数学建模思想融入微积分课程教学初探
基于数学建模思想融入微积分教学中的探索
·教育广角·基于数学建模思想融入微积分教学中的探索西安航空学院 林 希摘 要：在微积分教学中结合数学建模思想，可让学生认识并了解数学建模思想，并能利用数学思想方法来解决相 关的实际微积分问题。
人们的日常生活离不开数学建模思想，将数学建模思想融入微积分教学中，还能提 高学生对于微积分知识的学习兴趣。
本文首先介绍了数学建模思想融入微积分教学中的设计思想，然后又 具体阐述了其应用实践。
关键词：微积分教学 数学建模思想 探索文章编号：ISSN2095-6711/Z01-2015-04-0133一、数学建模思想融入微积分教学中的设计思想1.从思维意识看数学建模知识和微积分知识的不同与联系在解决微积分问题的过程中，相关学者提出了深究意识、加工转化意识、已有知识的使用意识以及判断和预测意识在问题求解过程中的重要作用。
而且，数学建模应用和教学中的思路产生和思考过程都要具备这些意识。
所以，经数学建模思想融入微积分教学中，即可提高学生应用微积分相关知识的能力，也能培养学生的数学建模素质。
在微积分的实践教学中，应用数学建模的过程往往比较复杂，需要很多方面的只是进行综合，但建模的整个过程却有规律可循，这是因为数学建模的过程具有一般性的特点。
因此，教师可在微积分教学中，反复的指导和训练学生，强化学生的建模意识，并在分析问题的过程中，培养学生运用建模思考方法的主动性及自觉性。
2.从应用过程看数学建模知识和微积分知识的不同与联系微积分教学中，教师的主要任务就是挖掘学生的潜能，并让其得以发展，使学生在微积分教学中学习相关的方法、概念、知识以及基本思想。
数学建模的过程包括：分析阶段，建立模型阶段，模型求解、检验及应用阶段；而微积分的相关解题过程一般包括：熟悉并深入理解问题，探索有意义问题等。
因此，从解决问题思路的方面来看，数学建模过程和微积分知识的应用过程具有很多相似的地方。
微积分教学中，教师要求学生掌握的很多内容都可看作数学建模中的求解阶段。
基于数学建模思想融入微积分教学中的探索与研究
１ 数学 建模 思想融入微积分教 学中的重要性 般结题思 路一 样 ， 但可 以使学生在 思维 中加 深对 数学建模 的认 １ ． １ 将数学 建模思 想融入微 积分教学重 有利 于激 发学 生的主体 识 ， 以改进和提高教学效果 。 意 识 ２ ． ２ 融人数 学建模思 想 ， 增强学生建模 意识 和能力 传统 的微积分授课模 式 ， 总是定 义 ， 定理 ， 性质 ， 习题 等 ， 不仅 所 谓数学建模 ， 是对所学数 学知识 的综合 应用能力的测试和 枯燥 ， 而且 乏味 ， 很 容易让 学生 “ 左耳 进右耳 出 ” ， 而将数 学建模 训 练 ， 它 涉 及 的知 识 层 次 往 往 比较 宽 ， 所 以， 在 微 积 分 教 学 中 融 人 思想融入 微积分教 学后 ， 通过学 生亲身 的参 与 ， 使他们直 接对 自 数学建模 ， 应安排每学期靠后一点进行 ， 要选好点 。例如 ， 可在第 己的学过 的数学知 识用于实践 ， 由事先结论 的不确定性 ， 而使学 学期 的微积分课程 中的最后一章“ 定积分 的应用 ” ， 结 合阶段总 生充 满着 渴望和好奇 ， 建模思想 的可应用性决定 了学生在建模过 结进行 数学建模 的尝试 的。也就是说 ， 在微 积分教学 中 ， 特别是 程 中认 清 自己， 并 充分体现 自己的主体意识 。 在 由实 际问题给 出 的定 义 中 ， 提 出具体 模型 ｆ 物 理模 型等） ， 从 而 １ ． ２ 将 数学建 模思想融 入微积分 教学重 有利于培 养学生 的创 新 分析 变量之 间的关系 ， 并根据相 关规律来建 立数 学表达式 ， 不要 和应 用 能 力 花很 多时间 。对 数学建模整 个教学活 动要周密规划 ， 充分 准备 ， 数学建模 思想 融入微积分 教学强调 对实 际中遇到 的问题 进 教师主导 ， 精心施工 ， 使学 生应 用数学建模的意识得 以提高 。 