高考数学理一轮总复习教师课件2.12导数与函数的最值及在实际生活中的应用
合集下载
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：2.12导数的应用(二)
k 解：(1)g(x)＝ln x＋x， x－k ∴令 g′(x)＝ x2 ＝0 得 x＝k. ∵x＞0，∴当 k≤0 时，g′(x)＞0. ∴函数 g(x)的增区间为(0，＋∞)，无减区间； 当 k＞0 时，g′(x)＞0 得 x＞k；g′(x)＜0 得 0＜x＜k. ∴增区间为(k，＋∞)，减区间为(0，k)．
• • •
2．不等式问题 (1)证明不等式时，可构造函数，将问题转化为函数的极值或最 值问题． (2)求解不等式恒成立或有解问题时，可以考虑将参数分离出来， 将参数范围问题转化为研究新函数的值域问题．
• • •
•
1．实际问题的最值 (1)注意函数定义域的确定． (2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只 要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的 函数值比较． 2 ．判断方程根的个数或者函数的零点个数时，应先利用导数研 究函数的单调性、极值或最值情况，然后数形结合进行判定．
【解】
3a2 (1)f′(x)＝x＋2a，g′(x)＝ ， x
由题意知 f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)， 1 2 2 x ＋ 2 ax ＝ 3 a ln x0＋b， 0 0 2 即 2 3 a x0＋2a＝ . x0 3a2 由 x0＋2a＝ ，得 x0＝a 或 x0＝－3a(舍去)． x0 1 2 5 2 2 2 即有 b＝2a ＋2a －3a ln a＝2a －3a2ln a.
①当 a≥e 时，函数 F(x)在(0，e)上单调递减，F(e)为最小值 a 3 e 所以 F(e)＝1＋ － ≥0，得 a≥ ， e 2 2 所以 a≥e，
②当 a＜e 时， 函数 F(x)在(0， a)上单调递减， 在(a， e)上单调递增， a 3 F(a)为最小值，所以 F(a)＝ln a＋a－2≥0， 得 a≥ e， 所以 e≤a＜e. 综上， e≤a.
高考总复习一轮数学精品课件 第4章 导数及其应用 第4节 利用导数研究函数的极值、最值
连续不断
那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的__________;
极值
f(a),f(b)
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的
一个是__________,最小的一个是__________.
最大值
最小值
微点拨对函数最值的理解
(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一
性,即只能有一个最大(小)值;
(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在端点处取得;
(3)当函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;
(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大
故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,故x=1是极大值点,故选B.
(2)(2024·山西临汾模拟)函数f(x)=(x-3)ex的极小值为__________.
-e2
解析 由已知得f'(x)=(x-2)ex,显然f'(2)=0,
∴当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,
考向1 求函数的最值
例3(1)(2024·广东深圳模拟)函数f(x)=x3-3x在区间[-2,0]的最大值和最小值
分别为( A )
1
所以函数的最小值为-e2.
1
f(-2)=- 2,
e
题组三 连线高考
7.(2022·全国甲,理 6)当 x=1 时,函数 f(x)=aln
那么它必有最大值和最小值.
(2)一般地,求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的__________;
极值
f(a),f(b)
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值__________比较,其中最大的
一个是__________,最小的一个是__________.
最大值
最小值
微点拨对函数最值的理解
(1)函数在其定义域上或在某给定区间上若存在最大(小)值,则其具有唯一
性,即只能有一个最大(小)值;
(2)函数的最值可以在区间端点处取得,但极值不能在端点处取得;
(3)当函数有最值时,不一定有极值;有极值时,不一定有最值;
(4)若f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a),f(b)分别是f(x)在[a,b]上的最小值、最大
故f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,故x=1是极大值点,故选B.
(2)(2024·山西临汾模拟)函数f(x)=(x-3)ex的极小值为__________.
-e2
解析 由已知得f'(x)=(x-2)ex,显然f'(2)=0,
∴当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0,
考向1 求函数的最值
例3(1)(2024·广东深圳模拟)函数f(x)=x3-3x在区间[-2,0]的最大值和最小值
分别为( A )
1
所以函数的最小值为-e2.
