绘制左端固定悬臂梁的剪力弯矩图
剪力图和弯矩图
剪力图和弯矩图:悬臂梁的剪力图和弯矩图具体画法如下：内力图的规律：1、在无荷载作用区，当剪力图平行于x轴时，弯矩图为斜直线。
当剪力图为正时，弯矩图斜向右下；当剪力图为负时，弯矩图斜向右上。
2在均布荷载作用下的规律是：荷载朝下方，剪力往右降，弯矩凹朝上。
3、在集中力作用处，剪力图发生突变，突变的绝对值等于集中力的大小；弯矩图发生转折。
4、在集中力偶作用处弯矩图发生突变，突变的绝对值等于该集中力偶的力偶矩；剪力图无变化。
5、在剪力为零处有弯矩的极值弯矩图总结规律如下：1、在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线。
2、在梁的某一段内，若作用分布载荷作用，即q(x)=常数，则d²M(x)/dx²=q(x)=常数，可以得到M(x)是x的二次函数。
弯矩图是抛物线。
3、在梁的某一截面内，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,则在这一截面上弯矩有一极值（极大或极小）。
即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。
根据上述绘图规律可以准确画出悬臂梁在集中荷载下、均布荷载下的剪力图和弯矩图。
弯矩的叠加原理同一根粱AB受q、M0两种载荷作用、q单独作用及M0单独作用的三种受力情况。
在q、M0共同作用时：VA=ql/2+M0/l VS=ql/2+M0/l从计算结果中可以看到，梁的支座反力和弯矩都是荷载(q、M0)的一次函数，即反力或弯矩与荷载成线性关系。
这时，g、M0共同作用F所产生的反力或弯矩等于g与M0单独作用时所产生的反力或弯矩的代数和。
这种关系不仅在本例中存在，而且在其他力学计算中普遍存在，即只要反力、弯矩（或其他量）与载荷成线性关系，则若干个载荷共同引起的反力、弯矩（或其他量）等于各个载荷单独引起的反力、弯矩（或其他量）相叠加。
这种关系称为叠加原理。
应用叠加原理的前提是构件处在小变形情况下，这时各荷载对构件的影响各自独立。
梁的剪力方程和弯矩方程常用弯矩图
5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。
解：首先求出支座反力。
考虑梁的整体平衡由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M得 lM F eRA -= 由 0,0=-⋅=∑e RB A M lF M 得 lM F eRB =则距左端为x 的任一横截面上的剪力和剪力图 弯矩表达式为：()l M F x F eRA S -== ()x lM x F x M eRA ⋅-=⋅= 剪力方程为常数，表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函数，表明弯矩图是一条斜直线。
(如图)解：首先求出支座反力。
考虑梁的平衡 由 0452,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c得 ql F RB 85= 由 021,02=+⋅=∑ql l F M RC B得 ql F RC 21-=则相应的剪力方程和弯矩方程为：AB 段：（201lx ≤≤）BC 段：（2322lx l ≤≤）x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图为斜段剪力方程为常数，弯矩方程为x 2的一次函数，所以剪力图解：由梁的平衡求出支座反力：AB段作用有均布荷载，所以AB段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线；BC段没有荷载作用，所以BC段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。
在B支座处，剪力图有突变，突变值）的大大小等于集中力（支座反力FRB小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。
（如图）（5）解：由梁的平衡求出支座反力：则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。
由于截面B有集中力偶作用，则其弯矩也为不定值，第二式的适用范围为关于这个问题，待后面作进一步说明。
2、作剪力图和弯矩图剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。
取直角坐标系x—，画出梁的剪力图为一水平直线。
因各横截面的剪力为负值，故画在横轴下面，如图（b）所示。
弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直线。
梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图
dF s q dx
dM F S dx
剪力图是水平直线. 弯矩图是斜直线. 弯矩图是水平直线.
2 d M q 2 dx
dF s 0 dx
dM 0 dx
FS C
dM C dx
C 0
C 0
MC
dF s q dx
F S2 x 2
剪力图是斜直线.
弯矩图是二次抛物线.
若x1,x2两截面间无集中力作用,则x2截面上的FS1等于 x1截面上的FS1加上两截面之间分布荷载图的面积.
