云南省2012届高三数学 空间点线面之间的关系单元测试
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题(含答案)
空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分）1. 已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么（ ）A ．α∥βB ．α与β相交C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交2. 两条直线a ，b 满足a ∥b ，b α⊂，则a 与平面α的关系是( )A.a ∥αB.a 与α相交C.a 与α不相交D.a α⊂3.对于命题：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两直线平行；④垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有( )A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个4. 经过平面外两点与这个平面平行的平面 （ ）A ．只有一个B ．至少有一个C ．可能没有D ．有无数个5.过三棱柱111ABC A B C -的任意两条棱的中点作直线，其中与平面11ABB A 平行的直线共有（ ）A. 3条B. 4条C. 5条D. 6条6. a ，b 是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）A.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一个平面与a ，b 平行B.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 相交C.过不在a ，b 上的任一点P ，可作一条直线与a ，b 都平行D.过a 可以并且只可以作一平面与b 平行7.n m ,是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖8.如图1，正四面体ABCD 的棱长均为a ，且AD ⊥平面α于A ，点B ，C ，D 均在平面α外， 且在平面α同一侧，则点B 到平面α的距离是（ ）A ．2aB ．3aC ． 22aD 3a图1 图29.如图2，已知六棱锥P ABCDEF -的底面是正六边形，,2PA ABC PA AB ⊥=平面，则下列结论正确的是Ａ.PB AD ⊥ Ｂ.平面PAB PBC ⊥平面C. 直线BC ∥平面PAE Ｄ.PD ABC ︒直线与平面所成的角为4510.点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，则PA 与BD 所成角的度 数为 （ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11.已知二面角l αβ--的大小为50，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是025的直线的条数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5α A B CD12.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，顶点1B 到对角线1BD 和到平面11A BCD 的距离分别为h 和d ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为(0,1)B ．若侧棱的长小于底面的边长，则h d 的取值范围为223(,) C ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d的取值范围为23(,2) D ．若侧棱的长大于底面的边长，则h d 的取值范围为23(,)3+∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图3，△ABC 和△DBC 所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD 与平面BCD 所成的角为 .14.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A ，E ，C 的平面的位置关系是 .15.若一个n 面体有m 个面是直角三角形，则称这个n 面体的直度为m n，则在长方体ABCD —1111A B C D 中，四面体1A ABC -的直度为 .16.βα,表示平面，l 表示既不在α内也不在β内的直线，存在以下三个事实：①l ⊥α； ②l ∥β；③α⊥β.若以其中两个为条件，另一个为结论，构成命题，其中正确命题的个数为 个.三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.如图4，在正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱BC 的中点．求证：(1)D C AD 1⊥；(2)1//A B 平面1ADC ．18. 如图5，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面 垂直，90BAC ∠=，M ，N 分别是11A B ，BC的中点．（1）证明：1AB AC ⊥；（2）判断直线MN 和平面11ACC A 的位置关系，并加以证明．A B B 1 C C 1A 1 M N CB A A BC D19. 如图6，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为棱AD ，AB 的中点．(1)求证：平面11C CAA ⊥平面11D CB ；(2)如果1=AB ，一个动点从点F 出发在正方体的表面上依次经过棱1BB ,11C B ,11D C ,D D 1,DA 上的点，最终又回到点F ，指出整个路线长度的最小值并说明理由.20. 如图7，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且 2SA SC a ==2SB SD a ==，点E 是SC 上的点，且(02).SE a λλ=<≤（1）求证：对任意的(0,2]λ∈，都有BD AE ⊥；（2）若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小.21.某厂根据市场需求开发折叠式小凳，如图8所示. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm ，② 三根细钢管相交处的节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线垂直于凳面和地面.（1）若凳面是边长为20cm 的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45，确定节点O 分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；（2）若凳面是顶角为120的等腰三角形，腰长为24cm ，节点O分细钢管上下两段之比为2:3. 确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm ）22.如图9所示，在边长为12的正方形AA'A 1'A 1中，点B ，C 在线段AA'上，且AB ＝3，BC ＝4，作BB 1//AA 1，分别交A 1A 1'、AA 1'于点B 1，P ，作CC 1//AA 1，分别交A 1A 1'，AA 1'于点C 1，Q ，将该正方形沿BB 1，CC 1折叠，使得A'A 1'与AA 1重合，构成如图10所示的三棱柱ABC －A 1B 1C 1．（1）在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，求证：AB⊥平面BCC 1B 1；（2）求平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分几何体的体积之比．A B C O 图9 A B C A' A 1 B 1 C 1 A 1' P Q 图A B CA 1B 1C 1P Q A D A 1 B 1 C 1 D 1E空间点、直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题 1~6 DC BC D D 7~12 DAD C BC提示:3.对于①平行于同一直线的两个平面平行，反例为：把一支笔放在打开的课本之间；②是对的,③是错的；④是对的5.取1111,,,AC BC B C AC 中点,,,E F M N ，直线分别为,,,,,EF MN EN EM FM FN 都与平面11ABB A 平行.6.如图所示，在直线a 上任取一点P ，过P 作b ′∥b ，则a ∩b ′=P.那么a与b ′确定一个平面α.因为b ∥b ′，b ′⊂α，b ⊄α，所以b ∥α.所以过a 可以作一个平面α与b 平行.假设还可作一平面β与b 平行，则α∩β=a ，b ∥α，b ∥β，所以a ∥b.这与a 、b 异面相矛盾，即假设不成立.所以只有一个平面α.综上所述，过a 有且只有一个平面与b 平行.故选D.7. ,m n 均为直线，其中,m n 平行α，,m n 可以相交也可以异面，故A 不正确； m ⊥α，n ⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行；选D8．取AD 的中点M ，易证AD ⊥平面BCM ，故平面BCM //平面α，平面BCM到平面α的距离为2a ，即为B 到平面α的距离. 9.因AD 与AB 不相互垂直，排除A ；作PB AG ⊥于G ，因平面⊥PAB 平面ABCDEF ，而AG 在平面ABCDEF 上的射影在AB 上，而AB 与BC 不相互垂直，故排除B ；由EF BC //，而EF 是平面PAE 的斜线，故排除C ，故选择D.10.将图形补成一个正方体如图，则PA 与BD 所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′．在等边三角形DBC′中，∠DBC′=60°，即PA 与BD所成角为60°．12.设底面边长为1，侧棱长为(0)λλ>，过1B 作1111,B H BD B G A B ⊥⊥.在11Rt BB D ∆中，21112,2B D B D λ==+，由三角形面积关系得11112122B D BB h B H B D λλ⋅===+ 设在正四棱柱中，由于1,BC AB BC BB ⊥⊥， 所以BC ⊥平面11AA B B ，于是1BC B G ⊥，所以1B G ⊥平面11A BCD ，故1B G 为点1B 到平面11A BCD 的距离，在11Rt A B B ∆中，又由三角形面积关系得1111211A B BB d B G A B λ⋅===+于是2222112122h d λλλ⋅+==⋅-++， 于是当1λ>，所以222123,1132λλ+><-<+，所以23(,2)3h d ∈ 二、填空题 13. 45° 14.BD 1∥平面AEC 15.1 16.2提示：13.作AO ⊥CB 的延长线，连接OD ，则OD 即为AD 在平面BCD 上的射影，因为AO =OD =23a ,所以∠ADO =45°. 14.连接AC ，BD 相交于一点O ，连接OE ，AE ，EC .因为四边形ABCD 为正方形，所以DO ＝BO .而DE ＝D 1E ，所以EO 为△DD 1B 的中位线， 所以EO ∥D 1B ,所以BD 1∥平面AEC . 15.本题主要考查空间的垂直关系，由图形得四面体ABC A -的每个面都是直角三角形，所以144==n m . 16.由①②⇒③、①③⇒②是正确命题，由②③不能得到①. 三、解答题17.证明:（1）因为三棱柱111C B A ABC -是正三棱柱，所以⊥C C 1平面ABC ， 又⊂AD 平面ABC ，所以AD C C ⊥1.又点D 是棱BC 的中点，且ABC ∆为正三角形，所以AD BC ⊥.因为1BC C C C =，所以⊥AD 平面11B BCC ，又因为1DC ⊂平面11B BCC ，所以D C AD 1⊥．(2)连接C A 1交1AC 于点E ，再连接DE ．因为四边形11ACC A 为矩形，所以E 为C A 1的中点，又因为D 为BC 的中点，所以1//ED A B . 又1A B ⊄平面1ADC ，ED ⊂平面1ADC ，所以1//A B 平面1ADC ．18.证明：(1)因为1CC ⊥平面ABC ，又AB ⊂平面ABC ，所以1CC ⊥AB ．由条件90BAC ∠=，即AC ⊥AB ，且1ACCC C =，所以AB ⊥平面11ACC A ． 又1AC ⊂平面11ACC A ，所以1AB AC ⊥．（2）MN ∥平面11ACC A ，证明如下：设AC 的中点为D ，连接DN ，1A D ．因为D ，N 分别是AC ，BC 的中点，所以DN //=12AB ． 又1A M =1211A B ，11A B //=AB ，所以1A M //=DN ． 所以四边形1A DNM 是平行四边形．所以1A D ∥MN ．因为1A D ⊂平面11ACC A ，MN ⊄平面11ACC A ，所以MN ∥平面11ACC A ．C19.（1）证明:因为在正方体1AC 中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以 AA 1⊥B 1D 1.又因为在正方形A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1⊥B 1D 1，所以 B 1D 1⊥平面CAA 1C 1.又因为 B 1D 1⊂平面CB 1D 1，所以平面CAA 1C 1⊥平面CB 1D 1．(2)最小值为 .如图，将正方体六个面展开成平面图形，从图中F 到F ，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 上的中点，所求的最小值为 . 20解：（1）连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O. 由底面是菱形，得.BD AC ⊥ SB SD =，O 为BD 中点，.BD SO ∴⊥又AC SO O ⋂=，BD ∴⊥面SAC.又AE ⊂面SAC ，.BD AE ∴⊥（2）取SC 的中点F ，连结OF ，OE ，//.SA OF ∴OF ∴与平面EDB 所成的角就是SA 与平面EDB 所成的角.SC ⊥平面BED ，FE ∴⊥面BED ，E 为垂足，EOF ∴∠为所求角.在等腰CSB ∆中，2,SC BC a SB ===，得底边SB 上的高为.CH =SC BE SB CH ∴⋅=⋅，2BE ∴==.