1
f(-2)=- 2,
e
题组三 连线高考
7.(2022·全国甲,理 6)当 x=1 时,函数 f(x)=aln
高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用2.11.2导数与函数的极值、最值课件理
角度二：已知函数的极值求参数 【典例 2】 (2016· 山东高考)设 f(x)＝xlnx－ax2＋(2a－1)x，a∈R。 (1)令 g(x)＝f′(x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x＝1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围。
【解析】 (1)由 f′(x)＝lnx－2ax＋2a， 可得 g(x)＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞)。 1－2ax 1 则 g′(x)＝x－2a＝ x 。
1 1 ③当 a＝2时，2a＝1，f′(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调 递减， 所以当 x∈(0，＋∞)时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意。
1 1 1 ④当 a>2时，0<2a<1，当 x∈2a，1 时，f′(x)>0的单调增区间为 0，2a，单调减区间为2a，＋∞ 。
(2)由(1)知，f′(1)＝0。 ①当 a≤0 时，f′(x)单调递增， 所以当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增。 所以 f(x)在 x＝1 处取得极小值，不合题意。
易知 φ(x)在 (0,1)上单调递增，在 (1，＋∞) 上单调递减，所以 φ(x)max＝φ(1)＝1，则 φ(x)的大 致图象如图所示，若函数 f(x)有两个极值点，则 直线 y＝2a 和 y＝φ(x)的图象有两个交点，所以 1 0<2a<1，得 0<a<2。
1 (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－ax－b，由 f′(1)＝0，得 b －ax2＋1＋ax－x －x－1ax＋1 1 ＝1－a。 ∴f′(x)＝x－ax＋a－1＝ ＝ 。 ① x x 若 a≥0，当 0<x<1 时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当 x>1 时，f′(x)<0，f(x) 单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点。②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x 1 1 ＝1 或 x＝－a。因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－a>1，解得－1<a<0。 综合①②得 a 的取值范围是 a>－1。 1 【答案】 (1) 0，2 (2)(－1，＋∞)
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
聚焦中考——语文 第五讲
表达方式与记叙的顺序
• （2013·荆门）阅读下文，完成习题。 • ①那天下午6点多，该上公交车的人早已上了车，唯独有个小女孩，在车
门边来回徘徊。眼看着司机就要开车了，我在想，这小女孩肯定是没钱 上车。 ②“小姑娘，上车吧，我帮你交车票钱。”当看到我为她刷完卡后，她 随即上了车，说了声“谢谢阿姨”，一时脸蛋儿全红了。近距离一看， 才发现，小女孩左侧脸上有颗小痣。几天前的一幕不由浮现眼前—— ③送走远方的朋友，我从火车站迎着风雨赶到就近的公交车站台，已是 下午5点多。这时正是下班高峰期，来了几辆公交车，我总也挤不上去。 雨还在急速地下着，人还在不断地涌来。当又一辆10路公交驶来后，我 和许多人一起先往前门挤，但挤不上去。等司机发话后，才从后门好不 容易挤上车。车内人头攒动，人满为患。这人贴人的，身体若要移动一 下都难。正感叹着，我突然感觉好像有一件事还没做。是什么事呢？哦， 对了，没买车票。本想挤到前面去交车钱，可大伙儿都好像没事人一样 在原地一动不动，根本挤不过去。见此情形，司机也没说什么，这样， 我也就心安理得地和大家一样坐了一次免费的公交车。
本题在当年的高考中，出错最多的就是将第(1)题 的 a＝4 用到第(2)题中，从而避免讨论，当然这是错误的．
【互动探究】 1．(2011 届广东台州中学联考)设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，
将 y＝f(x)和 y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确 的是( D )
考点2 导数与函数的极值和最大(小）值
高考数学一轮复习导数在函数中的应用-教学课件
第2讲 导数在函数中的应用
考纲要求
考纲研读
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用 1.用导数可求函数的单 导数研究函数的单调性，会求函数的单调 调区间或以单调区间为 区间(对多项式函数一般不超过三次)． 载体求参数的范围．
高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用
第二章基本初等函数、导数及其应用第13讲导数与函数的极值、最值及实际应用教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源r和谋梳理,1.函数的极值函数丿=/（兀）在点x=a的函数值/⑷比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f（a） = 0；而且在点x=a附近的左侧=,右侧/心,则点。
