动态几何问题(课件)
专题02 化动为静,破解几何动态问题(解析版)
专题02 化动为静，破解几何动态问题遇动点，心莫慌，细思量，找到不变与变量；画出图，细讨论，动变静，将线段（角度）逐一标上；列方程，细求解.【动点问题解题步骤】1. 分析题目找到不动的点，动点，将动点运动方向及速度标记图上；2. 寻求表达式利用动点速度及运动时间表示出线段长度（角度大小）等；3. 找等量关系，列方程判断是否需要分类讨论，如果存在多种情况，逐一绘制图形，寻求各自的等量关系，列出方程求解.题型一：线段上的动点问题【例1-1】（2020·成都市锦江区期中）（1）如图，己知点C在线段AB上，线段10AC=厘米，6BC=厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．求线段MN的长度；（2）己知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC AC a-=，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点．【答案】见解析．【解析】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC=5厘米，CN=12BC=3厘米，∴MN=CM+CN=8厘米；（2）作图如下，∵点M ，N 分别是AC ，BC 的中点， ∴CM=12AC ，CN=12BC ， ∴MN=CN -CM=12（BC -AC ）=12a ． （3）以C 为数轴原点，向右为正方向建立数轴，则A 点表示的数为：-10，B 点表示的数为：+6，设运动时间为t s ，C 、P 、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点， 则P 点表示的数为：-10+2t ，Q 点表示的数为：6-t ， 分三种情况讨论： ①当C 为P 、Q 中点时， -10+2t+6-t=0，解得：t=4， ②当P 为C 、Q 中点时， 0+6-t=2（-10+2t ）， 解得：t= ，③当Q 为C 、P 中点时， 0-10+2t=2（6-t ） 解得：t=，综上所述：t=4或或时，C 、P 、Q 三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点． 【例1-2】（2020·丹东市期中）如图，点C 在线段AB 上，点M 、N 分别是AC 、BC 的中点．（1）若8,6AC cm CB cm ==，求线段MN 的长；（2）若C 为线段AB 上一动点，满足AC CB acm +=，其它条件不变，你能猜想MN 的长度吗？你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？ 【答案】见解析.【解析】解：（1）∵点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，AC=8cm ，BC=6cm ，∴CM=12AC=4cm，CN=12BC=3cm，∵点C在线段AB上，∴MN=CM+CN=4+3=7cm，（2）由（1）知CM=12AC，CN=12BC，∵点C在线段AB上，∴MN=CM+CN=12AC +12BC=12（AC+BC）=a cm，∴无论点C在线段上移动到哪里，线段MN的长度等于线段AB长度的一半．【变式1-1】（2020·江西南昌市期末）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝，DM＝；（直接填空）（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝（填空）（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）13或1．【解析】解：（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，∵AB＝12cm，AM＝4cm，∴BM＝8cm，∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，故答案为：2cm，4cm；（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm∵AB ＝12 cm ，CM ＝2 cm ，BD ＝4 cm∴AC +MD ＝AM ﹣CM +BM ﹣BD ＝AB ﹣CM ﹣BD ＝12﹣2﹣4＝6 cm ； （3）根据C 、D 的运动速度知：BD ＝2MC ， ∵MD ＝2AC ，∴BD +MD ＝2（MC +AC ），即MB ＝2AM ， ∵AM +BM ＝AB ， ∴AM +2AM ＝AB ， ∴AM ＝13AB ＝4， 故答案为：4； （4）分两种情况讨论： ①当点N 在线段AB 上时，∵AN ﹣BN ＝MN ， ∵AN ﹣AM ＝MN ∴BN ＝AM ＝4∴MN ＝AB ﹣AM ﹣BN ＝12﹣4﹣4＝4 ∴；②当点N 在线段AB 的延长线上时，∵AN ﹣BN ＝MN ， 又∵AN ﹣BN ＝AB ∴MN ＝AB ＝12 ∴1MNAB； 故答案为或1．【变式1-2】（2020·河南南阳市期中）如图一，点C 在线段AB 上，图中有三条线段AB 、AC 和BC ，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C 是线段AB 的“巧点”． （1）填空：线段的中点 这条线段的巧点（填“是”或“不是”或“不确定是”） （问题解决）和40，点C是线段AB的巧点，求点C （2）如图二，点和B在数轴上表示的数分别是20在数轴上表示的数.（应用拓展）（3）在（2）的条件下，动点P从点处，以每秒2个单位的速度沿AB向点B匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒4个单位的速度沿BA向点匀速运动，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，当、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点t s的所有可能值．时，直接写出运动时间()【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)见解析．【解析】解：（1）线段的中点是这条线段的巧点，故答案为：是；（2）设C点表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根据“巧点”的定义可知：①当AB=2AC时，有60=2（x+20），解得，x=10；②当BC=2AC时，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③当AC=2BC时，有x+20=2（40-x），解得，x=20．综上所述，C点表示的数为10或0或20；（3）由题意得，AP=2t，P点表示数为2t-20，AQ=60-4t，Q点表示的数为40-4t，∴PQ=|40-4t-2t+20|=|60-6t|,①当A为P、Q两点的“巧点”时，AQ=2AP，60-4t=2×2t，解得：t=7.5或AP=2AQ，2t=2（60-4t），解得：t=12②当P为A、Q两点的“巧点”时，PA=2PQ，2t=2|60-6t|，解得：t=或t=12或PQ=2PA，|60-6t|=2×2t，解得：t=6或t=30（舍）③当Q为A、P两点的“巧点”时，QA=2PQ，60-4t=2|60-6t|，解得：t=7.5或t=或QP=2AQ，|60-6t|=2（60-4t），解得：t=或t=30（舍）综上所述，运动时间的可能值为7.5、12、、6、、.题型二：折线上的动点问题【例2-1】（2020·镇江市月考）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示10-，点B表示10，点C表示18，我们称点和点C在数轴上相距28个长度单位．动点P、Q同时出发，点P从点出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点运动至C点需要多少时间？