所以在1,,2Rt BES SE a ∆==中所以11.22EF a a a ∴=-=在Rt FEO ∆中，1,sin .2EFOF a EOF OF =∴∠==即直线SA 与平面BED 所成角为.6π21.解：（1）设△ABC 的重心为H ，连结OH . 由题意，得BH =设细钢管上下两段之比为λ.已知凳子高度为30. 则301OH λλ=+.因为节点O 与凳面三角形ABC 重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.所以OBH ∠就是OB 与平面ABC 所成的角，亦即45OBH ∠=. 30,13BH OH λλ==+因为所以，解得0.63λ=≈.即节点O 分细钢管上下两段的比值约为0.63.（2）设120,24B AB BC ∠===所以，AC =FF设△ABC 的重心为H ，则8,BH AH ==由节点O 分细钢管上下两段之比为2:3，可知12OH =.设过点A B C ,,的细钢管分别为,,AA BB CC '''，则560.82AA CC OA ''====≈，536.12BB OB '===≈， 所以对应于A B C ,,三点的三根细钢管长度分别为60.8cm ，36.1cm 和60.8cm . 22.（1）证明:在正方形AA'A 1'A 1中，因为A'C ＝AA'－AB －BC ＝5，所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5． 因为AB ＝3，BC ＝4，所以AB 2＋BC 2＝AC 2．所以AB⊥BC．因为四边形AA'A 1'A 1为正方形，BB 1//AA 1，所以AB⊥BB 1．而BC∩BB 1＝B ，BC ⊂平面BCC 1B 1，BB 1⊂平面BCC 1B 1，所以AB⊥平面BCC 1B 1．(2)解：因为AB⊥平面BCC 1B 1，所以AB 为四棱锥A －BCQP 的高．因为四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7，所以梯形BCQP 的面积为S BCQP ＝12(BP ＋CQ)×BC＝20．所以四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S BCQP ×AB＝20．由(1)，知BB 1⊥AB，BB 1⊥BC，且AB∩BC＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ．所以BB 1⊥平面ABC ．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直棱柱．所以三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为V ABC －A 1B 1C 1＝S △ABC ×BB 1＝72．故平面APQ 将三棱柱ABC －A 1B 1C 1分成上、下两部分的体积之比为72－2020＝135．。
立体几何第二章空间点线面的位置关系单元测试题(含详细答案解析)
第二章综合素能检测本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线l1∥l2，在l1上取3个点，在l2上取2个点，由这5个点能确定平面的个数为错误!（）A．5B．4C．9D．1［答案] D[解析］由经过两条平行直线有且只有一个平面可知分别在两平行直线上的5个点只能确定一个平面．2．教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线错误!（)A．平行B．垂直C．相交D．异面[答案] B[解析］当直尺垂直于地面时，A不对;当直尺平行于地面时,C不对；当直尺位于地面上时，D不对．3．已知m、n是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题正确的是错误!(）A．若α、β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m、n平行于同一平面，则m与n平行C．若α、β不平行．．．与β平行的直线．．．,则在α内不存在D．若m、n不平行．．．垂直于同一平面．．．，则m与n不可能[答案］ D［解析]A项，α、β可能相交，故错误；B项，直线m、n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面,故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n,m∥n，则m∥β，故错误;D项，假设m、n垂直于同一平面,则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．4．已知α、β是两个平面,直线l⊄α，l⊄β,若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件,另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有错误!（)A．①③⇒②；①②⇒③B．①③⇒②；②③⇒①C．①②⇒③；②③⇒①D．①③⇒②；①②⇒③;②③⇒①［答案] A［解析]因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，又因为l⊥α,所以l∥m.又因为l⊄β，所以l∥β,即①③⇒②；因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n⊂β，所以α⊥β，即①②⇒③.5．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，若过C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H一定在导学号 92180601（)A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC的内部[答案] B[解析］∵∠BAC＝90°,∴BA⊥AC．又∵BC1⊥AC,∴AC⊥平面ABC1，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，∴C1在面ABC上的射影在直线AB上．6．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有错误!（) A．1条B．2条C．3条D．4条[答案] B［解析］如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线,当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．7．（2016·浙江文）已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则错误!(）A．m∥l B．m∥nC．n⊥l D．m⊥n[答案］ C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时,m∥l；选项B,只有当m⊥β时,m∥n；选项C,由于l⊂β,∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n,故选C．8．（2016·南安一中高一检测)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱BC 和棱CC1的中点，则异面直线AC与MN所成的角为错误!（）A．30°B．45°C．60°D．90°[答案] C[解析］如图，连接A1C1、BC1、A1B．∵M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，∴MN∥BC1。
空间点,直线,平面的位置关系试题(含答案)2
空间角和距离一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线m 与平面α间距离为d ，那么到m 与α距离都等于2d 的点的集合是（ ）A ．一个平面B ．一条直线C ．两条直线D ．空集 2．异面直线a 、b 所成的角为θ，a 、b 与平面α都平行，b ⊥平面β，则直线a与平面β所成的角（ ）A ．与θ相等B ．与θ互余C ．与θ互补 D ．与θ不能相等．3．在正方体ABCD —A 'B 'C 'D '中，BC '与截面BB 'D 'D 所成的角为（ ） A ．3πB ．4π C ．6πD ．arctan24．在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2及G 2G 3的中点，D是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，那么，在四面体S －EFG中必有（ ）A ．SG ⊥△EFG 所在平面B ．SD ⊥△EFG 所在平面C ．GF ⊥△SEF 所在平面D ．GD ⊥△SEF 所在平面 5．有一山坡，它的倾斜角为30°，山坡上有一条小路与斜坡底线成45°角，某人沿这条小路向上走了200米，则他升高了（ ）A ．1002米 B ．502米 C ．256米D ．506米6．已知三棱锥D －ABC 的三个侧面与底面全等，且AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则以BC 为棱，以面BCD 与面BCA 为面的二面角的大小为 （ ）A ．arccos33 B ．arccos 31 C ．2π D ．32π7．正四面体A —BCD 中E 、F 分别是棱BC 和AD 之中点，则EF 和AB 所成的角 （ ） A ．45︒ B ．60︒ C．90︒D ．30︒8．把∠A =60°，边长为a 的菱形ABCD 沿对角线BD 折成60°的二面角，则AC 与BD 的距离为（ ）A ．43aB ．43 a C ．23 aD ．46 a9．若正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则下列各等式中成立的是（ ）A ．0＜α＜6πB ．6π＜α＜4πC ．4π＜α＜3πD ．3π＜α＜2π10．已知A （1，1，1），B （－1，0 ，4），C （2 ，－2，3），则〈AB ，CA〉的大小为（ ）A ．6πB ．65π C ．3πD ．32π二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．从平面α外一点P 引斜线段PA 和PB ，它们与α分别成45︒和30︒角，则∠APB 的最大值是______最小值是_______12．∆ABC 中∠ACB=90︒，PA ⊥平面ABC ，PA=2，AC=2 3 ，则平面PBC 与平面PAC ，平面ABC 所成的二角的大小分别是______、_________．13．在三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，90=∠ABC，30=∠BAC，ＢＣ＝５，又ＰＡ＝ＰＢ＝ＰＣ＝ＡＣ，则点Ｐ到平面ＡＢＣ的距离是 ．14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 ． 三、解答题（共计76分）15．（本小题满分12分）已知SA ⊥平面ABC ，SA=AB ，AB ⊥BC ，SB=BC ，E 是SC 的中点，DE ⊥SC 交AC 于D ． （1） 求证：SC ⊥面BDE ；（2）求二面角E —BD —C 的大小．16．（本小题满分12分）如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM⊥交1AA 于点M，1BB PN ⊥交1CC 于点N．(1) 求证：MN CC ⊥1； (2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFEEF DF EFDFDE∠⋅-+=cos 2222．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．17．（本小题满分12分）如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小．18．（本小题满分12分）在直角梯形ABCD中，∠D=∠BAD=90︒,AD=DC=1AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使2D到D'．记面AC D'为α,面ABC为β．面BC D'为γ．（1）若二面角α-AC-β为直二面角（如图二），求二面角β-BC-γ的大小;（2）若二面角α-AC-β为60︒（如图三），求三棱锥D'-ABC的体积．19．（本小题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点．（1）求证AM//平面BDE；（2）求二面角A-DF-B的大小；（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60︒．20．（本题满分14分）如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若a=)BNCM=<a．20(<（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小．参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．750 ,150 12．900 ,300 13．35 14．π32三、解答题（本大题共6题，共76分）15．(12分) （1）证明：（1）∵SB=BC E 是SC 的中点 ∴BE ⊥SC ∵DE ⊥SC ∴SC ⊥面BDE（2）解：由（1）SC ⊥BD ∵SA ⊥面ABC ∴SA ⊥BD ∴BD ⊥面SAC ∴∠EDC 为二面角E-BD-C 的平面角设SA=AB=a,则SB=BC=a2．,2,a SC SBC Rt =∆∴中在,30,0=∠∆∴DCESAC Rt 中在60,=∠∆∴EDC DEC Rt 中在．16．(12分) (1) 证：MNCC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ； (2)解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角．∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中，cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MNPNPMMNPCC MN CC PN CCMN CC PN CCPM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222， 由于111111111,,BB PM S CCMN S CCPN S A ABBA ACCB BCC⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACCB BCCA ACCB BCCA ABBS S S S S ⋅-+=．