叫做函数歹=/（兀）的极小值点，弘）叫做函数丿=/（兀）的极小值•函数y=/U)在点x=b的函数值/(〃)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f (b)=Q；而且在点x=b附近的左侧曲＞°,右侧八,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，张)叫做函数y=f(x)^j极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.2・函数的最值（1）在闭区间［偽盯上连续的函数/（兀）在S 洌上必有最大值（2）若函数/（对在［偽盯上单调递增，则/⑷ 为函数的最 小值，/（〃） 为函数的最大值:若函数心）在⑷“］上与】 ［小值•1=) ■单调递减，则加）为函数的最大值, 型一函数的最小值.要点整食,1.辨明两个易误点(1)求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点;(2)易混极值与最值，注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念.2.明确两个条件一是/©)>0在(偽勿上成立，是/(兀)在(禺方)上单调递增的充分不必要条件.二是对于可导函数f(x)9 f (x0) =0是函数/(x)^E x=x0处有极值的必要不充分条件.双基自测r1.（选修1-1 P98习题1.3A组T4改编）函数/（兀）的定义域为R,导函数几T）的图象如图所示，贝！I函数/&）（C ）A.无极大值点、有四个极小值点B.有三个极大值点、一个极小值点C.有两个极大值点、两个极小值点D.有四个极大值点、无极小值点解析：设几r)的图象与兀轴的4个交点从左至右依次为朴 当Xi<X<X 2时，f f (x)<0,心)为减函数，则X=Xi 为极大值 点，同理，X=x 3为极大值点，X=x 2, x=x 4为极小值点, 故选C.2. 设函^/(x)=xe\ 贝!|( D )A.兀=1为/(©的极大值点B.兀=1为于(兀)的极小值点C. 兀=一1为/U)的极大值点当兀5时，f (x)>0, /(兀)为增函数,1=D.兀=一1为/(兀)的极小值点解析:求导得f\x)=e A+xe v=e v(x +1),令f (x)=e v(x+1)=0,解得X= —1,易知兀=—1是函数于(兀)的极小值点，所以选D.3.函数j=ln x~x 在兀丘（0, e ］上的最大值为（） B. 1C. -1D. -e 解析：函数j=lnx —x 的定义域为（0，+8）, Sxe （l, ◎时，F <0,函数单调递减. 当兀=1时，函数取得最大值一1・ A. e当用（0, 1）时，丫 >0, 函数单调递增4.(选修11 P97例5改编)函数y =2x3 —2x2在区间[_1, 2] 上的最大值是___________ •解析：y' =6x2—4x,令y'=0,2得X=0 或X=-e因为/(-!)=-4,介0)=0,岛=_占，几2)=8.所以最大值为&5-已知x=3是函数/(x)=Tln x+x?—10x的一个极值点，则实数a= 12 .解析：f仗)=?+加_10,由尸⑶=；+6 —10=0,得a=12,经检验满足条件.典例剖析▼考点突破击考点一函数的极值问题(高频考点) 都有，高考对函数极值的考查主要有以下三个命题角度:(1) 知图判断函数极值的情况;(2) 已知函数解析式求极值;(3) 已知函数极值求参数值.名师导悟以例说法函数的极值是每年高考的热点, -般为中高档题，三种题型例 1 设函数/(x)=ax — 2x + x+ c(« 0).⑴当a=l9且函数图象过点(0, 1)时，求函数的极小值;⑵若心)在(一8, +8)上无极值点，求。
2025年高考数学一轮复习-第四章-第三节-导数与函数的极值、最值【课件】
根据导函数图象判断极值
[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,
则(
)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
【解析】选AC.根据导函数的图象可知,
确定.
②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
连续不断
一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条__________的曲线,那么它在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤
有极值;有极值的未必有最值.
常用结论
1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.
2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端
点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在
极值
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的______;
最大
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中______的一个是
最小
最大值,______的一个是最小值.
微点拨 函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间
上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必
考向
考法
预测
高考命题以考查函数的极值、最值的概念,求函数的极值、最值为
2025届高中数学一轮复习课件《导数与函数的极值与最值》ppt
高考一轮总复习•数学
第17页
由图象判断函数 y＝f(x)的极值要抓住的两点 (1)由 y＝f′(x)的图象与 x 轴的交点，可得函数 y＝f(x)的可能极值点． (2)由导函数 y＝f′(x)的图象可以看出 y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数 y＝f(x)的单 调性．两者结合可得极值点．
高考一轮总复习•数学
解析
高考一轮总复习•数学
维度 2 求函数的极值问题 典例 2 设函数 f(x)＝2axx－2＋a21＋1(a＜0)，求函数 f(x)的极值． 解：函数 f(x)的定义域为 R， f′(x)＝－2ax2＋x22＋a21－21x＋2a. 令 f′(x)＝－2ax2＋x22＋a21－21x＋2a＝0， 即－2ax2＋2(a2－1)x＋2a＝0， 解得 x1＝a，x2＝－1a.
