空间直线以及其方程的求法doc (2)
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常重要的概念，它是两点确定的一条直线。
在平面坐标系中，我们可以通过两点的坐标来确定一条直线的方程，而在空间中，我们同样可以通过一点和方向向量来确定一条直线的方程。
本文将重点介绍空间直线的标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下空间直线的一般方程。
对于空间中的一条直线l，如果它通过点P0(x0, y0, z0)并且方向向量为a=(a1, a2, a3)，那么直线l上任意一点P(x, y, z)都满足以下关系式：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3。
这就是空间直线的一般方程，通过这个方程我们可以得到直线l上任意一点的坐标。
然而，这个方程并不是最简洁的形式，为了更方便地描述直线，我们可以将其化简为标准方程。
空间直线的标准方程形式为：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3 = t。
其中t为参数，通过参数t的取值可以得到直线l上的所有点。
这个方程就是空间直线的标准方程，它是一种更加简洁和方便的描述直线的方式。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助读者更好地理解空间直线的标准方程。
例1，求过点P(1, 2, 3)并且与向量a=(2, -1, 3)平行的直线的标准方程。
解：直线l上任意一点P(x, y, z)满足方程：(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t。
这就是所求直线的标准方程。
例2，已知直线l的标准方程为(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t，求直线l上的一点坐标。
解，直线l上任意一点的坐标可以通过参数t的取值来确定，比如当t=0时，我们可以得到点P(1, 2, 3)。
当t=1时，我们可以得到另外一点，依此类推，我们可以得到直线l上的所有点。
通过以上例子，我们可以看到空间直线的标准方程在求解直线问题时具有很大的便利性，它能够简洁地描述直线的位置和方向，帮助我们更好地理解和运用空间解析几何的知识。
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
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1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
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x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间直线及其方程
x1，y2，z2．
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
P
L
M
例6 求过点(2，1，3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1
垂直相交的直线的方程．
解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为
直线L 的平面束方程．
通过直线L：
A1x A2 x
B1 y C1z D1 0, B2 y C2 z D2 0
的平面束方程
A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0．
L
例7
求直线
x y z 1 0, x y z 1 0
的方程．
在平面xyz0上的投影直线
与L的方向向量 s 平行．所以两向量的对应坐标成比例，由于
M 0M {xx 0，yy 0，zz 0}， s{m，n，p}， 从而有
z
s
M
x x0 y y0 z z0 ，
M0
m
n
p
此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程．
O
y
x
方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向
条直线的方向向量． z
确定直线的条件：
当直线L上一点M0(x0，y0，x0)
s
和它的一方向向量 s{m，n，p}
M0
为已知时，直线L的位置就完全确定了．
O
y
x
直线的对称式方程：
设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p}
空间直线及其方程
因此所求直线的方程为
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例7.6.3 求过 的交点且方向向量为
解：所给直线的参数方程为
与平面2x＋y＋z－6=0
的直线
x = 2 + t, y =3+t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t) + (3+t) + (4+2t)－6=0. 解得t =－1. 把求得的t值代入直线的参数方程中即，得 所求交点的坐标为 故所求直线方程为
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(2) 直线 l 的任一方向向量
直线的一组方向数, 而向量
角的余弦称为直线的方向余弦
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2. 直线的对称式方程与参数方程
已知直线上一点 任取直线上一点 和方向向量
则
即 向量式参数方程
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所以 坐标式参数方程
解: 先在直线上找一点.
令 x = 1, 代入直线方程得
解得
是直线上一点 .
