19.7直角三角形全等的判定
证明直角三角形全等
证明直角三角形全等
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
全等是指两个三角形的所有对应边角相等。
那么如何证明两个直角三角形全等呢？下面我们来分析一下。
在证明直角三角形全等时，应该先确定两个三角形的哪些部分是相等的，也就是哪些部分可以作为证明的依据。
其次，根据勾股定理，两个直角三角形的两条直角边和斜边长度相等，则两个三角形的斜边也是相等的。
最后，我们还可以通过底角定理来证明两个直角三角形全等。
底角定理指出，对于两个直角三角形，如果它们的斜边相等，底边上的一个角相等，则它们全等。
基于上述三点，我们可以列出证明直角三角形全等的几种方法。
方法一：直角边-斜边-直角边
这是最基本的证明方法。
假设有两个直角三角形ABC和DEF，其中∠C=∠F=90°，且AC=DF，BC=EF，则：
1. 根据勾股定理，两个三角形的斜边AB和DE相等。
2. 通过正弦定理或余弦定理，证明∠A=∠D。
综上，两个三角形全等，即ABC≌DEF。
1. 根据勾股定理，证明BC=EF。
通过上述三种方法，我们可以证明直角三角形全等，而证明的前提是我们已经知道了两个三角形的部分相等的条件。
因此，我们在研究直角三角形全等的时候，应该首先确定两个三角形的哪些部分是相等的，以此来确定证明的方法。
19.7直角三角形全等的判定
Байду номын сангаас
定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对 应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为 “H.L”） . 几何语言怎么表 述呢？
' ' ' ' ACB AC B （已知） ' （已证） B B AB A' B ' ' （已知）
且 AC =A ＇C ＇ ． ． ． ． 才可以把这 两个直角三 角形叠合在 一起，构造一 个图形； ②B、 C(C＇)、B＇ 三点在一条 直线上
学生思考、分析并完成证 明 .
运用可能会 感到陌生，会 套用全等三 角形（AAS） 的方法，教师 应先给予肯 定，然后鼓励 学生用多种 方法来证明． 第 1 题是角平 分线的性质 定理与直角 三角形的判 定定理 “H.L” 的综合运用； 第 2 题是线段 垂直平分线 的性质定理 与直角三角 形的判定定 理“ H.L ”的 综合运用．
2
B D 1 O P 2 C A
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（H．L） ． ∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等） ． ∴OP 是∠AOB 的平分线（角平分线的定义）． 即点 P 在∠AOB 的平分线上． 例 2： 已知： 如图， 在△ABC 中，BD⊥AC，CE⊥AB， 垂 足分别 为点 D 和点 E，BD=CE. 问 1：图中有哪几对 全等三角形？并给出你的 判定依据.
通过对第 1 题 的图形改变， 进一步培养 学生综合应 用角平分线 性质定理及 学生独立分析，先口述， H.L 定理证明 后书写. 问题的能力.
F
C
预设生答： 1 ．直角三角形全等的特 殊的判定——“H.L”定理． 2．运用“H.L”定理证明线 段相等． 培养学生概 括、归纳能 力，养成良好 的学习习惯.
19.7直角三角形全等判定
斜边和一条直角边对应相等→ 两个直角三角形全等
你相信这个结论吗？ 让我们来验证这个结论。
动动手 做一做
用三角板和圆规，画一个Rt△ABC,使得∠C=90°, 一直角边CA=4cm,斜边AB=5cm.
B
5cm
A
4cm
C
动动手 做一做
Step1:画∠MCN=90°; Step2:在射线CM上截取CA=4cm;
A 证明：∵ AC⊥BD, CE⊥AB ∴ △DCB和△EBC是直角三角形 在Rt△DCB和Rt△EBC中
例题1
{
BC=CB BD=CE B
E
F
D C
∴ Rt△DCB≌Rt△EBC (HL)
得∠EBC=∠DCB(全等三角形的对应角相等) ∴AB=AC(等角对等边） 即Rt△ABC是等腰三角形.
例题2 求证：在一个角的内部(包括顶点)且 到这个角
A
{
B
P D
C
{
E
Q
F
学以致用
已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为 E,F,且DE=DF. F 求证: △ABC是等腰三角形.