第10页
2．(课本习题改编)函数 f(x)＝(x2－1)2＋2 的极值点是( )
A．1
B．－1
C．1，－1,0 D．0
解析：∵f(x)＝x4－2x2＋3，由 f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得 x＝0 或 x＝1 或 x＝－1.又当 x＜－1 时，f′(x)＜0，当－1＜x＜0 时，f′(x)＞0，当 0＜x＜1 时，f′(x)＜0， 当 x＞1 时，f′(x)＞0，∴x＝0,1，－1 都是 f(x)的极值点．故选 C.
高考一轮总复习•数学
第27页
令 f′(x)＞0 得 x＞1 或 x＜－131， 令 f′(x)＜0 得－131＜x＜1， 所以函数 f(x)在－∞，－131上单调递增，在－131，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调 递增． 显然满足函数 f(x)在 x＝1 处有极小值 10. 当ab＝＝3－3， 时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 2.11.2 导数与函数的极值、最值课件 理 北师大版
角度三：已知极值求参数
4．(2016·广州模拟)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0， 则a－b＝___－__7___。
解析 由题意得 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则
a2＋3a－b－1＝0，
a＝1， a＝2，
b－6a＋3＝0，
解得b＝3 或b＝9，
经检验当 a＝1，b＝3 时，函数 f(x)在 x＝－1 处无法取得极值，而 a＝
考点二 利用导数解决函数的最值问题
【例 1】 求函数 f(x)＝ln(2x＋3)＋x2 在区间 －34，14上的最大值和最小值。
【解】 f(x)的定义域为－32，＋∞。 f′(x)＝2x＋2 3＋2x ＝4x22＋x＋6x3＋2＝22x＋2x1＋3x＋1。 当－32<x<－1 时，f′(x)>0；
(2)求函数f(x)的极值。 解 由(1)知 f(x)＝－ln x＋21x＋32x＋1(x>0)， f′(x)＝－1x－21x2＋32 ＝3x2－2x22x－1＝3x＋21x2x－1。 令 f′(x)＝0， 解得 x1＝1，x2＝－31(因为 x2＝－31不在定义域内，舍去)。 当 x 变化时，f′(x)(x)＝aln x＋21x＋23x＋1，其中 a∈R，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于 y 轴。 (1)求 a 的值； 解 因为 f(x)＝aln x＋21x＋23x＋1， 故 f′(x)＝ax－21x2＋32 由于曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于 y 轴，故该切线斜率为 0， 即 f′(1)＝0， 从而 a－21＋23＝0，解得 a＝－1。
解析 ①当x<－2时，1－x>0。 ∵(1－x)f′(x)>0， ∴f′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数。 ②当－2<x<1时，1－x>0。 ∵(1－x)f′(x)<0， ∴f′(x)<0，即f(x)在(－2,1)上是减函数。 ③当1<x<2时，1－x<0。 ∵(1－x)f′(x)>0，∴f′(x)<0， 即f(x)在(1,2)上是减函数。 ④当x>2时，1－x<0。 ∵(1－x)f′(x)<0， ∴f′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数。 综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值。故选D。 答案 D
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.会利用导数解决某些简单 的实际问题.
想的应用.
