第四章 中学数学的逻辑基础知识

第四章中学数学的逻辑基础知识教学目的：通过本章的学习，使学生掌握概念、命题、推理、证明等的特点，了解并掌握在具体的教学过程中学生的心理分析。

教学内容：1、数学概念及其教学。

2、数学命题及其教学。

3、数学推理、证明及其教学。

教学重、难点：中学数学基础知识的教学方法。

教学方法：讲授法教学过程：§1 数学概念及其教学1．1 数学概念1、数学概念的意义客观事物都有各自的许多性质，或者称为属性．人们在实践活动中，逐渐认识了所接触对象的各种属性．在感性认识的基础上，经过比较、分析、综合、概括，抽象出一种事物所独有而其它事物所不具有的属性，于是，便称其为这种事物的本质属性．反映事物本质属性的思维形式叫做概念．数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系．反映数学对象的本质属性的思维形式叫做数学概念．数学概念通常用特有的名称或符号来表示．名称（或符号）和与此相关联的概念分属两个不同的范畴．概念反映名称（或符号）的内容，表达出人们认识事物的结果，而概念的名称（或符号）是表达概念的语言形式．有时同一个概念会有不同的名称（或符号），如“5”、“五”、“five”都表示同一个数，因此，使用名称（或符号）时，重要的是它所表达的内容，即相关联的概念本身．必须注意“属性”与“本质属性”的不同．一个数学对象的某个属性，可以是其它数学对象也具有的，但是本质属性是它区别于其它数学对象的属性．例如，一组对边平行“是平行四边形的属性，但不是本质属性；“对角线相等”是正方形的属性，但不是本质属性．一般的，一个概念的本质属性完全刻划了这个概念，从这一点来说，它是不可分割的．它的一部分只是这个概念的属性，但不再是本质属性．2、概念的外延与内涵概念反映了事物的本质属性，也就反映了具有这种本质属性的事物．一个概念所反映的对象的总和，称为这个概念的外延．例如，“平行四边形”这一概念的外延是“所有平行四边形的集合”，“偶素数”这一概念的外延是“2”．一个概念所反映的对象的本质属性的总和称为这个概念的内涵．把这个概念的每一个本质属性都称为这个概念的内涵的一个表现形式式这些本质属性之间是相互等价的，它们的全体构成一个等价类．因此，一个概念的内涵实际是一个等价类，这个概念的内涵的每一个表现形式都是它的一个代表元．我们约定，一般情况下，说出一个概念的内涵，只要说出它的任一个代表元．一个概念的内涵和外延分别从质和量两个方面刻划了这个概念，每个概念都是其内涵与外延的统一体．概念的内涵严格确定了概念的外延，反之，概念的外延完全确定了概念的内涵．概念的外延和内涵是主观对客观的认识，由于人们对客观事物的认识是发展变化的，概念的外延和内涵必然相应地发生变化，但是在发展变化的过程中有其相对的稳定性．例如角的概念，起初角是作为具有公共端点的两条射线所构成的图形．其外延在小学阶段为0o 到180o 的角，到初中发展为0o 到360o 的角．后来发展成，角是一条射线绕着端点旋转所形成的图形．其外延，在平面几何中为0o 到360o 的角，在三角中发展为任意角．在以上的发展变化过程中，角这一概念的外延与内涵都发生了变化，但是在数学科学体系的确定的阶段，每一个数学概念的外延和内涵都是确定的，并且如前面已经说过的，概念的外延和内涵二者是相互确定的．当用集合(){}x x A Φ=表示一个概念的外延时，()x Φ就给出了这个概念的内涵．3、概念间的关系为了弄清数学概念，必须对互相联系着的概念进行比较，即比较它们的外延与内涵，研究相互间的关系．这里介绍中学数学中常见的一些关系，从比较概念的外延入手，并结合分析内涵之间的关系．（1）相容关系如果两个概念的外延至少有一部分重合，则称它们之间的关系为相容关系．相容关系可分为以下三种情况：i ）同一关系如果两个概念的外延完全相同，则称这两个概念间的关系为同一关系，这两个概念称为同一概念．同一关系可用图4-1表示． 之所以提出同一关系，是因为虽然概念的外延完全确定了概念的内涵，但内涵的表现形式可以不同．研究同一关系可以对概念的本质属性有更深刻、更全面的认识，在推理证明中，这些等价的本质属性互相代换，可使问题易于解决．