动态几何问题分类解析

2
①当0＜t≤2时,即Q在BC上时
②当2＜t≤3时即Q在BA上时
③当3＜t≤4.5时
找 界 点， 分 情 况 计 算
(2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化，设PQ与 △ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求出S与时间t的函数 关系式，并指出自变量t的取值范围； 解：（2）
①当0＜t≤2时,即Q在BC上时
t y 解：由（3）知，当 S有最大值时， 2，此时 N N 在 BC 的中点处，如下图,设 Q(0，y)
则பைடு நூலகம்AQ 2 OA2 OQ 2 42 y 2
．
C
B(4， 3)
A(4， 0) O M 为等腰三角形， △QAN ①若 AQ AN，则 42 y 2 32 22，此时方程无解． 1 2 2 2 2 ②若 AQ QN ，即 4 y 2 (3 y) ，解得 y ． 2 2 2 2 2 ③若 QN AN，即 2 (3 y) 3 2 ，解得 y1 0，y2 6
(1).当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点的 三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； (2).当点P 、 Q运动时，阴影部分的形状随之变化， 设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S（cm²），求 出S与时间t的函数关系式，并指出自变量t的取值 范围；
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请 说明理由。
Ｏ
Ａ
Ｂ
解（1）当∠POA 90 时，点P运动的路程为⊙O周长的 1 或 3 ．
设点运动的时间为 ．
当点P运动的路程为 ⊙O周长的 1 时， 4 1 2t 2 12
ts
4
4
Ｐ
解得 t
3 3 当点 P运动的路程为⊙O 周长的 时， 4
．
4
Ｏ
Ａ
Ｂ
3 2t 2 12 4
0
AB OA, AP AB
OAP APB B
0 APB B 30 0 OPB OPA APB 90 OP BP
直线BP与圆O相切。
P
思维拓展：
O
A B
4cm P
在运动过程中，什么时间BP和圆也相切？
． ，
综上：2S或者10S相切
2
3 9 s t 2 3t t 2 4
②当2＜t≤3时即P在AC上Q在BA上时
PH AP BC AB
PH x 4 5
PH
4x 5
s S ABC S APQ 6
1 9 2t ( 4 t ) 2 5
4 18 4 9 39 s t2 t 6 t 5 5 5 4 20
2 1 81 直线 AQ 的解析式为 y x 8 2 0) 0) Q 0) 当Q 为(0， 时，A(4， ， (0， 均在 x 轴上， （或直线为 x轴）． 直线AQ 的解析式为y 0
6) Q 当 Q 为 (0， 时， ，N，A在同一直线上，
．
A(4， 代入得 4k 0， k 0)
(1)当时间t为何值时，以P 、 C 、 Q三点为顶点 的三角形的面积（图中的阴影部分）等于2cm²； 解：（1）
1 S PCQ PC CQ 2 1 3 t 2t 2
3 t t 2
t1 1, t 2 2 解得
当时间t为 s或2s时，S PCQ 2cm 1
S S△MPA
3 2 3 S t t (0 t 4) 8 2
．
1 3 (4 t ) t 即 2 4
当 （3）
．
t2
3 面积的最大值 ， 2
．
y
C F O
3) N B(4，
P M E A(4， 0) x
（4）若点Q在y轴上，当s有最大值且△QAN为等腰三角 形时，求直线AQ的解析式．
再体会：