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 连续不间断 的曲线，则该函数在[a，b]上一定能 _____________ 最大值 最小值． 若函数在(a，b)内 够取得___________ 与___________
第12课时
导数与函数的最值及在实际
生活中的应用
2014高考导航
考纲展示 备考指南
1.会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函
复习时，应注重导数在研究函数
极值与最值中的工具性作用，会 将一些实际问题抽象为数学模型， 从而用导数去解决．复习中要注 意等价转化、分类讨论等数学思
数一般不超过三次)．
答案： S 6π
考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 函数的最值
例1
(2012· 高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ ax2＋1(a>0)，
g(x)＝x3＋ bx. (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝ g(x)在它们的交点 (1， c)处具 有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 a＝3， b＝－ 9 时，若函数 f(x)＋ g(x)在区间 [k,2]上 的最大值为 28，求 k 的取值范围．
4 ．已知函数 f(x)＝－x3 ＋ 3x2 ＋ 9x＋ a(a为常数 ) ，在区
间 [ － 2 ， 2] 上有最大值 20 ，那么此函数在区间 [ － 2,2]
上的最小值为________． 答案：－7 5．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，则它的底面 半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下： x h′(x) (－∞，－3) ＋ －3 0 (－3,1) － 1 0 (1,2) ＋ 2
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
3
由此可知： 当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28； 当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
f′ (x)＝ 3x2－ x－ 4. 4 令 f′(x)＝0，则 x＝ 或 x＝－1. 3 4 50 9 又 f 3 ＝－ ， f(－1)＝ ， f(－ 2)＝ 0， f(2)＝0， 27 2 9 50 所以 f(x)在 [－2,2]上的最大值、最小值分别为 ，－ . 2 27
考点 2
跟踪训练
1．(2013· 长沙调研)已知 a 为实数，则函数 f(x)＝(x2－ 4)· (x－ a)． (1)求导函数 f′ (x)； (2)若 f′(－1)＝ 0，求函数 f(x)在 [－ 2,2]上的最大值、最小值．
解：(1)由 f(x)＝ x3－ax2－4x＋ 4a， 得 f′(x)＝3x2－ 2ax－ 4. 1 (2)因为 f′ (－ 1)＝0，所以 a＝ ， 2 1 2 3 有 f(x)＝x － x －4x＋ 2， 2
利用导数研究恒成立及参数求解问题
a 例2 (2013· 大连质检)已知函数 f(x)＝ lnx－ . x (1)若 a＞ 0，试判断 f(x)在定义域内的单调性； 3 (2)若 f(x)在[1， e]上的最小值为 ，求 a 的值； 2 (3)若 f(x)＜x2 在 (1，＋∞ )上恒成立，求 a 的取值范围．
数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．解决优化问题的基本思路
课前热身
1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1)( A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 )
D．无最大值，但有最小值
【解】
(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具 有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)， 即a＋1＝1＋b，，当a＝3，b＝－9时， h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
x3 2 3．函数 f(x)＝ ＋ x －3x－ 4 在 [0,2]上的最小值是( 3 A．－ 17 3 B．－ 10 3
)
C．－4
64 D．－ 3
解析：选 A.f′ (x)＝x2＋2x－ 3，令 f′(x)＝0 得 x＝ 1(x＝－ 3 17 10 舍去 )，又 f(0)＝－ 4， f(1)＝－ ， f(2)＝－ ，故 f(x)在[0,2] 3 3 17 上的最小值是 f(1)＝－ ，选 A. 3
答案：C
2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位： 1 3 万件)的函数关系式为 y＝－ x ＋81x－234，则使该生产厂家获 3 取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 ) B． 11 万件 D． 7 万件
解析：选 C.因为 y′＝－ x2＋81，所以当 x＞9 时， y′＜ 0；当 1 3 x∈ (0,9)时，y′＞ 0，所以函数 y＝－ x ＋ 81x－ 234 在(9，＋∞ ) 3 上单调递减， 在(0,9)上单调递增， 所以 x＝ 9 是函数的极大值点， 又因为函数在(0，＋∞ )上只有一个极大值点，所以函数在 x＝ 9 处取得最大值．
因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
【名师点评】 一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必
有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有 最大值与最小值，若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调递增， 则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)
是最小值．
可导的 ，该函数的最值必在 是___________
极值点或区间端点处 取得． ______________________
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)
在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函
想的应用.
本节目录
教 材 回 顾 夯 实 双 基
考 点 探 究 讲 练 互 动
名 师 讲 坛 精 彩 呈 现
知 能 演 练 轻 松 闯 关
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．函数的最值
假设函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条 连续不间断 的曲线，则该函数在[a，b]上一定能 _____________ 最大值 最小值． 若函数在(a，b)内 够取得___________ 与___________
第12课时
导数与函数的最值及在实际
生活中的应用
2014高考导航
考纲展示 备考指南
1.会求闭区间上函数的最大 值、最小值(其中多项式函
复习时，应注重导数在研究函数
极值与最值中的工具性作用，会 将一些实际问题抽象为数学模型， 从而用导数去解决．复习中要注 意等价转化、分类讨论等数学思
数一般不超过三次)．
答案： S 6π
考点探究讲练互动
考点突破 考点 1 函数的最值
例1
(2012· 高考北京卷 )已知函数 f(x)＝ ax2＋1(a>0)，
g(x)＝x3＋ bx. (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝ g(x)在它们的交点 (1， c)处具 有公共切线，求 a， b 的值； (2)当 a＝3， b＝－ 9 时，若函数 f(x)＋ g(x)在区间 [k,2]上 的最大值为 28，求 k 的取值范围．
4 ．已知函数 f(x)＝－x3 ＋ 3x2 ＋ 9x＋ a(a为常数 ) ，在区
间 [ － 2 ， 2] 上有最大值 20 ，那么此函数在区间 [ － 2,2]
上的最小值为________． 答案：－7 5．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，则它的底面 半径为________时，才能使饮料罐的体积最大．
令h′(x)＝0，得x1＝－3，x2＝1.