（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M所对应的数是多少；（3）求当t为何值时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等．【答案】见解析．【解析】解：（1）动点P从点A运动至C分成三段，分别为AO、OB、BC，AO段时间为5s，OB段时间为10s，BC段时间为4s，∴动点P从点A运动至C点需要时间为5+10+4=19（秒）；（2）点Q经过8秒后从点C运动到OB段，再经进x秒与点P在OB段相遇，此时P所处点为3，依题意得：3+x+2x=10，解得：x=73，此时相遇点M对应的数是为716333+=；（3）分四种情况讨论①当点P在AO，点Q在BC上运动时，依题意得：10-2t=8-t，解得：t=2，②当点P 、Q 两点都在OB 上运动时， t -5=2（t -8） 解得：t=11，③当P 在OB 上，Q 在BC 上运动时， 8-t=t -5， 解得：t=；④当P 在BC 上，Q 在OA 上运动时， t -8-5+10=2（t -5-10）+10， 解得：t=17；即PO=QB 时，运动的时间为2秒或秒或11秒或17秒．【变式2-1】（2020·浙江模拟）如图，数轴上，点A 表示的数为7-，点B 表示的数为1-，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13，在点B 和点C 处各折一下，得到条“折线数轴”，我们称点A 和点D 在数上相距20个长度单位，动点P 从点A 出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q 从点D 出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA 和射线CD 上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B 到C 速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C 到B 速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t 秒，问：（1）动点P 从点A 运动至D 点需要时间为________秒；（2）P 、Q 两点到原点O 的距离相同时，求出动点P 在数轴上所对应的数；（3）当Q 点到达终点A 后，立即调头加速去追P ，“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒，当点Q 追上点P 时，直接写出它们在数轴上对应的数． 【答案】（1）15；（2）（3）见解析． 【解析】解：（1）由题意知：点A 表示的数为-7，点B 表示的数为-1，点C 表示的数为9，点D 表示的数为13，∴AB=6，BC=10，CD=4故动点P 从点A 运动到点D 所需时间为6104212++=15（秒）， 故答案为：15；（2）由题意，PO=QO，分以下六种情况：①当点P在AB，点Q在CD时，点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为13-2t，∴-7+2t+13-2t=0，无解.②当点P在AB，点Q在CO时，点P表示的数为-7+2t，点Q表示的数为17-4t，∴-7+2t+17-4t=0，解得t=5，此时点P表示的数为3，不在AB上，舍去；③当点P在BO，点Q在CO时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4tt-4+17-4t=0解得t=，此时点P表示的数为13，不在BO上，舍去；④当点P、Q相遇时，点P、Q均在BC上，t-4=17-4t解得t=，此时点P表示的数为15，点Q表示的数为15；⑤当点P在OC，点Q在OB时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为17-4t，∴t-4+17-4t=0解得t=，此时点P表示的数为13，点Q表示的数为13，符合题意；⑥当点P在OC，点Q在BA时，点P表示的数为t-4，点Q表示的数为8-2t，t-4+8-2t=0解得t=4，此时点Q表示的数为0，不在BA上，不符题设，舍去；综上所述，点P表示的数为15或13；（3）点Q到达点A所需时间为=7.5（秒），此时点P到达的点是3.5，点P到达点C所需时间为=13（秒），此时点Q到达的点是6，故点Q在CD上追上点P，此时点P表示的数为2t-17，点Q表示的数为3t-34.5，2t-17=3t-34.5，解得t=17.5，此时点P表示的数为18，点Q表示的数为18．【变式2-2】（2019·武汉月考）如图1，在数轴上有一条线段AB，，B表示的数分别是-2和-7．（1）若将线段AB的一端平移到原点处，则平移的距离为；（2）如图2，C为线段AB上一点，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点落在点B的左边且15AB BC，求C点对应的数；（3）移动线段AB，使A对应的数为15，则B对应的数为（直接填空），此时数轴上的动点M，N分别从A，B出发向左作匀速运动，速度分别为4单位长度/秒和2单位长度/秒，请问数轴上是否存在定点P，当动点M在线段OA上移动过程中始终满足OM=2PN，若存在求点P对应的数；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 2或7;(2)见解析；（3）B对应的数为10，见解析．【解析】解：（1）∵数轴上有一条线段AB，表示的数分别是-2和-7，∴平移的距离为2或7；故答案为：2或7；（2）设点C对应的数为x，则对折后B表示的数是2x+7∴BC=2x+7，∵AB=15 BC，∴2x+7-（-2）=15(x+7)，解得：x=389 -，即C点对应的数是389 -；（3）移动线段AB，使A对应的数为15，则AB向右移动17个单位长度，B对应的数为10，故答案为：10；设点P对应的数是y，t秒时满足OM=2PN，点M表示的数是：15-4t，点N表示的数是：10-2t，∵OM=2PN，∴15-4t=2|y-10+2t|，①15-4t=2（y-10+2t），2y=35-8t，y随t的变化而变化，不符合题意，②15-4t=2（-y+10-2t），化简为15-4t=-2y+20-4t，即y=52，故存在，点P对应的数是52．题型三：角度中的动点问题【例3-1】（2020·江苏盐城市月考）七年级学生小聪和小明完成了数学实验《钟面上的数学》后，制作了一个模拟钟面，如图所示，点O为模拟钟面的圆心，M、O、N在一条直线上，指针OA、OB分别从OM、ON出发绕点O转动，OA顺时针转动，OB逆时针转动，OA运动速度为每秒转动15°，OB运动速度为每秒转动5°，当一根指针与起始位置重合时，运动停止，设转动的时间为t秒（t＞0），请你试着解决他们提出的下列问题：（1）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝秒时，OA与OB第一次重合；（2）OA顺时针转动，OB逆时针转动，当t＝3秒时，∠AOB＝°；（3）若他们同时顺时针转动，t为何值时，OA与OB的夹角为20°？（4）若他们同时顺时针转动，t为何值时，ON平分OA与OB的夹角？OA平分OB与ON 的夹角?【答案】（1）9；（2）120；（3）16或20；（4）9，14.4．【解析】解：（1）设t秒后，OA与OB第一次重合，根据题意可得：15t+5t=180，解得t=9，故答案为：9；（2）当t=3秒时，∠AOM=45°，∠BON=15°，∴∠AOB=120°故答案为：120；（3）设t秒后，OA与OB的夹角为20°，①当OA与OB重合之前，由题意：180+5t-15t=20，解得t=16；②当OA与OB重合之后，由题意：15-5t-180=20，解得t=20，∴当运动16或20秒时，OA与OB的夹角为20°；（4）由题意知：0≤t≤24，∴∠BON=5t，∠AON=|180－15t|，当ON平分OA与OB的夹角时，即∠AON=∠BON，即5t=180-15t，解得t=9；当OA平分OB与ON的夹角时，即∠AON=∠AOB,即5t=2（15t-180），解得t=14.4．【变式3-1】（2020·焦作市月考）已知数轴有A、B两点，分别表示的数为a、b，且|a+12|+|b ﹣18|＝0．