弦函数的图像与性质基础练习题
一、单选题
1．已知函数 的图象过点 ，则 图象的一个对称中心为（）
A． B． C． D．
2．使不等式 成立的 的取值集合是（）
A．
B．
C．
D．
3．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的最小正周期是（）
A． B． C． D．
5．函数 的最大值为（）
考点：1.三角函数的周期性；2.三角函数的奇偶性；3.图像得对称轴；4.函数的单调性.
11．B
【分析】
根据正弦函数的对称性，使用整体法直接计算，让然后简单判断即可.
【详解】
对于函数 ，
令 ，得 ，
令 ，则
可得函数 的图象的一条对称轴方程为 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查正弦型函数的对称性，掌握基础三角函数的性质以及整体法的使用，属基础题.
高中数学第一章三角函数1.5正弦函数的图像与性质1.5.1正弦函数的图像教案数学教案
1.5.1 正弦函数的图像整体设计教学分析研究函数的性质常常以图像直观为基础,这点学生已经有些经验,通过观察函数的图像,从图像的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应用.正弦函数、余弦函数的教学也是如此.先研究它们的图像,在此基础上再利用图像来研究它们的性质.显然,加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就完全清楚了,因此,教科书把对周期现象的研究放在了本章开篇第一节.由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数,因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图像是一个自然的想法.当然,我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图,从画出的图形中观察得出五个关键点,得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图.三维目标1.通过实验演示,让学生经历图像画法的过程及方法,通过对图像的感知,形成正弦曲线的初步认识,进而探索正弦曲线准确的作法,养成善于发现、善于探究的良好习惯.学会遇到新问题时善于调动所学过的知识,较好地运用新旧知识之间的联系,提高分析问题、解决问题的能力.2.通过本节学习,理解正弦函数图像的画法.借助图像变换,了解函数之间的内在联系.通过三角函数图像的三种画法:描点法、几何法、五点法,体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处,并会熟练地画出一些较简单的函数图像.3.通过本节的学习,让学生体会数学中的图形美,体验善于动手操作、合作探究的学习方法带来的成功愉悦.渗透由抽象到具体的思想,加深数形结合思想的认识,理解动与静的辩证关系,树立科学的辩证唯物主义观.重点难点教学重点:正弦函数的图像.教学难点:将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图像上的点.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数,非常自然的是画出它的图像,观察图像的形状,看看有什么特殊点,并借助图像研究它的性质,如:值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等.我们也很自然的想知道y=sinx的图像是怎样的呢?回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图像是什么?是如何画出它们图像的(列表描点法:列表、描点、连线)?进而引导学生通过取值,画出当x∈［0,2π］时,y=sinx的图像.思路 2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验.教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.物理中把简谐运动的图像叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.有了上述实验,你对正弦函数的图像是否有了一个直观的印象?画函数的图像,最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法,但不够精确.下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图像.推进新课新知探究提出问题问题①:作正弦函数图像的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值,由于对一般角的三角函数值都是近似值,不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值?怎样得到函数图像上点的两个坐标的准确数据呢?简单地说,就是如何得到y=sinx,x∈［0,2π］的精确图像呢?问题②:如何得到y=sinx,x∈R 时的图像?活动:教师先让学生阅读教材、思考讨论,先引导学生弄清什么是角α的正弦线.此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图像,怎样在x 轴上标横坐标?为什么将单位圆分成12份?学生思考探索仍不得要领时,教师可进行适时的点拨.只要解决了y=sinx,x∈［0,2π］的图像,就很容易得到y=sinx,x∈R 时的图像了.对问题①,第一步,可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细,画出的图像越精确.”),再把x 轴上从0到2π这一段分成12等份.由于单位圆周长是2π,这样就解决了横坐标问题.过⊙O 1上的各分点作x 轴的垂线,就可以得到对应于0、6π、4π、3π、2π、…、2π等角的正弦线,这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”).第二步,把角x 的正弦线向右平移,使它的起点与x 轴上的点x 重合,这就得到了函数对(x,y)(相当于“描点”).第三步,再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来,我们就得到函数y=sinx 在［0,2π］上的一段光滑曲线(相当于“连线”).如图1所示(这一过程用课件演示,让学生仔细观察怎样平移和连线过程.然后让学生动手作图,形成对正弦函数图像的感知).这是本节的难点,教师要和学生共同探讨.图1对问题②,因为终边相同的角有相同的三角函数值,所以函数y=sinx 在x∈［2kπ,2(k+1)π］,k∈Z 且k≠0上的图像与函数y=sinx 在x∈［0,2π］上的图像的形状完全一致,只是位置不同.于是我们只要将函数y=sinx,x∈［0,2π］的图像向左、右平行移动(每次2π个单位长度),就可以得到正弦函数y=sinx,x∈R的图像.(这一过程用课件处理,让同学们仔细观察整个图的形成过程,感知周期性)图2讨论结果:①利用正弦线,通过等分单位圆及平移即可得到y =sinx,x∈［0,2π］的图像.②左、右平移,每次2π个长度单位即可.提出问题问题:以上方法作图,虽然精确,但不太实用,自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图像的方法.你认为哪些点是关键性的点?