17．(12分) （1）证法一：如，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴DC 是SC 在平面ABCD 上的射影， 由三垂线定理得BC ⊥SC ．证法二：如图1，∵底面ABCD 是正方形， ∴BC ⊥DC ．∵SD ⊥底面ABCD ，∴SD ⊥BC ，又DC ∩SD=D ，∴BC ⊥平面SDC ，∴BC ⊥SC ．（2）解：如图2，过点S 作直线,//AD l l ∴在面ASD 上，∵底面ABCD 为正方形，l BC AD l ∴∴,////在面BSC 上，l ∴为面ASD 与面BSC 的交线．l ∴,,,,SC l SD l SC BC AD SD ⊥⊥∴⊥⊥∴∠CSD 为面ASD 与面BSC 所成二面角的平面角．（以下同解法一） （3）解1：如图2，∵SD=AD=1，∠SDA=90°， ∴△SDA 是等腰直角三角形．又M 是斜边SA 的中点，∴DM ⊥SA ．∵BA ⊥AD ，BA ⊥SD ，AD ∩SD=D ，∴BA ⊥面ASD ，SA 是SB 在面ASD 上的射影．由三垂线定理得DM ⊥SB ．∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．图1图2解2：如图3，取AB 中点P ，连结MP ，DP ．在△ABS 中，由中位线定理得 MP//SB ，DMP ∠∴是异面直线DM 与SB 所成的角．2321==SB MP，又,25)21(1,222=+==DP DM∴在△DMP 中，有DP 2=MP 2+DM 2，︒=∠∴90DMP∴异面直线DM 与SB 所成的角为90°．18．(12分) 解：（1）在直角梯形ABCD 中， 由已知∆DAC 为等腰直角三角形， ∴45,2=∠=CAB a AC , 过C 作CH ⊥AB ，由AB=2a ，可推得 AC=BC=.2a∴ AC ⊥BC ．取 AC 的中点E ，连结ED '，则 ED '⊥AC 又 ∵ 二面角β--AC a 为直二面角，∴ED '⊥β 又 ∵ ⊂BC 平面β ∴ BC ⊥E D ' ∴ BC ⊥a ，而a C D ⊂'，∴ BC ⊥C D ' ∴ CAD '∠为二面角γβ--BC 的平面角．由于45='∠CAD ， ∴二面角γβ--BC 为 45．（2）取AC 的中点E ，连结E D '，再过D '作β⊥'O D ，垂足为O ，连结OE ．∵ AC ⊥E D '， ∴ AC ⊥OE ∴ EOD '∠为二面角β--ACa 的平面角， ∴ EO D '∠60=． 在OE D Rt '∆中，aACE D 2221=='，∴O D S V ABC ABC D '⋅=∆-'31O D BC AC '⋅⋅⨯=2131a a a 462261⨯⨯⨯=.1263a =19．（14分）解法一: (1)记AC 与BD 的交点为O,连接OE, ∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，图3ACEF 是矩形，∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE ．∵⊂OE平面BDE ，⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDE ．(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影，由三垂线定理得BS ⊥DF ．∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角． 在RtΔASB 中，,2,36==AB AS∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB∴二面角A —DF —B 的大小为60º．（3）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AFAB = ，∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE平面ABF ，∴PQ ⊥QF ．在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º，PF=2PQ ． ∵ΔPAQ 为等腰直角三角形，∴).2(22t PQ -=又∵ΔPAF 为直角三角形，∴1)2(2+-=t PF，∴).2(2221)2(2t t -⋅=+-所以t=1或t=3(舍去),即点P是AC 的中点．解法二： （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设NBD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,22,22、（0,0,1）,∴)1,22,22(--=NE, 又点A 、M 的坐标分别是)0,2,2(,（)1,22,22∴AM =（)1,22,22--∴AMNE =且NE与AM 不共线，∴NE ∥AM ．又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ，∴AM ∥平面BDF ．（2）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD = ∴AB ⊥平面ADF ．∴AB)0,0,2(-=为平面DAF 的法向量．∵DBNE ⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(-=0， ∴NFNE⋅=（)1,22,22--·)0,2,2(=0得DBNE ⊥，NFNE⋅，∴NE 为平面BDF 的法向量．∴cos<>⋅NE AB =21∴AB 与NE 的夹角是60º．即所求二面角A —DF —B的大小是60º． （3）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得PF),1,2,2(t t --=∴BC =（2，0，0）又∵PF 和BC 所成的角是60º．∴21)2()2(2)2(60cos 22⋅+-+-⋅-=︒t t t解得22=t 或223=t （舍去），即点P 是AC 的中点．20．(14分) 解：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P NQ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP =NQ，即MNQP 是平行四边形∴MN =PQ由已知a BN CM ==，1===BE AB CB∴2==BF AC 又21a CP =，21a BQ =，即2a BQ CP ==∴MN=PQ =22)1(BQCP +-=22)2()21(a a +-=21)22(2+-a )20(<<a（2）由（Ⅰ），MN=21)22(2+-a ,所以，当22=a 时，MN=22即M 、N 分别移动到AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为22．（3）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，∵ANAM =，BNBM=，G 为MN的中点 ∴AG⊥MN，BG ⊥MN，∠A G B即为二面角α的平面角,又AG =BG 46=，所以，由余弦定理有314646214646cos 22-=⋅⋅-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α, 故所求二面角⎪⎭⎫⎝⎛-=31arccos α。
点、直线、平面之间点位置关系测试题(含答案)
第二章测试(时间：120分钟总分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析由垂直同一直线的两平面平行知，B正确．答案 B2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交解析由棱台的定义知，各侧棱的延长线交于一点，所以选B.答案 B3．一直线l与其外三点A，B，C可确定的平面个数是()A．1个B．3个C．1个或3个D．1个或3个或4个解析当A，B，C共线且与l平行或相交时，确定一个平面；当A，B，C共线且与l异面时，可确定3个平面；当A，B，C三点不共线时，可确定4个平面．答案 D4．若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是()A．三条交线为异面直线B．三条交线两两平行C．三条交线交于一点D．三条交线两两平行或交于一点答案 D5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，P A⊥面ABC，AB＝AC，D是BC的中点，则图中直角三角形的个数是()A．5 B．8C．10 D．6解析这些直角三角形是：△P AB，△P AD，△P AC，△BAC，△BAD，△CAD，△PBD，△PCD.共8个．答案 B6．下列命题正确的有()①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．A．0个B．1个C．2个D．3个解析易知①与②正确，③不正确．答案 C7．若平面α⊥平面β，α∩β＝l，且点P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题是()A．过点P且垂直于α的直线平行于βB．过点P且垂直于l的直线在α内C．过点P且垂直于β的直线在α内D．过点P且垂直于l的平面垂直于β答案 B8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM()A．与AC，MN均垂直相交B．与AC垂直，与MN不垂直C．与MN垂直，与AC不垂直D．与AC，MN均不垂直解析易证AC⊥面BB1D1D，OM⊂面BB1D1D，∴AC⊥OM.计算得OM2＋MN2＝ON2＝5，∴OM⊥MN.答案 A9．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列四个命题：①过M点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB，B1C1都垂直；③过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是()A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度，所得平面与直线AB，B1C1都相交，故③错误，排除A，B，D.答案 C10．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离相等，则正确的结论是()A．平面ABC必平行于αB．平面ABC必不垂直于αC．平面ABC必与α相交D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内解析排除A、B、C，故选D.答案 D11．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是( )A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．②和④ 答案 D12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E ，F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等解析 易证AC ⊥平面BB 1D 1D ，∴AC ⊥BE .∵EF 在直线B 1D 1上，易知B 1D 1∥面ABCD ，∴EF ∥面ABCD ，V A －BEF ＝13×12×12×1×22＝224.∴A 、B 、C 选项都正确，由排除法即选D.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知A，B，C，D为空间四个点，且A，B，C，D不共面，则直线AB与CD的位置关系是________．解析如图所示：由图知，AB与CD为异面直线．答案异面14．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，如果EH，FG相交于一点M，那么M一定在直线________上．答案BD15．如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则：(1)BD与CD的关系为________；(2)∠BAC＝________.解析 (1)AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BD ⊥AD ，CD ⊥AD ，∴∠BDC 为二面角的平面角，∠BDC ＝90°，∴BD ⊥DC .(2)设等腰直角三角形的直角边长为a ，则斜边长为2a .∴BD ＝CD ＝22a .∴折叠后BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＝a . ∴折叠后△ABC 为等边三角形．∴∠BAC ＝60°.答案 (1)BD ⊥CD (2)60°16．在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E ，交CC ′于F ，则：①四边形BFD ′E 一定是平行四边形；②四边形BFD ′E 有可能是正方形；③四边形BFD ′E 在底面ABCD 内的投影一定是正方形；④平面BFD ′E 有可能垂直于平面BB ′D .以上结论正确的为__________．(写出所有正确结论的编号)解析 如图所示：∵BE ＝FD ′，ED ′＝BF ，∴四边形BFD ′E 为平行四边形．∴①正确．②不正确(∠BFD ′不可能为直角)．③正确(其射影是正方形ABCD)．④正确．当E，F分别是AA′，CC′中点时正确．答案①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．证明∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.∵BE∥C1H，且BE＝C1H，∴四边形EBC1H是平行四边形．∴EH∥BC1，∴GF∥EH.∴E，F，G，H四点共面．∵GF≠EH，故EF与HG必相交．设EF∩HG＝I.∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，∴I∈平面CC1D1D.同理可证I∈平面ABCD.∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．18．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB，点M在棱PD上，PB∥平面ACM.(1)试确定点M的位置，并说明理由；(2)求四棱锥P－ABCD的表面积．