（1）a＝，b＝，点A和点B之间的距离为；（2）如图1，动点P沿线段AB自点A向点B以2个单位长度/秒的速度运动，同时动点Q 沿线段BA自点B向点A以4个单位/秒的速度运动，经过秒，动点P，Q两点能相遇；（3）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2个单位/秒的速度运动，点P出发3秒后，点Q沿线段BA自点B向A以4个单位/秒的速度运动，问再经过几秒P，Q两点相距6个单位长度；（4）如图2，AO＝4厘米，PO＝2厘米，∠POB＝60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动，假若点P，Q两点能相遇，直接写出点Q运动的速度．【答案】（1）﹣12，18，30；（2）5；（3）（4）见解析．【解析】解：（1）∵|a+12|+|b﹣18|＝0，∴a+12＝0，b﹣18＝0，解得，a＝﹣12，b＝18，∴AB＝|﹣12﹣18|＝30，故答案为：﹣12，18，30；（2）30÷（2+4）＝5（秒），故答案为：5；（3）设再经过x秒后点P、点Q相距6个单位长度，当P点在Q点左边时，2（x+3）+4x+6＝30，解得，x＝3；当点P在点Q右边时，2（x+3）+4x﹣6＝30，解得，x＝5；即再经过3或5秒后，点P、Q两点相距6个单位长度；（4）设点Q的运动速度为x cm，当P、Q两点在点O左边相遇时，120÷60x＝30﹣6，解得，x＝14；当P、Q两点在点O右边相遇时，240÷60x＝30﹣2，解得，x＝6；即点P，Q两点能相遇，则点Q的运动速度为每秒14cm或6cm．【变式3-2】（浙江月考）已知：如图1，点A、O、B依次在度线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿进时针方向以每秒6°的速度前转，如图2，设旋转时间为t（0秒≤t≤60秒）．（1）用含t 的代数式表示下列各角的度数：MOA ∠=______，NOB ∠=______． （2）在运动过程中，当0秒秒时，AOB ∠=45°，求t 的值．（3）在旋转过程中是否存在这样的t ，使得射线是由射线OM ．射线OA 、射线ON 中的其中两条组成的角（指大于0°而不超过180°的角）的平分线？如果存在，请直接写出t 的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）3t ，6t 或 360-6t ；（2）（3）见解析．【解析】解：（1）∠MOA=3t ，∠NOB=6t 或360-6t ，故答案为：3t ，6t 或 360-6t ；（2）若OA ，OB 相遇前，∠AOB=45°，∴3t+6t+45°=180°，∴t=15s若OA ，OB 相遇后，∠AOB=45°，∴3t+6t -45°=180°，∴t=25s∴t 为15秒或25秒时，∠AOB=45°；（3）分三种情况：①OB 平分∠AOM 时， 由12∠AOM=∠BOM 得32t=180-6t ， 解得t=24②OB 平分∠MON 时，由∠BOM=12∠MON ，即∠BOM=90°， 得6t=90，或6t -180=90，解得：t=15，或t=45；③OB 平分∠AON 时，由∠BON=12∠AON，得6t=12（180-3t），解得：t=12；综上所述，当t的值分别为12、15、24、45秒时，射线OB是由射线OM、射线OA、射线ON中的其中两条组成的角的平分线．。
专题4.3 立体几何的动态问题(解析版)
一．方法综述立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性.一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等.此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点.究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的.动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口.求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围.对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题.具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证.二．解题策略类型一立体几何中动态问题中的角度问题例1.【四川高考题】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ，则θcos的最大值为.【答案】2 5281161814552y y t t+=≥++-，当1t =时取等号.所以22112(1)12222cos 511555451144yy y y θ-+-==≤⨯=⋅++⋅++，当0y =时，取得最大值.z yxF ME QPD CBA【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值.当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大. 【举一反三】1、【四川高考题】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（） A ．3[,1]3 B ．6[,1]3 C ．622[,]33 D ．22[,1]3【答案】B111133212222cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==∠=⨯，113133622cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==-∠=⨯. 又直线与平面所成的角小于等于90，而1A OC ∠为钝角，所以sin α的范围为6[,1]3，选 B. 2、【广东省东莞市2019届高三第二次调研】在正方体中，E 是侧面内的动点，且平面，则直线与直线AB 所成角的正弦值的最小值是A ．B ．C ．D ． 【答案】B 【解析】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1， 设0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，设平面的法向量y ，， 则，取，得，平面，，解得，，，设直线与直线AB 所成角为，1，，，，，．直线与直线AB 所成角的正弦值的最小值是．故选：B ．3、如图，已知平面αβ⊥，l αβ=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A 5B ．12 C3 D ．1【答案】C类型二立体几何中动态问题中的距离问题【例2】【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟】如图，在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（）A．当时，平面B．当为中点时，四棱锥的外接球表面为C．的最小值为D．当时，平面【答案】C【解析】对于，连结，，，则，，，设到平面的距离为，则，解得，∴.∴当时，为与平面的交点．∵平面∥平面，∵平面，∴∥平面，故A正确．又由以上分析可得，当时，即为三棱锥的高，∴平面，所以D正确．对于B，当为中点时，四棱锥为正四棱锥，设平面的中心为，四棱锥的外接球为，所以，解得，故四棱锥的外接球表面积为，所以B正确．对于C，连结，，则，∴，由等面积法得的最小值为，∴的最小值为．所以C不正确．故选：C.【指点迷津】求两点间的距离或其最值.一种方法，可建立坐标系，设点的坐标，用两点间距离公式写出距离，转化为求函数的最值问题；另一种方法，几何法，根据几何图形的特点，寻找那两点间的距离最大（小），求其值.【举一反三】1、【河南省焦作市2018-2019学年高三三模】在棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AA 1和AB 上，且C 1E⊥EF，则|AF|的最大值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2【答案】B 【解析】以AB ，AD ，AA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则C 1（4，4，4），设E （0，0，z ），z∈[0，4]，F （x ，0，0），x∈[0，4]，则|AF|＝x ．