流体力学教案第7章管内流动与管路计算

第七章 管内流动与管路计算在第四章中，推出的粘性流体沿管道流动的总流伯努里方程为：w 2222221111+2++=2++h gV g p z g V g p z αραρ式中h w 是粘性流体从截面1流到截面2处，单位重量流体所损失的能量，它等于所有沿程损失和局部损失之和，即：j f w h h h +=沿程损失h f 是在每段缓变流区域内单位重量流体沿流程的能量损失。

研究表明，沿程损失与单位重量流体所具有的动能和流程长度成正比，与通道的直径成反比。

gV d l h 22f λ=该式称为达西一威斯巴赫（Darcy-Weisbach ）公式。

式中λ为沿程损失系数，它与流体的粘度，流速、管道内径和管壁粗糙度等因素有关，是一个无量纲系数，除层流流动外，一般需要由试验确定。

局部损失h j 是当管道中因截面面积或流动方向的改变所引起的流动急剧变化时，单位重量流体的能量损失，通常表示为gV h 2=2j ζ式中ζ称为局部损失系数，也是一个无量纲系数，根据引起流动的各种管件，由试验来确定。

要计算粘性流体在管道中的流动问题，需应用总流的伯努里方程。

而应用该方程的关键问题是求管道中的能量损失h w 。

总损失h w 等于各段沿程损失和局部损失之和。

若求沿程损失h f 和局部损失hj ，就必须确定沿程损失系数λ和局部损失系数ζ。

因此，确定沿程损失系数λ和局部损失系数ζ就成了本章的最关键的问题。

§7—1 圆管中的层流流动本节及以后各节所讨论的沿程损失系数的计算公式，只适用于管内充分发展的流动，而不适用于速度分布沿流程不断变化的管道入口段的流动（。

设流动为不可压流体在水平直管中的定常流动，流体充满整个管道截面，并为充分发展的层流流动。

取管道轴线与x 坐标一致。

在这样的流动中没有横向速度分量，即υ=w =0，仅有x 方的速度u 。

根据连续方程，可得0=∂∂xu (1)该式表明，u 与x 无关，仅为y 和z 的函数。

若忽略质量力对流动的影响，N —S 方程式可写为:002222=∂∂=∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=∂∂zp y pz u y u x pμ (2)后两个方程表明，压强p 与y 和z 无关，仅为x 的函数。

故有：x p zu y u d d 12222μ=∂∂+∂∂(3)该式的左端是y 、z 的函数，而右端是x 的函数，这只有两边均等于常数时才能成立，故可得出常数=d d xp，即沿轴向长度上的压强变化为一常数。

若长度为l 的管道两端的压强分别为p 1和p 2，并令△p =p 1-p 2，则：l px p ∆=-d d (4)于是(3)变为：l pzu y u μ∆=∂∂+∂∂-2222 (5)上面的推导中，并未涉及管道截面的形状问题，因此，对任何形状的截面均可适用。

对于圆截面管道，由于流动是轴对称的，为了求解方便，可采用圆柱坐标系，设轴线方向为x 坐标，则(5)式可写成。

μιPdr du r dru d ∆-=+122 (6)该方程可由柱坐标系的N —S 方程式直接得出；也可设θcos =r y ，θsin =r z 利用坐标转换得出。

这种情况下N —S 方程可变为：lp r u r r r μ∆-=)d d (d d 1积分可得1+2Δ=d d C r lpru μ 由于流速分布的对称性，在管道轴线上速度值最大，即，当r =0时，0=d d ru。

所以积分常数C 1=0，则上式为： r lp r u μ2-d d ∆=(7)再积分，得224-C r lp u +∆=μ 当02r dr ==时，u =0，则积分常数2024Δ=r l p C μ。

代入上式得流速分布：()224Δ=r r l p u μ(8)可以看出，圆管中层流流动过流断面上的流速分布为旋转抛物面，如图所示。

在管道轴线上，速度为最大值 20max 4Δ=r lp u μ (9)通过整个管道截面的流量()p l r r r r r l p r u Q r ∆=-∆==⎰⎰μππμπ8d 24d 2400220r 00或 p ld Q Δ128=4μπ (10)该式表明，圆管中层流流动的流量与管径的四次方成正比。

式(10)称为哈根一泊素叶公式。

截面上的平均流速max 202021=8Δ===u pr r QA Q V μιπ(11)即圆管中层流流动的截面平均速度为管轴上最大速度的一半。

由(11)式，可得出： 22032=8=Δd lVr lV p μμ (12)该式即为沿程压强损失公式。

可以看出，圆管中层流流动沿程压强损失与速度的一次方成正比。

沿程能量损失，简称沿程损失为：gV dl g V dlVd gd lV g p h 2Re64=264=32=Δ=222f μρρμρ 或写为 gV d l h 2=2f λ式中 Re64=λλ即为沿程损失系数，其中μρVd=Re 。

将(6)式代入牛顿摩擦定律可得： r lp r u 2d d -∆==μτ 式中加负号是为使τ为正值。

可以看出，τ随管径r 呈线性变化，如图所示。

在管壁处，r=r 0，τ=τ0为最大切向应力，则02Δ=r l p τ最后，将u 的表达式和平均速度V 的表达式代入动能修正系数公式，得⎰⎰=⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=A r r r r r r A V u A 2d 2121d 13202203ππα 即，流体在圆管中作层流流动时，其动能修正数α=2。

