棱锥的概念与性质1
棱柱、棱锥的概念和性质
知能迁移3
如图，四棱锥P—ABCD中，
PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角
梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，
PA=AD=DC=2，AB=4. （1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离. （1）证明 在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD， ∠BAD=90°，AD=DC=2， 所以∠ADC=90°，且AC=2 2 .
1 17 OH AG a. 3 17
探究提高
（1）解决空间角度问题，应特别注意垂
直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来
求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面 PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱 锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看 作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到 平面的距离等.
E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论. 思维启迪 （1）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理； （2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质
定理.
证明
（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.
∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.
∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.
又CD 平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD. ∵正三角形PAD中，E为PD的中点， ∴AE⊥PD. 又平面PDC∩平面PAD=PD. ∴AE⊥平面PCD.
题型三
棱柱、棱锥中的角和距离
【例3】 如图所示，四棱锥P—ABCD的
底面是边长为a的正方形，侧面PAB和
侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、 PD都和底面成45°角.
互相平行的面 其余各面
棱锥极其性质
棱锥概念引入
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
棱锥概念引入
观察下列多面体,有什么相同点
棱锥印象举例
棱锥定义讲解
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共 顶点的三角形， 那么这个多面体叫做棱锥
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高
D E
C B
S SSSS S S SS S S SS
S
E A OO O O OOOO O OOO O G GG G G GGGG GGGG G B BBBB返回 B B BBB B BB
O
D
C
B
2.正棱锥及其性质
（1）正棱锥定义 正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面内的射 影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
（ 2） 证 （ 3） 证
SA1 A1B1 SA AB
SA1 SH 1 SA SH
E1 A1 B1
D1
H1
D
C1
E A B
2.面积比与高的平方比的证明思路 思路：相似多边形面积比 等比相似比的平方
H
C
返回
3. 棱锥的性质 定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截。那么截面和底面 相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的 高的平方比。
棱锥基本概念
A
棱锥的基本概念
S
棱锥的顶点 棱锥的侧棱
棱锥的高
D E A O B
棱锥的侧面
棱锥的底面
表示法
C
1.棱锥定义
定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其
S
（1）棱锥的基本概念 底面与侧面 侧棱 顶点 高 （2）棱锥的表示方法 如：S-ABCDE 或 S-AC （3）棱锥的分类
棱柱与棱锥
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
C D
A
E 问：以上多面体哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
（3）正多面体：
定义：每个面都是有相同边数正多边形，且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
例3 作一个底面边长为5cm，高为11.5cm的正五棱 锥直观图。(比例尺1:5)
y
D E N C E1 N1
1 D ·
y1
o
A M B
x
A1
· M1
o
· 1
B1
C1
x1
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’
D
E A O’ B C x’
画轴．画 加以整理，就得到所画的正五棱锥的直观图 x′轴、 y′SB 轴、 z′ 轴，记坐标原点为 O′ ，使 ， 画底面．按 x′ 轴、 y′、 轴画正五边形的直观图 ABCDE ..成图．连结 画高线．在 z′ SA 轴上取 、 O′S SC ＝ 、 11.5 SD、 ÷SE 5＝ ， 2.3(cm) ． ∠ x′O′y′＝45°，∠x′O′z′ ＝1(cm) 90° ，并使正五边形的中心 按比例尺取边长等于 5÷ 5＝ 对应于点O′．
直观图的画法 E’ z’ D’ C’
y’
F’ A’
E D
E1
O’
B’
D1
C1 x’ B1
F A B
C
F1 A1
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
棱锥的概念和性质
E H
D
C
又∵
'
过SC、SH的平面与截面和 底面分别交于 C ' H ' 和 CH
'
C H // CH , 得
C B CB
'
'
SC SC
'
SH SH
'
A
B
A B
'
'
同理
'
SH SH
'
,...
S
'
AB
A B AB
'
B C BC
'
'
SH SH
D
'
因此
底面A’B’C’D’E’ ∽底面ABCDE
( B ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 1 )
( C ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3 2 )
( D ). 1 : ( 2 1 ) : ( 3
2)
提示：
3.
D
4.C
应用
例1 已知正三棱锥S-ABC的 高SO=h，斜高SM= l
求 .经过SO的中点平行于底面的 截面 A ' B ' C ' 的面积.