活动:对此问题,教师可引导学生从图像的整体入手观察正弦函数的图像,发现在［0,2π］上有五个点起关键作用,只要描出这五个点后,函数y=sinx 在［0,2π］上的图像的形状就基本上确定了.这五点如下: (0,0),(2π,1),(π,0),(23π,-1),(2π,0). 因此,在精确度要求不太高时,我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连接起来,就可快速得到函数的简图.这种近似的“五点(画图)法”是非常实用的,要求熟练掌握.讨论结果:略.应用示例例1 用五点法画出下列函数在区间［0,2π］上的简图:(1)y=-sinx;(2)y=1+sinx.活动:本例的目的是让学生会用“五点法”画图,并通过独立完成课后练习1领悟画正弦、余弦函数图像的要领,最终达到熟练掌握.从实际教学来看,“五点法”画图易学却难掌握,学生需练好扎实的基本功.可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成.对学生出现的种种失误,教师不要着急,在学生操作中指导一一纠正,这对以后学习大有好处.解:(1)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3).图3(2)按五个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4).图4点评:“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法,本例是最简单的变化.本例的目的是让学生熟悉“五点法”.如果是多媒体教学,要突破课件教学的互动性,多留给学生一些动手操作的时间,或者增加图像纠错的环节,效果将会令人满意,切不可教师画图学生看.完成本例后,让学生阅读本例下面的“思考”,并回答如何通过图像变换得出要画的图像,让学生从另一个角度熟悉函数作图的方法.例2 画出函数y=|sinx|,x∈R的简图.活动:教师引导学生观察探究y=sinx的图像并思考|sinx|的意义,发现只要将其x轴下方的图像翻上去即可.进一步探究发现,只要画出y=|sinx|,x∈［0,π］的图像,然后左、右平移(每次π个单位)就可以得到y=|sinx|,x∈R的图像.让学生尝试寻找在［0,π］上哪些点起关键作用,易看出起关键作用的点有三π,1),(π,0).然后列表、描点、连线,让学生自己独立个:(0,0),(2操作完成,对其失误的地方再予以一一纠正.解:按三个关键点列表:描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5).图5点评:通过本例,让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义,并进一步从图像变换的角度认识函数之间的关系,也为下一步将要学习的周期打下伏笔.变式训练x的根的个数为1.方程sinx=10( )A.7B.8C.9D.10解析:这是一个超越方程,无法直接求解,可引导学生考虑数形结合的思想方法,将其转化为函数y=10x 的图像与y=sinx 的图像的交点个数问题,借助图形直观求解.解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图像.如图6,从图中可看出,两个图像有7个交点.图6答案:A2.用五点法作函数y=2sin2x 的图像时,首先应描出的五点横坐标可以是( ) A.0,2π,π,23π,2π B.0,4π,2π,43π,πC .0,π,2π,3π,4π D.0,6π,3π,2π,32π答案:B知能训练课本本节练习1.课堂小结以提问的方式,先由学生反思学习内容并回答,教师再作补充完善.1.单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图像上点坐标的?2.为什么将单位圆圆周12等分?有什么好处?3.怎样利用“周而复始”的特点,把区间［0,2π］上的图像扩展到整个定义域的?这节课学习了正弦函数图像的画法.除了代数描点法、几何描点法之外,“五点法”作图是比较方便、实用的方法,应熟练掌握.数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.作业课本习题1—5 A组1、2.设计感想1.本节课操作性强,学生活动量较大.新课从实验演示入手,形成图像的感知后,升级问题,探索正弦曲线准确的作法,形成理性认识.问题设置层层深入,引导学生发现问题,解决问题,并对方法进行归纳总结,体现了新课标“以学生为主体,教师为主导”的课堂教学理念.如用多媒体课件,则可生动地表现出函数图像的变化过程,更好地突破难点.2.本节课所画的图像较多,能迅速准确地画出函数图像对初学者来说是一个较高的要求,重在学生动手操作,不要怕学生出错.通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力.开始时要慢些,尤其是“五点法”,每个点都要准确地找到,然后迅速画出图像.3.本小节设置的“探究”“思考”较多,还提供了“探究与发现”“信息技术应用”等拓展性栏目.教学时,应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题.备课资料一、备用习题1.用“五点法”画出下列函数的图像:(1)y=2-sinx,x∈［0,2π］;1+sinx,x∈［0,2π］.(2)y=22.如图7中的曲线对应的函数解析式是( )图7A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|参考答案:1.解:按五个关键点列表如下:在直角坐标系中描出这五个点,作出相应的函数图像,如下图所示.(1)如图8.(2)如图9.图8 图92.C二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也,随月盛衰”.唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的《春江花月夜》中,更有“春江潮水连海平,海上明月共潮生”这样的优美诗句.古人把海水白天的上涨叫作“潮”,晚上的上涨叫作“汐”.实际上,潮汐与月球、地球都有关系.在月球万有引力的作用下,就地球的海面上的每一点而言,海水会随着地球本身的自转,大约在一天里经历两次上涨、两次降落.由于潮汐与港口的水深有密切关系,任何一个港口的工作人员对此都十分重视,以便合理地加以利用.例如,某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下:(1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示),观察它们的位置关系,不难发现,我们可以选用正弦型函数 t,t∈［0,24)来近似地描d=5+2.5sin6述这个港口这一天的水深d与时间t的关系,并画出简图(如图10).图10由此图或利用科学计算器,可以得到t取其他整数时d的近似值,从而把上表细化.(2)利用这个函数及其简图,例如这一年农历八月初二或九月初一,假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m,安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离),那么根据 5.5≤d≤7.5,就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久.如果此船从凌晨2时开始卸货,吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减,还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域.不同的日子,潮汐的时刻和大小是不同的.农历初一和十五涨的是大潮,尤以八月十五中秋为甚.以上的估算必须结合其他数据一起考虑,才能加以科学利用.。
