2018年高考数学二轮复习专题2函数不等式导数第4讲导数的简单应用课件
高考真题体验
1．(2017· 浙江卷，7)函数 y＝f(x)的导函数 y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)的图象可能是 导学号 52134274 ( D )
• [解析] 观察导函数f ′(x)的图象可知，f ′(x)的函数值从左到 右依次为小于0，大于0，小于0，大于0， • ∴对应函数f(x)的增减性从左到右依次为减、增、减、 增． • 观察选项可知，排除A，C． • 如图所示，f ′(x)有3个零点，从左到右依次设为x1，x2，x3， 且x1，x3是极小值点，x2是极大值点，且x2>0，故选项D确， 故选D．
1
高考考点聚焦
2
3 4 5
核心知识整合
高考真题体验 命题热点突破 课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
导数的几
考点解读
1.求过某点的切线的斜率、方程或切点的坐标
何意义(文)
导平行、垂直等求参数的值
1.确定或应用过某点的切线的斜率(方程) 1.利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基 本函数的单调性(区间) 2．根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围．
2．(2017· 全国卷Ⅱ，11)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值是 导学号 52134275 ( A ) A．－1 C．5e－3 B．－2e－3 D．1
7．(理)(1)定积分的性质
b b (1) kf(x)dx＝k f(x)dx；
a
a
b f1(x)dx± f2(x)dx b a a (2) [ f ( x )± f ( x )] d x ＝ ___________________ ． 1 2
a
b
2．导数四则运算法则 f′(x)±g′(x) ． (1)[ f (x)± g(x)] ′＝________________
f′(x)· g(x)＋f(x)· g′(x)． (2)[ f (x)· g(x)] ′＝____________________ f ′x· gx－fx· g′x 2 f x [ g ′ x ] (3)[ ]′＝______________________ (g(x)≠0)． gx y′u· u′x ，即 y′x＝a· (4)(理)若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝__________ y′u ．
a
＝F(b)－F(a)．
• 1．判断极值的条件掌握不清：利用导数判断函数的极值 时，忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两 个条件同时成立． • 2．混淆在点P处的切线和过点P的切线：前者点P为切点， 后者点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标． • 3．关注函数的定义域：求函数的单调区间及极(最)值应先 求定义域． • (理)4.对复合函数求导法则用错．
b f(x)dx＋ f(x)dx b (3) f ( x )d x ___________________ (其中 a<c<b)． a c
a
c
(2)微积分基本定理
b 一般地，如果 f(x)是区间[ a，b] 上的连续函数，并且 f ′(x)＝f(x)，那么 f(x)dx
• 3．切线的斜率 • 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，因此曲线f(x) f′(x0) 在点P处的切线的斜率k＝_____________ ，相应的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) ________________________ ． • 4．函数的单调性 f′(x0)>0(f′(x0)<0) • 在某个区间(a，b)内，如果______________________ ，那么函数y＝f(x)在这个 区间内单调递增(单调递减)．
• 5．函数的极值 f(x)<f(x0) • 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点x， 都有__________，那么f(x0)是函数的一个极大值，记作y极 f(x)>f(x0) 大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有的点都有__________，那 么f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与 极小值统称为极值． 各极值 端点处的函数值f(a)，f(b)比较 • 6．函数的最值 • 将函数y＝f(x)在[a，b]内的__________与 ____________________________，其中最大的一个是最大 值，最小的一个是最小值．
的几何意义(理) 2．定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积
利用导数研究 函数的单调性
1.利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基 利用导数研究函 本函数的极值的大小、个数或最值 数的极值和最值 2．根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范 围
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下几个方面： • (1)理解并掌握求导公式和求导法则及定积分的计算公式及 性质． • (2)熟练掌握利用导数研究曲线切线问题、函数的单调性、 极(最)值问题的方法和规律． • 预测2018年命题热点为： • (1)根据曲线的切线的斜率大小、方程或切线的性质求参数 的取值问题． • (2)利用导数研究含有参数的高次式、分式、指数式(主要 含ex)，对数式(主要含ln x)及三角式(主要含sin x，cos x)函 数的单调性、极(最)值问题．
核心知识整合
• 1．基本初等函数的八个导数公式 原函数 导函数 0 f(x)＝C(C为常数) f ′(x)＝________ αxα－1 f(x)＝xα(α∈R) f(x)＝__________ cos x －sin x f(x)＝sin x f ′(x)＝__________ axln a f(x)＝cos x f ′(x)＝__________ x e f(x)＝ax(a>0，a≠1) f ′(x)＝__________ 1 xln a f(x)＝ex f ′(x)＝__________ 1 x f(x)＝logax(a>0，且 f ′(x)＝__________ a≠1)
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2018年高考数学(理)二轮专题复习课件：第二部分 专题二 函数与导数4.3
由于 2e2������0 − 所以 f(x0)=
������
������
������ 0
=0,
2 2 ������ 2 ������
2������ 0
+2ax0+aln ≥2a+aln .