棱锥的高
D E A
棱锥的侧面
O
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
棱锥的底面
棱锥的分类
三棱锥
棱 底边的边数 锥 四棱锥
S
五棱锥
六棱锥 ……
D E O C
A
B
棱锥有如下重要性质
定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么， 截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱 锥的高和已知棱锥的高的平方比
棱锥有关概念及性质
解题回顾】 点 到面 到面A 的距离， 【 解题回顾 】(3)点 B到面 1ACC1 的距离 ， 即 为三棱锥B—AA1C的高 ， 可由三棱锥的体积 的高， 为三棱锥 的高 转换法而求得， 转换法而求得，即VB - AA C = V A - ABC 1 1
4.三棱锥 三棱锥S-ABC是底面边长为 的正三角形 ， A 是底面边长为a的正三角形 三棱锥 是底面边长为 的正三角形， 在侧面SBC上的射影 是△SBC的垂心 上的射影H是 的垂心. 在侧面 上的射影 的垂心 (1)证明三棱锥 证明三棱锥S—ABC是正三棱锥； 是正三棱锥； 证明三棱锥 是正三棱锥 (2)设BC中点为 ，若 设 中点为 中点为D，
解题回顾】 求距离时， 用了多次转化； 【 解题回顾 】 求距离时 ， 用了多次转化 ； 求 二面角的平面角时， 直接用定义， 二面角的平面角时 ， 直接用定义 ， 本题有新 意。
2.求证 ： 平行六面体的对角线交于一点 ， 且在 求证： 平行六面体的对角线交于一点， 求证 这点互相平分。 这点互相平分。
sin2 α +sin2 β+ sin2 γ=2 返回
能力·思维· 能力·思维·方法
1. 在底面是直角梯形的四棱锥 P- ABCD 中，侧 美国广播公司=90 °， 棱 PA ⊥底面 ABCD ，∠美国广播公司 PA 西元前 =AB= =2 西元，=1 西元， (1)求 D 到平面 PBC 的距离； 的距离； 求 (2)求面 PAB 与面 PCD 所成的 求面 二面角的大小 二面角的大小
返回
延伸· 延伸·拓展
5.已知直三棱柱美国广播公司 A1B1C1 ， AB 已知直三棱柱美国广播公司— 已知直三棱柱美国广播公司 上一点， 西元前 =AC ， F 为 BB1 上一点， BF==2 ， FB1=一。 一 (1) 若 D 西元前为中点 ， E 西元为上不同于 西元前为中点， A,D 的任意一点，求证： EF ⊥ FC1 ； 的任意一点，求证： (2)若 A1B1=3 ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角 若 的大小。 的大小。 【说明】本例 (1) 中，由于 E 西元在上的任意 说明】 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意， 性 ， 给证题带来些迷惑 ， 但若认真分析题意 ， 点位置是无关的。 将会发现 EF ⊥ FC1 与 E 点位置是无关的。
高二数学 棱锥基本性质及其应用
高二数学棱锥基本性质及其应用本周学习内容：棱锥的性质、侧面积公式及体积公式；本周学习重点：棱锥的性质及其应用一、基本概念1. 定义、概念：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面构成的几何体叫棱锥。
2. 分类：按底面多边形的数，(底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高、斜高)3. 棱锥的性质：1. 平行于底面的截面与底面是相似的多边形；2. 有一个面是多边形，其余各面是三角形，但反之不然。
4. 正棱锥定义：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件：一是底面是正多边形，二是顶点在底面上的射影是正多边形的中心。
5. 正棱锥的性质：1. 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高；2. 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
6. 棱锥的体积及侧面积：；棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和。
二、相关例题：例1. 判断问题：(1)底面是正多边形的棱锥是正棱锥。
( )(2)所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥。
( )(3)侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥。
( )例2. 如图正四面体ABCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD所成角的大小为( C )A. 30°B. 60°C.D.例3.若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍，则底面与底面所成的二面角是( D )(A)15° (B)30° (C)45° (D)60°分析：可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案例4.正四棱锥的侧棱与底面成45°角，则侧面与底面所成二面角的正弦值为( D )(A)(B)(C)(D)分析：可设棱高为1，通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离，进而可得。