例1 下列各组概念是同一概念：（i ）偶素数；最小的正偶数．（ii ）有理数；形如q / p （p 、q 是整数，p ≠0）的数．（iii ）等腰三角形底边上的高、中线、顶角的平分线．ii ）从属关系如果一个概念A 的外延真包含于另一个概念B 的外延，那么称这两个概念之间的关系为从属关系．外延较小的概念A 叫做种概念，外延较大的概念B 叫做属概念．如图4-2所示．例2 下列各组概念间具有从属关系，前者是种概念，后者是属概念：（i ）有理数；实数．（ii ）一元二次方程；整式方程．（iii ）矩形；平行四边形．种概念和属概念是相对而言的．例如，“平行四边形”这一概念，相对于“矩形”概念来说是属概念，而相对于“四边形”概念来说却是种概念． 从内涵方面看，显然种概念具有属概念的一切属性，而两者的本质属性又A （B ）图4-1图4-2 四边形 平行四边形 矩 形 正方形不相同，所以属概念的本质属性都是种概念的属性，种概念的内涵真包含属概念的内涵．即是说，具有从属关系的概念之间，就包含的意义上讲，外延愈小，内涵愈多；外延愈大，内涵愈少．反之，内涵愈多，外延愈小；内涵愈少，外延愈大．这称为外延与内涵的反变关系．例如：需要指出的是，如果在给定的一个概念的基础上，增多内涵或缩小外延，就得到原概念的一个种概念；减少内涵或扩大外延，就得到原概念的一个属概念．在数学中，为了对某一个概念加深认识，或者为了用较一般的概念来说明特殊概念，往往采取逐步增加概念的内涵，使概念的外延缩小的方法，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫做概念的限定．例如，在平行四边形的内涵中增加“有一个角为直角”这一性质，就成为矩形的内涵了；同时，就从平行四边形的外延缩小到了矩形的外延．在相反的情况，为了从特殊概念来认识一般概念，而把某一概念的内涵逐步减少，使概念的外延逐步扩大，从而得到一系列具有从属关系的概念，这种方法叫概念的概括．例如，与上面的例子相反的过程就是概念的概括．再如，从二次根式到n 次根式，从（平面）四边形到空间四边形，都是概念的概括．iii ）交叉关系如果两个概念的外延有且只有部分重合，那么称这个概念间的关系为交叉关系，这两个概念叫交叉概念．如图4-3所示．例3 下列各组概念是交叉概念：（i ）正数；整数．（ii ）等腰三角形；直角三角形．（iii ）矩形；菱形． 两个交叉概念的外延重合部分所反映的对象，同时具有这两个概念的一切属性．另一方面，由这个外延的重合部分就给出了另一个概念，它相对于原来的两个概念来说都是种概念．如例3中的交叉概念“正数”和“整数”，其外延重合部分是正整数概念的外延，正整数同时包含了正数和整数的一切属性．交叉概念“矩形”和“菱形”，其外延重合部分是正方形的外延，正方形概念同时是矩形和菱形的种概念，它的内涵同时包含了矩形和菱形的内涵．（2）不相容关系 A 图4-3 B如果两个概念的外延没有任何部分重合，即它们的交集是空集，那么称这两个概念间的关系为不相容关系或全异关系．不相容关系可分为下列两种情况．i ）对立关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们的外延的交集是空集，而外延的并集小于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为对立关系，这两个种概念叫对立概念．（如图4-4如示）．例4 下列各组概念是对立概念：（i ）正有理数；负有理数（相对于属概念“有理数”而言）．（ii ）等腰梯形，直角梯形（相对于属概念“梯形”而言）．（iii ）整式方程；分式方程（相对于属概念“代数方程”而言）．对立概念虽然都具有给定属概念的属性，但是它们是相互排斥的，所反映的对象没有一个是相同的；另一方面，在给定的属概念所反映的对象中存在着不属于两个概念中任何的一个对象，即是有非此非彼的对象．如例4的（iii ）中，无理方程即非整式方程又非分式方程．