4.3
例 题
3kN
C
求图示外伸梁中的A、B、C、D、E、 F、G各截面上的内力。
2 kN m 6 kN m
1kN m
A
D
FA
E
F
B
G
FB
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
1m
4.4
例 题
求图示外伸梁中的1－1、2－2、3 －3、4－4和5－5各截面上的内力
6 kN m
6kN
1
2
q2 kN m
3
外力情况 q<0(向下) 无荷载段
剪力图上 的特征 弯矩图上 的特征
↘(向下斜 水平线 直线) (下凸抛物 斜直线 线)
集中力F 集中力偶 作用处： M作用处： 突变，突 不变 变值为F 有尖点 有突变， 突变值为
M
最大弯矩 剪力为零 可 能的 的截面 截面位置 剪力突变 弯矩突变 的截面 的某一侧
q
A
FA
FA
C
D
B
a
c
b
l
FB
FB
FA a
解绘出悬臂梁的弯矩图
第6章 弯 曲 (2) 设工人重力和货物重力合成为一个集中力，且作用在跳 板长度的中点时最危险，此处弯矩最大值为
M max
700 2 1500 3 2175 N m 2 2
按弯曲强度设计：
M max 2175 103 max 6 2 500 h Wz 6
制其剪力图和弯矩图。 解 设截面m-m与B端之间的距离为x，取m-m截面的右段为 研究对象，画出受力图, 如图6.10（b）所示。 根据平衡条件：
Fs-qx=0 Fs=qx
x M qx 0 2
(0≤x≤l)
1 M qx 2 2
(0≤x≤l)
第6章 弯 曲
(a) A
q
m1 B
l
m
的构件习惯上称为梁。 工程实际中常用直梁的横截面形状主要有圆形、矩形、T字 形和工字形等，如图6.2所示。
第6章 弯 曲
y z
y z
y z
y z
图 6.2
第6章 弯 曲
以上横截面一般都有一个或几个对称轴，由纵向对称轴与
梁的轴线组成的平面称为纵向对称平面，如图6.3所示。
纵向对称面 q M F 对称轴
M 2 24 8 x2
第6章 弯 曲 (3) 绘制剪力图和弯矩图。 根据梁的各段上的剪力方程和弯矩方程，绘出剪力图， 如图6.8(d)所示, 绘出弯矩图， 如图6.8(e)所示。 从剪力图上可以看出，在集中力 F 作用处，剪力图上会发 生突变，突变值即等于集中力F的大小。 由剪力图和弯矩图可知, 集中力F作用在C截面上，剪力和
*6.6 组合变形简介
思考与练习
第6章 弯 曲
6.1 弯曲的概念与实例
6.1.1 基本概念
梁弯矩图梁内力图(剪力图与弯矩图)
简单载荷梁内力图（剪力图与弯矩图）注：外伸梁 = 悬臂梁 + 端部作用集中力偶的简支梁表2 各种载荷下剪力图与弯矩图的特征表3 各种约束类型对应的边界条件注：力边界条件即剪力图、弯矩图在该约束处的特征。
常用截面几何与力学特征表表2-5 word范文word范文word范文word范文word范文word范文word范文.word 范文注：1．I 称为截面对主轴（形心轴）的截面惯性矩（mm 4）。
基本计算公式如下：⎰•=AdA yI 22．W 称为截面抵抗矩（mm 3），它表示截面抵抗弯曲变形能力的大小，基本计算公式如下：maxy I W =3．i 称截面回转半径（mm ），其基本计算公式如下：AIi =4．上列各式中，A 为截面面积（mm 2），y 为截面边缘到主轴（形心轴）的距离（mm ），I 为对主轴（形心轴）的惯性矩。
5．上列各项几何及力学特征，主要用于验算构件截面的承载力和刚度。
2．单跨梁的内力及变形表（表2-6~表2-10）（1）简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度表2-6（2）悬臂梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-7（3）一端简支另一端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-8（4）两端固定梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-9（5）外伸梁的反力、剪力、弯矩和挠度表2-103．等截面连续梁的内力及变形表（1）等跨连续梁的弯矩、剪力及挠度系数表（表2-11~表2-14）1）二跨等跨梁的内力和挠度系数表2-11注：1．在均布荷载作用下：M ＝表中系数×ql 2；V ＝表中系数×ql ；EI w 100ql 表中系数4⨯=。
2．在集中荷载作用下：M ＝表中系数×Fl ；V ＝表中系数×F ；EIw 100Fl 表中系数3⨯=。
[例1] 已知二跨等跨梁l ＝5m ，均布荷载q ＝11.76kN/m ，每跨各有一集中荷载F ＝29.4kN ，求中间支座的最大弯矩和剪力。
梁的剪力和弯矩概念讲解(剪力图弯矩图,含例题)
6kN
1
2
q 2kN m
3
4
5
B
1 2 3 4 5
2m
A
3m
C