七年级有关棱锥的知识点
七年级有关棱锥的知识点棱锥是一种几何体，由一个多边形的底面和相连的三角形面组成。
在七年级数学学习中，棱锥是一个比较重要的概念，掌握相关知识对于学生来说是非常必要的。
下面我们将介绍有关棱锥的各种知识点。
一、棱锥定义棱锥是一种几何体，由一个多边形的底面和相连的三角形面组成。
底面的任意两点之间都可以用棱线连接起来，并在每条棱线的一端连接一条三角形面，形成一个尖端。
尖端处的三角形面称为棱锥的顶面，连接顶面的每一条棱线都称为棱锥的母线。
棱锥的高是从顶面到底面的垂直距离。
二、棱锥分类1. 正棱锥：当上下底面为正多边形且底面中心与顶点连线垂直时，称其为正棱锥。
2. 锥顶角：将任意一点向顶点作射线，这条射线与棱锥底面相交成角，称为锥顶角。
3. 棱锥的性质：- 棱锥的侧面是由底面上的每一条边与顶面连接而成；- 棱锥的侧面三角形两边之和大于第三边；- 棱锥的底面视情况而定，可以是任何多边形。
三、棱锥图形的测量1. 棱锥体积公式：棱锥的体积可以用下式来计算：V = 1/3 ×底面面积 ×高其中，底面面积指的是棱锥底面所围成的面积大小，高为从顶面到底面的垂直距离。
2. 棱锥侧面积公式：棱锥的侧面积可以用下式来计算：S = 1/2 ×母线 ×母线生成的三角形面积其中，母线指的是棱锥底边的一条边，母线生成的三角形面积指的是以该条母线为斜边的棱锥侧面三角形围成的面积。
综上所述，棱锥是一种基本几何体，在七年级数学的双入口阶段中，掌握棱锥的相关知识点是很重要的。
希望通过本文的介绍，能够帮助学生们更好的理解和掌握棱锥的知识。
棱柱和棱锥知识点归纳总结
棱柱和棱锥知识点归纳总结棱柱和棱锥是几何学中常见的立体图形，它们都具有特定的几何属性和计算方法。
本文将对棱柱和棱锥的定义、性质和计算方法进行归纳总结。
一、棱柱的定义与性质棱柱是指具有两个平行的底面，并且侧面由若干个连接两个底面相对点的四边形构成的立体图形。
棱柱的侧面都是平行四边形，而底面则可以是任意形状的多边形。
棱柱的性质包括：1. 底面：棱柱有两个相同形状的底面，且底面之间平行。
2. 侧面：棱柱的侧面是若干个平行四边形，且平行四边形两对边相互平行。
3. 高度：棱柱的高度是两个底面之间的垂直距离。
4. 体积：棱柱的体积等于底面面积乘以高度，即V = 底面积 ×高度。
5. 表面积：棱柱的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
二、棱锥的定义与性质棱锥是指具有一个底面和一个顶点，并且侧面由底面上的点与顶点相连而成的三角形构成的立体图形。
棱锥的底面可以是任意形状的多边形，而侧面都是三角形。
棱锥的性质包括：1. 底面：棱锥有一个底面，可以是任意形状的多边形。
2. 顶点：棱锥有一个顶点，位于侧面的同一平面上。
3. 侧面：棱锥的侧面是若干个三角形，每个三角形的一个顶点是棱锥的顶点。
4. 高度：棱锥的高度是从顶点向底面垂直引出的线段。
5. 体积：棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3，即V = (底面积×高度) / 3。
6. 表面积：棱锥的表面积等于底面积加上所有侧面的面积之和。
三、棱柱和棱锥的计算方法1. 底面积的计算：棱柱和棱锥的底面积可以根据底面的形状来计算，比如矩形的底面积等于长乘以宽，三角形的底面积等于底边乘以高再除以2。
2. 侧面积的计算：棱柱和棱锥的侧面积可以根据其侧面的形状来计算，比如平行四边形的侧面积等于底边乘以高，三角形的侧面积等于底边乘以高再除以2。
3. 体积的计算：棱柱的体积等于底面积乘以高度，棱锥的体积等于底面积乘以高度再除以3。
通过了解棱柱和棱锥的定义、性质以及计算方法，我们可以更好地理解和运用这两个几何图形。
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正棱锥的性质 1.侧棱： 每条侧棱的长都相等 2.侧面： 都是全等的等腰三角形 3.斜高： (等腰三角形底边上的高): 都相等
*斜高是正棱锥的专利
S
E
A O B C
几个重要的直角三角形 1.RtSBO：由高、侧棱和 侧棱在底面的射影组成 2.RtSMO：由高、斜高和 斜高在底面的射影组成 3.RtOMB：由底面中心O 与底边中点M连线，与半条 底边MB，还有中心与底面 顶点连线组成 4.RtSMB：由斜高、侧棱、 半条底边组成
4
正棱锥的侧面积
正棱锥的底面边长为a，周长为c，斜高为h'，问 这个展开图的面积是多少？正棱椎的侧面积又是多少？ 如果正棱锥的底面周长是c，斜高是h'，那么
1 S正棱锥侧＝ ch 2
棱锥的体积
如果正棱锥的底面面积是S，高是h，那么
1 V锥体＝ Sh 3
习题9.8
2、、 35
§9.9
棱柱与棱锥（二）
——棱锥的概念与性质
棱锥
棱锥是由这样一些面围成的几何体: (1)有一个面是多边形 (2)其余各面是有一个公共顶点的三角形 棱锥的定义 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
棱锥的有关概念
（1）棱锥的底面 （2）棱锥的棱 棱锥的侧面 棱锥的侧棱
O
M
C
正棱锥
B
如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面 内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质 （1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形.