§7—2 研究紊运动的时均法由雷诺实验可知，紊流实质上是流体质点随机的不规则运动。

流体质点不断地互相混杂和碰撞，必然引起流场中空间各点的流速和压强随时间的波动，这种现象又称为紊流的脉动现象。

由此可见，从本质上讲，紊流是一种非定常流动。

在流体作紊流运动的空间流场中，任取某一固定点，用热线风速仪或激光测速仪测量在不同时刻通过该点的流体质点速度。

下图为圆管轴线上某一点的轴向流速随时间的变化。

由于紊流的脉动，质点的真实速度瞬息万变，难以表示，通常只能用一定时间间隔内的统计平均值代替真实速度。

为此，我们定义时均速度：⎰+=Tt t t u Tu 00d 1式中： t 0—初时时刻； T —时间间隔； u —瞬时速度；u —时均速度。

由图可知，尽管瞬时速度u 在不断变化，而时均速度u 却可能不变。

因此，可将定常流动的定义推广应用于紊流流动，即：对于紊流流动，如果空间某点的流体物理量（如速度、压强等）的时均值不随时间变化，则称为时均定常流动，或简称为定常流动，否则，为非定常流动。

空间某点的瞬时速度为 u u u '+=其中u '为脉动速度。

或 u u u -='而脉动速度u '的时间平均值u '总是等于零，例如：()⎰⎰⎰⎰++++=-=-=-='='T t t T t t T t t T t t u u t u Tt u T t u u T t u T u 000000000d 1d 1d 1d 1并且，流体质点不仅沿轴向有脉动，而且沿垂直于流动轴的截面（即径向）也有脉动，并分别用υ'，w '表示，且⎰+='='Tt t t T 000d 1υυ ⎰+='='Tt t t w T w 000d 1即脉动速度υ'，w '对时间的平均值也为零。

同理，在紊流流动中，流体的压强也处于脉动状态，则瞬时压强。

p p p '+=即瞬时压强等于时均压强加脉动压强。

同理也可证明，脉动压强的平均值p '也等于零，即：⎰+='='Tt t t p Tp 000d 1 在研究紊流的理论中，还经常使用紊流度ε来表示脉动幅度的大小，紊流度定义为：()V w u V22231'+'+'==υσε其中()22231w u '+'+'=υσ⎰+'='T t t dt u T u 00221 ⎰+'='T t t dt T 00221υυ⎰+'='T t t dt w T w 00221式中σ—脉动速度的均方根值：V —时均特征速度，对明渠或管内流动，V 采用截面平均流速；对绕流问题，V 采用远离物体的时均流速。

另外，需要说明的是，普通的测速管（例如皮托管）和普通的测压计，能够测量的均是时均速度和时均压强，而测量瞬时速度，则需采用热线风速仪或激光测速仪。

但是，在工程上，均采用流动参数的时均值去研究紊流运动。

并且，对紊流而言，某截面的平均流速定义为⎰=AdA u A V 1其中A 为该截面的有效截面积。

§7—3 紊流附加切应力及紊流速度分布一、紊流附加切应力我们知道，粘性流体作层流运动时，摩擦切应力可由牛顿内摩擦定律确定，而对粘性流体作紊流运动，除了粘性摩擦切应力之外，由于流体质点存在横向脉动，在流体层与层之间引起动量交换，从而增加了流体的能量损失，这个增加的能量损失，就称为紊流附加切应力。

紊流的总切应力为：21τττ+=其中τ1是粘性剪切应力，可由牛顿内摩擦定律计算，即yu d d 1μτ= τ2是由紊流的脉动速度引起的。

故τ2又称为紊流附加切应力或雷诺应力。

紊流附加切应力的计算，可按普朗特动量传递理论进行推导。

该理论的基本观点为：在紊流的流层中，由于存在脉动流速，流层之间在一定的距离之内会产生动量交换，由于动量交换，便会在流层之间的交界面上产生沿流向的切应力。

如图所示，假想在紊流流动中有1、2两层流体，1层流体的时均速度为u ，2层流体的时均速度为yul u d d +，并且在1、2两层流体之间取一垂直于y 轴的微元面积d A 。

由于对紊流而言，流体质点存在横向脉动，因此设想在某一瞬时，1层上的流体产生一个向上的脉动流速+υ'，其质量流量为ρυ'd A ，而到达2层后，即与2层的流体混合在一起，因而具有2层的时均速度yulu d d +（其中的l 类似于分子平均自由程），由于质量流为ρυ'd A 的流体在1层时，沿x方向的动量为u A d υρ'，而到达2层后，沿x 方向的动量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛+'y u l u A d d d υρ，那么，1层流体由于脉动跳跃到2层后，与2层流体相混合，必然会使整个2层的流体在x 方向的动量略有降低，其反映为2层流体上会出现一个瞬时脉动速度u '-，u '前的负号表示该脉动速度与x 轴正向相反。

假定在某瞬时，2层流体沿x 方向的脉动速度为零，d t 时间后，由于1层流体的介入，使2层流体沿x 方向产生了脉动速度u '-，则d t 时间内，质量为t A d d υρ'的流体在x 方向的动量变化为：()t A u u t A d d 0d d ''-=-'-'υρυρ，这个动量变化必然由外力作用引起，则根据动量定理：()0d d d -'-'=u t A t F υρ或 A u F d υρ''-=而单位时间内，通过垂直于y 方向单位面积的质量为υρ'的流体在x 方向的动量变化为υρ''-u ，因此，由于横向脉动，1，2两层流体之间单位面积的切向应力为：υρτ''-==u AFd 2 由此可见，τ2的产生完全是由于紊流的脉动引起的，所以，又称为紊流附加切应力。