解 (1)点M 为PD 的中点．理由如下：连接BD ，设BD ∩AC ＝O ，则点O 为BD 的中点，连接OM ，∵PB ∥平面ACM ，∴PB ∥OM .∴OM 为△PBD 的中位线，故点M 为PD 的中点．(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又底面是边长为1的正方形，∴S 正方形ABCD ＝1，S △P AB ＝S △P AD ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12×1×2＝22，S △PCD ＝12×1×2＝22.故四棱锥P －ABCD 的表面积为S ＝1＋2×12＋22＋22＝2＋ 2.19．(12分)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，如图．(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ；(2)求MN 的长．解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，∴AP AB ＝AN AC ＝A 1M A 1B ，∴MP ∥AA 1∥BB 1， ∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN ， ∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC ＝AN AC ＝23a2a ＝13，NP ＝13a ，同理MP ＝23a . 又MP ∥BB 1，∴MP ⊥面ABCD ，MP ⊥PN . 在Rt △MPN 中MN ＝49a 2＋19a 2＝53a .20．(12分)如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．解(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ⊄平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB.故CQ⊥平面ABE.由(1)有PQ ∥DC ，又PQ ＝12EB ＝DC ， 所以四边形CQPD 为平行四边形，故DP ∥CQ .因此DP ⊥平面ABE ，∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角， 在Rt △DP A 中，AD ＝5，DP ＝1， sin ∠DAP ＝55，因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55.21．(12分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．求证：(1)直线EF ∥面ACD ； (2)平面EFC ⊥平面BCD . 证明 (1)在△ABD 中，∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点， ∴EF ∥AD .又AD ⊂平面ACD ，EF ⊄平面ACD ， ∴直线EF ∥平面ACD .(2)在△ABD 中，∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ， ∴EF ⊥BD .在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵CF∩EF＝F，∴BD⊥平面EFC，又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.22．(12分)已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，P A垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形．(1)求正视图的面积；(2)求四棱锥P－ABCD的体积；(3)求证：AC⊥平面P AB.解(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1.又∵△PBC 为正三角形， ∴BC ＝PB ＝PC ＝2，且PE ⊥BC ， ∴PE 2＝PC 2－CE 2＝3.∵P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AE . ∴P A 2＝PE 2－AE 2＝2，即P A ＝ 2. 正视图的面积为S ＝12×2×2＝ 2.(2)由(1)可知，四棱锥P －ABCD 的高P A ＝2，底面积为S ＝AD ＋BC 2·CD ＝1＋22×1＝32，∴四棱锥P －ABCD 的体积为V P －ABCD ＝13S ·P A ＝13×32×2＝22. (3)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AC . ∵在直角三角形ABE 中，AB 2＝AE 2＋BE 2＝2， 在直角三角形ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2＝2， ∴BC 2＝AA 2＋AC 2＝4，∴△BAC 是直角三角形． ∴AC ⊥AB .又∵AB ∩P A ＝A ，∴AC ⊥平面P AB .。
高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习
课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系一、内容讲解知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。
平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。
点的表示：大写字母 点A 点B线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
图形 符号语言 文字语言（读法）A a A ∈a 点A 在直线a 上A aA ∉a 点A 在直线a 外 Aα A ∈α 点A 在平面α上（内） A αA ∉α 点A 在平面α外 b a A a b A =I直线a,b 交于点A a αa α⊂线a 在面α内 aα a α⊄ 线a 在面α外a Aα a A α=I 直线a 交α于点Al αβ=I平面α交β于线l与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：（1）符号语言：____________________________________．（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。
知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：（1）符号语言：____________________________________（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.指出：推论1的符号语言：_____________________________-推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面指出：推论2的符号语言：____________________________________推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面指出：推论3的符号语言：________________________________三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．五、备选习题1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：(1) A ∈α,B ∉α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ⊂α,b ⊂β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .2. 根据下列条件，画出图形.（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ⊂α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ∉l ;（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ∉a ，C ∈β，C ∉a .3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面BB 1C 1C 的交线.(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.6. 点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）求证：P 在直线BD 上G H AC D E P空间点、线、面位置关系练习题1、下列命题：其中正确的个数为（ ）①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α⊂b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；A ．1B ．2C ．3D ．02、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行或异面3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）A ．没有公共点B ．至多有一个公共点C ．至少有一个公共点D ．有且只有一个公共点5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；②若直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；③若l =⋂βα，直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面β，且P b a =⋂，则l P ∈；④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）A ．在平面内B ．相交C ．平行D ．以上均有可能7、若直线m 不平行于平面α，且α⊄m ，则下列结论中正确的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一一条直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上均有可能10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ。
高中数学必修二单元测试：空间点、线、面之间的位置关系word版含答案
空间点、线、面之间的位置关系单元测试一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂αC．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α解析：选B 点在直线上用“∈”，直线在平面上用“⊂”，故选B.2．(2018·平阳期末)已知a，b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线解析：选C 由平行直线公理可知，若c∥b，则a∥b，与a，b是异面直线矛盾．所以c与b不可能是平行直线．3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( ) A．6 2 B．12C．12 2 D．24 2解析：选A 如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin 45°＝62，故选A.4.如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面又与CC1共面的棱有________条；与AB异面的棱有________条．解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条．与AB异面的棱有CC1，DD1，B1C1，A1D1，共4条．答案：5 45.如图，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．解析：如图所示，连接DN，取线段DN的中点，连接M ，C .∵M 为AD 的中点，∴M ∥AN ，∴∠ MC 为异面直线AN ，CM 所成的角．∵AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，N 为BC 的中点，由勾股定理易求得AN ＝DN ＝CM ＝22，∴M ＝ 2.在Rt △C N 中，C ＝ 2 2＋12＝ 3.在△C M 中，由余弦定理，得cos ∠ MC ＝2 2＋ 22 2－3 22×2×22＝78. 答案：78二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A ，B ，C ，D 是空间四点，命题甲：A ，B ，C ，D 四点不共面，命题乙：直线AC 和BD 不相交，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 若A ，B ，C ，D 四点不共面，则直线AC 和BD 不共面，所以AC 和BD 不相交；若直线AC 和BD 不相交，若直线AC 和BD 平行时，A ，B ，C ，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．2．(2018·宁波模拟)如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是BC 1，CD 1的中点，则下列说法错误的是( )A ．MN 与CC 1垂直B ．MN 与AC 垂直 C ．MN 与BD 平行D ．MN 与A 1B 1平行解析：选D 如图，连接C 1D ，在△C 1DB 中，MN ∥BD ，故C 正确；因为CC 1⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ， 所以MN 与CC 1垂直，故A 正确；因为AC ⊥BD ，MN ∥BD ，所以MN 与AC 垂直，故B 正确；因为A 1B 1与BD 异面，MN ∥BD ，所以MN 与A 1B 1不可能平行，故D 错误．3．下列命题中，真命题的个数为( )①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题．综上，真命题的个数为2.4.