B A
E D C
学以致用
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高 度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等， 两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么 关系？ 先把它转化为一个纯数学问题:
A
(3) AB=DE,BC=EF ( HL
AB=DE ( HL ) (4) AC=DF, ______
)
C
D
B
(5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS )
∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS ) E
19.7直角三角形全等的判定
﹛
BD=CD
(已知)
∴Rt⊿BDE≌Rt⊿CDF (H.L) ∴∠B= ∠ C (全等三角形的对应角相等) ∴AB=AC (等角对等边)
﹛
A
D
证明: ∵AB⊥BF,DE⊥BF (已知) ∴⊿ABC和⊿DEF是直角三角形 (直角三角形的定义) 在Rt⊿ABC和Rt⊿DEF中 AB=DE (已知)
C
B
E
AC=DF (已知) ∴Rt⊿ABC≌Rt⊿DEF (H.L) ∴BC=EF (全等三角形的对应边相等)
F
﹛
∴BE=CF (等式性质)
A
证明: ∵BD⊥AC,CE⊥AB (已知) ∴⊿BEC和⊿BDC是直角三角形 (直角三角形的定义) 在Rt⊿BDC和Rt⊿CEB中 BD=CE (已知)
D 2 C
E BDC≌Rt⊿CEB (H.L) ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等) ∴FB=FC (等角对等边)
∴Rt⊿ABE≌Rt⊿DCE (H.L) ∴AB=DC (全等三角形的对应边相等)
A
E
B D
证明: ∵DE⊥AB,DF⊥AC (已知) ∴⊿BDE和⊿CDF是直角三角形 (直角三角形的定义) ∵AD平分∠BAC (已知) ∴DE=DF (在角平分线上的点到这个角 的两边距离相等) 在Rt⊿BDE和Rt⊿CDF中 F DE=DF (已证) C
﹛
A 1
4
B
证明: ∵AB⊥AC,AC⊥DC (已知) ∴∠1=∠2=900 （垂直的定义） D 在⊿ABC和⊿CDA中 AB=CD (已知) ∠1=∠2 (已证) 3 2 AC=CA (公共边) C ∴⊿ABC≌⊿CDA (S.A.S) ∴∠3=∠4 (全等三角形的对应角相等) ∴AD∥BC (内错角相等，两直线平行)
直角三角形全等的判定
结束寄语
• 严格性之于数学家,犹如道德之于人. • 证明的规范性在于：条理清晰，因果
相应,言必有据.这是初学证明者谨记 和遵循的原则.
A
A`
B
C B`
C`
① 边边边（S S S）
A
A`
B
C B`
C`
② 边角边（S A S）
A
A`
B
C B`
C`
③ 角边角（A S A）
A
A`
B
C B`
C`
④ 角角边（A A S）
三角形全等的判定
w想一想: w 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角 形全等?
w两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
B
B′
C
A C′
A′
知识在于积累
w判断下列命题的真假,并说明理由:
w两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
w斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; w两直角边对应相等的两个直角三角形全等; w一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等.
w一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
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三角形全等的判定
w两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
w如果其中一边的所对的角是直角呢?