h(x)与h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下： x h′(x) (－∞，－3) ＋ －3 0 (－3,1) － 1 0 (1,2) ＋ 2
h(x)
↗
28
↘
－4
↗
3
由此可知： 当k≤－3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(－3)＝28； 当－3＜k＜2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28.
f′ (x)＝ 3x2－ x－ 4. 4 令 f′(x)＝0，则 x＝ 或 x＝－1. 3 4 50 9 又 f 3 ＝－ ， f(－1)＝ ， f(－ 2)＝ 0， f(2)＝0， 27 2 9 50 所以 f(x)在 [－2,2]上的最大值、最小值分别为 ，－ . 2 27
考点 2
跟踪训练
1．(2013· 长沙调研)已知 a 为实数，则函数 f(x)＝(x2－ 4)· (x－ a)． (1)求导函数 f′ (x)； (2)若 f′(－1)＝ 0，求函数 f(x)在 [－ 2,2]上的最大值、最小值．
解：(1)由 f(x)＝ x3－ax2－4x＋ 4a， 得 f′(x)＝3x2－ 2ax－ 4. 1 (2)因为 f′ (－ 1)＝0，所以 a＝ ， 2 1 2 3 有 f(x)＝x － x －4x＋ 2， 2
利用导数研究恒成立及参数求解问题
a 例2 (2013· 大连质检)已知函数 f(x)＝ lnx－ . x (1)若 a＞ 0，试判断 f(x)在定义域内的单调性； 3 (2)若 f(x)在[1， e]上的最小值为 ，求 a 的值； 2 (3)若 f(x)＜x2 在 (1，＋∞ )上恒成立，求 a 的取值范围．
数值f(a)，f(b)；(4)比较函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)的大小， 其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．解决优化问题的基本思路
课前热身
1．函数f(x)＝x3－3x(－1<x<1)( A．有最大值，但无最小值 B．有最大值，也有最小值 C．无最大值，也无最小值 )
D．无最大值，但有最小值
【解】
(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.
因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具 有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)， 即a＋1＝1＋b，，当a＝3，b＝－9时， h(x)＝x3＋3x2－9x＋1，h′(x)＝3x2＋6x－9.
x3 2 3．函数 f(x)＝ ＋ x －3x－ 4 在 [0,2]上的最小值是( 3 A．－ 17 3 B．－ 10 3
)
C．－4
64 D．－ 3
解析：选 A.f′ (x)＝x2＋2x－ 3，令 f′(x)＝0 得 x＝ 1(x＝－ 3 17 10 舍去 )，又 f(0)＝－ 4， f(1)＝－ ， f(2)＝－ ，故 f(x)在[0,2] 3 3 17 上的最小值是 f(1)＝－ ，选 A. 3
答案：C
2．已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位： 1 3 万件)的函数关系式为 y＝－ x ＋81x－234，则使该生产厂家获 3 取最大年利润的年产量为( A．13 万件 C．9 万件 ) B． 11 万件 D． 7 万件
解析：选 C.因为 y′＝－ x2＋81，所以当 x＞9 时， y′＜ 0；当 1 3 x∈ (0,9)时，y′＞ 0，所以函数 y＝－ x ＋ 81x－ 234 在(9，＋∞ ) 3 上单调递减， 在(0,9)上单调递增， 所以 x＝ 9 是函数的极大值点， 又因为函数在(0，＋∞ )上只有一个极大值点，所以函数在 x＝ 9 处取得最大值．
因此，k的取值范围是(－∞，－3]．
【名师点评】 一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必
有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有 最大值与最小值，若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上单调递增， 则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)
是最小值．
可导的 ，该函数的最值必在 是___________
极值点或区间端点处 取得． ______________________
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]内的最大值与最小值 (1)确定函数f(x)在闭区间[a，b]内连续、可导；(2)求函数f(x)
在开区间(a，b)内的极值；(3)求函数f(x)在[a，b]端点处的函