微课课件余弦定理
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余弦定理课件全文
2ac cos C a2 b2 c2
2ab
问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？
三、 定理应用
1、解三角形的概念：
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的6
个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三 角形.
在 ABC中,CA=2,CB=5, ACB 60o ,求AB.
§6.4.3(1)余弦定理
一、 情境引入
如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要 修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得
CA=2km,CB=5km，ACB 60o .请问，
你能求出隧道AB的长度吗？
问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？
A
在 ABC中,CA=2,CB=5,ACB 60o,求AB.
问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.
二、 新知探究 4、余弦定理的推论
c2 a2 b2 2abcosC b2 a2 c2 2ac cosB a2 b2 c2 2bc cos A
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
当c 3时，cos A b2 c2 a2 - 1 ，0o A 180 o , A 120 o ,C 30o
2bc
2
当c 6时，cos A b2 c2 a2 1 ，0o A 180 o , A 60o ,C 90o
2bc
2
综上所述，A 120 o , C 30o，c 3或 A 60o ,C 90o，c 6.
已知三角形的两边 a, b及其夹角 C，求第三边 c. A
①用向量表示几何元素
2ab
问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？
三、 定理应用
1、解三角形的概念：
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的6
个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三 角形.
在 ABC中,CA=2,CB=5, ACB 60o ,求AB.
§6.4.3(1)余弦定理
一、 情境引入
如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要 修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得
CA=2km,CB=5km，ACB 60o .请问，
你能求出隧道AB的长度吗？
问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？
A
在 ABC中,CA=2,CB=5,ACB 60o,求AB.
问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.
二、 新知探究 4、余弦定理的推论
c2 a2 b2 2abcosC b2 a2 c2 2ac cosB a2 b2 c2 2bc cos A
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
当c 3时，cos A b2 c2 a2 - 1 ，0o A 180 o , A 120 o ,C 30o
2bc
2
当c 6时，cos A b2 c2 a2 1 ，0o A 180 o , A 60o ,C 90o
2bc
2
综上所述，A 120 o , C 30o，c 3或 A 60o ,C 90o，c 6.
已知三角形的两边 a, b及其夹角 C，求第三边 c. A
①用向量表示几何元素
《余弦定理》课件
2 计算三角形内角
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
高三数学余弦定理5省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
第14页
四类解三角形问题： （1）已知两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）已知两边和其中一边对角，求其它边和角。 （3）已知两边和它们夹角，求第三边和其它两 个角； （4）已知三边，求三个角。
第15页
必做题：等腰三角形底边长为a，腰长为 2a,求腰上中线长。 选做题：已知一钝角三角形边长是三个连续 自然数，求该三角形三边长。
； .au/ 悉尼驾照翻译
第18页
求角A、Ｂ、Ｃ。
例2、在△ABC中，已知a 2 3, c 6 2, B 45O 求b及Ａ
例３、在△ABC中，a 2 b 2 c 2 ，那么Ａ是（ ）
Ａ、钝角
Ｂ、直角
Ｃ、锐角
Ｄ、不能确定
那a 2 b 2 c 2呢?
第11页
提炼：设a是最长边，则 △ABC是钝角三角形 a 2 b 2 c 2
△ABC是锐角三角形 a 2 b 2 c 2
△ABC是直角角三角形 a 2 b 2 c 2
例4、 △ABC中，a 3, b 7, c 2 求B，并判断 △ABC形状。
第12页
变式练习： 1.已知:a=7,b=8,c=3,求A. 2.已知:a=7,b=8,c=3,试判断
此三角形形状.
第13页
第16页
（1）若三角形三个角比是1：2：3，最大边 是20，则最小边是_____.
（2）若A,B,C是⊿ABC三个内角，则 sinA+sinB____sinC.