w两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如 果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等. w已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′,
19-7直角三角形全等的判定-2022-2023学年八年级数学上册同步练习(沪教版)
19.7直角三角形全等的判定（原卷版）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（ ） A ．两条直角边对应相等B ．斜边和一锐角对应相等C ．斜边和一条直角边对应相等D ．两个锐角对应相等2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）A ．两个锐角对应相等B ．一个锐角和斜边对应相等C ．两条直角边对应相等D ．一条直角边和斜边对应相等 3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在ABC 和ADC △中，90B D ∠=∠=︒，CB CD =，130∠=︒，则2∠=（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，DE BC ⊥，若10BC =cm ，则DEC 的周长为（ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 与CE 分别是斜边AB 上的高与中线，以下判断中正确的个数有（ ）①∠DCB=∠A ；②∠DCB=∠ACE ；③∠ACD=∠BCE ；④∠BCE=∠BEC ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在BC 上DE ⊥AB ，点E 为垂足，且DC =DE ，连接AD ，则∠ADB 的大小为_____________．三、解答题8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 为ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于点D ，且2B D ∠=∠．求证：AB AC CD +=．9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在ABC 中，(1)用直尺和圆规作A ∠的平分线，交边BC 于点M （不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M ）；(2)如果在（1）条件下点M 是BC 的中点，求证：B C ∠=∠．10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，求证：BE＝CF．11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且AB=CD，AC=CE，求证：△ACE是直角三角形．12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，CD⊥AD 于D求证：AB=AD．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt△ABC=90 ，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（）A ．∠ACD =∠B B ．CM =5C ．∠B =30︒D ．CD =4552．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（ ）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P 到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（ ）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；B ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．C ．每个命题都有逆命题；D ．每个定理都有逆定理．二、填空题5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，则线段MN 的长为_____．6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD,CE,CF 分别是中线，角平分线，高，则DCE ∠ 和FCE ∠的大小关系：_________________7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm ，则它的腰长为______cm.8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D 是直角三角形ABC 中BC 边的延长线上的一点，CD ＝AC ，∠ACB=60°，则BC ∶CD= ______9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为50︒角，那么这个直角三角形的较小的内角是________︒.10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A 为MON ∠的平分线上一点，过A 任意作一条直线分别与MON ∠的两边相交于B 、C ，P 为BC 中点，过P 作BC 的垂线交射线OA 于点D ，若105∠=︒MON ，则BDC ∠的度数为_度．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，AD 是ABC ∆的高，AD BD =，BE AC =，70BAC ∠=︒，则ABE ∠=__．三、解答题12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，,AD CD BC CD ⊥⊥，D C 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，BC DF =.求证：（1）DAF CFB ∠=∠；（2）AF BF ⊥.13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别是M 、N ．（1）求证：PM ＝PN ；（2）联结MN ，求证：PD 是MN 的垂直平分线．14．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC的平分线，且BD＝DC，DF，DE分别垂直于AB，AC，垂足分别为F，E；求证：BF＝CE15．（2021·上海市莘光学校八年级期中）已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转．(1)当C转到AB边上点C′位置时，A转到A′，（如图1所示）直线CC′和AA′相交于点D，试判断线段AD和线段A′D之间的数量关系，并证明你的结论．(2)将Rt△ABC继续旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)将Rt△ABC旋转至A、C′、A′三点在一条直线上时，请直接写出此时旋转角α的度数．16．（2021·上海民办行知二中实验学校八年级期中）如图，点B在函数y＝2x（x＞0）的图象上，过点B分别作x轴和y轴的平行线交函数y＝1x（x＞0）的图象于点A，C．