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为棱D 1C 1的中点．设AM 与平面BB 1D 1D 的交点为O ，则( )A ．三点D1，O ，B 共线，且OB ＝2OD 1B ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝2OD 1C ．三点D 1，O ，B 共线，且OB ＝OD 1D ．三点D 1，O ，B 不共线，且OB ＝OD 1解析：选A 连接A 1M 与B 1D 1交于点H ，连接OH .因为△MD 1H 与△A 1B 1H 相似，所以D 1HHB 1＝D 1M A 1B 1＝MH A 1H ＝12.因为OH ∥A 1A ，所以OH AA 1＝MH MA 1＝13，所以OH ＝13AA 1，所以OH ＝13B 1B ，且OH ∥BB 1，所以由三角形相似可知，D 1，O ，B 三点共线，且OB ＝2OD 1.5．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为() A.32 B ．33010C.3010 D.12解析：选C 如图，设正方体的棱长为a ，取线段AB 的中点M ，连接CM ，MF ，EF .则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在△CFM中，MF＝CM＝52a，CF＝62a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝30 10，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为3010.故选C.6．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为________对．解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB 与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．答案：37．(2018·福建六校联考)设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中正确的命题是_______(写出所有正确命题的序号)．解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．答案：①8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC 1与AD 所成角等于异面直线AC 1与BC 所成角，因为C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，所以C 1D ⊥圆柱下底面，所以C 1D ⊥AD ，因为圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，所以C 1D ＝2AD ，所以直线AC 1与AD 所成角的正切值为2，所以异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为 2. 答案： 29．(2018·舟山模拟)在空间四边形ABCD 中，已知AD ＝1，BC ＝3，且AD ⊥BC ，对角线BD ＝132，AC ＝32，求AC 和BD 所成的角．解：如图，分别取AD ，CD ，AB ，BD 的中点E ，F ，G ，H ，连接EF ，FH ，HG ，GE ，GF .由三角形的中位线定理知，EF ∥AC ，且EF ＝34， GE ∥BD ，且GE ＝134，GE 和EF 所成的锐角(或直角)就是AC 和BD 所成的角． 同理，GH ∥AD ，HF ∥BC ，GH ＝12，HF ＝32. 又AD ⊥BC ，所以∠GHF ＝90°，所以GF 2＝GH 2＋HF 2＝1.在△EFG 中，GE 2＋EF 2＝1＝GF 2，所以∠GEF ＝90°，即AC 和BD 所成的角为90°.10.如图所示，在三棱锥P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解：(1)S △ABC ＝12×2×23＝23， 故三棱锥P ABC 的体积为V ＝13·S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433. (2)如图所示，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则DE ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，则cos ∠ADE ＝DE 2＋AD 2－AE 22DE ·AD ＝22＋22－22×2×2＝34. 即异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．如图是三棱锥D ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )A.33 B ．12C. 3D.22 解析：选A 由三视图及题意得如图所示的直观图，从A 出发的三条线段AB ，AC ，AD 两两垂直且AB ＝AC ＝2，AD ＝1，O 是BC 中点，取AC 中点E ，连接DE ，DO ，OE ，则OE ＝1，又可知AE ＝1，由于OE ∥AB ，故 ∠DOE 即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O 是中点，在直角三角形ABC 中可以求得AO ＝2，在直角三角形DAO 中可以求得DO ＝ 3.在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦值为33. 2．如图所示，三棱柱ABC A 1B 1C 1，底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解：(1)法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC于点M.因为侧棱A1A⊥底面ABC，所以侧面A1ACC1⊥底面ABC.又因为EC＝2FB＝2，所以OM∥FB∥EC且OM＝12EC＝FB，所以四边形OMBF为矩形，BM∥OF.因为OF⊂平面AEF，BM⊄平面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC＝2FB＝2，所以PE綊BF，所以PQ∥AE，PB∥EF，所以PQ∥平面AFE，PB∥平面AEF，因为PB∩PQ＝P，PB，PQ⊂平面PBQ，所以平面PBQ∥平面AEF.又因为BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点．(2)由(1)知，BM与EF异面，∠OFE(或∠MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角．易求AF＝EF＝5，MB＝OF＝3，OF⊥AE，所以cos∠OFE＝OFEF＝35＝155，所以BM与EF所成的角的余弦值为155.。
高中数学--点、直线、平面之间的位置关系难题练习题带答案
高中数学点、直线、平面之间的位置关系一．选择题（共25小题）1．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A．2+2B．C．D．2．已知平面α与β所成的二面角为80°，P为α、β外一定点，过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°，则这样的直线有且仅有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，则三棱锥P﹣ABC体积的最大值为（）A．B．C．D．4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1B1，AB的中点，O为四棱锥E﹣C1D1DC的外接球的球心，点M，N分别是直线DD1，EF上的动点，记直线OC与MN所成角为θ，则当θ最小时，tanθ＝（）A．B．C．D．5．在正四面体ABCD中，已知E，F分别是AB，CD上的点（不含端点），则（）A．不存在E，F，使得EF⊥CD B．存在E，使得DE⊥CDC．存在E，使得DE⊥平面ABC D．存在E，F，使得平面CDE⊥平面ABF6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF不平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等7．已知正三棱锥A﹣BCD的外接球是球O，正三棱锥底边BC＝3，侧棱，点E在线段BD上，且2BE＝DE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．[2π，3π]C．[2π，4π]D．8．如图1，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为棱AA1的中点，M、N、Q分别是线段A1D1、CC1、A1B1上的点，三棱锥P﹣MNQ的俯视图如图2所示．当三棱锥P﹣MNQ的体积最大时，异面直线PN与AD所成角的正切值为（）A．B．C．D．19．已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长为1．M是底面△ABC内部一个动点（包括边界），且M到三个侧面P AB，PBC，P AC的距离h1，h2，h3成单调递增的等差数列，记PM与AB，BC，AC所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（）A．α＝βB．β＝γC．α＜βD．β＜γ10．一正方体的棱长为a，作一平面α与正方体一条体对角线垂直，且α与正方体每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的周长为l，则（）A．B．l＝4a C．D．以上都不正确11．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1，若点E是线段CD的中点，A1D与AD1相交于点F，则直线B1F与直线D1E夹角的余弦值为（）A．B．C．D．12．已知二面角α﹣l﹣β为30°，AB⊂α，AB⊥l，A为垂足，a，b为平面β内两条互相垂直的直线，若AB与a所成角为60°，则直线AB与b所成角的余弦值为（）A．B．C．D．13．如图，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D 是BC的中点，设Q是线段P A上的动点，则当PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ等于（）A．B．C．D．14．已知两异面直线a，b所成的角为80°，过空间一点P作直线，使得l与a，b的夹角均为50°，那么这样的直线有（）条A．1B．2C．4D．315．设m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，下列命题正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥βC．若α⊥β，m⊥β，则m∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则m⊥n16．已知m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列说法正确的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α∥βC．若m∥n，m⊄α，n⊂α，则m∥αD．m∥α，n⊂a，则m∥n17．已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断错误的是（）A．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥βC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，直线AC1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，正确的说法是（）A．截面形状可能为四边形B．截面形状可能为五边形C．截面面积最大值为D．截面面积最大值为19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，＝，则异面直线BC1与D1C所成角的余弦值为（）A．B．C．D．20．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，则（）A．MF∥NE B．四边形MNEF为梯形C．四边形MNEF为平行四边形D．A1B1∥NE21．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α22．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）A．①②④B．②③C．①②D．②③④23．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1﹣EF﹣B的大小为120°，则异面直线A1F与CE所成角的余弦值为（）A．B．C．D．24．正三棱锥P﹣ABC中，若P A＝6，∠APB＝40°，点E、F分别在侧棱PB、PC上运动，则△AEF的周长的最小值为（）A．36sin20°B．6C．12D．625．已知a，b，c为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列叙述中正确的个数是（）①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②a⊥α，b∥β，α⊥β，则a∥β；③α⊥β，a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a⊥b，则a⊥c；④a⊥α，a⊥β，b⊥α，则b⊥β．A．0B．1C．2D．3二．填空题（共10小题）26．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，E是AB的中点，F是DE的中点，沿直线DE将△ADE翻折成棱锥A﹣BCDE，当棱锥A﹣BCDE的体积最大时，则直线AB与CF所成角的余弦值为．27．已知m，l是异面直线，那么：①必存在平面α，过m且与l平行；②必存在平面β，过m且与l垂直；③必存在平面γ，与m，l都垂直；④必存在平面π，与m，l的距离都相等．其中正确的结论是．28．已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为，高为，其内切球与面P AB切于点M，球面上与P距离最近的点记为N，若平面α过点M，N且与AB平行，则平面α截该正四棱锥所得截面的面积为．