行数 学知识 的抽象化 ， 这样 将可 以极 大提高学 生的数学 归纳 、 计 ２ ． ３ 融人数学建模思想 的方法初探 算、 演绎 和总结 的能力 ， 从建模 的设计 到得出数学模 型 的分析 与 如何将数学建模方法及思 想融入到微积分课 堂 中去 ， 首先应 总结 都需要学 生亲 自参 与 ， 这让学 生更有机会 接触实 际 ， 并从 中 当 在 使 用 的教 材 中增 加 一 些 关 于数 学建 模 思 想 和 方 法 的 概 述 ， 并 了解 数学 的应 用 ， 同时在进行 对数学模 型 的数值 求解 ， 也可 以提 给 出描述数学建模 的整个过程 的生 动的案例 。其次 ， 数学建模思 高学生 的科学计算 能力和运用数学语 言的表达能力 。 想 的 全 过 程 可 归 结 为 以下 步骤 ： ２ 数 学 建 模 思 想 融入 微 积 分教 学 中 的 基 本 想 法 和 方 法 ｉ ． 观 察 某 个 实 际 问题 并 分 析 ， 找 其 主要 方 面 ； 所 谓数学模 型 ， 就是用数 学概念 、 公式 和思维 方法来描述 现 ｉ ｉ ． 对 给 出的实 际问题进行 有效 的抽象 、 简 化并提 出合理 的 实世界 中有规 律性的东西 。它使数学走 出纯数学的世界 ， 搭建 了 假 设 ； 数学与现 实的桥梁 ， 因而 ， 其 出发点不单是数学 ， 也包括现 实中的 ｉ ｉ ｉ ． 在建模 中确定相应 的变量 和参 数 ； 需要从定 量 的角度描述 、 研究 并解决 的问题 ， 而我们 以往 的微 积 ｉ ｖ ． 根据 已知的实际 问题应遵 循的规律和定律甚 至是经验确 分教学 ， 从教学方法到教学 内容上 ， 基本都是延 续过去的做法 ， 即 立 变量和参数间 的解析表达式 ， 并提出数学问题 ； 便是改革 ， 大多数也 只是将微 积分在 内容进行调整 和重新组 合 ， ｖ． 用所学过 的数学知识理论 、 思维方法 、 算法分 析和近似方 同时添加一些现代 化的数学概念和 内容 ， 并没有有效地解决数学 法求解 （ 或近似地求解 ） 该数学 问题 ； 理论与 实际应 用的关 系 ， 因而 ， 我们 的想法是 在微积分 教学 中对 ｖ ｉ ． 对得到 的结 果用某些方法 （ 历史数据 、 实 验数 据或现场＇ 『 贝 ４ 解决数学理论 与实 际应 用之间的关系来进行有 益的尝试 。 试 数据等 ） 进行验 证其是 否正确 ， 并验证所 得结果能 否解 释和预 ２ ． １ 从思想上转变微积分教 学的教学理念 测 实 际 问题 中出 现 的 现 象 ； 为 了将 微 积 分 教 学 融 入 数 学 建 模 思 想 ， 要从思想上转变教学 ｖ ｉ ｉ ． 若第 ｖ ｉ 步 的结果 正确并得 以肯定 ， 则 可用在 实际 问题 中 理念 ， 首先积 极数学模 型 的思想 灌输给 学生 ， 使学生从 意识上对 做 为试用 ； 若结果 是错误并被 否定 ， 则要 回到第 ｉ —ｖ ｉ 步 重新进 数学建 模有 初步认 识 ， 在 讲授相 关概 念 、 性质 、 公 式 等理论 知识 行 细致 分 析 并重 复 上 述 过 程 。 时， 不仅要讲 清楚该知识 的来 源 ， 还应 让学生从 自身体验 过程 中 ３ 数 学 建 模 思 想 融 入 微 积 分 教 学 中 的 实践 与 案 例 感 受教学精神 。以此 ， 使得学生 问题 的提 出中加深对数学建模思 把数学建模 思想 融入微积分的教学 中去 ， 不 仅能使学生对数 想 的认 识 。比如说 ： 在２ ０ １ ４ 年世界杯 足球赛 中， 共有 ３ ２ 支球队进 学建模 思想有初 步的认识 ， 还能使学生会 用数学 思想 方法解决实 行 非循环 的淘 汰制 比赛 ， 每场 比赛 有 ２ 支 球队 ， 胜者进入下一 场 ， 际问题 ， 并 了 解 数 学 建 模 和 我 们 生 活 的息 息 相 关 ， 同时 能 够 加 强 如果按此种 比赛方式 ， 直至 比赛结束 。问一共 需要几场 比赛？一 学 生们对微积分 中的许 多重要概念 、 定理 和方法 的理解 ， 并能提 般的解题 方法 即为预 留出一 支球 队 ， 其余全 部进行 淘汰 比赛 ， 则 高学生们学 习微 积分 的兴趣和信心 。 ３ ２ ／ ２ ＋ １ ６ ／ ２ ＋ ８ ／ ２ ＋ ４ ／ ２ ＋ ２ ／ ２ ＋ １ ＝ ３ ２ ， 但 可 以在教 学过程 中 ， 转 变一下教 元 函数微 积分 中导数应用的案例 。 学思路 ， 启发 学生采取逆 向思维 的方法 ， 即每 轮 比赛都 淘汰一支 案例 １光 的折射 定理模 型 球队 ， 一 直到冠军产生 ， 并且有且 仅有一支球 队成为冠军 ， 按这种 模 型假设 ： 把任一物体视 为质点 ； 思维 ， 就是 ３ ２ 支球 队被淘汰 ， 自然需 要进行 ３ ２ 场 比赛 。 以此 ， 和 假设 １假设该质 点在上半平面运动速度为 ， 在下半平面为 ；