(1)若点B的坐标为（1，2），求A，C两点的坐标；(2)若点B是y＝2x（x＞0）的图象上任意一点，求△ABC的面积．(3)OC平分OA与x轴正半轴的夹角，将△ABC沿AC翻折后得到△AB'C，点B′落在OA上，求四边形OABC的面积．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC中，(1)用直尺和圆规分别作∠ACB 的平分线、线段AB 的中垂线、它们的交点M （不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M ）；(2)过点M 作ME ⊥BC ，MF ⊥AC ，垂足分别为点E 、F ．求证：BE ＝AF ．18．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD 中，AB =AD ，BC>CD ，AC 平分∠BCD ，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ．(1)求证：CE=CD +BE ；(2)如果CE =3BE ，求ABC ACD S S ∆∆：的值．19．（2022·上海·八年级专题练习）（1）已知，如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高．尺规作图：作ABC ∠的平分线l （保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔（2）在已作图形中，若l 与AD 交于点E ，且,BE AC BD AD ==，求证：AB BC =．20．（2022·上海·八年级单元测试）已知：如图，点D 是ABC 的边AC 上的一点，过点D 作DE AB ⊥，DF BC ⊥，E 、F 为垂足，再过点D 作DG AB ∥，交BC 于点G ，且DE DF =．(1)求证：DG BG =；(2)当D 点是AC 边的中点时，求证：BD AC ⊥．21．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，AB ∥CD ，∠ABD ＝90°，∠AED ＝90°，BD ＝DE .求证：∠AFC ＝2∠ADC .22．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在ABC 中，D 是AB 的中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF AC ⊥于点F ，若12AC =，8BC =，求AF 的长．23．（2021·上海·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，CE ∥AB ，AD 平分∠EAB(1)延长AD 、CE 相交于点F ，求证:AB ＝CE +AE(2)当点E 和点C 重合时，试判断△ABC 的形状，请画出图形，并说明理由.19.7直角三角形全等的判定（解析版）【夯实基础】一、单选题1．（2022·上海市南洋模范中学八年级期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确．．．的有（）A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等【答案】D【分析】根据直角三角形全等的判定条件逐一判断即可．【详解】解：A、两条直角边对应相等，可以利用SAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；B、斜边和一锐角对应相等，可以利用AAS证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；C、斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明两个直角三角形全等，说法正确，不符合题意；D、两个锐角对应相等，不可以利用AAA证明两个直角三角形全等，说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键．2．（2022·上海·八年级专题练习）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（）A．两个锐角对应相等B．一个锐角和斜边对应相等C．两条直角边对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】A【分析】根据SAS，AAS，ASA，SSS，HL，逐一判断即可解答．【详解】解：A、两个锐角对应相等，没有边之间的关系，不能判定两个直角三角形全等，故A符合题意；B、一个锐角和斜边对应相等，利用AAS可以判定两个直角三角形全等，故B不符合题意；C、两条直角边对应相等，利用SAS可以判定两个直角三角形全等，故C不符合题意；D、一条直角边和斜边对应相等，利用HL可以判定两个直角三角形全等，故D不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在ABC 和ADC △中，90B D ∠=∠=︒，CB CD =，130∠=︒，则2∠=（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60° 【答案】D【分析】由题意可证()Rt ABC Rt ADC HL ≌，有1CAD ∠=∠，由三角形内角和定理得2180CAD D ∠+∠+∠=︒，计算求解即可．【详解】解：∵90B D ∠=∠=︒∴△ABC 和△ADC 均为直角三角形在Rt ABC 和Rt ADC 中∵CB CD AC AC=⎧⎨=⎩ ∴()Rt ABC Rt ADC HL ≌∴1CAD ∠=∠∵2180CAD D ∠+∠+∠=︒∴2180903060∠=︒-︒-︒=︒故选D ．【点睛】本题考查了三角形全等，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．4．（2022·上海浦东新·八年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，DE BC ⊥，若10BC =cm ，则DEC 的周长为（ ）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=AD，利用“HL”证明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=BE，然后求出△DEC的周长=BC，再根据BC=10cm，即可得出答案．【详解】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°，∴DE AD=，在Rt△ABD和Rt△EBD中，∵BD BDAD DE=⎧⎨=⎩，()Rt ABD Rt EBD HL∴∆∆≌，∴AB=BE，∴△DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE，=AC+CE，=AB+CE，=BE+CE，=BC，∵BC=10cm，∴△DEC的周长是10cm．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△DEC 的周长=BC是解题的关键．5．（2022·上海·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD与CE分别是斜边AB上的高与中线，以下判断中正确的个数有（）①∠DCB=∠A；②∠DCB=∠ACE；③∠ACD=∠BCE；④∠BCE=∠BEC．