在“动”中求“静”，化“动”为“静”， 抓住它运动中的某一瞬间
二、动点与列函数关系式相结合
例1：已知：如图： △ABC中，∠C=90°， AC=3cm，CB=4cm， 两个动点P、Q 分 别从A 、C两点同时按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当点Q运动到点A时，P 、Q两点 运动即停止，点 P、Q的运动速度分别为 1cm/s 、 2cm/s。设点P运动时间为t(s)
，
动态几何压轴题往往文字阅读量较大，因此 在平时训练中要求同学们仔细读题、审题，力求 从语法结构、逻辑关系、数学含义等方面真正看 懂题目，弄清条件和结论是什么？它们分别与哪 些知识有联系？仔细思考，找到解题途径。同时 注意推理要严谨、逻辑性强，表达书写整洁规范
．
．
解得
t 9
当POA 90 时，点 P 运动的时间为 3s 或 9s．
（2）如图，当点 P 运动的时间为2s 时，直线BP
P
OP OP OA, OAP是等边三角形 OA AP, OAP 60
． ，
与⊙O相切． A B O 理由如下： 当点P运动的时间为2s时，点P运动的路程为4cm ． 连接OP、PA 1 ︵ AP的长为圆O周长的 POA 60 0 圆o的周长为24cm 6
（1）点的坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）． P （2）记 △MPA的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式(0 t 4) 秒时 S有最大值，最大值是 （3）当t y （4）若点Q 在 y 轴上，当S 有最大值且 N B C △QAN 为等腰三角形时，求直线AQ P 的解析式． F
．
1.如图，A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P 从A出发，以 2π cm/ s的速度沿圆周逆时针运动， 当点P回到A地立即停止运动．
POA 90 （1）如果 ，求点P运动的时间；
动点与分类讨论相结合
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA， 那么当P点运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O 的位置关系，并说明理由． Ｐ
2
解：（2） ③当3＜t≤4.5时，P在BC上，Q在AB上
3 27 42 3 9 15 s t2 t t 5 5 5 5 2 4
2
（3）点P 、 Q在运动的过程中，阴影部分面积S 有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说 明理由。
解：（3）有 ①在0＜t≤2时
图形中的点、线的运动，构成了数 学中的一个新问题——动态几何。它通 常分为三种类型：动点问题、动线问题、 动形问题。这类试题以运动的点、线段、 变化的角、图形的面积为基本的条件， 给出一个或多个变量，要求确定变量与 其它量之间的关系，或变量在一定条件 下为定量时，进行相关的几何计算、证 明或判断。
△ ANQ 不存在，舍去． 1 1 故直线 AQ的解析式为 y 8 x 2
．
，
或y
0
． ． ．
这类试题的分类讨论有固定的模式， 它要求学生通过观察、比较、分析图形 的变化，揭示图形之间的内在联系，要 能够根据条件作出或画出图形，从而进 行分类。
． ，
兴趣拓展
1.如图3， A是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O ﹙A与O点重合﹚，假设硬币的直径为1个单位长度，若 将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A恰好与数轴上点 A 重合，则点 A 对应的实数是 ．
， ． ， ． ． .
AN AB BN 3 2
2 2 2 2
QN 2 CN 2 CQ 2 22 (3 y)2
．
2
Q
x
1 0) 6) Q1 (0，- ) Q2 (0， Q3 (0， 2
1 1 当 Q 为(0， ) 时，设直线AQ的解析式为 y kx ，将 2 2 1 1
①x最大能“逼近”哪个点（数）？最小能“逼近” 哪个点（数）？ 能否等于这个数？ ② 在变化过程中有无特殊点（数） ③综合以上两点下结论，另外，此题还结合了动态 问题和分类问题，这是代数几何综合题，也是今后 发展的命题趋势。
三、动点与坐标几何题相结合
如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC为矩形，点 0) (4 3) A B的坐标分别为 (4，，， ，动点M，N 分别从点 ， O，B同时出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点 M 沿 OA 向终点 A运动，点 N 沿BC向终点 C 运动， ，连结MP，当两动点 过点 N 作 NP BC ，交AC于点 P 运动了 t 秒时．
，
在解这类题时，要充分发挥空间想象的能 力，往往不要被“动”所迷惑，在运动中寻求 一般与特殊位置关系；在“动”中求“静”， 化“动”为“静”，抓住它运动中的某一瞬间， 通过探索、归纳、猜想，正确分析变量与其它 量之间的内在联系，建立变量与其它量之间的 数量关系。再充分利用直观图形，并建立方程、 函数模型或不等式模型，结合分类讨论等数学 思想进行解答。

理解A到A′的距离是圆的周长， 根据周长公式即可求解
基于上述分析，可以发现动态几何问题知识覆盖 面广、形式多样，其中蕴含数学思想丰富，同学们在 考试中较好解决此类问题是有一定难度的。要想有效 地提高数学总复习的质量和效益，使同学们能较好的 应对动态几何型问题，必须做到：
1.重视双基和数学思想方法
， ． ． ．
O
M
E A
x
3 （ 解：（1） 4 t， t） 4
分 析
MA 4 t
PN CN AB CB
PN 4 t 3 4
．
PN 3(4 t ) 1 4
y
C
3) N B(4，
．
PE= 3 t
4
．
F O
P M E A(4， 0) x
解：
3 MA （2）在△MPA 中， 4 t ， 边上的高为 t MA 4 ．