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再求直线的方向向量
交已知直线的两平面的法向量为
因为直线与两平面的法向量垂直,所以可取
故所给直线的对称式方程为 参数式方程为
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所以投影直线的方程为
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x 5 y z 0, 例 7.6.7 求 通 过 直 线 且与平面 x z 4 0 π x 4 y 8 z 1 2 成0 角的平面． 4 解： 设所求的平面为 ( x 5 y z ) ( x z 4) 0 ，
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
空间直线及其方程
空间直线及其方程§8.4 空间直线及其方程ü直线的一般方程ü直线的参数方程和对称方程ü两直线的夹角ü直线与平面的夹角一、空间直线的一般方程定义空间直线可看成两平面的交线．Π1:A1x+B1y+C1z+D1Π2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空间直线的一般方程y注：表示同一直线的一般方程不唯一。
确定空间直线的条件•由两个平面确定一条直线；•由空间的两点确定一条直线；•由空间的一点和一个方向来确定一条直线。
二、空间直线的参数方程与对称式方程r如果一非零向量sr一条已知直线L，向量s线L的方向向量．设定点M0(x0,y0,z0)∈L,方向向量的定义：yr∀M(x,y,z)∈L,0//srs={m,n,p},M0={x−x0,y−y0,z−z0}则{x−x0,y−y0,z−z0}=t{m,n,p} x=x0+mt y=y0+ntz=z+pt0消去参数t，有直线的参数方程x−xy−yz−z==直线的对称式方程mnp直线的一组方向数方向向量的余弦称为直线的方向余弦.注：1. 表示同一直线的对称方程不唯一；2. 对称式方程可转化为一般方程;x=x0,x−x0y−y0z−z0 3.==理解为:y−y=z−z.0np p n4. 任一条直线均可表示为对称式方程.设直线过两点M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r则s={x2−x1,y2−y1,z2−z1}x−x1y−y1z−z1直线的对称方程为：==x2−x1y2−y1z2−z1例1用对称式方程及参数方程表示直线x+y+z+1=0.2x−y+3z+4=0解在直线上任取一点(x0,y0,z0)y0+z0+2=0取x0=1⇒,y0−3z0−6=0解得y0=0,z0=−2点坐标(1,0,−2),因所求直线与两平面的法向量都垂直取rrrs=n1×n2={4,−1,−3}, x−1y−0z+2对称式方程==,4−1−3x=1+4t.参数方程y=−tz=−2−3t例2 一直线过点A(2,−3,4)，且和y轴垂直相交，求其方程.解因为直线和y轴垂直相交,所以交点为B(0,−3,0),r取s=={2,0,4},x−2y+3z−4==.所求直线方程204三、两直线的夹角定义两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）x−x1y−y1z−z1直线L1:==,p1m1n1x−x2y−y2z−z2直线L2:==,m2n2p2 ^cos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+n1+p1⋅m2+n2+p2两直线的夹角公式222222两直线的位置关系：(1)L1⊥L2⇐⇒m1m2+n1n2+p1p2=0,m1n1p1==,(2)L1//L2⇐⇒m2n2p2r例如，直线L1:s1={1,−4,0},r直线L2:s2={0,0,1},rrrrQs1⋅s2=0,∴s1⊥s2,即L1⊥L2.x−4z=3例3 一直线L过点(-3,2,5)，且和直线2x−y−5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1×n2=1vj0vk−4=−{4,3,1}2−1−5∴所求直线方程v方法2:设s={m,n,p}x+3y−2z−5==.431m−4p=0mnpvvvvQs⊥n1,s⊥n2∴⇒==4312m−n−5p=0v取s={4,3,1}………x+1y−1z==例4 一直线过点M0(2,1,3)，且与直线L: 32−1垂直相交，求其方程.解设所求直线为l , 先求两直线的交点。
空间直线及其方程(2)-精品文档
y1 z3 x 5 7
北京工商大学
此直线上一定点为(0,-1,-3),方向向量为(1,5,7)
2011.2.6 8-6-12
空间直线及其方程
3x2yz 10 将 2x yz20 化为对称式方程.