ii ）矛盾关系在同一属概念之下的两个种概念，如果它们外延的交集为空集，而外延的并集等于这个属概念的外延，那么称这两个种概念之间的关系（相对于这一属概念而言）为矛盾关系，这两个概念称为矛盾概念．如图4-5所示．例5 下列各组概念是矛盾概念：（i ）零；非零整数（相对于属概念“整数”而言）．（ii ）不等边三角形；等腰三角形（相对于属概念“三角形”而言）．（iii ）整式方程；分式方程（相对于属概念“有理方程”而言）．矛盾概念也都具有给定属概念的属性，又是互相排斥的．同时，给定的属概念所反映的任一对象，对这两个种概念来说，有非此即彼的关系．如例5的（ii ）中，任一个三角形，或是不等边三角形，或是等腰三角形，二者只有其一，同时二者必居其一．图4-4 A B 图4-5值得注意的是，如果说明两个概念是不相容概念，只要直接去比较二者的外延；但如果要进一步说明，是对立概念还是矛盾概念，则一定要相对于它们的一个给定的共同的属概念才能讨论．例如“正整数”和“负整数”两个概念，相对于属概念“整数”来说是对立概念，而相对于属概念“非零整数”来说，则是矛盾概念．概念的不相容关系在数学证明的反证法、穷举法中有所应用．任何两个联系着的可比较的概念之间必具有相容关系和不相容关系中的一种．进而分析，必具有同一关系、从属关系、交叉关系、对立关系、矛盾关系之一种．具有全异关系的两个概念未必是对立关系、矛盾关系，但具有对立关系、矛盾关系的两个概念必是全异关系．对具相容关系的两个概念亦可作类似分析．4、概念的定义（1）概念的定义定义是建立概念的逻辑方法．人们在认识事物的过程中，经过抽象，形成概念，就要借助语言或符号，加以明确、固定和传递，这就要给概念下定义．常常是在抽象出事物的本质属性之后，运用逻辑的方法和精练的语言或符号揭示出对象的本质属性．下定义的方式，可以是直接揭示对象的本质属性来给出定义，也可以是通过揭示概念的外延来给出定义，这是因为概念的外延完全确定了它的内涵．对于用前一类办法定义的概念，定义中揭示的这个概念所反映的对象的本质属性，称为基本本质属性，也称为这个概念的基本内涵．当要求说出一个概念的内涵时，通常只要说出它的基本内涵．一个概念，其对象的所有属性都可以由定义推出．由于和本质属性等价的属性也是本质属性，所以一个概念，其反映的对象的本质属性常常不止一个，由它的任意一个本质属性都可以得到这个概念的一个等价定义．例如，平行四边形的定义为：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”定义中直接揭示的“两组对边分别平行的四边形”就是平行四边形概念的基本内涵．而与之等价的，“两组对边分别相等的四边形”，“一组对边平行且相等的四边形”，“两组对角分别相等的四边形”，“对角线互相平分的四边形”等，都是平行四边形的本质属性，由其中任一个都可得到平行四边形的一个等价定义．不过，中学数学教学中，一般不提等价定义．概念的定义是一种约定，因此，任何定义都不能证明它是否正确，但是它应当选择得合理．在教学过程中，向学生说明一个概念定义的理由是有益的．（2）原始概念在数学中总是力求对数学概念下定义，就是说用一些已知的概念来定义新概念，这样就构成了一个概念的体系，但是数学概念的个数是有限的，所以在这个概念的体系中总有一些概念不能再用别的概念来定义，而被作为概念体系的出发点，这样的概念叫原始概念，或基本概念，或不定义概念．在中学数学里，对原始概念采用直观描述的办法．如拉紧的线、纸的折痕给我们以直线的形象，平静的水面给我们以平面的形象．又如中学数学里对集合所作的描述，只是使用一些同义语让学生意会，不是集合的定义．再如“0，1，2，3，……叫自然数”，这是直观说明的方法，不是自然数的定义，这些概念都是不定义的概念．在数学科学中，对原始概念可用公理来间接定义．如点、直线、平面的概念，由希尔伯特公理系统间接给出，它们除了满足公理系统外，不需要再给出任何其它意义．自然数（序数理论）由皮亚诺公理、集合也由公理化方法来间接定义，等等．前面说过，对概念逐步进行概括，就可得到一系列具有从属关系的概念．不过，这个过程只能进行有限个步骤，就必然归结为原始概念．