������
故当 a>0 时,f(x)≥2a+aln .
解题心得研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数 的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象 判断函数零点或方程根的情况.
4
3
4
(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-ln x<0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)<0, 故h(x)在(1,+∞)无零点.
当 x=1 时,若 a≥- ,
则 f(1)=a+ ≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故 x=1 是 h(x)的零点 ; 若 a<- ,则 f(1)<0,h(1)=min{ f(1),g(1)}=f(1)<0,故 x=1 不是 h(x)的零 点.
-4-
(2)
������ '(������ 0 ) e ������ 0
=
2 3
2 即������0 -x0= (t-1)2,
2
������ '(������ 0 ) 2 ������0 -x0, ������ 0 e 2 3
= (t-1)2,
3
2
令 g(x)=x -x- (t-1)2,则问题转化为当 1<t<4 时 , 求方程 g(x)=x -x- (t-1)2= 0 在 [-2,t ]上的解的个数 .
2018届高考数学二轮复习 导数与不等式及参数范围 ppt课件(全国通用)
-7-
解 (1)由题设易知 f(x)=ln x,g(x)=ln x+ ,∴g'(x)=
������
1
������-1 ������ 2
,
令g'(x)=0得x=1, 当x∈(0,1)时,g'(x)<0, 故(0,1)是g(x)的单调减区间, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0, 故(1,+∞)是g(x)的单调增区间, 因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点, 所以最小值为g(1)=1.
-8-
(2)g
1 ������
=-ln x+x,设 h(x)=g(x)-g
1 ������
1 ������
=2ln x-x+ ,则 h'(x)=������
1
(������ -1)2 ������ 2
,
当 x=1 时,h(1)=0,即 g(x)=g
,
当x∈(0,1)∪(1,+∞)时,h'(x)<0,h'(1)=0, 因此,h(x)在(0,+∞)内单调递减,当0<x<1时,h(x)>h(1)=0,
2.4.2
导数与不等式及参数范围
-2-
求参数的取值范围(多维探究) 解题策略一 构造函数法 角度一 从条件关系式中构造函数 例1设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线y=f(x)和曲线y=g(x) 都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2. (1)求a,b,c,d的值; (2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围. 难点突破一(作差构造) f(x)≤kg(x)⇔kg(x)-f(x)≥0,设F(x)=kg(x)f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2⇒F'(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1)⇒令 F'(x)=0得x1=-ln k,x2=-2. 此时,类比二次函数根的分布进行分类讨论F(x)的最小值大于或等 于0时的k的范围.
高考数学二轮复习专题二函数与导数2.4.2导数与不等式
-12解题策略一 解题策略二
对点训练2设f(x)=xex,g(x)=
(1)令F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的最小值; (2)若任意x1,x2∈[-1,+∞)且x1>x2有m[f(x1)-f(x2)]>g(x1)-g(x2)恒成立, 求实数m的取值范围.Βιβλιοθήκη 1 2 x +x. 2
解 (1)∵F(x)=f(x)+g(x)=xex+2x2+x,
(2)∵不等式ax-ln x≥a(2x-x2)对∀x∈[1,+∞)恒成立, ∴等价于a(x2-x)≥ln x对∀x∈[1,+∞)恒成立. 当x=1时,a∈R都有不等式恒成立;
当 x>1 时,a≥ 即 h(x)=
ln������ 恒成立,令 ������2 -������
h(x)=
ln������ . ������2 -������
∵f'(x)=a-������,∴k=f'(x0)=a-������ ,
0
1
1
即直线的切线方程为 y-ax0+ln x0= ������-
1 ������0
(x-x0),
又切线过原点O, 所以-ax0+ln x0=-ax0+1, 由ln x0=1,解得x0=e,所以切点的横坐标为e.