＝（4，4，4﹣z ），＝（x ，0，﹣z ）．因为C 1E⊥EF，所以，即：z 2+4x ﹣4z ＝0，x ＝z ﹣．当z ＝2时，x 取得最大值为1．|AF|的最大值为1． 故选：B ．2.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，点H 在棱1AA 上，且11HA =，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（ ）A ．21B ．22C ．23D ．25 【答案】B【解析】在1BB 上取点K ，使得11B K ＝，则HK ⊥面11BCC B ，连结PK ，则222216HP HK PK PK ＝＋＝＋．在平面11BCC B 上，以1CC 所在直线为x 轴，以GF 所在直线为y 轴，由题意可知，P 点轨迹为抛物线，其方程为221x y -＝，K 点坐标为()04，，设()P x y ，，则221x y =-（其中1[22371],x y ⎡⎤∈-∈⎢⎥⎣⎦，，，()22222421816615PK x y y y y y y =+-=-+-+=-+当17,223y ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时，2min 6|PK ＝，故2min |16622HP ＝＋＝．3、如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.【答案】25类型三立体几何中动态问题中的面积、体积问题【例3】在棱长为6的正方体中，是中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则三棱锥的体积最大值是（）A. 36B.C. 24D.【答案】B【指点迷津】求几何体体积的最值，先观察几何图形三棱锥，其底面的面积为不变的几何量，求点P到平面BCD的距离的最大值，选择公式，可求最值.【举一反三】1、《 九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的体积为（ ）A ．83B ．2 C.2 D ．22 【答案】C2、【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知矩形ABCD 中， 6,4AB BC ==， ,E F 分别是,AB CD 上两动点，且AE DF =，把四边形BCFE 沿EF 折起，使平面BCFE ⊥平面ABCD ，若折得的几何体的体积最大，则该几何体外接球的体积为（ ） A. 28π B. 287π C. 32π D. 23π【答案】D3、【湖南省衡阳市2019届高三二模】如图，直角三角形，，，将绕边旋转至位置，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图，，，分别为，，的中点，作面，作面，连，，易知点即为四面体的外接球心，，，.设，，则，，，.【处理一】消元化为二次函数..【处理二】柯西不等式..所以.类型四立体几何中动态问题中的轨迹问题【例4】如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为分别为的中点，所以，，所以平面，平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为.故本题正确答案为.【指点迷津】由已知可知平面平面，要始终有平面，点M为定点，所以点P的轨迹为线段HF，求其长度即可.【举一反三】1、【安徽省安庆市2019届高三二模】如图，正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，一只蚂蚁从点出发沿每个侧面爬到，路线为，则蚂蚁爬行的最短路程是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为，则其对角线的长为最短程. 因此蚂蚁爬行的最短路程为.故选:A.2、在正方体1111ABCD A B C D 中，已知点P 为平面11AA D D 中的一个动点，且点P 满足：直线1PC 与平面11AA D D 所成的角的大小等于平面PBC 与平面11AA D D 所成锐二面角的大小，则点P 的轨迹为（ ） A ．直线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 【答案】DF E P C 1B 1D 1A 1DCBA z yx3、已知平面平面，，且.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为 ( ) A. B. C.D.【答案】 C【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，类型五 立体几何中动态问题中的翻折、旋转问题【例5】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CDB '--的平面角为α，则（ ）A.A DB α'∠≤B.A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D.A CB α'∠≤【答案】B. 【解析】试题分析：设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '∆中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='⨯⨯⨯，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ， 过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '∆中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，【举一反三】1、【四川省宜宾市2019届高三二诊】已知棱长都为2的正三棱柱的直观图如图，若正三棱柱绕着它的一条侧棱所在直线旋转，则它的侧视图可以为A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，四个选项高都是2，若侧视图为A，中间应该有一条竖直的实线或虚线．若为C，则其中有两条侧棱重合，不应有中间竖线．若为D，则长应为，而不是1．故选：B．2.【重庆市南开中学2019届高三三月测试】如图，在正方形中，，分别为线段，上的点，，．将绕直线、绕直线各自独立旋转一周，则在所有旋转过程中，直线与直线所成角的最大值为________．【答案】【解析】由题绕直线、绕直线各自独立旋转一周，形成两个圆锥体，AB和DF成为圆锥的母线，所以无论怎么旋转，都有，．利用几何体性质得：最大角是AB与BE的对称直线B和DF关于直线CD的对称直线D在同一平面内时所成角，为故答案为3.【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】415【解析】三．强化训练一、选择题1. 已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是边AA1，CC1上的中点，点M是BB1上的动点，过点E，M，F的平面与棱DD1交于点N，设BM＝x，平行四边形EMFN的面积为S，设y＝S2，则y关于x的函数y＝f(x)的图象大致是( )A．B． C．D．【答案】A【解析】由对称性易知四边形为菱形，，，．为二次函数，开口向上，顶点为.故选：．2、某圆柱的高为1，底面周长为8，其三视图如图所示圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据几何体的三视图如图所示：由于底面周长为8，得到，解得，所以点M 到N 在下底面上的射影的弧长为，把圆柱的侧面展开得到从M 到N 的路径中的最小值为．故选：C ．3、如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D4.