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据垂直的定义得到∠CDB=90°，根据余角的性质得到∠DCB=∠A，故①正确；根据直角三角形的性质得到AE=CE=BE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACE，于是得到∠DCB=∠ACE，故②正确；同理得到∠ACD=∠BCE，故③正确；由于BC不一定等于BE，于是得到∠BCE不一定等于∠BEC，故④错误．【详解】∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∴∠DCB+B=90°，∵∠A+∠B=90，∴∠DCB=∠A，∴①正确；∵CE是RtABC斜边AB上的中线，∴EA=EC=EB，∴∠ACE=∠A，∴∠DCB=∠A，∴∠DCB=∠ACE，∴②正确；∵EC=EB，∴∠B=∠BCE，∵∠A+∠B=90，∠A+∠ACD=90，∴∠B= ∠ACD，∴∠ACD= ∠BCE，∴③正确；∵BC与BE不一定相等，∴∠BCE 与∠BEC 不一定相等，∴④不正确；∴正确的个数为3个，故答案为C.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．二、填空题6．（2022·上海·八年级专题练习）命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为_____．【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形【分析】把原命题的题设与结论部分交换即可得到其逆命题．【详解】解：命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了命题与逆命题，解题的关键在于找出原命题的条件和结论．7．（2022·上海·八年级期末）如图，已知△ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，点D 在BC 上DE ⊥AB ，点E 为垂足，且DC =DE ，连接AD ，则∠ADB 的大小为_____________．【答案】112.5°【分析】根据等腰直角三角形性质求∠CAB =∠B =C 1180452，再证明Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），得出∠CAD =∠EAD =CAB 122.52即可 【详解】解：∵∠C =90°，AC =BC ，∴∠CAB =∠B =C 1180452，∵DE ⊥AB∴∠DEA =90°，在Rt △ACD 和Rt △AED 中，CD ED AD AD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴∠CAD =∠EAD =CAB 122.52，∴∠ADB =180°-∠DAB -∠B =180°-22.5°-45°=112.5°．故答案为：112.5°．【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和，掌握等腰直角三角形性质，三角形全等判定与性质，角平分线判定，三角形内角和是解题关键．三、解答题8．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）已知：如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AD 为ABC 的外角平分线，交BC 的延长线于点D ，且2B D ∠=∠．求证：AB AC CD +=．【答案】见解析【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ；构造Rt Rt (HL)ACD AED ≌，通过转化线段得出结论；【详解】证明：如图，作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ；∵90ACB ∠=︒∴DC AC ⊥∵AD 为ABC 的外角平分线；∴CD ED =在Rt ACD △和Rt AED △中CD ED AD AD=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt (HL)ACD AED ≌∴AE AC = ，ADC ADE ∠=∠∴EDC ADC ∠=∠2∵2B ADC ∠=∠∴B EDC ∠=∠∴ED BE AB AE AB AC ==+=+∵CD ED =∴AB AC CD +=【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质；熟练运用角平分线的性质构造全等三角形是解题的关键．9．（2022·上海市南洋模范初级中学八年级期中）如图，在ABC 中，(1)用直尺和圆规作A ∠的平分线，交边BC 于点M （不写作法，保留作图痕迹，在图上清楚地标注点M ）；(2)如果在（1）条件下点M 是BC 的中点，求证：B C ∠=∠．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作已知角的角平分线的作图方法进行作图即可；（2）作MD AB ⊥交AB 于点D ；作ME AC ⊥交AC 于点E ；构造Rt Rt (HL)DMB EMC ≌；即可得出结论；【详解】（1）解：作图如下：（2）证明：如图，作MD AB ⊥交AB 于点D ；作ME AC ⊥交AC 于点E ；由（1）可知：AM 平分BAC ∠∴=DM EM∵点M 是BC 的中点∴BM CM =在Rt DMB 和Rt EMC △中DM EM BM CM=⎧⎨=⎩ ∴Rt Rt (HL)DMB EMC ≌∴B C ∠=∠【点睛】本题考查了尺规作图、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．10．（2022·上海·八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，求证：BE ＝CF ．【答案】见解析【分析】证明Rt Rt BDE CDF ≌即可证明BE ＝CF ．【详解】证明：∵AB ＝AC ，AD 为∠BAC 的平分线∴BD ＝CD ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC∴DE ＝DF ，在Rt △BDE 和Rt △CDF 中==BD DC DE DF ⎧⎨⎩， ∴()Rt Rt HL BDE CDF ≌，∴BE ＝CF ．【点睛】本题考查了HL 证明三角形全等，以及全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．11．（2022·上海·八年级期末）如图，AB 、ED 分别垂直于BD ，点B 、D 是垂足，且AB =CD ，AC =CE ，求证：△ACE 是直角三角形．【答案】见解析【分析】先根据垂直的定义得到∠B =∠D =90°，再根据“HL ”判断Rt △ABC ≌Rt △CDE ，得到∠1=∠3，由于∠2+∠3=90°，所以∠1+∠2=90°，则可利用平角的定义得到∠ACE =90°，于是可判断△ACE 是直角三角形．【详解】证明：∵AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，∴∠B =∠D =90°，在Rt △ABC 和Rt △CDE 中AB CD AC CE=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ABC ≌Rt △CDE （HL ），∴∠1=∠3，∵∠2+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ACE =90°，∴△ACE 是直角三角形．