-8解题策略一 解题策略二
-3解题策略一 解题策略二
难点突破一(直接构造函数) 求 f(x)>0(x>1)时 a 的范围,因 f(1)=0,只需 f(x)在(1,+∞)单调递增.f(x)>0(x>1)⇔f(x)在(1,+∞)单调递 ������'(������) ≥ 0 ≥0⇔ ⇔ ������ > 1 ������ > 1, ������ > 1 1 数 φ(x)=1+������+ln x(x>1),易求得 φ(x)>2,所以 a≤2. 增⇔
高考数学二轮复习专题六函数、不等式、导数第四讲小题考法导数的简单应用课件理
y＝xx－＋11与其在点(0，－1)处的切线及直线 x＝1 所围成的封闭图
形的面积
S
＝
1
0
2x－1－xx－＋11
dx
＝
1
0
2x－1－1＋x＋2 1
dx
＝[x2－2x＋2ln(x＋1)]|10＝2ln 2－1，选 C.
答案：C
3．(2018·金华十校联考)若函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在
设切点P(x0，y0)，利用导数求得切
已知切线上一点(非切点)， 线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求
求y＝f(x)的切线方程
得切线斜率，列方程(组)解得x0，
再由点斜式或两点式写出方程
2.利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数 已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直， 利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建 方程(组)或函数求解．
过定点(0，－2)，所以－2－x0ln x0＝(ln x0＋1)(0－x0)，解得
x0＝2，故k＝1＋ln 2，选D. 答案：D
2．曲线y＝xx－＋11与其在点(0，－1)处的切线及直线x＝1所围
成的封闭图形的面积为
()
A．1－ln 2
B．2－2ln 2
C．2ln 2－1
D．ln 2
解析：因为 y＝xx－＋11，所以 y′＝xx－＋11′＝x＋2 12，则曲线 y＝xx－＋11 在(0，－1)处的切线的斜率 k＝2，切线方程为 y＝2x－1，则曲线
与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围为x的图象上存在与直线2x－y＝0平行
的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解，
又f′(x)＝1x＋a，即1x＋a＝2在(0，＋∞)上有解，
2018年高考数学一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用 第4讲
解得 a＝21，b＝25，故 f(x)＝12x2＋52x＋2. (3)因为 af(x)＋f1x＝ax，所以 af1x＋f(x)＝ax， 两方程联立解得 f(x)＝aaa2x－2－11x(a≠±1)．
第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
•三 分段函数
• 分段函数两种题型的求解策略 • (1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确
了解映射的 卷，5T 2.考查函数的值域
概念．
2015，全国 及最值．
2.在实际情 卷Ⅱ，5T 3.函数的表示方法，
境中，会根
主要考查分段函数 第二页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
• 1．函数的概念
• 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按 照某种确定的对应关系唯f，一确使定对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有___________的 数f(x)和它对应定，义域那么就称f：A→B为从集合A
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
解析：(1)∵f(x)是周期为 2 的函数， ∴f32＝f－12＋2＝f－12＝－4×－212＋2＝1. (2)由题意得f[faa<]02＋，fa≤2 或f－a[f≥a0]，2≤2， 解得 f(a)≥－2. 由aa<2＋0，a≥－2 或a－≥a02十页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
• 其中是从A到B的映B 射的为( ) • A．①③ B．②④ • C．①④D．③④
解析：对于①，当 x＝－1 时，y 值不存在，所以①不是从 A 到 B 的映射；对于 ② ， A， B 是 两 个 集 合 ， 逗 号 分 别 用 列 举 法 表 述 为 A＝ {2,4， 6， …}， B＝ 1，12，13，14，…，由对应关系 f：a→b，b＝1a知，②是从 A 到 B 的映射；③不是从 A 到 B 的映射，如 A 中元素 1 对应 B 中两个元素±1；④是从 A 到 B 的映射．
第二十页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
•三 分段函数
• 分段函数两种题型的求解策略 • (1)根据分段函数的解析式求函数值．首先确
了解映射的 卷，5T 2.考查函数的值域
概念．
2015，全国 及最值．
2.在实际情 卷Ⅱ，5T 3.函数的表示方法，
境中，会根
主要考查分段函数 第二页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
栏目导 航
板块一 板块二 板块三 板块四
第三页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
• 1．函数的概念
• 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按 照某种确定的对应关系唯f，一确使定对于集合A中的 任意一个数x，在集合B中都有___________的 数f(x)和它对应定，义域那么就称f：A→B为从集合A
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
解析：(1)∵f(x)是周期为 2 的函数， ∴f32＝f－12＋2＝f－12＝－4×－212＋2＝1. (2)由题意得f[faa<]02＋，fa≤2 或f－a[f≥a0]，2≤2， 解得 f(a)≥－2. 由aa<2＋0，a≥－2 或a－≥a02十页，编辑于星期六：二十二点 二十分。
• 其中是从A到B的映B 射的为( ) • A．①③ B．②④ • C．①④D．③④
解析：对于①，当 x＝－1 时，y 值不存在，所以①不是从 A 到 B 的映射；对于 ② ， A， B 是 两 个 集 合 ， 逗 号 分 别 用 列 举 法 表 述 为 A＝ {2,4， 6， …}， B＝ 1，12，13，14，…，由对应关系 f：a→b，b＝1a知，②是从 A 到 B 的映射；③不是从 A 到 B 的映射，如 A 中元素 1 对应 B 中两个元素±1；④是从 A 到 B 的映射．
2018届高考数学二轮复习 函数与导数的应用专项练 ppt课件(全国通用)
在点(-1,-1)处的切线方程为( A ) B.y=2x-1 D.y=-2x-2
解析: ∵y'=
������ +2-������
(������ ++2)2
,
2
∴在点(-1,-1)处的切线方程的斜率为(-1+2)2=2.