【河南省郑州市第一中学2019届高三上期中】在三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：如图所示：三棱锥中，平面，M是线段上一动点，线段长度最小值为，则：当时，线段达到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，则：，由于：，所以：则：为等腰三角形．所以：，在中，设外接圆的直径为，则：，所以：外接球的半径，则：，故选：C．5．【河南省郑州市2019年高三第二次质量检测】在长方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1∥平面EFGHQR，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，∴P∈AC，∴过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，△PBB1的面积最小，∴三角形面积的最小值为，故选：C．6.【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】如图，已知三棱锥，平面，是棱上的动点，记与平面所成的角为，与直线所成的角为，则与的大小关系为（）A．B．C．D．不能确定【答案】C【解析】如图所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD与平面ABC所成的角=∠PDA,过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴cos cos cos< cos,又均为锐角，∴，故选C.7．如图，在等腰中，，M为的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为，则二面角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】D【解析】∵等腰直角△BC中，B＝BC＝2，M为C中点，∴折之前C2，BM⊥C，∴折之后AM＝CM，AM⊥BM，CM⊥BM，∴∠AMC是二面角C﹣BM﹣A的平面角，∵折后A，C间的距离为，由余弦定理得cos∠AMC＝，∵∠AMC∴二面角C﹣BM﹣A的大小为，即为120°故选：D．二、填空题8.【安徽省蚌埠市2019届高三第一次检查】如图所示，正方体的棱长为2，E，F为，AB的中点，M点是正方形内的动点，若平面，则M点的轨迹长度为______．【答案】【解析】如图所示，取的中点，的中点，连接，，，．可得：四边形是平行四边形，.同理可得：．．平面平面，点是正方形内的动点，若平面.点在线段上．点的轨迹长度．故答案为．9．已知正方体的棱长为，点为线段上一点，是平面上一点，则的最小值是______________________；【答案】【解析】解：当取得最小时，点必定是点在平面上的射影，即在上.与在二面角的两个面内，为此将绕旋转90°，使得平面与平面在同一平面内，由，故当共线且与垂直时，取得最小.在平面内，因为所以，，又，所以与都是等腰直角三角形，所以得到=，故的最小值为.10、【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】试题分析：由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴，连结AD ，等腰△ABD 中，2AB AD == ,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在BDE Rt △中，2,2BE DE =∴=，学科&网过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性可知2BF DE == ,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，直线AB 与a 所成的最大角为90°，④错误. 正确的说法为②③. 学科&网11．【2019届湘赣十四校高三联考第二次考试】如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.12．【河南省六市2019届高三第一次联考】如图，是等腰直角三角形，斜边，D为直角边BC 上一点不含端点，将沿直线AD折叠至的位置，使得在平面ABD外，若在平面ABD 上的射影H恰好在线段AB上，则AH的取值范围是______．【答案】【解析】解：在等腰中，斜边，D为直角边BC上的一点，，，将沿直AD折叠至的位置，使得点在平面ABD外，且点在平面ABD上的射影H在线段AB上，设，，，，平面ABC，，当时，B与D重合，，当时，，为直角边BC上的一点，，的取值范围是故答案为：13．【陕西省榆林市2019届高考模拟第三次测试】如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________．【答案】【解析】由题,易知三棱锥的外接球的球心为，∴，∴，到底面的距离为，∴，∴.故答案为14．【河南省洛阳市2018-2019学年高中三第二次统考】正四面体中，是的中点，是棱上一动点，的最小值为，则该四面体内切球的体积为_____.【答案】【解析】如下图，正方体中作出一个正四面体将正三角形和正三角形沿边展开后使它们在同一平面内，如下图：要使得最小，则三点共线，即：，设正四面体的边长为，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：，所以正方体的边长为2，正四面体的体积为：，设四正面体内切球的半径为，由等体积法可得：，整理得：，解得：，所以该四面体内切球的体积为.15．【江西省吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学2019届高三4月联考】如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，平面，且，现将以直线为轴旋转一周后，则直线与动直线所成角的范围__________．【答案】【解析】画出图像如下图所示，将平移到的位置，点在以为圆心，半径为的圆上运动.则就是所求线线角，根据三角形中，大角对大边，为定值，故最值由来确定，故当在处线线角最小，在处线线角最大.由于，故.而，故，所以.而，故.所以所求线线角的取值范围是.16．在三棱锥中，,分别为棱和棱上的动点，则△的周长范围___________.【答案】【解析】三棱锥如图：把三棱锥A﹣BCD的侧面展开如图，∵△△，∴, ∴B,A,共线，此时两点间的连接线即是△的周长的最小值8，但此时E，F重合于A，不能构成三角形，所以取不到8．由图观察，当分别在棱和棱上由A向下移动时，的长度先变小，移动至分别与AD，AC 垂直时，的长度最小，再向下移动逐渐变大，所以△的周长最大为=15,故答案为.。
初中常见动点问题解题方法 2 课件
（3）当t为何(wèihé)值D时E，F 为△直角三角形？请说明(shuō.míng)理由
解析(jiě xī)：
②当∠DEF=90 o时
由（2）知EF∥AD
∴∠ADE=∠DEF=90 o ∵∠A=90 o-∠C=60o
1
∴AD= AE
2
即10-2t= 1 t 2
则t=4
1单位 /s
2单位 /s
30o
÷ ∴ BM+MN 的最小值＝ B N '=AB PPT课件 第十一页，共24页。
C
N'
M
D
B
A
N
N'
C
MD
A
N B11
练习(liànxí)
1. 如图，在△ ABC中，∠ C=90 °， CB=CA=4 ，
∠ A的平分线交BC于点 D，若点 P、Q分别(fēAnCbié)是 和 AD上的动点，则 CQ+PQ 的最小值是 ____________
如图，在 Rt△ABC中，∠ B=90 °，BC=5 3，∠ C=30 °. 点D从点 C出发(chCūAf方ā)向沿(fāngxi2àn个g)单以位每(秒dānwèi)长的速A度匀向速点 运动，同时点E从点A出发沿 AB方向以每秒 1个单位长的速度 向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随 之停止运动 .设点D、E运动的时间是 t秒（ t＞0）.过点 D作 DF⊥BC 于点F，连接 DE、EF.