【点睛】本题考查了全等三角形的判断与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．12．（2022·上海·八年级阶段练习）如图，四边形ABCD 中，BC=CD ，CB ⊥AB 于B ，CD ⊥AD 于D求证：AB=AD ．【答案】见解析【分析】连接AC ，证明Rt △ABC ≌Rt △ADC ，即可得到AB=AD ．【详解】解：证明：如图，连接AC ，∵CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，∴∠B=∠D=90°， 在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，AC AC BC CD =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ），∴AB=AD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．【能力提升】一、单选题1．（2021·上海·八年级专题练习）如图在Rt △ABC =90︒，如果CD 、CM 分别是斜边上的高和中线，AC =2，BC =4，那么下列结论中错误的是（ ）A ．∠ACD =∠BB ．CM 5C ．∠B =30︒D ．CD 455【答案】C【分析】根据同角的余角相等判断A ；根据勾股定理和直角三角形的性质判断B ；根据三角形的面积公式计算，判断D ．【详解】∵∠ACB =90°，∴∠ACD +∠BCD =90°．∵CD ⊥AB ，∴∠B +∠BCD =90°，∴∠ACD =∠B ，故A 正确，不符合题意；在Rt △ACB 中，AB 22AC BC =+=25．∵∠ACB =90°，CM 是斜边上的中线，∴CM 5=，故B 正确，不符合题意；2．（2022·上海·八年级期末）已知下列说法，其中结论正确的个数是（）①等腰三角形一边上的高就是这条边上的中线；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，则这条直线是这条线段的垂直平分线；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【分析】分别根据等腰三角形三线合一的性质、等腰三角形的对称性、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理分别对各项进行判断即可．【详解】解：①等腰三角形底边上的高就是这条边上的中线，故原说法错误；②等腰三角形的对称轴就是底边上的中线所在的直线，故原说法错误；③若一条直线上的一点P到线段两端的距离相等，只能说明这个点在这条线段的垂直平分线上，此说法错误；④若两个直角三角形的一条直角边和斜边分别对应相等，则这两个直角三角形全等，正确．故选：A．【点睛】本题考查轴对称的性质、轴对称图形、全等三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．3．（2022·上海·八年级专题练习）下列命题中，假命题是（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等【答案】C【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C ，由HL 判定两个直角三角形全等可判断D ，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A 不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B 不符合题意； 两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C 符合题意； 如图，90,,,,,C N AD MF AB MN BD DC NF FG,Rt ADB Rt MFN ≌,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.4．（2022·上海·八年级单元测试）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；B ．在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．C ．每个命题都有逆命题；D ．每个定理都有逆定理．【答案】D【分析】根据全等三角形的判定、角平分线的判定、命题和定理的定义判断即可．【详解】A 、斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，是真命题；B 、根据角平分线的判定：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上，是真命题；C 、每个命题都有逆命题，是真命题；D 、每个定理不一定都有逆定理，每个定理都有逆命题，而命题有真有假，故每个定理都有逆定理是假命题；故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．二、填空题5．（2022·上海·八年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AC=26，BD=24，M、N分别是AC、BD的中点，则线段MN的长为_____．【答案】5【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半得到BM=DM=13，根据等腰三角形的性质得到BN=12，根据勾股定理得到答案.【详解】连接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，∴BM=12AC，DM=12AC，∴BM=DM=13，又N是BD的中点，∴BN=DN=12BD=12，∴MN=22BM BN=5，【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.6．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图：△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD,CE,CF 分别是中线，角平分线，高，则DCE ∠ 和FCE ∠的大小关系：_________________【答案】相等【分析】根据角平分线的定义可得∠ACE=∠BCE ，再根据高线的定义以及直角三角形的性质可得∠BCF=∠A ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD ，然后根据等边对等角的性质得到∠ACD=∠A ，最后根据图形写出角的关系即可得证．【详解】证明：∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠ACE=∠BCE ．∵CF ⊥AB ，∠ACB=90°，∴∠BCF=∠A （同角的余角相等）．∵CD 是AB 边上的中线，∠ACB=90°，∴AD=CD ，∴∠ACD=∠A （在同一个三角形中，等边对等角），∴∠DCE=∠ACE-∠ACD=∠ACE-∠A ，∠FCE=∠BCE-∠BCF=∠ACE-∠A ，∴∠DCE = FCE ．故答案为：相等．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，准确识图，理清图中角度之间的关系是解题的关键．