29．已知四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，P A＝2，底面ABCD是边长为2的正方形，用与直线P A、BD都平行的平面截此四棱锥，截面与AB、AD、PD、PC、PB分别交于F、G、H、M、E，则截面EFGHM面积的最大值为．30．如图，正四面体ABCD中，CD∥平面α，点E在AC上，且AE＝2EC，若四面体绕CD旋转，则直线BE在平面α内的投影与CD所成角的余弦值的取值范围是．31．在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，AC＝BD＝6，E，F分别为棱AC和棱AD上的动点，则△BEF 的周长范围．32．已知矩形ABCD的长AB＝4，宽AD＝3，将其沿对角线BD折起，得到四面体A﹣BCD，如图所示，给出下列结论：①四面体A﹣BCD体积的最大值为；②四面体A﹣BCD外接球的表面积恒为定值；③当二面角A﹣BD﹣C的大小为60°时，棱AC的长为；④当二面角A﹣BD﹣C为直二面角时，直线AB、CD所成角的余弦值为．其中正确的结论有（请写出所有正确结论的序号）．33．已知四棱锥S﹣ABCD的底面为矩形，SA⊥底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E．若SA＝AB ＝3，则△SED面积的最小值为．34．如图，在边长为2正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足B1P⊥D1E，则点B1和满足条件的所有点P构成的图形的面积是．35．如图，在四面体ABCD中，AB＝CD＝3，AD＝BD＝3，AC＝BC＝4，用平行于AB，CD的平面截此四面体，得到截面四边形EFGH，则该四边形EFGH面积的最大值为三．解答题（共5小题）36．在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，P A⊥平面ABCD，点E是PD的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）求证：平面EAC⊥平面P AB．37．如图所示，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若四边形EFGH为平行四边形．（1）求证：AB∥平面EFGH；（2）若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．38．如图，在底面是直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝．（1）求证：面SAB⊥面SBC；（2）求面SAD与面SDC所成角的余弦值．39．如图，四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．若P A＝AD ＝3，．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求直线FC平面PCE所成角的正弦值．40．已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点．（1）求证：AM∥平面BDE；（2）求证：AM⊥平面BDF．参考答案与试题解析一．选择题（共25小题）1．【解答】解：如图将三棱柱ABC﹣A1B1C1扩大为如图的正三棱柱，其中AA''＝2AA1＝4，AH＝2AB＝4，则点E为AH'的中点，点F为AC''的中点．设H'F∩B1C1＝I，所以EF∥H'C''，所以过点A，E，F的截面为AEIF，因为△ABE和△AA1F均为两直角边分别为2，1的直角三角形，∴AE＝AF＝＝，在△A1H'D'中，如图：连接HF，交B1C1于I，连接H'C1，则I为三角形A1H'C1的重心，所以B1I＝＝，FI＝，因为H'C1＝4×sin60°＝2，C1F＝1，所以FI＝＝＝．又因为B1E⊥平面A1B1C1，所以三角形EB1I为直角三角形，且EB1＝1，B1I＝，所以EI＝＝，所以，截面的周长为：2+．故选：B．2．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB＝80°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA＝∠P1OB＝40°，与平面α，β所成的角都是30°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，会对称的出现两条符合要求成30°情形．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′的平分线，则∠P2OA＝∠P2OB＝50°，与平面α，β所成的角都是50°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现30°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有4条．故选：D．3．【解答】解：如图，取PB中点M，连结CM，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，设点A到平面PBC的距离为h＝AC＝2x，∵PC＝BC＝2，PB＝2x，（0＜x＜2），M为PB的中点，∴CM⊥PB，CM＝，解得＝，V A﹣PBC＝＝，设t＝，（0＜t＜2），则x2＝4﹣t2，∴V A﹣PBC＝＝，（0＜t＜2），关于t求导，得，令V′（t）＝0，解得t＝或t＝﹣（舍），由V（t）单调性得当t＝时，（V A﹣PBC）max＝．故选：D．4．【解答】解：如图，设P，Q分别是棱CD和C1D1的中点，则四棱锥E﹣C1D1DC的外接球即三棱柱DFC﹣D1EC1的外接球，∵三棱柱DFC﹣D1EC1是直三棱柱，∴其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连结的中点，由题意，MN是平面DD1EF内的一条动直线，记直线OC与MN所成角为θ，则θ的最小值是直线OC与平面DD1EF所成角，即问题转化为求直线OC与平面DD1EF所成角的正切值，不妨设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则EQ＝2，ED1＝，∵△EC1D1为等腰三角形，∴△EC1D1外接圆直径为2GE＝＝＝，则GE＝，GQ＝2﹣＝PH，如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），F（2，1，0），O（，1，1），＝（0，0，2），＝（2，1，0），＝（﹣），设平面DD1EF的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，﹣2，0），则sinθ＝＝，tanθ＝．故选：D．5．【解答】解：（1）对于A，D选项，取E，F分别为AB，CD的中点如图：因为A﹣BCD是正四面体，所以它的各个面是全等的等边三角形．所以CE＝DE，所以EF⊥CD，同理可证EF⊥AB．故A错误；又因为AB⊥CE，AB⊥DE，且CE∩DE＝E，故AB⊥平面CED，又AB⊂平面ABF，所以平面ABF⊥平面CED．故D正确．（2）对于B选项，将C看成正三棱锥的顶点，易知当E在AB上移动时，∠CDE的最小值为直线CD与平面ABD 所成的角，即（1）中的∠CDE，显然为锐角，最大角为∠CDB＝∠CDA＝60°，故当E在AB上移动时，不存在E，使得DE⊥CD．故B错误．（3）对于C选项，将D看成顶点，则由D向底面作垂线，垂足为底面正三角形ABC的中心，不落在AB上，又因为过空间中一点有且只有一条直线与已知平面垂直，故不存在E，使得DE⊥平面ABC，故C错误．故选：D．6．【解答】解：在A中，若D1D⊥AF，又因为D1D⊥AE且AE∩AF＝A，所以DD1⊥平面AEF，所以DD1⊥EF，所以CC1⊥EF，不成立，故A错误；在B中，如图所示，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，由条件可知：GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，所以平面A1GO∥平面AEF，又因为A1G⊂平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故B错误；在C中，如图所示，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，因为E，F为C1C，BC的中点，所以EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，所以截面即为梯形AEFD1，又因为，，所以，所以，故C正确；在D中，记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，因为，又因为，所以h1≠h2，故D错误．故选：C．7．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接oO1D，OD，O1E，OE，则O1D＝＝，AO1＝＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2，在△DEO1中，O1E＝＝1，∴OE＝＝，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为：r＝＝，最小面积为2π当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．∴所得截面圆面积的取值范围是[2π，4π]．故选：C．8．【解答】解：由俯视图知，M为A1D1的中点，Q为A1B1的中点，N为CC1上任意一点，如下图所示：由中位线可知：PQ∥AB1，MP∥AD1，PQ∩MP＝P，PQ⊂平面PMQ，MP⊂平面PMQ，AB1∩AD1＝A，AB1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴平面PMQ∥平面AB1D1，由正方体中线面关系可知：A1C⊥平面AB1D1，∴A1C⊥平面PMQ，∴当N与C重合，点N到平面PMQ的距离最大，∴当N与C重合时，三棱锥P﹣MNQ的体积最大，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，当三棱锥P﹣MNQ的体积最大时，P（2，0，1），N（0，2，0），A（2，0，0），D（0，0，0），＝（﹣2，2，﹣1），＝（2，0，0），设异面直线PN与AD所成角为θ，则cosθ＝＝＝，sinθ＝＝．∴异面直线PN与AD所成角的正切值为＝．故选：A．9．【解答】解：依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ＝，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【解答】解：连结A1B，A1D，BD，则AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B设平面α与平面ABB1A1的交线为EF，则AC1⊥EF，∴EF∥A1B，同理可得平面α与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，设，则＝，得B1E＝aλ，∴，∴EF+NE＝+a（1﹣λ）＝，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长l为定值3．故选：C．11．【解答】解：作出图形如下所示，连接AE，取AE的中点G，连接GF，则直线B1F与直线D1E夹角即为∠GFB1，不妨设AB＝2AD＝2AA 1＝4，则，，，故，∴直线B1F与直线D1E夹角的余弦值为．故选：A．12．【解答】解：如图，平移直线a，b，使得两直线经过A，过B作BO⊥平面β，垂足为O，连接AO，则∠BAO＝30°，过O分别作OE⊥a，OF⊥b，连接BE，BF，则BE⊥a，BF⊥b，设AB＝2m，则AE＝m，BO＝m，AO＝，在Rt△AEO中，有cos，则sin∠F AO＝，∴cos．∴AF＝OA•cos∠OAF＝m，OF＝OA•sin∠OAF＝m，则BF＝m，在△ABF中，由AB＝2m，BF＝AF＝，得∠BAF＝45°，∴直线AB与b所成角的余弦值为cos45．故选：A．13．【解答】解：过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，B＝，将△ABC绕边AB翻转至△ABP，使平面ABP⊥平面ABC，D是BC的中点，设Q是线段P A上的动点，则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设Q（x，y，z），＝＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），|cos＜，＞|＝＝，令f（λ）＝，λ∈[0，1]，∴f′（λ）＝，由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得，λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，∴当时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，|AQ|＝||＝．故选：C．14．【解答】解：在空间取一点P，经过点P分别作a∥a'，b∥b'，设直线a'、b'确定平面α，当直线PM满足它的射影PQ在a'、b'所成角的平分线上时，PM与a'所成的角等于PM与b'所成的角因为直线a，b所成的角为80°，得a'、b'所成锐角等于80°所以当PM的射影PQ在a'、b'所成锐角的平分线上时，PM与a'、b'所成角的范围是[40°，90°）．这种情况下，过点P有两条直线与a'，b'所成的角都是50°当PM的射影PQ在a'、b'所成钝角的平分线上时，PM与a'、b'所成角的范围是[50°，90°）．这种情况下，过点P有且只有一条直线（即PM⊂α时）与a'，b'所成的角都是50°综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是50°的直线有3条故选：D．15．【解答】解：由m，n是不同的直线，α，β，γ是不同的平面知，对于A，若m∥α，n⊂α，则m与n平行或异面，故A错误；对于B，若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若α⊥β，m⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m，n⊂γ，则由面面垂直的性质得m⊥n，故D正确．故选：D．16．