的一动点，则 PA+PC的最小值是 P_P_T_课_件____
6
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两个(liǎnɡ ɡè)动点（一）
例、特如点图：，∠已A知O一B=个45定°点，位P是于∠平A面OB内内两一相交(xiāngjiāo)直线之间，
中考总复习课件--动点问题
N
P
A
D E
B
M
C
N
P
A
E
D
B
M
P
C
N
A
E
H
D Q
B
M
C
N
大展身手
如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在 同一条直线上，AD∥BC,AB⊥BC于B，AD=4， AB=EC=6，BC=8.将直角梯形ABCD沿BG向右平移， 当点C于点G 重合时停止运动。设运动的路程为X。 自己提出一个问题并解答。梯形与正方形.gsp
如图，在边长为4cm的正方形ABCD中， 现有一动点P，从A点出发，以每秒钟 2cm的速度，沿正方形的边经A-B-C-D到 达D点，当点P运动3秒钟时，点P到达什 么位置？到达D点需要几秒钟？
D C
A
P
B
1：如图，已知A、B两点的坐标 分别为（28，0）和（0，28）， 动点P从A点开始在线段AO上以每 秒3个单位长度向原点O运动，动 直线EF从x轴开始以每秒1个单位 长度的速度向上平移（即EF//x 轴），并且EF分别与y轴、线段AB 交于E、F点，连接FP，设动点P 与动直线EF同时出发，运动时间 为t秒，求当梯形OPFE的面积等于 △APF的面积时t的值。 平移直线.gsp
授课人：
学习目标
培养同学们的观察、分析、理解
和动手能力。 借助函数关系式来描述动态几何 问题。
河南中考热点分析
动点问题是考查学生的创新 意识的重要题型之一，因而也 是中考命题的热点和难点。所 占分值10~15分左右。其主要命 题形式是：
河南中考热点分析
一、借助函数关系式描述其运动过程或进行线 段长度、面积大小的计算； 二、利用图形自身的特点、借助全等、相似等 进行求解。 预测今年，动点问题仍是河南中考的一个热 点。
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题
2023年中考数学高频考点突破- -二次函数动态几何问题1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左则，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求出四边形的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；2．已知直线y＝kx＋b（k≠0）过点F（0，1），与抛物线y＝14x2相交于B、C两点．（1）如图，当点C的横坐标为1时，求直线BC的表达式；（2）在（1）的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知:如图，二次函数y=x2+(2k-1)x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点，（1）求这个二次函数的解析式（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6.求点B的坐标。
4．如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝12x﹣3交于，B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC△x轴于点C，交AB于点D.（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由.5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于B，C两点，与y轴交于点A，直线y=−12x+2经过A，C两点，抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E．（1）求此抛物线的解析式；（2）求ΔDAC的面积；（3）在抛物线上是否存在一点P，使它到x轴的距离为4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，则说明理由．6．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣45x+c与直线y＝25x+25交于A、B两点，已知点B的横坐标是4，直线y＝25x+25与x、y轴的交点分别为A、C，点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在直线y＝25x+25下方，求△PAC的最大面积；（3）设M是抛物线对称轴上的一点，以点A、B、P、M为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．8．二次函数y=ax2+2x-1与直线y=2x-3交于点P（1，b）。
2020年广东中考数学总复习名师导学课件：类型(五)动态几何与代数综合题(25题题型)(每年必考)
考题精例
③若点 P 为直角顶点，如答图 3③所示．过点 E 作 EM⊥BC 于点 M，过点 F 作 FN⊥BC 于点 N，则 EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD. ∵EM∥AD，∴EAMD＝BBMD，即28t＝B5M， 解得 BM＝54t，∴PM＝BP－BM＝3t－54t＝74t. 在 Rt△EMP 中，由勾股定理得：
中考特训
(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？ 并求出最小值．
(3)过 M 作 MD⊥BC 于点 D，可得：MD＝t.设四边形 ACNM 的面积 为 y，∴y＝S△ABC－S△BMN＝12AC·BC－12BN·MD ＝12×5×5 3－12(5 3－ 3t)t ＝ 23t2－5 2 3t＋252 3 ＝ 23(t－52)2＋785 3 .∴根据二次函数的性质可知，当 t＝52时，
考题精例
(1)当t＝2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF
为菱形；
解：(1)证明：当t＝2时，DH＝AH＝2t＝4cm，则H 为AD的中点，如答图1所示．∵EF⊥AD，∴EF为AD 的垂直平分线，∴AE＝DE，AF＝DF.∵AD⊥BC于点 D，EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，又∵AB ＝AC，∴∠B＝∠C.∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF， ∴AE＝AF＝DE＝DF，即四边形AEDF为菱形．
PE2＝EM2＋PM2＝(2t)2＋47t2＝11163t2.∵FN∥AD，∴FAND＝CCND，即28t＝C5N，
解得 CN＝54t，∴PN＝BC－BP－CN＝10－3t－54t＝10－147t.
什么是动态几何
为什么要学习动态几何？ 日常的学习工具 课件制作的平台 实验探索的环境 创新思维的触媒 学术交流的手段 艺术欣赏的园地
日常的学习工具：作函数的动态图像
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课件制作的平台：变幅平摆线的生成
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实验探索的环境：蒲丰投针实验
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学习哪些内容？
写 画 测 算 编 演 推 变
怎样学好动态几何？
动手动脑 学会自学 乐于交流 发现创造
谢谢大家
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创新思维的触媒：梯子模型
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在基于动态几何的平台上，运用跟踪、轨迹、变 换和迭代等功能，容易创作美丽的图案和动态的 百变艺术作品。
一个看来简单的图象，观察者自己调整参数后， 可以产生无穷无尽的不同效果。
体验认识：什么是动态几何？
在计算机屏幕上作出的几何图形，如果在变化和 运动中能保持其几何关系不变,就叫做动态几何图 形。有关动态几何作图的理论和应用的学科，就 是《动态几何》。
动态几何图形有两个基本特点： (1)图中的某些对象可以用鼠标拖动或用参数的 变化来直接驱动； (2)其他对象会自动调整其位置，以保持图形原 来设定的几何性质。
动态几何初步
什么是动态几何
主讲：张景中
广州大学计算机科学与教育软件学院 广州市数学教育软件行业工程技术研究中心
本课提要
什么是动态几何？
第6讲-动态问题初步(一)