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3cm ，则它的腰长为______cm.【答案】6【分析】画出图形，可求得底角为30度，结合已知，由含30°的直角三角形的性质可求得【详解】如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=3cm，∠BAC=120°，∵∠BAC=120°，AB=AC∴∠B=∠C=（180°-∠BAC）÷2=30°∵AD⊥BC=6cm．∴AB=3÷12故填：6．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，求得30°的角是正确解题的关键．8．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，已知D是直角三角形ABC中BC 边的延长线上的一点，CD＝AC，∠ACB=60°，则BC∶CD= ______【答案】1:2【分析】由条件可求得∠BAC =30°，在Rt△ABC中利用含30°角直角三角形的性质可求得AC=2BC的长，进而求出结果．【详解】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=60°，∴∠BAC=30°，∴AC=2BC，∵CD＝AC，∴CD=2BC，∴BC∶CD=1:2，故答案为1:2．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，掌握在直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．9．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边所成的锐角为50︒角，那么这个直角三角形的较小的内角是________︒.【答案】25【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，证明得到A ACD ∠=∠，再利用外角性质求出A ∠，再得到B ∠，从而得解.【详解】如图所示，∵CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，∴CD AD DB ==，∴A ACD ∠=∠，∵斜边上的中线与斜边所成的锐角为50︒，即50BDC ∠=︒，∴250BDC A ACD A ∠=∠+∠=∠=︒，解得：25A ∠=︒，另一个锐角902565B ∠=︒-︒=︒，∴这个直角三角形的较小内角是25︒.故答案为：25︒.【点睛】本题考查了直角三角形的性质和外角的性质，比较基础.10．（2020·上海市澧溪中学八年级阶段练习）如图，点A 为MON ∠的平分线上一点，过A 任意作一条直线分别与MON ∠的两边相交于B 、C ，P 为BC 中点，过P 作BC 的垂线交射线OA 于点D ，若105∠=︒MON ，则BDC ∠的度数为_度．【答案】75【分析】过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，求出∠EDF ，根据角平分线性质求出DE ＝DF ，根据线段垂直平分线性质求出BD ＝CD ，证Rt △DEB ≌Rt △DFC ，求出∠EDB ＝∠CDF ，推出∠BDC ＝∠EDF ，即可得出答案．【详解】如图：过D 作DE ⊥OM 于E ，DF ⊥ON 于F ，则∠DEB ＝∠DFC ＝∠DFO ＝90°，∵∠MON ＝105°，∴∠EDF ＝360°−90°−90°−105°＝75°，∵DE ⊥OM ，DF ⊥ON ，OD ∠MON ，∴DE ＝DF ，∵P 为BC 中点，DP ⊥BC ，∴BD ＝CD ，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，DB DC DE DF⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），∴∠EDB ＝∠CDF ，∴∠BDC ＝∠BDF ＋CDF ＝∠BDF ＋∠EDB ＝∠EDF ＝75°．故答案为：75．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等．11．（2022·上海·八年级专题练习）如图，AD 是ABC ∆的高，AD BD =，BE AC =，70BAC ∠=︒，则ABE ∠=__．【答案】20︒##20度【分析】：证明Rt BDE Rt ADC △≌△，根据全等三角形的性质得到DBE DAC ∠=∠，根据等腰直角三角形的性质求出45DAB DBA ∠=∠=︒，计算即可．【详解】解：AD 是ABC ∆的高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在Rt BDE 和Rt ADC 中，BD AD BE AC =⎧⎨=⎩， Rt BDE Rt ADC HL ≌，DBE DAC ∠=∠∴，在Rt ADB 中，AD BD =，45DAB DBA ∴∠=∠=︒，70BAC ∠=︒，704525DAC ∴∠=︒-︒=︒，25DBE DAC ∴∠=∠︒=︒，452520ABE ABD DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：20︒．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题12．（2022·上海·八年级专题练习）已知：如图，,AD CD BC CD ⊥⊥，D C 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，BC DF =.求证：（1）DAF CFB ∠=∠；（2）AF BF ⊥. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据条件可以得出△ADF ≌△FCB 就可以得出∠DAF=∠CFB ；（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB 是等腰直角三角形， 从而求解．【详解】证明：（1）∵AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，∴AF=BF ，AE=BE ．∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴∠D=∠C=90°．在Rt △ADF 和Rt △FCB 中AF FB DF CB =⎧⎨=⎩， ∴△ADF ≌△FCB （HL ），∴∠DAF=∠CFB ；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．∴AF BF ⊥．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、13．（2022·上海·八年级专题练习）已知，如图，BD 是∠ABC 的平分线，AB ＝BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别是M 、N ．。
直角三角形全等的判定
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定 全等. 证明:只要举一个反例即可.如图:
B B′ B′
A
●
C A′ (1)
●
(2)
C′A′
●
(3) C′
因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等. 切记!!! 两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等. 即(SSA)是一个假冒产品!!!