【解答】解：由m、n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，知：对于A，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则α与β相交或平行，故B错误；对于C，若m∥n，m⊄α，n⊂α，则由线面平行的判定定理得m∥α，故C正确；对于D，若m∥α，n⊂a，则m与n平行或异面，故D错误．故选：C．17．【解答】解：由l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，知：对于A，若m⊥α，n⊥β，α∥β，则由线面垂直的性质定理和面面平行的性质得m∥n，故A错误；对于B，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则由线线平行的性质、面面平行的判定定理得α∥β，故B正确；对于C，若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则由线线平行的判定定理得m∥n，故C正确；对于D，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：D．18．【解答】解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为，直线AC1⊥平面α，平面α截此正方体所得截面中，如图，截面形状可能为正三角形或正六边形，由对称性得截面图形不可能是四边形或五边形，故A和均B错误；如图，当截面形状为如图所示的正六边形时，截面面积最大，MN＝＝2，GH＝1，OE＝＝＝，∴截面面积最大值为S＝2×＝，故C错误，D正确．故选：D．19．【解答】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，＝，连结A1B，A1C1，则A1B∥D1C，BC1＝A1B＝＝2，A1C1＝＝，∴∠A1BC1异面直线BC1与D1C所成角，cos∠A1BC1＝＝．则异面直线BC1与D1C所成角的余弦值为．故选：C．20．【解答】解：∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为棱AA1，BB1的中点，∴MN AB，∵MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC，∵过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC，AC于点E，F，∴MN∥EF，∵EF＜AB，∴MN与EF平行且不相等，∴四边形MNEF是梯形，∴MF与NE不平行，故A错误，B正确，C错误，∵A1B1∥MN，MN∩NE＝N，∴A1B1与NE不可能平行，故D错误．故选：B．21．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面知，A．若m⊥n，n∥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；B．若m∥β，β⊥α，则m与α相交、平行或m⊂α，故B错误；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；D．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m∥n，故m⊥α，故D正确．故选：D．22．【解答】解：当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，当截面过正方体的体对角线时得②，当截面平行于正方体的一个侧面时得④，但无论如何都不能得到截面③．故选：A．23．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别是边AB，CD的中点，将正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1﹣EF﹣B的大小为120°，以E为原点，在平面A1EB中，过E作EB的垂线为x轴，EB为y轴，EF为z轴，建立空间直角坐标系，A1（，﹣，0），F（0，0，1），C（0，1，1），E（0，0，0），＝（﹣，，1），＝（0，﹣1，﹣1），设异面直线A1F与CE所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线A1F与CE所成角的余弦值为．故选：D．24．【解答】解：将三棱锥由P A展开，如图，∵正三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝40°，则图中∠AP A1＝120°，当点A、E、F、A1位于同一条直线上时，△AEF的周长最小，故AA1为△AEF的周长的最小值，又∵P A＝P A1，∴△P AA1为等腰三角形，∵P A＝6，∴P A1＝6，∴AA1＝＝6，∴△AEF的最小周长为：6．故选：D．25．【解答】解：由α⊥β，β⊥γ，可知α与γ可能相交，可能平行，相交可能垂直，也可能不垂直，故①错误；a⊥α，b∥β，α⊥β，则a∥β或a⊂β，故②错误；由α⊥β，a⊂α，b⊂β，α∩β＝c，a⊥b，不一定得到a⊥c，a与c也可能平行，也可能是相交不垂直，故③错误；a⊥α，a⊥β，则α∥β，又b⊥α，∴b⊥β，故④正确．∴正确命题的个数是1个．故选：B．二．填空题（共10小题）26．【解答】解：作出对应的图象，由题意知当棱锥A﹣BCDE的体积最大时，满足AF⊥底面BCDE，以F为坐标原点，以FD，FC，F A分别为x，y，z轴建立空间坐标系，∵AB＝2BC＝2CD＝2，∴BC＝CD＝1，则F A＝FC＝，FE＝FD＝，即D（，0，0），E（﹣，0，0），C（0，，0），A（0，0，），设B（x，y，z），则，即（﹣，，0）＝（x+，y，z），解得x＝﹣1，y＝，z＝0，即B（﹣1，，0），则＝（﹣1，，﹣），＝（0，，0），则•＝×＝，||＝，||＝＝，则cos＜，＞＝＝＝，故直线AB与CF所成角的余弦值为，故答案为：27．【解答】解：对于①：过m上任意一点做l的平行线，与m确定的平面即符合要求，所以①成立；对于②：若存在这样的平面a与l垂直，则a内的每一条直线都与l垂直，当然包括m，而题里没有说m与l垂直，所以不一定存在．对于③，若存在平面γ，与m，l都垂，因为垂直同一平面的两直线平行，则m，l平行，与前提矛盾；对于④，过他们的公垂线的中点做和两直线都平行的平面即为所求．成立．故正确的结论只有①④．故答案为：①④．28．【解答】解：取AB，CD中点Q，R，连结PQ，PR，QR，取QR中点S，连结PS，则RQ⊥AB，S为正方形ABCD的中心，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，∴PS⊥平面ABCD，∴PS＝6，在Rt△PSQ中，PQ＝＝＝4，同理，PR＝4，∴△PQR是正三角形，∴正四棱锥P﹣ABCD内切球的球心为正△PQR的内心O，内切球的半径是正△PQR的内切圆半径为2，内切球与平面P AB的切点M为正△PQR内切圆与直线PQ的切点，∴M为PQ中点，球面上与P距离最近的点为连结OP与球面的交点，即在OP之间，且ON＝2，∴N为OP中点，连结MN并延长交PR于I，平面α过M，N，I与直线AB平行，设平面α分别与平面P AB，平面PCD交于EF，GH，∵AB⊂平面P AB，∴EF∥AB，又∵AB∥CD，∴CD⊄α，∴CD∥α，同理可证GH∥CD，∴EF∥GH，连结GF，HE，则梯形EFGH为所求的截面，∵RQ⊥AB，PS⊥AB，PS∩RQ＝S，∴AB⊥平面PQR，∵IM⊂平面PQR，∴AB⊥IM，AB∥EF，∴EF⊥IM，连结OQ，则OQ为∠POS的角平分线，∴∠PQO＝30°，∵M，N是PQ，PO的中点，∴MN∥OQ，∴∠PMI＝∠PQO＝30°，而∠MPI＝60°，∴∠PIM＝90°，∴MI＝PM cos30°＝3，PI＝PM sin30°＝＝，又HG∥CD，∴HG＝＝，∴截面梯形EFGH的面积为S＝＝＝9．故答案为：9．29．【解答】解：设＝λ（0＜λ＜1），连接AC，BD，AC交BD，FG分别于O，N，连接NM，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，∵P A∥平面EFGHM，∴EF∥P A，MN∥P A，GH∥P A，∴＝＝＝1﹣，∴EF∥GH∥MN，∴EF＝2（1﹣λ），∵BD∥平面EFGHM，连接EH，∴FG∥BD，EH∥BD，∴＝＝＝λ，FG∥EH，＝＝＝1﹣，∴四边形EFGH为矩形，FG＝λBD＝2λ，MN＝2﹣λ，MN⊥FG，∴S截面EFGHM＝S矩形EFGH+S△MGH＝2（1﹣λ）×2λ+×2λ[（2﹣λ）﹣2（1﹣λ）]＝﹣3（λ﹣）2+，当λ＝时，截面EFGHM面积的最大值为，故答案为：．30．【解答】解：考虑相对运动，让正四面体ABCD保持静止，平面α绕着CD旋转，故平面α的垂线也绕着CD旋转，在AD上取一点F，使AF＝2FD，连接EF，则EF∥CD，所以也可等价于平面α绕着EF旋转．设正四面体ABCD的边长为3a，则EF＝2a，CE＝a在△BCE中，，即，解得BE＝在△BEF中，BF＝BE＝，EF＝2a所以cos∠BEF＝＝．将原问题转化为几何模型：平面α的垂线可视为圆锥的底面半径EP，绕着圆锥的轴EF旋转，所以，所以≤sin∠PEB≤1．设直线BE在平面α内的投影与CD所成角为θ．∴0≤cosθ≤．故答案为：[0，]．31．【解答】解：如图根据三角形的边长，得三棱锥的四个面均为直角三角形，∠BAD＝90°，△ABC≌△CDA，∠BAC+∠CAD＝90°将三棱锥侧面沿侧棱AB展开，如图∴B，A，B1共线，此时两点间的连接线BB1，即是△BEF的周长的最小值8，但此时E，F重合于A，不能构成三角形，所以取不到8．由图观察，当E，F分别在棱AC和棱AD上由A向下移动时，BE，B1F的长度先变小，移动至分别与AD，AC垂直时，BE，B1F的长度最小，再向下移动逐渐变大，所以△BEF的周长最大为BD+DC+CB1＝15，故答案为：（8，15]32．【解答】解：①中四面体ABCD体积最大值为两个面互相垂直，三棱锥的高根据面积公式可得，h＝，四面体A﹣BCD体积的最大值，所以正确；②中三棱锥A﹣BCD，外接球的半径为，所以三棱锥A﹣BCD外接球的表面积，所以是正确的；③中由二面角A﹣BD﹣C的大小为60°，棱AC的长为，在直角三角形ABD中，AB＝4，AD＝3，BD＝5，作AE⊥BD，CF⊥BD则，，同理在直角三角形ABC中，则，在平面ABD内，过F作FH∥AE，且FH＝AE，连接AH，易得四边形AEFH为矩形．则，AH∥EF，FH⊥DB，又CF⊥BD，即有∠CFH为二面角C﹣BD﹣A的平面角，即∠CFH＝60°．即由BD⊥平面CFH，得到BD⊥CH，即有AH⊥CH则，故正确．④中当二面角A﹣BD﹣C为直二面角时，以C为原点CB，CD所在直线分别为x，y轴建立坐标系，则由向量的数量积可得到直线AB，CD所成的角的余弦值为，所以不正确的．综上可知正确命题的序号为①②③．故答案为：①②③．33．【解答】解：设BE＝x，EC＝y，则BC＝AD＝x+y，∵SA⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，∴SA⊥ED，∵AE⊥ED，SA∩AE＝A，∴ED⊥平面SAE，∴ED⊥SE，由题意得AE＝，ED＝，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴x2+3+y2+3＝（x+y）2，化简，得xy＝3，在Rt△SED中，SE＝，ED＝＝，∴S△SED＝＝，∵3x2+≥2＝36，当且仅当x＝，时，等号成立，∴＝．∴△SED面积的最小值为．故答案为：．34．【解答】解：以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），设点P（x，y，z），则＝（x﹣2，y﹣2，z﹣2），＝（1，2，﹣2），又B1P⊥D1E，∴•＝（x﹣2）+2（y﹣2）﹣2（z﹣2）＝0，即x+2y﹣2z﹣2＝0．又点P在正方体的表面上，当z＝0时，x+2y﹣2＝0，是线段AM，点M（0，1，0）；当z＝1时，x+2y﹣4＝0，是点B1（2，2，2）；当x＝0时，2y﹣2z﹣2＝0，是线段MN，点N（0，2，1）；当x＝1时，2y﹣2z﹣1＝0，是线段AB1；当y＝0时，x﹣2z﹣2＝0，是点A（2，0，0）；当y＝1时，x﹣2z＝0，是线段B1N．如图所示，点P的轨迹构成的图形是四边形AB1NM．∵MN∥AB1，AB1＝2，MN＝＝，A（2，0，0），M（0，1，0），B1（2，2，2），＝（﹣2，1，0），＝（0，2，2），∴点M到AB1的距离d＝||•＝＝，∴点B1和满足条件的所有点P构成的图形的面积是：＝＝．故答案为：．35．【解答】解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB，同理：EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以：FG∥EH，EF∥HG．故：四边形EFGH为平行四边形．又∵AD＝BD，AC＝BC的对称性，可知AB⊥CD．∴四边形EFGH为矩形．设BF：BD＝BG：BC＝FG：CD＝x，（0≤x≤1）FG＝3x，HG＝3（1﹣x）S EFGH＝FG×HG＝9x（1﹣x）＝﹣9（）＝﹣9（x﹣）2+，根据二次函数的性质可知：S EFGH面积的最大值为．故答案为：．三．解答题（共5小题）36．【解答】证明：（1）如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，在△DPB中，EF为中位线，∴EF∥PB；又PB⊄平面EAC，EF⊂平面EAC，∴PB∥平面AEC；（2）∵P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴P A⊥AC；又AB⊥AC，P A∩AB＝A，∴AC⊥平面P AB；又AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面P AB．37．【解答】解：（1）证明：∵四边形EFGH为平行四边形，∴EH∥FG；∵EH⊄平面ABD，FG⊂平面ABD，∴EH∥平面ABD；又∵EH⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EH∥AB；又∵EH⊂平面EFGH，AB⊄平面EFGH，∴AB∥平面EFGH；（2）设EH＝x，EF＝y，∵EH∥AB，EF∥CD，∴＝，＝，∴+＝+＝＝1；又∵AB＝4，CD＝6，∴+＝1，∴y＝6（1﹣），且0＜x＜4；∴四边形EFGH的周长为l＝2（x+y）＝2[x+6（1﹣）]＝12﹣x，∴8＜12﹣x＜12；∴四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）．38．【解答】（1）证明：∵SA⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，∴SA⊥BC，∵AB⊥BC，SA∩AB＝A，∴BC⊥面SAB∵BC⊂面SBC∴面SAB⊥面SBC．（2）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，∵SA＝AB＝BC＝1，AD＝，∴S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），∴，＝（1，1，﹣1），设平面SCD的法向量，则，取x＝2，得＝（2，﹣1，1），又面SAD的法向量＝（0，1，0），cos＜＞＝＝﹣，∴面SAD与面SDC所成角的余弦值为．39．【解答】（1）证明：取PC的中点G，连接EG，FG，又由F为PD中点，则FG．又由已知有，∴FG∥AE．∴四边形AEGF是平行四边形．∴AF∥EG．又∵AF⊄平面PEC，EG⊂平面PCE．∴AF∥平面PCE．（2）解：∵P A⊥平面ABCD，∴平面P AD⊥平面ABCD．由ABCD是矩形有CD⊥AD．∴CD⊥平面P AD．∴AF⊥CD又P A＝AD＝3，F是PD的中点，∴AF⊥PD．∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD．由EG∥AF，∴EG⊥平面PCD．∴平面PCD内，过F作FH⊥PC于H，由于平面PCD∩平面PCE＝PC，故∠FCH为直线FC与平面PCE所成的角．由已知可得PD＝，，．∵CD⊥平面P AD，∴∠CPD＝30°．∴．∴．∴sin∠FCH＝∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为．40．【解答】解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O（0，0，0），A（0，1，0），B（﹣1，0，0），C（0，﹣1，0，），D（1，0，0，），E（0，﹣1，1），F（0，1，1），M（0，0，1）．（1）∵∴，即AM∥OE，又∵AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AM∥平面BDE；（2）∵，∴，∴AM⊥BD，AM⊥DF，∴AM⊥平面BDF．第1页（共1页）。
