(经典高一)求函数解析式的九种常用方法

2
②
由 f（x+1）= f（x）+2x+8 与①、② 得
2 a b b 2 a b 8
解得
a 1, b 7.
故 f（x）= x2+7x.
评注: 已知函数类型，常用待定系数法求函数解析式.
5、直接图像法
例 5．函数在闭区间 [ 1, 2] 上的图象如右图所示，则求此函数的解析式。 y
（经典高一）求函数解析式的九种常用方法 山东省宁阳四中
1、定义法
例 1．若 f ( x 1 x 2 x ) ,求 f(x)。 解： x 2 x ( x 1) 2 1 ∴ f ( x 1) ( x 1) 2 1
宁方年
x 1 ≥1
∴f(x)=x21
2、配凑法
解： 设 故 f（x）=x2－x+1 （x≠1）. 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域.
4、待定系数法
例 4、 已知二次函数 f（x）满足 f（0）=0，f（x+1）= f（x）+2x+8，求 f（x）的解 析式. 解：设二次函数 f（x）= ax2+bx+c，则 f（0）= c= 0 ① f（x+1）= a ( x 1) +b（x+1）= ax2+（2a+b）x+a+b
(x≥1)
例 2、已知 f ( x 1) x 2 2 x ，求 f ( x) ． 解： f ( x 1) ( x 1) 2 2 x 1 2 x
( x 1) 2 4 x 1 ( x 1) 2 4( x 1) 3
∴
f ( x) x 2 4 x 3 ．
3、换元法
x 1 x2 1 1 例 3、 已知 f（ ）= ，求 f（x）的解析式. x x2 x x 1 1 = t ，则 x= （t≠1） ， x t 1 1 2 ( ) 1 1 2 t 1 ∴f（t）= = 1+ (t 1) +（t－1）= t2－t+1 1 2 1 ( ) t 1 t 1
8、对称性图像法
即根据所给函数图象的对称性及函数在某一区间上的解析式，求另一区间上的解析式. 例 8、 已知是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f（x）=2x－x2，求 f（x）函数解析 式. 解：∵y=f（x）是定义在 R 上的奇函数， ∴y=f（x）的图象关于原点对称. 当 x≥0 时，f（x）=2x－x2 的顶点（1，1） ，它关于原点对称点（－1，—1） ， 因此当 x<0 时，y= ( x 1) －1= x2 +2x.故 f（x）=
例 7、设是定义在 R 上的函数，且满足 f（0）=1，并且对任意的实数 x，y， 有 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） ，求 f（x）函数解析式. 分析：要 f（0）=1，x，y 是任意的实数及 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） ，得到
f（x）函数解析式，只有令 x = y. 解： 令 x = y ，由 f（x－y）= f（x）－ y（2x－y+1） 得 f（0）= f（x）－ x（2x－x+1） ，整理得 f（x）= x2+x+1.
例 6、 设函数 f（x）满足 f（x）+2 f（ 个方程，联立方程组求解即可.
1 ）= x （x≠0） ① x 1 1 1 由 代入得 2f（x）+f（ ）= （x≠0） ② x x x 2 x 解 ①② 构成的方程组，得 f（x）= － （x≠0）. 3x 3
解：∵ f（x） 解： f ( x) 1 ． x(0 x 2) 2
1
1 0 1
2 x
6、方程组法
1 ）= x （x≠0） ，求 f（x）函数解析式. x 1 1 分析：欲求 f（x） ，必须消去已知中的 f（ ） ，若用 去代替已知中 x，便可得到另一 x x
2
2 x x 2 x
2
2x
x≥0， x＜0.
评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化.
9、利用奇偶性法
例 9、