法二 先求直线上一定点:以 z0 代入 ,
3 8 3 x2 y0 z 10 x ,y 7 7 xy0 z20 2
求直线与平面的交点时常用此。
2011.2.6
北京工商大学
8-6-6
空间直线及其方程
4. 空间直线的两点式 ( x , y , z ), M ( x , y , z ) 设一直线过两点 M ， 1 1 1 1 2 2 2 2
x y y z z 1 1 1 则此直线的方程为: x (4)
2011.2.6
北京工商大学
8-6-8
空间直线及其方程
例 一直线过点 A ( 2 , 3 , 4 ), 且和 y 轴垂直相 ,
求其方程 .
z
解 交点为 B ( 0 , 3 ,0 ),
取s BA
( 2 ,0 ,4 ),
所求直线方程
.A
s
.B
x
O
y
x2 y3 z 4 . 2 0 4
方向向量.
( x ,y , z ) 设一直线过 M ， 0 0 0 0 ( m , n , p ), 其方向向量为的 s
z
s L sM
M0
y
O
求此直线方程。
x
一条直线可以有许多方向向量.
2011.2.6
北京工商大学
8-6-3
空间直线及其方程
解 M ( x ,y , z ) L
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空间直线以及其方程的求法
訾然 20101105295
数学科学学院 数学与应用数学专业 10级汉二班
指导教师 李志远
摘 要 解析几何中，在建立平面与空间直线的方程与讨论他们的性质时，充分运用了向量这一工具，通过向量来处理这类问题的好处是与坐标的选取是无关的。
平面与空间直线方程的建立，就使得有关平面与空间直线的几何问题转化为这些稽核对象的方程的代数问题了。
关键词 空间直线、方向向量、参数方程、方向数
1 空间直线的方程
1.1 有直线上一点与直线的方向所决定的直线的方程
1.1.1 直线的方向向量
空间给定了一点0M 与一个非零向量v ,那么通过点0M 且与向量v 平行的直
线l 就被唯一确定,向量v 叫直线l 的方向向量.
任何一个与直线l 平行的非零向量都可以作为直线l 的方向向量.
1.1.2 直线的对称式（点向式）方程
直线l 过点),,(0000z y x M ,方向向量{}Z Y X v ,,= .设),,(z y x M 为l 上任意一
点,00r OM =, r OM =,由于M M 0与v (非零向量)共线,
则 v t r r =-0 即 v t r r +=0 （1.1-1）
叫做直线l 的向量式参数方程，（其中t 为参数）。
如果设},,{0000z y x r = ，},,{z y x r = 又设},,{Z Y X v = ，那么
（1.1-1）式得
⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=Zt z z Yt y y Xt x x 000 （1.1-2）
（1.1-1）叫做直线l 的坐标式参数方程。
消参数t 即得 Z
z z Y y y X x x 000-=-=- (1.1-3) 则(1.1-3)叫做直线l 的对称式方程或称直线l 准方程。
例1 求通过空间两点),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 的直
线方程。
解 取21M M v =作为直线l 的方向向量，设),,(z y x M 为
直线l 上的任意点（如右图），那么
},
,,{12121212z z y y x x r r M O r ---=-== 所以直线l 的向量式参数方程为：
);(121r r t r r -+= （1.1-4）
坐标式参数方程为 ⎪⎩
⎪⎨⎧-+=-==-+=)()()(121121121z z t z z y y y y x x t x x （1.1-5）
对称式方程为 1
21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- （1.1-6） 方程（3.4-4）（3.4-5）（3.4-6）都叫做直线l 的两点式方程。
1.1.3直线的方向数
①取直线l 的方向向量为 {}γβαcos ,cos ,cos 0=v ,则直线的方程为
00v t r r +=(参数方程)
或 ⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=+=γβαcos cos cos 000t z z t y y t x x （1.1-7）
标准方程 γ
βαcos cos cos 000z z y y x x -=-=- （1.1-8）
由此可见参数t 的几何意义: t 为直线l 上点M 与点0M 之间的距离. ②直线的几个问题
Ⅰ.直线的方向角与方向余弦:直线的方向向量的方向角与方向.