高中数学空间中点线面的位置关系练习题
空间中点线面的位置关系练习题1、下列有关平面的说法正确的是（ ）A 一个平面长是10cm ，宽是5cmB 一个平面厚为1厘米C 平面是无限延展的D 一个平面一定是平行四边形2、已知点A 和直线a 及平面α，则：①αα∉⇒⊄∈A a a A , ② αα∈⇒⊂∈A a a A , ③αα∉⇒⊂∉A a a A , ④αα⊂⇒⊂∈A a a A , 其中说法正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.33、下列图形不一定是平面图形的是（ ）A 三角形B 四边形C 圆D 梯形4、三个平面将空间可分为互不相通的几部分（ ）A.4、6、7B.3、4、6、7C.4、6、7、8D.4、6、85、共点的三条直线可确定几个平面 （ ）A.1B.2C.3D.1或36、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、1B 1C 1的中点，则，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形 A Q B 1 R C B D P A 1 C 1 D 1 ∙ ∙ ∙7、三个平面两两相交，交线的条数可能有————————————————8、不共线的四点可以确定——————————————————个平面。
9、下列说法①若一条直线和一个平面有公共点，则这条直线在这个平面内②过两条相交直线的平面有且只有一个③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合④两个平面相交有且只有一条交线⑤过不共线三点有且只有一个平面，其中正确的有———————————10、空间两条互相平行的直线指的是（ ）A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线11、分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）A 异面直线B 相交直线C 不平行直线D 不相交直线12、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与直线BD 异面且成600角的面对角线有（ ）条。
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新人教A 版数学高三单元测试15【空间点线面之间的关系】
本卷共100分，考试时间90分钟 高中数学高考题免费下载平台（ ）为您分享
一、选择题 (每小题4分，共40分)
1. 若,a b 为两条异面直线，AB 为其公垂线，直线//l AB ，则l 与,a b 两直线的交点个数为（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．最多1个
D ．最多2个
2. 已知a ，b 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面,下列命题中正确的是（ ）
（A ） //a b ，//b α，则//a α
（B ） a ，b α⊂，//a β，//b β，则//αβ
（C ） a α⊥，//b α，则a b ⊥
（D ） 当a α⊂，且b α⊄时，若b ∥α，则a ∥b
3. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）
A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂
B ．若//,//l ααβ，则l β⊂
C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥
D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥
4. 若直线⊆m 平面α，则条件甲：直线α//l 是条件乙：m l //的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5. 已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面α、β，有下列命题（ ）
①若//,,//;m n n m αα⊂则 ②若,//,;l m l αβααβ⊥⊥且则 ③若,,//l n m m l m ⊥⊥则 ④若,,,,.m n n m m αβαββα⊥=⊂⊥⊥ 则
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
6. 正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，异面直线AC 与B 1C 1所成的角是（ ）
A ．300
B ．600
C ．900
D ．1200
7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱线长为1，
线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12
EF =，
则下列结论中错误的是
（A ）AC BE ⊥
（B ）//EF ABCD 平面
（C ）三棱锥A BEF -的体积为定值
（D ）AEF BEF ∆∆的面积与的面积相等
8. 空间四边形ABCD ，若AB 、AC 、AD 与平面BCD 所成角相等，则
A 点在平面BCD 的射影为
B
C
D ∆的 （ ）
A ．外心
B ．内心
C ．重心
D ．垂心
9. 在正四棱锥P-ABCD 中，点P 在底面上的射影为O ，E 为PC 的中点，则直线AP 与OE 的位置关系是( )
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．都有可能
10. 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹（ ）
A 线段
B 1
C B BB 1的中点与CC 1中点连成的线段
C 线段BC 1
D CB 中点与B 1C 1中点连成的线段
二、填空题 (每小题4分，共16分) 11. 如图，E 、F 分别是正方体1111D C B A ABCD -的棱A A 1、C C 1的中点，则四边形E
BFD 1在该正方体的面上的垂直投影可能是 。
（要求：把可能的图的序号都填上）
12. 如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1容器内装进一些水，将容器底面一边BC 固定于底面上，再将容器倾斜，
随着倾斜度的不同，有下列三个说法：①水的形状始终是棱柱形状；
②水面形成的四边形EFGH 的面积不改变；③当1AA E ∈时，
AE+BF 是定值。
其中正确说法是_______。
（写出正确说法的序号）
13.如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ．
14.已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线
③同一条直线 ④一条直线及其外一点 在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.
三、解答题 (共44分，写出必要的步骤)
15. （本小题满分10分）如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD .
（I ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积；
（II ）求证：C A '//平面BDE ；
(Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ．
16. （本小题满分10分）
如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2，∠PDA=45°，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点．
（Ⅰ）求证：AF ∥平面PCE ；
（Ⅱ）求三棱锥C －BEP 的体积．
17. （本小题满分12分）已知正四棱锥ABCD S -中，高SO 是4米，底面的边长是6米。
（1）求正四棱锥ABCD S -的体积；
（2）求正四棱锥ABCD S -的表面积
.
18. （本小题满分12分）如图，已知矩形ABCD 中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．
A A
（Ⅰ）求证：1BC A D ⊥；
（Ⅱ）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ；
（Ⅲ）求三棱锥1A BCD -的体积．
答案
一、选择题
1. D
2. B
3. C
4. D
5. C
6. B
7. D
8. A
9. A10. A
二、填空题
11. ②③12. （1）、（3）13. 答案：36
解析：正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方
体的六个对角截面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”；
14. 答案：①②④
三、解答题
15. 解：（I ）多面体A 'B 'BAC 是一个以A 'B'BA 为底,C 点为
顶点的四棱锥，由已知条件，知BC ⊥平面A 'B 'BA ， ∴3211333
C A B BA A B BA a V S BC a a ''''-=⋅=⋅⋅= （II ）设AC 交B
D 于M ，连结M
E ．
ABCD 为正方形，所以M 为AC 中点， 又E 为A A '的中点∴ME 为AC A '∆的中位线C A ME '//∴
又BDE C A BDE ME 平面平面⊄⊂' ,//'C A ∴平面BDE ．
(Ⅲ)ABCD BD AC ∴⊥ 为正方形
.''.
','AC A BD A A A AC BD A A ABCD BD ABCD A A 平面又平面平面⊥∴=⊥∴⊂⊥ '. BD BDE
A AC BDE ⊂∴⊥ 平面平面平面
16. （Ⅰ）取PC 的中点G ，连结FG 、EG ，
∴FG 为△CDP 的中位线，
∴FG 21//CD ， ∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点，
∴AB 2
1//CD ， ∴FG //AE ，
∴四边形AEGF 是平行四边形，
∴AF ∥EG ，
又EG ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，
∴AF ∥平面PCE ；
（Ⅱ）三棱锥C －BEP 即为三棱锥P －BCE ，
PA 是三棱锥P －BCE 的高，
Rt △BCE 中，BE=1，BC=2，
∴三棱锥C －BEP 的体积
V 三棱锥C －BEP =V 三棱锥P －BCE =111112122322323
BCE S PA BE BC PA ∆⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=． 17(1)解：V=Sh 3
1 =3
14)66(⨯⨯⨯=48米3 答：正四棱锥ABCD S -的体积
为48米3
(2)过点S 做SE ⊥BC 于点E ，连结OE ，则SE 是斜高
在直角三角形SOE 中，SE=5)26
(42
2=+ h c S '=21正棱锥侧=605462
1=⨯⨯⨯米2 表S =正棱锥侧S +底S =60+66⨯=96米2
答：正四棱锥ABCD S -的表面积为96米
2 18. 证明：（Ⅰ）∵ 1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，
∴ 1AO ⊥平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ∴ 1BC AO ⊥
又
∴ BC ⊥平面1
ACD ，又11A D ACD ⊂平面，∴ 1BC A D ⊥ （Ⅱ）∵ ABCD 为矩形 ，∴ 11A D A B ⊥
由（Ⅰ）知B BC B A BC D A =⊥ 11,
∴ 1A D ⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD
∴ 平面1A BC ⊥平面1A BD
（Ⅲ）∵ 1A D ⊥平面 1A BC ， ∴ 11A D AC ⊥．
∵ 16,10A D CD ==， ∴ 1
8AC =， ∴ 1111(68)64832
A BCD D A BC V V --==
⋅⋅⋅⋅=
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