高中数学空间点线面之间的位置关系讲义之欧阳数创编
高考数学复习考点知识专题讲解课件34---空间点、线、面之间的位置关系
新高考 大一轮复习 · 数学
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故互为异面的直线有且只有 3 对． 答案：3
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新高考 大一轮复习 · 数学
题型分类 深度剖析
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新高考 大一轮复习 · 数学 题型一 平面基本性质的应用 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求 证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
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新高考 大一轮复习 · 数学
解析：因为点 A 在平面 CDD1C1 外，点 M 在平面 CDD1C1 内，直线 CC1 在平面 CDD1C1 内，CC1 不过点 M，所以 AM 与 CC1 是异面直线，故①错；取 DD1 中点 E， 连接 AE，则 BN∥AE，但 AE 与 AM 相交，故②错；因为 B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内，M 在平面 BCC1B1 外，BN 不过点 B1，所以 BN 与 MB1 是异面直线，故③正确； 同理④正确，故填③④. 答案：③④
答案：D
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新高考 大一轮复习 · 数学 5．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝M，过 A，B，C 三点 的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( ) A．点 A B．点 B C．点 C 但不过点 M D．点 C 和点 M
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新高考 大一轮复习 · 数学
跟踪训练 2 (1)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线 a 和直 线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
§8.2 空间点、线、面的位置关系(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件
例2 (2020届皖南八校第一次联考,15)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,
∠AD1B=
π 3
,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为
.
解析 如图,∵ABCD-A1B1C1D1为长方体,
∴BC1∥AD1,∴∠D1AB1(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角.
∵AB⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,∴AB⊥AD1,
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明 如图.
(1)连接B1D1, 由已知得EF是△D1B1C1的中位线, ∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD. ∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. (2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF确定的平面为β.
方法技巧
方法1 证明点共线、线共点及点线共面的方法
1.证明点线共面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合法:将 所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都 在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线 经过该点.
是棱BD的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值为
.
解析 取AD的中点N,连接MN,CN,又因为M是BD的中点,所以MN∥AB,故
高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT
a
A
记为：a=A
33
直线与平面
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
21
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
22
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确 定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
第二章
点、直线、平面之 间的位置关系
1
2.1 点、直线、平面 之间的位置关系
2
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
3
2.1.1 平 面
4
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小 线无粗细 面无厚薄
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
23
等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
A /A C /C ,•A /A /B B
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
等角定理：空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同，那么这两个角相等.
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是 ．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
高考数学二轮复习 6.1 空间点、线、面的位置关系课件 理
线与线的平行．
★互动变式 2
的交点，求证：
考点二
平行与垂直关系
命题规律 本考点主要内容：空间直线、平面，直线与
平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面 垂直．突出“空间”、“立体”，即把线线、线面、面面的 位置关系考查置于某几何体的情景中；位置关系以判断或证 明垂直为重点，突出三垂线定理和逆定理的灵活运用． 客观题主要考查：利用线线平行与垂直、线与面平行与 垂直、平面与平面平行与垂直的性质及判定定理判断线面的 位置关系；解答题主要以多面体为载体考查线面关系的证 明，知识不多但题目创新性较强． ●例2 正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2) 若 E 、 F 分 别 是 AA1 ， CC1 的 中 点 ， 求 证 ： 平 面 EB1D1∥平面FBD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．
取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD． ∴AG∥DF． ∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1． ∴平面EB1D1∥平面FBD．
【点评】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证
“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证
②直角 AOB在平面 α 内的射影为 ∠ A′OB′， ∠ A′OB′为锐 角，如图2，因此②正确； ③显然 ∠ AOB 所在的平面与平面 α 平行时， ∠ AOB 在平 面α内的射影一定为直角，因此③正确；
④直角 AOB 在平面 α 内的射影为 ∠ AO′B ， ∠ AO′B 为钝 角，如图3，因此④正确；
第6专题 立体几何
知识网络
第 1讲
空间点、线、面的位置关系
重点知识回顾 一、平面的基本性质(三个公理与三个推论) 二、线面平行与面面平行 1．线面平行的判定与性质： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那 么这条直线与这个平面平行． 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 2．面面平行的判定与性质 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行． 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的 交线平行．
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
高三数学 空间点线面之间的位置关系
课堂互动讲练
【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分
高中数学高考第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返 首 页
后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
返 首 页
25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返 首 页
43
1.下列结论中正确的是 ( )
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2.1空间点、直线、平面之间的位
置关系
一、平面 1 平面含义：
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
二、三个公理：
三、空间直线、平面之间的位置关系
D
C B A α
四、等角定理：
五、异面直线所成的角 1.定义： 2.范围： 3.图形表示 4.垂直： 六、典型例题
1．下面推理过程，错误的是（ ） （A ） αα∉⇒∈A l A l ,// （B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,
（C ）
AB
B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ）
βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,
2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）
（A ）1个或3个（B ）1个或4个（C ）3个或4个 （D ）
1个、3个或4个
3．以下命题正确的有（）
（1）若a∥b，b∥c，则直线a，b，c共面；（2）若a∥α，则a平行于平面α内的所有直线；
（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）
（A）2 （B）3 （C）6 （D）12
5．以下命题中为真命题的个数是（）
（1）若直线l平行于平面α内的无数条直线，则直线l∥α；（2）若直线a在平面α外，则a∥α；
（3）若直线a∥b，α⊂b，则a∥α；（4）若直线a∥b，α⊂b，则a平行于平面α内的无数条直线。
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1条或3条
7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是。
8．在空间中，
① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。
② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。
以上两个命题中为真命题的是（把符合要求的命题序号填上）
9．已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，15
21=BB ，求异面直线D B 1与
MN 所成角的余弦值。
10.正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为11D C 和11B C 的中点，P 、Q 分别为AC 与BD 、11A C 与EF 的交点. （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若1A C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.
11.如图，正方体1111ABCD A B C D -，E 、F 分别是AD 、1AA 的中点.（1）求直线1AB 和1CC 所成的角的大小；（2）求直线1AB 和EF 所成的角的大小. 1．下列四个结论：
⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
其中正确的个数为（ ）
A
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．下面列举的图形一定是平面图形的是（ ）
A ．有一个角是直角的四边形
B ．有两个角是直角的四边形
C ．有三个角是直角的四边形
D ．有四个角是直角的四边形 3．垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A ．平行
B ．相交
C ．异面
D ．以上都有可能
4．如右图所示，正三棱锥V ABC -（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F 分别是 ,,VC VA AC 的中点，P 为VB 上任意一点，则直线DE 与PF 所成的角的大小是（ ）
A ．030
B ． 090
C ．
060 D ．随P 点的变化而变化。
5．互不重合的三个平面最多可以把空间分成（ ）个部分
A ．4
B ．5
C ．7
D ．8
6．四面体S ABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，
,E F 分别是SC 和AB 的中点，则异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）
A ．090
B ．060
C ．045
D ．030
7．三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（ ）
Ａ．1条Ｂ．2条Ｃ．3条Ｄ．1条或2条8. 已知,a b是两条异面直线，//c a，那么c与b的位置关系____________________。
9．正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。
翰林汇
10．空间四边形ABCD中，,,,
AB BC CD DA的中
E F G H分别是,,,
点，则BC与AD的位置关系是_____________；四边形EFGH是__________形；当___________时，四边形EFGH是菱形；当___________时，四边形EFGH是矩形；当___________时，四边形EFGH是正方形。