3m
FA 13kN
FB 5kN
例题
4.5
为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的 弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架 放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处 才能使木料锯口处的弯矩为零。
q
B
A
C
D
MD 0
MD 0
※
剪力和弯矩的计算规则
梁任意横截面上的剪力，等于作用在该截面左边 （或右边）梁上所有横向外力的代数和。截面左 边向上的外力(右边向下的外力)使截面产生正的 剪力，反之相反。【左上右下为正，反之为负】 梁任意横截面上的弯矩，等于作用在该截面左 边（或右边）所有外力（包括外力偶）对该截面 形心之矩的代数和。截面左边（或右边）向上的 外力使截面产生正弯矩，反之相反。【左顺右逆 为正，反之为负】
2m
FB 2kN 1m
7
kN
3 3
x 1.56
2 2
kNm
2.44
2
例题
4.12
4kN m
6kN
2kN m
4.5
4.5
1m
1m
2m
5.5
kN 1.5
5.5
4
8.5 7
kNm
例题
4.13
80 kN m
A
160 kN
D E
40kN m
B
40 kN
F
C
310 kN 2m
120
30
190
D
FD
MA
材料力学第5章-剪力图与弯矩图
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上与前面所 介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方法和过程是相似的 ，所不同的，现在的指定横截面是坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，x是变量， 而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
例题2
MO=2FPl
FP
B
A
C
l
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶M＝2FPl
的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
第5章 梁的强度问题
剪力方程与弯矩方程
y
MO=2FPl
O
A
C
l
FP
B l
解：1．确定控制面和分段
本例将通过考察截开截面的右
边部分平衡建立剪力方程和弯矩方 程，因此可以不必确定左端的约束 力。
本章首先介绍如何建立剪力方程和弯矩方程；讨论载荷、 剪力、弯矩之间的微分关系；怎样根据载荷、剪力、弯矩之间 的微分关系绘制剪力图与弯矩图；然后应用平衡、变形协调以 及物性关系，建立确定弯曲的应力和变形公式；最后介绍弯曲 强度设计方法。
第5章 梁的强度问题
工程中的弯曲构件 梁的内力及其与外力的相互关系 剪力方程与弯矩方程 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系 剪力图与弯矩图 刚架的内力与内力图 结论与讨论(1)
根据以上分析，不难得到结论： 杆件各截面上内力变化规律随着外力的 变化而改变。
第5章 梁的强度问题
梁的内力及其与外力的相互关系
所谓剪力和弯矩变化规律是指表示剪力和弯矩变 化的函数或变化的图线。这表明，如果在两个外力 作用点之间的梁上没有其他外力作用，则这一段梁 所有横截面上的剪力和弯矩可以用同一个数学方程 或者同一图线描述。
船舶结构力学-第二章单跨梁的弯曲理论
y
图2.1
从梁中取出微段 dx ，将其放大后如下图所示。 在图示坐标系下，规定左截面上的弯距逆时针方 向为正，右截面上的弯距顺时针方向为正；左截 面上剪力向下为正，右截面上剪力向上为正。载 荷向下为正。
q
M
NdN
x
yN 图2.2
MdM
梁本身处于平衡状态，所以取出的微段也应处 于平衡状态。根据微段的平衡条件得到：
(1)等号右边的四项表示由初参数引起的挠度，最后 一项表示由分布载荷引起的挠度。(2)如果没有分布载荷 项，上式变为：
vv00x2 E 1M I0x 26 E 1N I 0x 3（2-8）
这说明，梁的挠度取决于梁端四个初参数。
讨论：（1）集中力作用下的梁。
p
x
b
x
l
y
将梁分成两段： 0xb为第一段， bxl 为第二段，并把集中力 看p作是作用在第二段的初始点。
图2.6
v0
v 0
（2）刚性固定在刚性支座上，刚固端
图2.7
边界条件为:
v0
v 0
（3）弹性支座
P
v
EI
y
图2.8
x v
所谓弹性支座，在受到作用载荷P后将产生一个正比 于力P的挠度v，存在如下关系
v AP,v P K
式中A是弹性支座的柔性系数；K是弹性支座的刚性系 数。A与K互为倒数。