(3)在ABC中，C 2B,则sin 3B 等于( ) sin B
A.b/a
B.a/b
C.a/c
D.c/a
第17页
！诸人要从自己の夫君那里花银子买首饰，而且她の夫君竟然还是家财万贯の雍亲王爷，这要是让外人晓得咯，还不被人笑掉咯大牙？爷不是最讲脸面の人 吗？怎么这壹次竟然不论不顾起来咯！而且这各按照市价公事公办，也就意味着他苏总管不用送给年侧福晋壹各顺水人情，不需要打任何折扣，而且王爷の那 番吩咐甚至是在向他暗示，壹分钱都不要少收咯侧福晋，不过明眼人谁都看得出来，那物件必定是哪各官员、门客，或是幕僚呈送上来の贡礼。王爷壹分钱没 花，还从侧福晋那里收咯银子回来，这不是无本万利吗？爷可真会做买卖！遥想当年，王爷在户部主事，向达官显贵们追讨官府欠银の时候确实没有心慈手软 过，连十小格都没能逃过他の火眼金睛和围追堵截，被逼入死胡同の十小格最终壹气之下，跑到大街上摆摊变卖家产以示抗议。那场沸沸扬扬の讨债最终闹到 皇上那里，还是由皇上替十小格说咯好话，王爷才算是收手不予追究。现在倒好，王爷竟然发展到直接经营空手套白狼の营生上来咯，挣の还是自己府里の诸 人の银子，这，这可真是旷世奇谈！不过，王爷倒也确实是对得起“铁面无私”这几各字の评语，亲弟兄、明算帐，夫妻俩、账算明。不论未来会被众人怎样 耻笑，王爷已经吩咐咯の事情，苏培盛只有不折不扣地执行。壹从书院回来，苏总管赶快将采办太监鲁小七叫咯来，大致口头描述咯那套首饰の质地、做工、 款式、大小，然后问他大约值好些两银子。鲁小七听完之后，万般为难、磨磨叽叽地开口说道：“总管，小の没看到那物件，真不好胡乱开价。”第壹卷 第 414章 五千鲁小七可是比猴子都精の壹各灵巧鬼，当然咯，傻笨之人也当不咯采办の差事。鲁小七也听说咯王爷要向年侧福晋收银子の事情，现在苏培盛向他 问来那件首饰の价格，马上猜测到苏总管这是在向他寻价呢。苏培盛本身就是壹各老滑头，壹见鲁小七竟然敢跟他耍滑头，心中暗笑，这小子简直就是小巫见 大巫，不知死活，于是没好气儿地说道：“你想投靠山也得认清主子不是！那院主子是给咯你金山银山，还是许咯你飞黄腾达？不就是娘家有点儿势力嘛，那 还不壹样都是爷の奴才！你可真是越活越缩抽咯，分不清哪各主子才是你の主子！”苏培盛可真是猜错咯！鲁小七跟水清没有壹点儿交情，他怎么可能会去偏 帮水清，他只是不想惹火上身，要离这趟浑水远远の。可是，他想躲也没有用，苏培盛怎么可能放过他！被逼到死胡同里の鲁小七，无可奈何之下只好战战兢 兢地开口道：“小の确实没有见过，这是实话，苏总管您也是晓得の。不过，假设按照您刚才大致说の那各样子，小の估摸着，最少也得五千两银子 吧。”“五千两？”苏培盛倒吸咯壹口冷气！继而开始嘬起咯牙花子。即使他看着那套首饰の时候也是不小地吃咯壹惊，也认可那确实是各稀罕物件，不过壹 听到这各价格，还真是大大地出乎咯他の意料：怪不得爷会向年侧福晋讨要银子呢，确实是价值不菲，不过，话又说回来咯，爷怎么会跟诸人计较银子？而且 数目这么大の银子，爷对诸人，不，是爷对年侧福晋可真是没有壹点情面可讲呢。鲁小七壹见苏总管直皱眉头，就晓得这事儿要坏。他刚才就是担心，不论他 说啥啊价钱，苏培盛都会联想到他有办差吃差价の巨大嫌疑。以往苏总管不怎么查账，只要账面上大致说得过去也就睁壹眼闭壹眼不太计较。可是当他听苏培 盛描述咯那件首饰の样式之后，也是极为震惊，那件首饰少说也要五千两，可是这各价格，任谁都不敢相信。因为不相信，造成苏培盛自然而然地凭空猜测他 在采办の过程中使咯暗收回扣、低进高出之类の伎俩。果不其然，鲁小七の担心非常有道理，现在苏总管壹副震惊和难以置信の神情，将他搞得苦不堪言。这 壹次他真の是据实相告，可是他平时办差の时候确实没少干低进高出、终饱私囊の勾当。假设因为今天の事情牵扯出来以往の损公肥私，他可真是小命很快矣。 壹想到这里，鲁小七忙不迭地调动起他那三寸不烂之舌，小心翼翼地解释道：“总管，先不说别の，光是您说の那上面镶の东珠和七彩宝石，就得值上各两三 千两银子，另外这首饰可是足金呢！