如图4-6所示，正方形是特殊的菱形，菱形是特殊的平行四边形，平行四边形是特殊的四边形，四边形是特殊的多边形，多边形是特殊的几何图形，几何图形是点集．这样，就追溯到了原始概念：点和集合．（3）常用的定义方法i ）属概念加种差定义法我们先看平行四边形的定义：“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．”这里，“平行四边形”是被定义的概念，“四边形”是已有定义的，它是属概念，“两组对边分别平行”是平行四边形与其它四边形的差别，称之为“种差”，这种定义方法就是属概念加种差定义法． 菱形 平行四边形 四边形 多边形 正方形 点集—几何图形 图4-6一般地，属概念加种差定义法就是，用被定义概念最邻近的属概念，连同被定义的概念与同一属概念下其它种概念之间的差别（即种差），来进行定义的方法．种差揭示了被定义概念相对于这个属概念来说特有的属性，它连同这个属概念的基本内涵一起，就构成了被定义概念的基本内涵．注意到被定义概念的属概念常常不止一个，显然，选择最邻近的属概念可使种差简单一些．属概念加种差定义法使概念间的关系很明了，有助于概念的系统化．ii)发生式定义法不是直接揭示概念的基本内涵或外延，而是通过指出概念所反映的对象产生的过程，由此来定义概念的方法，叫做发生式定义法．发生式定义法是属概念加种差定义法的一个变异，这里的属概念不一定是被定义概念最邻近的属概念，种差也不是揭示被定义概念相对于属概念来说特有的属性，而是给出被定义概念所反映对象发生的过程．例如，“平面内一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角．”“把数和表示数的字母用代数运算符号联结起来的式子叫代数式，单独一个数或一个字母也是代数式．”用的都是发生式定义法．iii) 关系定义法是以事物间的关系作为种差的定义，它指出这种关系是被定义事物所具有而任何其他事物所不具有的特有属性．例如，偶数的定义：能被２整除的整数叫做偶数．这是一个关于偶数的关系定义，它的种差是偶数与２的一种关系．iv)外延定义法有些数学概念的外延是单一的对象或是几个简单明显的对象组成的集合，往往直接揭示概念的外延作为定义．例如，“有理数和无理数统称为实数”，“我们规定a0=1（a≠0）”等都是用的揭示外延定义法．v）递归定义法例如用递推公式a n=a n-1+d定义等差数列，就是归纳定义法．（4）定义的规则i）定义必须是相称的我们知道，常常是先形成概念，再用下定义这样的逻辑方法来明确和建立概念．因此，下定义时，必须使定义所确定的概念和人们已经形成的概念相一致．必须准确揭示要建立的概念的基本内涵，或者说必须使由所下定义确定的概念外延和人们已经形成的，已建立的概念的外延相同，这就是定义应当相称的意思．另外，学生学习、理解、掌握定义，必须与人们已经建立的概念、已经下的定义相一致，或者说相称．因为，定义虽然是一种约定，任何定义谈不上证明是否正确，但是，一经约定，就不能再下与此不一致的“定义”了，不能随便把与数学中已建立的概念不相一致的东西作为这个概念的“定义”．例如，不能把“两条不相交的直线”当作平行线的定义，因为在空间，不相交的直线还有异面直线的情形．应该是“在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线”．又如，不能把“无理数是开不尽的方根”当作无理数的定义，因为无理数概念外延中还包括了除此而外的许多其它数，象π、e、tan2、sin1o等等．ii）不能循环定义如果把甲概念作为已知概念来定义乙概念，又把乙概念作为已知概念来定义甲概念，就是循环定义，犯了逻辑错误．循环定义既不能揭示概念的基本内涵，又不能确定概念的外延．例如，用两直线垂直来定义直角，又用两直线成直角来定义垂直，就是循环定义．iii）一般不用否定形式作定义定义要揭示概念所反映对象的本质属性，而否定形式一般不能做到这一点．例如不能把“不是有理数的数叫做无理数”当作无理数的定义，因为这既没有揭示出无理数的基本内涵，也没有确定无理数的外延．当然也有例外的情形，如平行线的定义．不过，这个定义表面上看，是否定形式，但它实际上揭示出了平行线“在同一平面内，没有公共点”的本质属性．