第6讲 动态问题初步（一）模块1：与数轴有关的动态问题知识解析：点动、线动、面动构成的问题称之为动态几何问题，它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体．期末压轴题一般都会以综合题的形式出现，这就奠定了“动态问题”在压轴题中的重要地位．与数轴相关的动态问题的解题思路一般有两种：1．行程问题：寻找点在运动前后路程的变化，依题意求解.2．动点表示法：表示出任意时刻动点位置，依题意列方程求解．【注意】动点问题大多需要分类讨论，要考虑多解问题以及解的取舍问题． 动点在数轴上的表示方法：（1）如图1所示，数轴上有两点A 、B ，在数轴上表示的数分别为a 、b ，A 向左运动，速度为x 个单位长度/秒，B 向右运动，速度为y 个单位长度/秒．若t 秒过后，A 点运动后所在的位置为A ’，则A ’表示的数为a −xt ；B 点运动后所在的位置为B ’，则B ’表示的数为b +yt ．（2）动点问题中常考察中点问题．如图2所示，已知数轴上有两点A 、B ，在数轴上表示的数分别为a 、b ，设AB 的中点为P ，P 表示的数为p ． 则中点公式为：p =2a b+ ． (和原点所在位置无关)教师备案（1）应用原理：数轴上两点间的距离=右边点表示的数−左边点表示的数．（2）简析： P 为线段AB 中点，则AP =BP ，线段AP 的长度为p −a ， 线段BP 的长度为b −p ，则p −a =b −p ，得到p =2a b+． 例1．已知数轴上两点A 、B 对应的数分别是6、−8，M 、N 为数轴上两个动点，点M 从A 点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N 从B 点出发向右运动，速度为M 点的3倍，经过多长时间，点M 与点N 相距50个单位长度？这时点M 、N 所对应的数分别是多少？例2．如图，点A 、B 都在数轴上，且AB =6， （1）点B 表示的数是 ；（2）若点B 以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，则2秒后B 点表示的数是 ；（3）若点A 、B 都以每秒2个单位的速度沿数轴向右运动，而点O 不动， t 秒后有一个点是另外两点连线的中点，求t ．例3．如图， A 、B 分别为数轴上的两点，A 点对应的数为−10，B 点对应的数为90．（1）请写出与A 、B 两点距离相等的M 点对应的数．（2）现在有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，你知道C 点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发，以5个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以3个单位/秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？例4．如图，在数轴上A 点表示数a ， B 点表示数b ，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C 是AB 的中点，且a 、b 满足|a +3|+(b +3a )2=0，（1）求点C 表示的数；（2）点P 从A 点以3个单位每秒的速度向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位每秒的速度向左运动，若AP +BQ =2PQ ，求时间t ．（3）若点P 从点A 向右运动，点M 为AP 中点，在点P 到达点B 之前：① PA PBPC+的值不变；② 2BM −BP 的值不变，其中只有一个正确，请你找出正确的结论并求出其值．例5．如图，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB =12AC ，点C 对应的数是200， （1）若BC =300，求点A 对应的数；（2）点A 、C 从(1)中的位置同时出发匀速向左运动，速度分别为5单位长度/秒、10单位长度/秒；另有一点E 也同时从A 点的位置出发向C 点匀速运动，当首次遇到C 点后立即返回向点A 运动，遇到点A 后又立即返回向点C 运动．如此往返，直到点C 追上点A 时，点E 立即停止运动．若点E 的速度为15单位长度/秒，求点E 一共运动了多少单位长度．（3）在(1)的条件下，动点P、Q分别从A、C两点出发向左运动，同时动点R从A点出发向右运动，点P、Q、R的速度分别为10单位长度/秒、5单位长度/秒、2单位长度/秒，点M为线段PR的中点，点N为线段RQ的中点，多少秒时恰好满足MR=4RN(不考虑点与点相遇之后的情形)．例6．阅读理解：如图，A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是[A，B]的好点．例如，如图，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是[A，B]的好点；又如，表示数0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是[A，B]的好点，但点D是[B，A]的好点．知识运用：如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．（1）数所表示的点是[M，N]的好点；（2）现有一只电子蚂蚁P从点N出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，运动时间为t．当t为何值时，P、M、N中恰有一个点为其余两点的好点？例7．如图，点A、B和线段MN都在数轴上，点A、M、N、B对应的数字分别为−1、0、2、11．线段MN沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒．（1）用含t有的代数式表示AM的长为；（2）当t= 秒时，AM+BN=11；（3）若点A、B与线段MN同时移动，点A以每秒2个单位的速度向数轴的正方向移动，点B以每秒1个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程，AM和BN可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由．随堂测试1．如图，点A、B在数轴上表示的数分别为−12和8，两只蚂蚁M、N分别从A、B两点同时出发，相向而行．M的速度为个2单位长度/秒，N的速度为3个单位长度/秒．（1）运动秒钟时，两只蚂蚁相遇在点P；点P在数轴上表示的数是；（2）若运动t秒钟时，两只蚂蚁的距离为10，求出t的值(写出解题过程)．2．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t (t>0) 秒．（1）数轴上点B表示的数是，点P表示的数是(用含t的代数式表示)．（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：①当点运动多少秒时，点与点相遇？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？3．阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是【A，B】的妙点．例如，如图1，点A表示的数为−1，点B表示的数为2．表示1的点C到A点的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的妙点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不【A，B】的妙点，但点D是【B，A】的妙点．（1）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为−2，点N所表示的数为4．数所表示的点是【M，N】的妙点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为−40，点B所表示的数为20．现有一只电子蚂蚁P从点B 出发向左运动，到达点A停止．点P运动多少个单位时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的妙点？参考答案例1．已知数轴上两点A、B对应的数分别是6、−8，M、N为数轴上两个动点，点M从A点出发向左运动，速度为每秒2个单位长度，与此同时，点N从B点出发向右运动，速度为M点的3倍，经过多长时间，点M与点N相距50个单位长度？这时点M、N所对应的数分别是多少？解：设经过t秒后点M与点N相距50个单位长度，点M的速度是2单位长度/秒（方向为向左），点N的速度是6单位长度/秒（方向为向右），取向右为正，则向左为负。
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2 1 81 ∴ 直线 AQ 的解析式为 y = x − 8 2 0) 0) Q 0) 当Q 为(0， 时，A(4， ， (0， 均在 x 轴上， （或直线为 x轴）． ∴ 直线AQ 的解析式为y = 0
．
C
B (4， 3)
A(4， 0) O M 为等腰三角形， Q△QAN ①若 AQ = AN，则 42 + y 2 = 32 + 22，此时方程无解． 1 2 2 2 2 ②若 AQ = QN ，即 4 + y = 2 + (3 − y ) ，解得 y = − ． 2 2 2 2 2 ， ③若 QN = AN，即 2 + (3 − y) = 3 + 2 ，解得 y1 =0 y2 =6
， ． ． ．
O
M
E A
x
3 4 解：（1） − t， t 4 3 MA （2）在△MPA 中， = 4 − t ， 边上的高为 t MA 4
∴ S = S△ MPA
3 （3）2， 2， 2
3 2 3 S = − t + t (0 < t < 4) 8 2
．
1 3 = (4 − t ) t 即 2 4
类似的试题有： 类似的试题有：
(06吉林省中考题 、B是直线 上的两点，AB=4厘 吉林省中考题)A、 是直线 上的两点， 是直线l上的两点 吉林省中考题 厘 外一点C作 ∥ ，射线BC与 所成的锐角 米。过l外一点 作CD∥l，射线 与l所成的锐角 外一点 厘米。 分别从B、 ∠1=60°，线段 ° 线段BC=2厘米。动点 、Q分别从 、 厘米 动点P、 分别从 C同时出发，P以每秒 厘米的速度沿由 向C的方向 同时出发， 以每秒 厘米的速度沿由B向 的方向 以每秒1厘米的速度沿由 同时出发 运动。 运动的时间为t(秒 ， ＞ 时 运动。设P、Q运动的时间为 秒)，当t＞2时，PA 、 运动的时间为 交CD于E。 于 。 (1)用含 的代数式分别表示 和QE的长； 用含t的代数式分别表示 的长； 用含 的代数式分别表示CE和 的长 (2)求△APQ的面积 与t的函数关系式； 求 的面积S与 的函数关系式 的函数关系式； 的面积 (3)当QE恰好平分△APQ的面积时，QE的长是 当 恰好平分△ 的面积时， 的长是 恰好平分 的面积时 多少厘米？ 多少厘米？
， ． ， ． ． .