梁两端所受到的支座反力（剪力）R都是向上的， 根据上一节剪力符号的规定，梁右端的剪力为正，左端 剪力为负。由剪力与挠度的关系式，代入上式得到：
式中A是弹性固定端的柔性系数；K 是弹性固定端的
刚性系数，显然A与K 互为倒数。
A
EI
y
x
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H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y材料力学I 上机实验报告姓名：XX学号：XXXXX班级：XXXXX院系：XXXXX时间：2015/06/20哈尔滨工业大学1.问题描述题目4 绘制左端固定悬臂梁的剪力弯矩图输入：1.梁的总长度l2.各载荷大小、作用位置及方向（qi、ai、bi；pj、cj、mk、dk）输出：1.剪力、弯矩（图示）2.输出剪力、弯矩的最大值及截面位置。
输入时，默认均布载荷和集中力方向向下为正，集中力偶以逆时针为正。
2.程序流程⑴输入梁的总长度L，确定；输入集中力F,F位置X1，确定；输入集中力偶M,力偶位置X2，确定；输入均布载荷集度q,起始位置X3，终止位置X4，确定；⑵绘制剪力图，绘制弯矩图，即可。
3.具体某个问题和涉及到的计算公式以及相关理论左固定端悬臂梁：设梁的长度为l,集中力大小为p，作用位置为c，均布载荷大小为q，作用起始位置a，终止位置为b，集中力偶大小为m，作用位置d。
计算过程：在任意位置x处，取x以右部分为研究对象①若c<x,a<b<x,d>x,则Fs y=0,M(x)=m；②若c>x,a<b<x,d<x,则Fs y=-P,M(x)=Px-Pc；q(b-x)²；③若c<x,a<x<b,d<x,则Fs y=-q(b-x),M(x)=-2④若c<x, x<a<b,d>x,则Fs y=-q(b-a),M(x)=-q(b-a)(2ba+-x)；⑤若c>x,a<b<x,d>x,则Fs y=-P,M(x)= Px-Pc+m；(第①、②两种情况合成)⑥若c<x,a<x<b,d>x,则Fs y=-q(b-x),M(x)=m-2q(b-x)²；(第①、③两种情况合成)⑦若c<x,x<a<b,d>x,则Fs y=-q(b-a),M(x)=m-q(b-a)(2ba+-x)；(第①、④两种情况合成)⑧若c>x,a<x<b,d<x,则Fs y=-P-q(b-x),M(x)=Px-Pc-2q(b-x)²；(第②、③两种情况合成)⑨若c>x,x<a<b,d<x,则Fs y=-P-q(b-a),M(x)=Px-Pc-q(b-a)*(2ba+-x)；(第②、④两种情况合成)⑩若c>x,x<a<b,d>x,则Fs y=-P-q(b-a), M(x)=m+Px-Pc-q(b-a)*(2ba+-x)；(第①、②、④两种情况合成)⑪c>x,a<x<b,d>x, 则Fs y=-P-q(b-x), M(x)m+Px-Pc-q(b-a)*(2ba+-x); (第①、②、③两种情况合成)将上述公式编入程序即可计算出在固定端悬臂梁情况下任意位置处的剪力和弯矩，采用散点法作出梁的剪力弯矩图。
利用max函数筛选出最大值及该最大值所对应的x，即可输出最大值和最大值位置。
4.程序源代码Dim l, p, m, q, c, d, a, b, x5, x6, F1, M1 As DoublePrivate Sub Label16_Click()p = CDbl(Text2.Text)c = CDbl(Text3.Text)Label16.Caption = "√"End SubPrivate Sub Label17_Click()m = CDbl(Text4.Text)d = CDbl(Text5.Text)Label17.Caption = "√"End SubPrivate Sub Label18_Click()q = CDbl(Text6.Text)a = CDbl(Text7.Text)b = CDbl(Text8.Text)Label18.Caption = "√"End SubPrivate Sub Label19_Click()Text2.Text = ""Text3.Text = ""p = 0c = 0Label16.Caption = "O"End SubPrivate Sub Label20_Click()Text4.Text = ""Text5.Text = ""m = 0d = 0Label17.Caption = "O"End SubPrivate Sub Label21_Click()Text6.Text = ""Text7.Text = ""Text8.Text = ""q = 0a = 0b = 0Label18.Caption = "O"End SubPrivate Sub Label23_Click()Dim x, y, max, maxx As SingleDim height As Integerheight = 2 * Abs(0 - p - q * (b - a))Picture2.Scale (0, -height)-(l, height)Picture2.DrawWidth = 1Picture2.Line (0, 0)-(l, 0), vbYellowPicture2.DrawWidth = 2max = -1For x = 0 To l Step 0.001If x > b ThenIf c < x Theny = 0Else: y = -pEnd IfElseIf x > a ThenIf c < x Theny = 0 - q * (b - x)Else: y = 0 - p - q * (b - x)End IfElse:If c < x Theny = 0 - q * (b - a)Else: y = 0 - p - q * (b - a)End IfEnd IfPicture2.PSet (x, -y), vbWhiteIf Abs(y) > Abs(max) Thenmax = ymaxx = xEnd IfNext xText9.Text = Str(max)Text10.Text = Str(maxx)End SubPrivate Sub Label37_Click()Dim x, y, max, maxx As SingleDim height As Integerheight = 2 * mPicture5.Scale (0, -height)-(l, height)Picture5.DrawWidth = 1Picture5.Line (0, 0)-(l, 0), vbYellowPicture5.DrawWidth = 2max = -1For x = 0 To l Step 0.001If x > b ThenIf c < x And d > x Theny = mElseIf c > x And d < x Theny = p * x - p * cElse:y = p * x - p * c + mEnd IfElseIf x > a ThenIf c < x And d < x Theny = 0 - q / 2 * (b - x) * (b - x)ElseIf c < x And d > x Theny = m - q / 2 * (b - x) * (b - x)ElseIf c > x And d < x Theny = p * (x - c) - q / 2 * (b - x) * (b - x)Else:y = m + p * (x - c) - q / 2 * (b - x) * (b - x)End IfElse:If c < x And d > x Theny = 0 - q * (b - a) * ((a + b) / 2 - x)ElseIf c > x And d < x Theny = p * (x - c) - q * (b - a) * ((a + b) / 2 - x)Else:y = m + p * (x - c) - q * (b - a) * ((a + b) / 2 - x) End IfEnd IfPicture5.PSet (x, -y), vbWhiteIf Abs(y) > Abs(max) Thenmax = ymaxx = xEnd IfNext xText11.Text = Str(max)Text12.Text = Str(maxx)End SubPrivate Sub Label4_Click()l = CDbl(Text1.Text)Label4.Caption = "√"End SubPrivate Sub Label5_Click()Text1.Text = ""l = 0Label4.Caption = "O"End Sub5.具体问题的计算结果和结果分析（对或者不对）有一左固定端悬臂梁长l=4m，在梁中间作用有集中力P=4N，梁右端作用有集中力偶m=5N·m，左端作用均布载荷，载荷集度q=2N/m,作用图示如下。
请作出梁的剪力弯矩图，并求出剪力弯矩的最大值与其出现位置。
程序截图理论计算根据题意可得FA=8N MB=7N·m，将梁分为AB、BC段进行分析，即可作出梁的剪力、弯矩图，所作图形与程序所作结果相同。
从剪力、弯矩图上显然可以看出剪力最大值Fmax=-8N，弯矩最大值Mz=7N·m，均与程序相同，故此段程序编写正确。
6.心得体会⑴不足之处：由于本程序绘制剪力弯矩图采用的是散点法，因而在剪力或弯矩有突变时图示上会产生断点，未连接上。
而且没有画出阴影线。
⑵在这次上机编程作业中，花费了我很多时间，但是我感到收获很多。
之前的我只会使用简单基础的C++语言，然而C++语言注定不能像VB或其他语言那样美观，这样我学习了一些简单的VB的编程方法，对于我自身而说是个很大的能力提升。
对于材料力学这门课程，我一直都很感兴趣，这次实验让我学习的兴趣更加浓厚，我一定努力学习。