A
F B
H
E
C
2. 如图， AB是圆O的直径， ∠ 1 = ∠ 2 ，
试说明△ABC≌△ABD
C
A
1 2
D
•
O
B
直角三角形全等的判定定理: 1.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或 H.L.). 2.三边对应相等的两个三角形全等（S.S.S.）. 3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（S.A.S.）.
判断下列命题的真假,并说明理由:
两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两直角边对应相等的两个直角三角形全等; 一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等. 一个角和一条直角分别相等的两个直角三角形全 等.
1.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中 点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且 DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形.
三角形全等的判定
两边及其中一边的对角对应相等的两个三 角形不一定全等.
如果其中一边的所对的角是直角呢?
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如 果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等. 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900. 求证:△ABC≌△A′B′C′.
直角三角形全等的判定
简写：“斜边、直角边”或
“AHL”
A'
C
B C'
B'
∠C=∠C´=90°
∵ A B=A´B´
A C= A´C´（ 或BC= B´C´）
∴Rt△ABC≌Rt△ A´B´C´(H L)
已知线段a、c(a﹤c)
a
画一个Rt△ABC,使∠C=90° ，
c
一直角边CB=a，斜边AB=c.
画法：1.画∠MCN=90 °.
P O
EB
例2：如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D， P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则 △ABP≌△PDC，请说明理由。
C A
B
PD
练习3
已知Δ ABC如图，请找出一点P，使它到三边 距离都相等（要求作出图形，并保留作图痕迹）
练习：如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2， 则AD平分∠BAC，请说明理由。Nຫໍສະໝຸດ 2.在射线CM上取CB=a.
A
3.以B为圆心，c为半径画弧，
c
交射线CN于点A.
4连结AB .
MB a C
△ABC就是所要画的直角三角形.
练习1如图，在Δ ABC中，D是BC的中点， DE ┴ AB于E，DF ┴ AC于F，且DE=DF，
则AB=AC。说明理由。
解∵ DE ┴ AB，DF ┴ AC（已知）
B
1
A
D
2
C
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
解∵ ∠ 1= ∠ 2=90 ° ∴ B，C，B'在同一直线上，AC ⊥BB’ ∵ AB=A'B' ∴ BC=B'C'（等腰三角形三线合一） ∵ AC=A'C'（公共边） ∴ RTΔABC ≌ RTΔA'B'C'（SSS）
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年级
课题
日期
八年级（上）
19.7直角三角形全等.掌握直角三角形全等的判定定理，会判定直角三角形全等.
2.经历直角三角形全等判定定理“H.L”的探索过程，体会演绎思想和化归思想。
3.熟练掌握证明命题的一般步骤，正确画出命题的图形，写出已知、求证及证明。
过程与方法
情感态度
与价值观
教材
分析
教学重点
掌握直角三角形全等的判定定理，会判定直角三角形全等。
教学难点
灵活运用三角形全等的判定方法和“H.L”判定直角三角形全等.
相关链接
前期：三角形全等的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的性质等.
后期：直角三角形的性质，特殊四边形及圆的性质。