iv）定义中应没有多余的条件定义中列举的属性对于揭示概念反映的对象的本质属性来说应是必不可少的．所谓必不可少是指每一个属性都是独立的，不能由列举出的其它属性推出．凡是可由列举的其它属性推出的，对于定义来说都是多余的条件，应删去．例如，把“四个角都是直角的平行四边形叫做矩形”当作矩形定义，条件就多余了．5、概念的划分（1）概念划分的意义把一个属概念分成若干个种概念，来揭示概念外延的逻辑方法叫做概念的划分．在数学中常用划分把概念系统化．例如，对复数可作如下的分类：（2）划分的基本要求正确的划分应符合下列条件：i ）所分成的种概念之间应是全异关系，即是说任两个种概念的外延的交集应是空集．换言之，属概念反映的任一个对象只能属于一个种概念的外延，不能有重复．例如，把“平行四边形”作如下“划分”是错误的．因为“矩形”和“菱形”的外延有重合部分，就是“正方形”的外延．又如，把“三角形”作如下“划分”也是错误的．因为等边三角形是特殊的等腰三角形．平行四边形矩形菱形正方形不是矩形、菱形、正方形的平行四边形三角形 不等边三角形等腰三角形等边三角形纯虚数 bi （a=0） 非纯虚数 a+bi （a ≠0）ii ）划分应是相称的．即是说所分成的全异种概念的外延的并集等于属概念的外延．换言之，属概念反映的任一对象都应属于一个种概念的外延，没有遗漏．例如，把“三角形”作如下“划分”是错误的．漏掉了“只有两边相等的三角形”，“不等边”并非是对“等边”的否定，而是“三边都不相等”．iii ）每次划分都应按照同一个标准进行．在一次划分中用不同的根据就造成了混乱．例如，在对三角形进行“划分”时，如果分出的种概念中，既有等边三角形，同时又有“直角三角形”，就是不正确的．iv ）划分不应越级应把属概念分为最邻近的种概念．例如，把“实数”分为“有理数”和“无理数”两类是正确的．如果把“实数”分为“整数”、“分数”和“无理数”就越级了．越级分类会把概念的系统搞乱．（3）二分法二分法是一种常用的划分方法，是把一个概念的外延中具有某个属性的对象作为一类，把不具有这个属性的对象作为另一类．换言之，是把属概念分成两个矛盾的种概念．例如，把“实数”分为“负实数”和“非负实数”，就是用的二分法．二分法，集中注意了概念的某个属性，而且自然满足了上面关于正确分类的前三个条件，因此常常被采用．§2 数学命题三角形 不等边三角形等边三角形2．1 数学命题的意义和结构一、判断的意义和种类产生概念之后，人们就要运用已有的概念对客观事物进行肯定或否定．对思维对象有所肯定或否定的思维形式叫做判断．判断是属于主观对客观的认识，因此，判断有真有假，其真假要由实践来检验，在数学中要进行证明．判断，按思维对象的量分类，有全称判断、特称判断、单称判断；按质来分，有肯定判断、否定判断．二、数学命题的意义关于数学对象及其属性的判断叫做数学判断．判断要借助于语句，表示判断的语句叫命题．在数学中，用来表示数学判断的陈述句或符号的组合叫做数学命题．由于判断有真假，所以数学命题也就有真命题和假命题之分．命题的“真”和“假”，称为命题的真值，我们分别用1和0表示．一个命题要么真，要么假，二者必居其一．形式逻辑专门研究判断的形式，而不管判断的内容，只从真值的角度研究命题的形式及各种命题之间的关系．在数学中，既研究命题的内容，又研究命题的形式．只有把内容和形式统一起来，才成为数学命题．例如，“2+3=5”，“线段AB的长为10cm”，“三角形ABC是等腰三角形”等，都是数学命题．在数学中，弄清以下四种常用命题形式及相互关系是重要的：（1）全称肯定命题，通常用A表示．它的逻辑形式为“所有的S是P”，可记为“SAP”．（2）全称否定命题，通常用E表示．它的逻辑形式为“所有的S都不是P”，可记为“SEP”．（3）特称肯定命题．通常用I表示．它的逻辑形式为“有的S是P”，可记为“SIP”．（4）特称否定命题．通常用O表示．它的逻辑形式为“有的S不是P”，可记为“SOP”．此外，还有单称肯定命题，如＂π是无理数＂；单称否定命题，如＂3.1416不是无理数”.以上四种命题形式中，S叫做命题的主项（或称主词），表示命题的对象；。