1.5正弦函数的图像与性质练习1解析版
§5 正弦函数的图像与性质[基础·初探]教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像阅读教材P 25～P 27“例1”以上部分，完成下列问题．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.图1－5－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝sin x在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( )(2)函数y＝sin x的图像介于直线y＝－1和y＝1之间．( )(3)函数y＝sin x的图像关于x轴对称．( )(4)函数y＝sin x的图像与y轴只有一个交点．( )【解析】由函数y＝sin x的图像可知，y＝sin x的图像不关于x轴对称，与y轴只有一个交点，且图像介于直线y＝－1和y＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P28～P29“例2”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( ) (2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( ) (3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值是－1.( )【解析】 由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是单调增函数，在R 上不具有单调性． 【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√[小组合作型]用“五点法”画出函数y ＝3－sinx (x ∈[0,2π])的图像．【精彩点拨】 借助于五点作图法按下列次序完成：【自主解答】 (1)列表，如下表所示：(2)1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．[再练一题]1．作出函数y＝－1＋2sin x，x∈[0,2π]的简图．【解】按五个关键点列表：求下列函数的定义域．(1)y＝1－2sin2x；(2)y＝log21sin x－1.【精彩点拨】先根据条件，求出sin x的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．【自主解答】(1)为使函数有意义，需满足1－2sin2x≥0，即sin 2x ≤12，解得－22≤sin x ≤22， 结合单位圆可知，－π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π或3π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π(k ∈Z )．∴原函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )．(2)为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数和单位圆如图所示：∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z.1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．[再练一题]2．求函数y ＝ 2 sin x ＋3的定义域.【解】 要使函数有意义，只需2 sin x ＋3≥0. 即sin x ≥－32，如图所示，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3(k ∈Z )．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )； (2)y ＝|sin x |(x ∈R )．【精彩点拨】 (1)利用代换z ＝2x ＋π3，将求原来函数的周期转化为求y ＝sin z 的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图像观察求解．【自主解答】 (1)法一：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π. 法二：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3中，ω＝2，∴T ＝2π|2|＝π.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3是非奇非偶函数． (2)作出y ＝|sin x |的图像如图：由图像可知，y ＝|sin x |的周期为π.其图像关于y 轴对称，∴y ＝|sin x |是偶函数．1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x ＋T ”，函数值重复出现，T 是函数的一个周期这一理论依据．2．常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T ＝2π|ω|来求解；(2)对于形如y ＝|A sin ωx |的周期情况，常结合图像法来解决．[再练一题]3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6； (2)f (x )＝|sin 2x |.【解】 (1)在f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6中，∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π. 又f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6是非奇非偶函数． (2)作出f (x )＝|sin 2x |的图像如图：由图知，y ＝|sin 2x |的周期为π2，又其图像关于y 轴对称，因而是偶函数．(1)比较下列各组三角函数值的大小．①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4； ②sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)．(2)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间．【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y ＝sin x 的单调性比较大小．(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 视为z ，利用y ＝sin z 的单调性求解．