照您说の那各尺寸、那各份量，也得有各两千两银子，还有工费呢，这还不算商家赚の银子呢，所以，小の说五千两，绝 对是没有多说，而且是只少不多！”第壹卷 第415章 天价苏培盛可没有闲功夫听这鲁小七の喋喋不休，挥挥手就打发走咯小太监。只剩他壹各人の时候，苏 培盛可是彻底地为难咯！五千两，真不是壹各小数目！记得侧福晋刚嫁进府里来の第壹各月就被罚咯月银，然后因为交不上来罚银，拖咯几各月，用每个月の 例钱补交上来。连区区三、五百两の银子交得都那么困难，现在这令人瞋目惊舌の五千两还不要咯她の命？要说爷呢，这回可是真够狠の！壹出手可就是五千 两！原本爷也不是这么の壹各人呢，对诸人不但慷慨大方，而且怜香惜玉，怎么对年侧福晋就能这么不留情面，竟然下得去狠手？噢，对咯，预计爷对侧福晋 坏咯他和年仆役の好事，心存不满，特意选咯这么各最珍贵の东西做贺礼，好好借这各机会变相地惩治壹番侧福晋，以解心头之气和夺妻之恨。可是这夺妻之 恨应该算到二十三爷の头上，跟侧福晋有啥啊关系！再怎么惩治侧福晋，就是罚她壹各五十万两，也换不回来那婉然仆役。倒是侧福晋，这回预计是要被爷罚 得倾家
余弦定理(55张PPT)
2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：
正弦定理和余弦定理ppt课件
总结词
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
正弦定理和余弦定理在物理学中有着 广泛的应用。
详细描述
在物理学中，许多现象可以用三角函数来描 述，如重力、弹力等。通过正弦定理和余弦 定理，我们可以更准确地计算这些力的作用 效果，从而更好地理解和分析物理现象。
06 总结与展望
总结正弦a、b、c与对应的角A、B、C 的正弦值之比都相等，即$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。
表达式形式
正弦定理的表达式形式简洁，易于理解和记 忆。相比之下，余弦定理的表达式较为复杂
，需要更多的数学基础才能理解和应用。
定理间的互补性
要点一
解决问题时的互补性
在解决三角形问题时，正弦定理和余弦定理常常是互补使 用的。对于一些问题，使用正弦定理可能更方便；而对于 另一些问题，使用余弦定理可能更合适。通过结合使用两 种定理，可以更全面地理解三角形的性质和关系，从而更 好地解决各种问题。
深入研究正弦定理和余弦定理的性质
可以进一步研究正弦定理和余弦定理的性质，如推广到多边形、高维空间等。
开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件
可以开发基于正弦定理和余弦定理的算法和软件，用于解决实际问题。
如何进一步深化理解与应用
深入理解正弦定理和余弦定理的证明过程
01
理解证明过程有助于更好地理解和应用正弦定理和余弦定理。
02 正弦定理
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形各边与其对应角的正弦值 之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其相对角的正弦值的比值都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，其中$a, b, c$分别代表三角形 的三边长度，$A, B, C$分别代表与三边相对应的角。
余弦定理PPT课件
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用 什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识 典型例题
例 在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的 最大角和最小角（精确到1°）.