∴切线方程为y+1=2(x+1),
即y=2x+1.
-7一、选择题 二、填空题
2.3
函数与导数的应用专项练
-2-
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0处的导 数是曲线y=f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f'(x0),相应的切线方程 是y-y0=f'(x0)(x-x0). 注意:在某点处的切线只有一条,但过某点的切线不一定只有一 条. 2.常用的求导方法 (1)(xm)'=mxm-1,(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,(ex)'=ex,
2 2
C
)
解析: f'(x)=excos x-exsin x,∴k=f'(0)=e0(cos 0-sin 0)=1.
-4一、选择题 二、填空题
2.(2017全国Ⅱ,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x) 的极小值为( A ) A.-1 B.-2e-3 C.5e-3 D.1
4.函数 f(x)= 的图象大致为(
������
e ������
B )
解析: 函数 f(x)= 的定义域为 x≠0,x∈R,当 x>0 时,函数 f'(x)=
2018届高三数学二轮复习课件：专题二函数、不等式、导数2.4.1导数的简单应用
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
题型二 利用导数研究函数的单调性 导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)＝x3 在(－∞，＋ ∞)上单调递增，但 f′(x)≥0. (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0 时，则 f(x)为常数，函数不具有单调性．
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
(1)已知函数 f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中 a 为实数，f′(x)为 f(x) 的导函数．若 f′(1)＝3，则 a 的值为________； (2)(2017· 天津卷)已知 a∈R，设函数 f(x)＝ax－ln x 的图象在点(1，f(1))处的切 线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为________．
第 4 课时 导数及其应用
(一) 导数的简单应用
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
高考对本部分考查主要从以下方面进行： (1)导数的概念、求导公式与法则、导数的几何意义． (2)导数的简单应用，包括求函数极值、求函数的单调区间、证明 函数的单调性等． (3)导数的综合考查，包括导数的应用题以及导数与函数、不等式 等的综合题．从形式上看，考查试题有选择题、填空题、解答题， 有时三种题型会同时出现.
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
解析：
1 ＝a(ln x＋1)， (1)f′(x)＝aln x＋x· x
高考数学二轮复习 专题一 第4讲《导数及其应用》课件
【规律方法】 解决实际应用问题的关键在于建 立数学模型和目标函数，把“问题情景”译为数学 语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关 系近似化、形式化，抽象成数学问题，再化归为 常规问题，选择合适的数学方法求解，不同的设 参方法会得到不同的数学模型．
变式训练
4．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨) 与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200 －15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x(元)．问 该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最 大利润是多少？(利润＝收入－成本)
x)]×3240×(－x2＋2x＋53)，x∈(0,1)． 即 f(x)＝1652(9x3－48x2＋45x＋50)，x∈(0,1)．
要求 f(x)的最大值，即求 g(x)＝9x3－48x2＋45x＋50， x∈(0,1)的最大值.6 分 则 g′(x)＝27x2－96x＋45.