【自主解答】 (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5＝－sin 2π5，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4＝－sin π4，sin 2π5>sin π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4.②因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)， 且0<π－3<π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π，k ∈Z .所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π，k ∈Z .1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较． 4．在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间求原函数的单调区间．[再练一题]4．比较sin 215π与sin 42π5的大小．【解】 ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[探究共研型]探究1 【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域． 探究2 对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数怎样求值域？ 【提示】 利用换元法转化为二次函数求最值．求下列函数的值域．(1)y ＝3－2 sin x ；(2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【精彩点拨】 (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况． 【自主解答】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2 sin x ≤5，∴函数y ＝3－2 sin x 的值域为[1,5]． (2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋2， ∴当t ＝32时，y max ＝2. 此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z . 当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .∴函数y ＝－sin 2x ＋ 3 sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t ＝sin x )的值域恰好是外函数⎝⎛⎭⎪⎫本例中y ＝－t 2＋3t ＋54的定义域．[再练一题]5．求函数y ＝sin 2x －4 sin x －1的值域． 【解】 y ＝sin 2x －4 sin x －1 ＝(sin x －2)2－5.由－1≤sin x ≤1，得当sin x ＝－1时函数的最大值为4，当sin x ＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4] .[构建·体系]1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( )【导学号：66470015】A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴．【答案】 C2．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】 由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π. 【答案】 D3．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为________．【解析】 f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2. 【答案】 － 24．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________． 【解析】 f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )， 所以f (x )为偶函数． 【答案】 偶函数5．比较下列各组数的大小． (1)sin 2 016°和cos 160°； (2)sin 74和cos 53.【解】 (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°) ＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵sin 36°<sin 70°， ∴－sin 36°>－sin 70°， 即sin 2 016°>cos 160°. (2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53， 又π2<34<π2＋53<3π2， y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.。
正弦函数的性质与图像
北师大版必修4§1.5《正弦函数的性质与图像》第一课时设计者：江西省南康中学 邱小伟一、教学目标1.知识与技能(1)理解正弦线的概念和函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质。
(2)了解正弦函数图像的画法，掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。
2.过程与方法通过利用单位圆研究正弦函数性质的过程，增强学生自主分析问题、解决问题的能力。
3.情感态度价值观通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。
二、教材分析1.教材的地位与作用《正弦函数的图像与性质》是高中《数学》必修4（北京师范大学版）第一章第五节的内容，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数的图像，为今后余弦函数、正切函数的图像与性质、函数 的图像的研究打好基础，起到了承上启下的作用。
因此，本节的学习有着极其重要的地位。
本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出sin ,[0,2]y x x p =?的图象，考察图象的特点，介绍“五点作图法”。
2.教学重、难点重点：函数sin ,[0,2]y x x p =?的性质；正弦函数图像的五点作图法。
难点：正弦函数值的几何表示；正弦函数sin y x =图像的画法。
难点突破：在正弦函数定义的基础上，给出正弦函数值的几何表示（正弦线），再运用几何画板软件，带领学生一起直观形象地去探索正弦函数的图像，在清楚了正弦曲线的基本形状基础上，让学生通过练习动手实践掌握正弦曲线的五点作图法。
三、教法分析根据上述学习目标分析和教材分析，贯彻启发性教学原则，体现以教师为主导，学生为主体的教学思想，深化课堂教学改革，确定本课主要的教法为：1.计算机辅助教学借助多媒体教学手段引导学生理解利用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，使问题变得直观，易于突破难点；利用多媒体向学生展示优美的函数图象，给人以美的享受。