侧面等腰三角形底边上的高相等,它们叫做正棱锥的斜高．
（2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
概念辨析 (1) 侧棱长都相等的棱锥是正棱锥.( X )
(2)侧面与底面所成的二面角都相等的棱 锥是正棱锥.( X )
(3) 底面是正多边形,各侧面都是等腰三角形的 棱锥是正棱锥.( X )
(4)底面是正多边形,各侧棱与底面所成的角相 等的棱锥是正棱锥.( √ )
例1
已知正三棱锥S-ABC的高SO=h，斜高SM＝l， 求经过SO的中点平行于底面的截面△A’B’C ’的面积.
（3）棱锥的顶点, 底面的顶点 （4）棱锥的高
S ---棱锥的顶点
棱锥的高----E
---棱锥的侧棱
D ---棱锥的侧面
棱锥的表示方法
棱锥S ABCDE
棱锥S AC
A
C ---棱锥的底面
O
B
S
棱锥的分类
分类标准1：底面多边形的边数
三棱锥、四棱锥、五棱锥……
E
D
分类标准2： 正棱锥
非正棱锥
A
D
M
涉及到正三棱锥的相关量： 对一般的正棱锥 *都有四个基本的直角三角形： 1.线：
RtSBO、RtSMO、 高h、斜高h’、 侧棱b、 底半径R、 h’ RtOMB、RtSMB； h 边心距r 、 边长的一半a/2 *都存在一个基本的小三棱锥
E
S S
2.角： O A D 侧棱与底面所成的线面角SBO、 M 侧面与底面所成的 B a/2 二面角SMO 性质：对正棱锥，有： 各条侧棱与底面所成的角相等 各个侧面与底面所成的角相等
棱锥的性质
定理 如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截
面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的 高和已知棱锥的高的平方比．
S
S截 S底
h 2
2
A
A
E
D O
O
C
D
E B
C
B
棱锥的定义
有一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角 形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．
小结
例1、如图，已知正三棱锥S – ABC的高SO=h，斜高 SM=l ，求经过SO的中点且平行于底面的截面 △A’B’C’的面积。 解：连结OM、OA。在Rt△SOM中， OM= √l 2 - h 2 因为棱锥S – ABC是正棱锥 S 所以点O是正三角形ABC的中心 AB=2AM=2•OM •t a n 600 =2√3 • √ l 2 - h 2 A’ C’ 3 2 3 O’ S△ABC = AB = 4×4×3（ l 2 - h 2） 4 B’ 根据棱锥截面的性质，有 A C O S △A’B’C’ = 1 M S△ABC 4 3 3 2 B S △A’B’C’ = （l - h 2） 过高的中点且平行于底面的截面叫做中截面
棱锥的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且 它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．
O
正棱锥的特点： 1.底面为正多边形 正棱柱——正棱锥？ 2.顶点在底面的射影恰好 是底面正多边形的中心
正棱柱： 1.侧棱与底面垂直 2.底面为正多边形
S
E A M O B C D
棱锥的有关概念、表示方法、分类
正棱锥:如果一个棱锥的底面是正多边形，并
且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱 锥叫做正棱锥．
正棱锥的性质
（1）各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形 （2）棱锥的高、斜高、斜高在底面内的射影组成一个直角三角形； 棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形
b
r
R
基础练习 1.下列判断错误的是（ C ） A 棱锥的各个侧面都是三角形 B 三棱锥的面有四个，它是面数最少的 棱锥。 C 棱锥的顶点在底面上的射影在底面多 边形内 D 棱锥的侧棱中至多有一条与底面垂直 2.A={棱锥}，B={正棱锥}，C={正三棱锥}， D={正四面体}，写出这四个集合的包含 C B A D 关系_________