由 g′(x)＝0 得 x＝59或 x＝3(舍)…..9 分 当 x∈(0，59)时，g′(x)＞0；当 x∈(59，1)时，g′(x)＜0. ∴x＝59时，g(x)有最大值，g(x)max＝g(59)＝580100. ∴f(x)max＝f(59)＝1652×580100＝2000. 综上，当 x＝59时， 本年度年利润最大为 2000 万元……12 分
(2)由题意得 g′(x)＝2x＋ax－x22，函数 g(x)在[1，＋∞) 上是单调函数．
①若 g(x)为[1，＋∞)上的单调增函数，则 g′(x)≥0 在[1，＋∞)上恒成立，
即 a≥2x－2x2 在[1，＋∞)上恒成立，设 φ(x)＝x2－2x2， ∵φ(x)在[1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x)max＝φ(1)＝0， ∴a≥0. ②若 g(x)为[1，＋∞)上的单调减函数， 则 g′(x)≤0 在[1，＋∞)上恒成立，不可能． ∴实数 a 的取值范围为 a≥0
2018年高考数学(文)二轮专题复习课件：第二部分 专题二 函数与导数4.2
专题二
2.4.2 导数与不等式及参数范围
考向一 考向二
-10-
(2)证明 由(1)知,x1∈(-1,0),要证x2>-x1>0,只需证f(x2)<f(-x1), 因为f(x1)=f(x2)=m, 所以只需证f(x1)<f(-x1),
只需证
������ 1 +1 e ������ 1
<
-������ 1 +1 e -������ 1 2 ������ 1
专题二
2.4.2 导数与不等式及参数范围
考向一 考向二
-6-
对点训练1(2017辽宁大连一模,文20)已知函数f(x)=ax-ln x. (1)过原点O作函数f(x)图象的切线,求切点的横坐标; (2)对∀x∈[1,+∞),不等式f(x)≥a(2x-x2)恒成立,求实数a的取值范 围.
解 (1)设切点为M(x0,f(x0)),直线的切线方程为y-f(x0)=k(x-x0),
2.4.2
导数与不等式及参数范围
专题二
2.4.2 导数与不等式及参数范围
考向一 考向二
-2-
求参数的取值范围(多维探究) 解题策略一 构造函数法 角度一 从条件关系式中构造函数
例1已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围. 难点突破一(直接构造函数) 求f(x)>0(x>1)a的范围,因f(1)=0,只需 f(x)在(1,+∞)单调递增.f(x)>0(x>1)⇔f(x)在(1,+∞)单调递增
2018年高考数学二轮复习专题二函数与导数2.3.2利用导数解不等式及参数范围课件
2 ������
-7-
(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x- (x>0).当 a≤0 时,f'(x)>0,f'(x) 没有零点, 当 a>0 时,因为 e2x 单调递增,- 单调递增, 所以 f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
������ 1 又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< ,且 b< 时,f'(b)<0,故当 a>0 时,f'(x)存在唯 4 4 ������ ������
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一零点.
-8-
(2)证明 由(1),可设 f'(x)在区间(0,+∞)内的唯一零点为 x0,当 x∈(0,x0) 时,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故 f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在 区间(x0,+∞)内单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). 由于 2e
利用导数解与不等式恒成立有关的问题
【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本
方法有哪些?
例 2 已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设 a=2,b= .
1 2
①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的
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(1)解 由题意可知点 A(0,1). 由 f(x)=ex-ax,得 f'(x)=ex-a. 所以 f'(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2. 令 f'(x)=0,得 x=ln 2, 当 x<ln 2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f(x) 无极大值. (2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g'(x)=ex-2x. 由(1)得 g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 则 g(x)在 R 上单调递增. 因为 g(0)=1>0,所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex.
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(1)解 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x- (x>0).当 a≤0 时,f'(x)>0,f'(x) 没有零点, 当 a>0 时,因为 e2x 单调递增,- 单调递增, 所以 f'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
������ 1 又 f'(a)>0,当 b 满足 0<b< ,且 b< 时,f'(b)<0,故当 a>0 时,f'(x)存在唯 4 4 ������ ������
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一零点.
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(2)证明 由(1),可设 f'(x)在区间(0,+∞)内的唯一零点为 x0,当 x∈(0,x0) 时,f'(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故 f(x)在区间(0,x0)内单调递减,在 区间(x0,+∞)内单调递增,所以当 x=x0 时,f(x)取得最小值,最小值为 f(x0). 由于 2e
利用导数解与不等式恒成立有关的问题
【思考】 求解不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的基本
方法有哪些?
例 2 已知函数 f(x)=ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1).
(1)设 a=2,b= .
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①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立,求实数 m 的
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(1)解 由题意可知点 A(0,1). 由 f(x)=ex-ax,得 f'(x)=ex-a. 所以 f'(0)=1-a=-1,得 a=2. 所以 f(x)=ex-2x,f'(x)=ex-2. 令 f'(x)=0,得 x=ln 2, 当 x<ln 2 时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x>ln 2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增. 所以当 x=ln 2 时,f(x)取得极小值,极小值为 f(ln 2)=2-2ln 2=2-ln 4.f(x) 无极大值. (2)证明 令 g(x)=ex-x2,则 g'(x)=ex-2x. 由(1)得 g'(x)=f(x)≥f(ln 2)=2-ln 4>0, 则 g(x)在 R 上单调递增. 因为 g(0)=1>0,所以当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x2<ex.