数学建模思想融入微积分课程教学初探
１ 设 计 思 想
在传 统的微 积分教 学 中 ， 一般 以教师讲 授 、 生被 动接 收为 主． 学 这种 教 学方 式 在传 授 系统 知识 时 具
有 比较好 的效果 ， 忽视 了学 生作为学 习 主体 的地 位 ， 利 于学 生 主动 获取 知 识能 力 的培 养 ， 但 不 使学 生 缺
积分 教学 中应 用数 学建 模 思维训 练 ， 不仅 可 以提 高应 用微 积分 知识 的能 力 ， 而且也 能尽 早 培养 数学建 模
素质 ．
在实 践 中 ， 学建模 的应用 过程 是 复杂 的 ， 往需 要 多方 面 的 知识 ， 是 整 个 建模 过 程 是 有规 律 可 数 往 但
型应用 阶段 ．
显然， 从解 决 问题 的思 路来看 ， 微积 分 的知识 的应用 和数学建 模过 程有不 少相 似之处 ． 微 积分课 程教学 中要求 掌握 的不 少 内容 可 以看 作 是 数 学建 模 的 模 型求 解 阶 段 ， 比如 ， 积 分 的计 定 算、 二重 积分 、 三重积 分 的计 算． 实 际应 用 中 ， 定 积分 、 积分这 样 的数学模 型 的建立 ， 需要 经过 问 在 像 重 则
第 ２ ６卷 第 ２ 期
２１ ０ ０年 ４月
大 学 数 学
（（ ＩＩＥＧ Ｅ Ｍ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ ：） ＣＳ
Ｖ ｏ ． ６， ． Ｉ２ № ２
Ａｐ ． １ ｔ ２０ ０
数 学建 模 思 想融 人 微 积分 课 程 教学 初 探
张 勇 ， 黄 廷 祝 ， 傅 英定
力 培养工 作．
在微积 分教学 中引入数学 建模 的思维训 练 ， 们主 要 出于 以下 考 虑 ： 方 面 ， 积 分 的不 少教 学 内 我 一 微 容本 身就是 涉及一 个数学 建模过 程 ， 比如导数 概念 、 重积分 的定 义与应 用等 等 ； 另外 一方 面 ， 让学 生在大 学本科 早期 阶段接 受数学 建模思 维 的训 练 ， 以较好 开发 学生智 能 ， 可 又能够促 进微 积分课 程本 身的教学
数学建模思想融入微积分
目录
数学建模概述 微积分基础知识 数学建模在微积分中的应用 案例分析 数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
01
数学建模概述
数学建模的定义
数学建模：运用数学语言、符号、公式和理论对现实问题进行抽象和简化，以解决实际问题的方法和过程。
数学建模是一种跨学科的综合性技术，涉及数学、计算机科学、工程学等多个领域。
详细描述
无穷小和极限在建模中有着广泛的应用。例如，在物理学中，瞬时速度可以看作是平均速度的极限，而瞬时加速度则可以看作是平均加速度的无穷小变化量。在经济学中，无穷小和极限的概念也常用于描述经济变量的变化趋势和规律。
总结词
无穷小与极限在建模中的应用案例
05
数学建模思想在微积分教学中的实践与思考
强调概念背景
对实际问题进行深入分析，明确问题的背景、条件和目标。
问题分析
根据问题分析的结果，选择适当的数学方法和工具，建立数学模型。
建立模型
运用数学方法和计算机技术，求解建立的数学模型。
求解模型
对求解结果进行评估，并根据实际情况对模型进行优化和改进。
模型评估与优化
数学建模的基本步骤
02
微积分基础知识
03
导数与微分的应用
定积分与不定积分
定积分是积分的一种特殊形式，用于计算具体几何量或物理量；不定积分则用于求函数的原函数或反导数。
积分的应用
积分在解决实际问题中有着广泛的应用，如计算旋转体的体积、曲线的长度等。
积分
级数概念