Ⅱ.直线的方向数:直线的方向向量的分量X,Y,Z 或与之成比例的一组数n m l ,, Ⅲ.直线的方向余弦γβαcos ,cos ,cos 与方向数n m l ,,之间的关系
222222222cos ,cos ,cos n m l n n m l m n m l l
++±=++±=++±=γβα
1.2空间直线的一般方程
1.2.1空间直线可以看作两个平面的交线。
如果两个相交平面的方程分别为01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A （1A 、1B 、1C 与2A 、2B 、2C 不成比例），则它们的交线是空间直线。
该直线上任何一点的坐标应同时满足这两个平面方程，而不在该直线上的点的坐标不能同时满足这两个方程。
所以方程组
⎩⎨⎧=+++=+++002222
1111D z C y B x A D z C y B x A （1.2-1） 就是这两个平面交线的方程。
方程（1.2-1）称为空间直线的一般方程。
1.2.2 直线的射影式方程
由于直线的表示法不唯一,通常取简单的两平面来表示直线.
如 将一般方程(特殊的一般方程)化为⎩⎨⎧+=+=d
bz y c az x (直线的射影式方程).
1.2.3 直线一般方程与标准方程的互化
① 标准方程化为一般方程.(方向数不全为零)
② 一般方程化为标准方程
一般方程⎩⎨⎧=+++=+++002222
1111D z C y B x A D z C y B x A (1)确定直线的两平面法向量21,n n 的向量积21n n ⨯为直线的一个方向
向量.
(2)取方程组的一组特解得直线l 上一点),,(0000z y x M 化得直线标准方程: 2
21
102211022110B A B A z z A C A C y y C B C B x x -=-=- 2 求空间直线的方程
2.1用对称式方程（点向式方程）求空间直线的方程
已知直线上的一点()0000,,z y x M 和它的一个方向向量{}p n m v ,,= ，设直线上
任一点为()z y x M ,,，那么M M 0与v 平行，由平行的坐标表示式有：
p z z n y y m x x 000-=-=-
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）.
例1 求过点)2,1,1(-M 且垂直于平面π：05432=-+-z y x 的直线方程。
解 因为所求直线与已知平面垂直，所以所求直线与已知平面的法向量平
行。
因此，取已知平面的法向量为所求直线的方向向量，即v =}4,3,2{-。
于是，
所求直线的方程为
4
23121-=-+=-z y x 。
例 2 求过点(1,2,-1)且与平面052=-++z y x 和平面02=-+-z y x 平行的直线方程。
解 因为所求直线分别与两个已知平面平行，那么所求直线的方向向量与这两个平面的法向量都垂直。
因此，取所求平面的方向向量为这两个平面法向量的向量积，即
v =21n n ⨯=1
1121
1-k j i =k j i 23-+ 于是，所求直线的方程为
2
11231-+=-=-z y x 。
例3 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0
101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程 解 应用平面束的方法
设 过直线⎩⎨⎧=++-=--+0
101z y x z y x 的平面束方程为
()()011=++-+--+z y x z y x λ
即 ()()()01111=-++-+-++λλλλz y x 这平面与已知平面0=++z y x 垂直的条件是
()()()0111111=⋅+-+⋅-+⋅+λλλ
解之得 1-=λ
代入平面束方程中得投影平面方程为01=--z y
所以投影直线为
⎩⎨⎧=++=--0
01z y x z y
2.2 两点式求空间直线方程
已知空间任意两点()()22221111,,,,,z y x M z y x M ，即可知平行于21M M 的直线的方向向量{}12121221,,z z y y x x M M v ---== ，则过1M 的直线方程为
1
21121121z z z z y y y y x x x x --=--=-- 参考文献
[1]吕林根 许子道.《解析几何》第四版.高等教育出版社.2006.05.
[2]同济大学应用数学系.《高等代数与解析几何》.高等教育出版社.2005.05.。