解 由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦 定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角， 根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C
《高一数学余弦定理》课件
《高一数学余弦定理》ppt课件
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
• 余弦定理的引入 • 余弦定理的证明 • 余弦定理的应用 • 余弦定理的拓展 • 习题与解答
01 余弦定理的引入
三角形的边角关系
三角形的基本性质
三角形有三条边和三个角，这些 边和角之间存在一定的关系，这 是三角形的基本性质。
边角关系的重要性
理解三角形的边角关系是解决三 角形问题的关键，对于后续学习 余弦定理等知识点至关重要。
基础习题2
在三角形ABC中，已知A=45°， B=60°，a=2，求b的值。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=2, b=2√3, B=60°，求角A的大小
。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知A=45°，a=3, c=√13，求 b的值。
提升习题2
已知三角形ABC中，a=4, b=5, C=120°，求边c 的大小。
推论三
若三角形ABC的两边AB、 AC与平面α所成的角相等 ，且三角形ABC的两角相 等，则三角形ABC的两边 AB、AC与平面α所成的角 相等。
余弦定理在空间几何中的应用
应用一
在空间几何中，余弦定理可以用来解 决与角度和距离有关的问题，例如计 算点到平面的距离、两平面之间的夹 角等。
应用二
应用三
详细描述
首先，我们知道三角形的面积公式为S=1/2ab*sinC，其中a、b为三角形两边， C为两边之间的夹角。然后，利用三角形的面积公式和余弦定理的关系，我们可 以推导出余弦定理的表达式。
利用勾股定理证明余弦定理
总结词
勾股定理证明余弦定理是通过勾股定理和余弦定理的关系来推导余弦定理的表达式。
详细描述
应用二
在工程学中，余弦定理可以用来解 决与结构工程和机械工程有关的问 题，例如计算结构的承载能力、判 断结构的稳定性等。
《正弦定理余弦定理》课件
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基础习题2
基础习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所对 的边分别为a、b、c，若$a = 8, b = 10, C = 45^{circ}$，求边c。
在三角形ABC中，已知A=60°，a=3, b=4, 求角B的大小。
进阶习题
进阶习题1
在三角形ABC中，已知A=45°， a=5, b=5sqrt{2}, 求边c。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中，任意一边与其对应角的正弦值的比等于其他两边的平方和与该边的平方的差的平 方根。余弦定理则是指在一个三角形中，任意一边的平方等于其他两边的平方和减去两倍的另一边与其对应角的 余弦值的乘积。
定理的推导过程
总结词
正弦定理和余弦定理的推导过程涉及到三角函数的定义、性质以及一些基本的 代数运算。
进阶习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 10, b = 8, C = 120^{circ}$，求 边c。
进阶习题3
已知三角形ABC中，角A、B、C所 对的边分别为a、b、c，若$a = 6, b = 8, C = 60^{circ}$，求边c。
综合习题
综合习题1
面积求解
总结词
余弦定理还可以用于计算三角形的面积，通过已知的两边及其夹角，使用面积公式进行计算。
详细描述
已知边a、边b和夹角C，可以使用余弦定理结合面积公式计算三角形ABC的面积，公式为：S = 1/2 ab sin(C)。
PART 04
正弦定理与余弦定理的对 比与联系
REPORTING
定理的异同点
详细描述
首先，利用三角函数的定义和性质，我们可以得到一些基本的等式。然后，通 过一系列的代数运算，将这些等式转化为正弦定理和余弦定理的形式。
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4
课堂小结 余弦定理的作用：
a、已知两边及一个角，求第三边，进而 可求出其它两个角 b、已知三边，求三个角 c、已知二次关系式求其中一个角
作业：一线精炼第三页
c (a b) 2 2 a 2a b b
2 2
a 2abcosC b
2 2 2 2
2
c a b 2abcosC
同样的方法你能推出另外的两个吗？
三、新课探究 余弦定理
A
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC B a C 三角形任何一边的平方 等于其他两边平方的和减去 你能用文字说明吗？ 这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
.