AN = AB + BN = 3 + 2
2 2 2 2
QN 2 = CN 2 + CQ 2 = 22 + (3 − y ) 2
．
2
Q
x
1 0) 6) ∴ Q1 (0，- ) Q2 (0， Q3 (0， 2
1 1 − 当 Q 为(0， ) 时，设直线AQ的解析式为 y = kx − ，将 2 2 1 1
二、动点与列函数关系式相结合
例2：（07河北中考题)已知：如图： ：（07河北中考题 已知：如图： 河北中考题) △ABC中，∠C=90°，AC=3cm， 中 ° ， CB=4cm， 两个动点 、Q 分别从 、 ， 两个动点P、 分别从A C两点同时按顺时针方向沿△ABC的 两点同时按顺时针方向沿△ 两点同时按顺时针方向沿 的 边运动，当点Q运动到点 运动到点A时 边运动，当点 运动到点 时，P 、Q 两点运动即停止， 两点运动即停止，点 P、Q的运动速 、 的运动速 度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点 。设点P 运动时间为t(s) 运动时间为
（1）求此抛物线的解析式； （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 ）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的 解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴 ）若一个动点P OA的中点M出发，先到达x 上的某点（设为点E 上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P 某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动 的总路径最短的点E，点F 的总路径最短的点E，点F的坐标，并求出这个最 短总路径的长．
商水一中
数学教研组
图形中的点、线的运动， 图形中的点、线的运动，构成了数学中 的一个新问题——动态几何 。 它通常分为三 动态几何。 的一个新问题 动态几何 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 种类型：动点问题、动线问题、动形问题。 这类试题以运动的点、线段、变化的角、 这类试题以运动的点、线段、变化的角、图 形的面积为基本的条件， 形的面积为基本的条件，给出一个或多个变 要求确定变量与其它量之间的关系， 量，要求确定变量与其它量之间的关系，或 变量在一定条件下为定量时， 变量在一定条件下为定量时，进行相关的几 何计算、证明或判断。 何计算、证明或判断。
Ｂ
Q Ｃ
A
PHale Waihona Puke (1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为 (1). 顶点的三角形的面积（图中的阴影部分）等 于2cm²； (2). 当点P 、 Q 运动时，阴影部分的形状随 当点P 运动时， 之变化， PQ与 之变化，设PQ与△ABC围成阴影部分面积为 围成阴影部分面积为 S（cm²），求出S与时间t的函数关系式，并 ） 求出S与时间t的函数关系式， 指出自变量t 指出自变量t的取值范围； （3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分 在运动的过程中， 面积S有最大值吗？若有， 面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若 没有，请说明理由。 没有，请说明理由。
周长是 ( A.2 C.4
∆ ABC 中， ∠ ABC = 120 0
点 P 是底边 AC 上一个动点， M , N 分别是 AB , BC 的中点，若 PM + PN 的最小值为 2，则 ∆ ABC 的
)
M A
B
B. 2+ 3 D. 4+ 2 3 N P C
(3 ).(08呼和浩特 )如图，已知梯形 ()
A C
E
A E D
F B
D B C
类似的试题有： 类似的试题有：
(1)(08荆门 )如图，菱形 ABCD 的两条对角线
分别长 6和8，点 P 是对角线 AC 上的一个 动点，点 M , N 分别是边 AB ， BC 的中点， 则 PM + PN 的最小值是
————
D A M P B N’ C N
(2 )(08 黄石 )如图，在等腰
(1)当时间 为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点 当时间t为何值时 当时间 为何值时， 三点为顶点 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于 ； 解：（1）S ∆ PCQ
Ｂ
= (3 − t ) • t = 2
1 = (3 − t ) • 2t 2
1 = PC • CQ 2
解：（2） ：（ ） ①当0＜t≤2时 2 3 9 2 s = −t + 3t = −t − + 2 4
②当2＜t≤3时
4 2 18 4 9 39 s = t − +6 = t − + 5 5 5 4 20
2
③当3＜t≤4.5时
3 2 27 42 3 9 15 s = − t + t − = − t − + 5 5 5 5 2 4
，
在解这类题时， 在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 往往不要被“ 所迷惑， 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系； 中求“ 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 抓住它运动中的某一瞬间， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系， 量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型， 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。 思想进行解答。
Ｂ
②在2＜t≤3时 ＜ 时
12 当t = 3，s有最大值，s2 = 5
Q Ｃ
③在3＜t≤4.5时 ＜ 时
9 当t = ，s有最大值，s3 = 2 4
A 15
P
所以 S有最大值是
15 4
技巧点拨:由几何条件确定函数关系式， 技巧点拨:由几何条件确定函数关系式，关 键在于寻找两个变量的等量关系， 同时， 键在于寻找两个变量的等量关系 ， 同时 ， 确定 自变量取值范围也是完整解这类题不可忽视的 步骤，求自变量的取值范围一般采用结合图形。 步骤 ， 求自变量的取值范围一般采用结合图形 。 直接确定其思维过程为： 直接确定其思维过程为： 最大能“ 最小能“ ①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近 最大能 逼近”哪个点（ ）？最小能 哪个点（ 能否等于这个数？ 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ 在变化过程中有无特殊点（ ② 在变化过程中有无特殊点（数） 综合以上两点下结论，另外， ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动 态问题和分类问题，这是代数几何综合题， 态问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是 今后发展的命题趋势。 今后发展的命题趋势。
ABCD ， AD // BC ,
AD = DC = 4 , BC = 8, 点 N 在 BC 上， CN = 2 , E 是 AB 中点，在 AC 上找一点 M ，使 EM + MN 的值最小， 此时其最小值一定等于
A.6 C.4 A E B D M N
B.8 D.10
C
y = ax 2 + bx + c y （4）（北京06中考题）已知抛物线 ）（北京06中考题）已知抛物线 与 3) 0) C 0) 轴交于点A(0， ，与轴分别交于B (1， ， (5， 两点．
（1）点的坐标为（ 1）点的坐标为（ ）（用含 的代数式表示）． ， ）（用含t的代数式表示）． P （2）记 △MPA的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式(0 < t < 4) ） 有最大值， 秒时 S有最大值，最大值是 （3）当t = ） y （4）若点Q 在 y 轴上，当S 有最大值且 ） 轴上， N B C △QAN 为等腰三角形时，求直线AQ 为等腰三角形时， P 的解析式． 的解析式 F