材料拉伸应力

试计算图示杆件1 试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上的正 应力.已知横截面面积A=2 A=2× 应力.已知横截面面积A=2×103mm2 1 20KN 20KN 2 40KN 3 40KN
1
2
40kN
3
σ 1−1 = −10 MPa σ 2−2 = 0
20kN
σ 3−3 = 20 MPa
图示支架，AB杆为圆截面杆， 图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm, 杆为圆截面杆 BC 杆为正方形截面杆，其边长a=60mm F=10KN， a=60mm， 杆为正方形截面杆，其边长a=60mm，F=10KN，试求 AB杆和BC杆横截面上的正应力 杆和BC杆横截面上的正应力。 AB杆和BC杆横截面上的正应力。
NL ∆L = EA
上式只适用于 在杆长为l长度内N 均为常值的情况下， 1、在杆长为l长度内N、E、A均为常值的情况下，即在 杆为l长度内变形是均匀的情况。 杆为l长度内变形是均匀的情况。 否则，则应分段计算ΔL=Δ …+Δ 否则，则应分段计算ΔL=ΔL1+ΔL2+…+ΔLn 2、应力不超过比例极限 、 E为拉压弹性模量，反映了材料抗拉压的能力，是材料的拉 为拉压弹性模量，反映了材料抗拉压的能力， 压刚度指标，单位Pa EA称为杆的拉压刚度 Pa。 压刚度指标，单位Pa。EA称为杆的拉压刚度 ,反映了杆件 抵抗拉压的能力 虎克定律的另一表达式： 虎克定律的另一表达式：
例3
解：(1)、计算支反力 (1)、 ∑X=0 P2-P1-RA=0 RA=P2-P1=-20KN (2)、计算各段杆件 (2)、 横截面上的轴力 AB段 AB段： NAB=RA=－20kN BD段 BD段： NBD=F2=10kN
(3)、画出轴力图，如图（ (3)、画出轴力图，如图（c）所示。 所示。 (4)、 (4)、计算各段应力 AB段 AB段： σ AB
一、轴向拉压横截面的应力 观察实验：得出应力在横截面上的分布规律。 观察实验：得出应力在横截面上的分布规律。 平面假设—杆件的横截面在变形 平面假设 杆件的横截面在变形 后仍保持为平面， 后仍保持为平面，且垂直于杆的 轴线 横截面上各点只产生沿垂直 于横截面方向的变形—横截 于横截面方向的变形—横截 面上只有正应力 两横截面之间的纵向纤维伸长 都相等—横截面上的正应力均 都相等 横截面上的正应力均 匀分布 得出结论：轴向拉伸时， 得出结论：轴向拉伸时，杆件横截面上各点处只产生正应 且大小相等。 力，且大小相等。 N σ= A σ的正负与 的正负相同，即拉杆 为正；压杆 为负 的正负与N的正负相同 即拉杆σ为正 压杆σ为负 的正负与 的正负相同，
N AB sin 30 = F
0
A
d
N AB cos 30 = − N BC
0
NAB
300
C a NBC
σ AB
B F
N AB = = 28.3MPa AAB
σ BC
N BC = = −4.8MPa ABC
二、拉(压)杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； ； 斜截面----是指任意方位的截面。
α = 45 o （2）当 ）
σa =σ 2
τ max = σ 2
轴向拉压杆件的最大切应力发生在与 杆轴线成45 截面上。 杆轴线成450截面上。 （3）当 α = 90 ）
o
σa = 0
τ
α
= 0
即在平行与杆轴的纵向截面上无任何应力
杆的变形. 三、 拉（压）杆的变形.胡克定律
（1）概念 ） 纵向变形量Δ 纵向变形量ΔL=L1-L 横向变形量Δ 横向变形量Δd=d1-d ΔL、Δd反映了纵向和 横向的总变形量， 横向的总变形量，不能反映变形程度 纵向线应变： 纵向线应变：
FNAB −20 ×103 = = = −40MPa 500 AAC
FNBD 10 ×103 = = = 20MPa AAC 500
BC段： σ BC段 BC CD段 CD段：
σ CD
FNBD 10 ×103 = = = 50MPa ACD 200
(5)、 (5)、计算杆件内最大应力
σ max
10 ×103 = = 50MPa 200
σ = E •ε
表明：在比例极限内， 表明：在比例极限内，应力与应变成正比
F
A 3m 40
例1
一方形截面砖柱， 一方形截面砖柱，上段柱边长 为240mm，下段柱边长 ， 为370mm。荷载 。荷载F=40KN，不 ， 计自重，材料的弹性模量E= 计自重，材料的弹性模量 0.03×105MPa，试求砖柱顶面 × ， A的位移。 的位移。 的位移 α = pα cos α = cos α = σ cos 2 α Aα 1 τ α = pα sin α = σ cosα sin α = σ sin 2α 2 σα——斜截面上的正应力；τα——斜截面上的切应 斜截面上的正应力； 斜截面上的正应力 斜截面上的切应 力
Nα N pα = = Aα A α
∆L ε= L
拉伸ε>0 压缩ε<0
横向线应变： 横向线应变： ε ′ =
∆d d
ε′ µ= ε 当应力不超过比例极限时 μ反映了材料的弹性性能
ε、ε′的符号相反 、
ε ′ = − µε
（2）虎克定律 ） 实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与 实验表明：在材料的线弹性范围内， 外力F和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。 外力F和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。
=0.015mm
整个杆件伸长0.015mm。 整个杆件伸长0.015mm。 0.015mm
A = cos α
τα
pα
τ
讨论
σ α = σ cos 2 α
1 τ α = σ sin 2α 2
σα及τα 均是角 的函数， 均是角α的函数 的函数， （1）当α=0，即为横截面时， σ max = σ ） ，即为横截面时，
τ
α
= 0
轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。 轴向拉压杆件的最大正应力发生在横截面上。
（6）计算杆件的总变形
∆l = ∆l AB + ∆lBC + ∆LCD FNAB l AB FNBD lBC FNBD lCD = + + EAAC EAAC EACD
1 −20 ×103 × 100 = ( 3 200 ×10 500 10 × 103 ×100 10 × 103 ×100 + + ) 500 200
F
B
F
120 -
C
240
4m
例2 1、计算轴力： 、计算轴力： ∑X=0
2、计算变形： 、计算变形：
=30kN， AC段的横截面面积 P1=30kN，P2 =10kN , AC段的横截面面积 AAC=500mm2, CD段的横截面面积 段的横截面面积 ACD=200mm2，弹性模量 ，弹性模量E=200GPa。 。 试求： 试求： （1）各段杆横截面上的内力和应力； 各段杆横截面上的内力和应力； 杆件内最大正应力； （2）杆件内最大正应力； （3）杆件的总变形。 杆件的总变形。