A
.B
8
求AB=?
| AB | | CA |
2 2 2
120
25Βιβλιοθήκη 2C | CB |
2 | CA || CB | cosC
1 8 5 2 8 5 ( ) 129 2 | AB | 129
设 7 ,2,1对 的 角 分 别 是 a，b，c A是 最 大 的 4 1- 7 1 cosA 4 2
2 2 2
2 a b c 2ab cosC 2
2 2 2
例 3.在ABC中 , a c b 2ab, 求C
又 C （0，） C
用余弦定理可以求边 , 那么怎么求角呢？ a2=b2+c2-2bc· cosA A
四、公式变形
cosA= b2+c2 - a2 2bc c2+a2 b2
c B
cosC=
b a C
2ca 应用：已知三边求角（变形）
cosB=
a2+b2 - c2 2ab
练一练：会用才是硬道理
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，求 它的最大内角。
学习目标
1.掌握余弦定理的推导过程； 2.能初步应用余弦定理求角求边.
分析转化: 实际问题数学化
A
在△ABC中，已知边AC，BC及角C ,求AB. 8
c= ?
c
120
0
一般化:
B
5
已知三角形两边分别为a和b,这两 边的夹角为C，求出第三边c？
A
b
c
ab
a
B
c | a b |
一、复习回顾
1、正弦定理内容：
a b c 2R sin A sinB sinC
2、正弦定理可以解哪几类的三角形问题？
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （进而求出其他的边和角）。
二、新课引入
.
A
.
8
120
C
5
B
因为某种实际需要，需测量上图中A、B二点间 的距离。如何测量？
课堂小结 余弦定理的作用：
a、已知两边及一个角，求第三边，进而 可求出其它两个角 b、已知三边，求三个角 c、已知二次关系式求其中一个角
作业：一线精炼第三页
c (a b) 2 2 a 2a b b
2 2
a 2abcosC b
2 2 2 2
2
c a b 2abcosC
同样的方法你能推出另外的两个吗？
三、新课探究 余弦定理
A
a2=b2+c2-2bc· cosA
b
c
b2=c2+a2-2ca· cosB
c2=a2+b2-2ab· cosC B a C 三角形任何一边的平方 等于其他两边平方的和减去 你能用文字说明吗？ 这两边与它们夹角的余弦的 积的两倍。
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A
.B
8
求AB=?
| AB | | CA |
2 2 2
120
25Βιβλιοθήκη 2C | CB |
2 | CA || CB | cosC
1 8 5 2 8 5 ( ) 129 2 | AB | 129
设 7 ,2,1对 的 角 分 别 是 a，b，c A是 最 大 的 4 1- 7 1 cosA 4 2
2 2 2
2 a b c 2ab cosC 2
2 2 2
例 3.在ABC中 , a c b 2ab, 求C
又 C （0，） C
用余弦定理可以求边 , 那么怎么求角呢？ a2=b2+c2-2bc· cosA A
四、公式变形
cosA= b2+c2 - a2 2bc c2+a2 b2
c B
cosC=
b a C
2ca 应用：已知三边求角（变形）
cosB=
a2+b2 - c2 2ab
练一练：会用才是硬道理
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，求 它的最大内角。
学习目标
1.掌握余弦定理的推导过程； 2.能初步应用余弦定理求角求边.
分析转化: 实际问题数学化
A
在△ABC中，已知边AC，BC及角C ,求AB. 8
c= ?
c
120
0
一般化:
B
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已知三角形两边分别为a和b,这两 边的夹角为C，求出第三边c？
A
b
c
ab
a
B
c | a b |
一、复习回顾
1、正弦定理内容：
a b c 2R sin A sinB sinC
2、正弦定理可以解哪几类的三角形问题？
（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角 （进而求出其他的边和角）。
二、新课引入
.
A
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8
120
C
5
B
因为某种实际需要，需测量上图中A、B二点间 的距离。如何测量？