级数是无穷多个数的和，可以用来表示连续变化的过程或现象。
无穷小的概念
无穷小是数学中的一个重要概念，用于描述函数在某点附近的变化趋势。
数学建模思想融入微积分教学的相关探讨
数学建模思想融入微积分教学的相关探讨随着时代的进步和教育的发展，数学教学模式也不断地得到更新和完善。
在数学教学中，数学建模思想是一种非常重要的教学方式。
数学建模是将实际问题抽象为数学模型，并运用数学原理进行分析和解决问题的过程。
微积分作为现代数学发展的重要分支之一，其应用范围广泛，能够解决许多实际问题。
因此，将数学建模思想融入微积分教学是非常有必要的。
在微积分教学中，可以通过实际例子引导学生将问题抽象为数学模型。
例如，求解一个物体在重力作用下的运动轨迹可以被抽象为微积分中的一类初值问题。
这时，教师可以让学生通过观察实验现象来推导出数学公式，然后应用微积分原理求出运动轨迹。
这样的教学方式不仅能够使学生深入理解微积分知识，还能培养学生的实际问题解决能力和数学建模思想。
另外，数学建模思想也可以在微积分教学中用来提高学生的思维能力。
通过数学建模，学生需要将具体问题抽象为数学模型，并运用微积分原理进行转化和求解。
这个过程不仅需要学生对微积分知识的理解和掌握，还需要学生具备一定的逻辑思维能力。
因此，数学建模思想可以激发学生的求知欲望和创造力，提高他们的思维能力。
此外，数学建模思想还可以培养学生的实践能力和团队协作精神。
在数学建模过程中，学生需要去实地调查、收集数据，并运用所学知识进行分析和求解。
这个过程需要各个学生发挥自己的专业特长，相互协作，达成共识。
这样的过程不仅能够培养学生的实践能力，还能增强学生的团队合作能力和交流沟通能力。
总之，将数学建模思想融入微积分教学是一种新型的教学思路，可以有效提高学生的实践能力、思维能力和创造思维，同时也有助于学生更好地理解微积分知识。
因此，微积分教学应该从传统的习题练习和概念解释中转变，更加注重培养学生的实践能力和创新能力，实现数学教育的深入发展。
关于数学建模思想融入数学教学的探索与实践
关于数学建模思想融入数学教学的探索与实践朱明娟构建数学建模思想并将其融入到数学教学中，这是当前新课改所要求的，它体现了数学建模思想在当前数学教育领域中应用的重要价值。
当然，数学建模思想在我国教育领域中发展还不够完善，它在融入目前的高职数学教学中还存在诸多困难。
本文中主要讨论了数学建模思想的基本概念，分析了数学建模思想对高等数学教学的重要功能作用，并加以例证说明，深度展开数学教学探索与实践过程。
数学建模并非是知识内容，它是一种思想、思考方法，在深入了解数学问题背景、明确问题意义后，它希望构建数学教学思路，并将其贯穿于数学问题的全过程中，迎合数学理论、习惯、语言以及方法展开教学，实现数学问题抽象化简化。
因此说数学建模思想本身是一种非常高明且强力的数学问题解决手段，它是能够培养学生的数学知识分析、解决等应用意识的，教师可以尝试将数学建模、实验思想做法融入到高等数学当中，发挥其作用效果。
1 关于数学建模思想数学建模思想的基本概念是指参考数学模型基础解决数学问题，它是一种高级思维方式。
而在数学模型中，它的核心内容就是数学公式，其中许多数学公式都是围绕日常生活所展开应用的。
换言之，数学建模思想应该遵循日常生活基础规律展开，通过它来有效丰富数学教学方式，简化并解决数学问题，基于问题简化结果来解决数学问题。
在对某些数学建模思想客观内容进行分析过程中，需要结合问题表象发现问题本质，如此能够帮助学生对高等数学知识有进一步的认识，达到一种举一反三的学习效果。
就数学建模思想及其教学方式而言，它与传统教学思想方式是不同的，因为它基于不同解题思路、解题方法展开教学过程，让学生思维更加活跃，深化知识记忆，而且它也能满足一定的社会要求。
总体来讲就是遵循个性化发展原则，功结合因材施教展开针对性教学过程，全面提高学生的自主学习能力与创新能力。
2 数学建模思想在高职数学教学中应用的价值作用2.1 优化学生自主学习方式首先，在优化学生自主学习方式方面，数学建模思想是具有一定优势的，特别是它所创建的新思路能够从根本上提高高职生对数学的学习兴趣，这对高职生学科核心素质优化提升很有帮助。
在微积分教学中融入数学建模思想
要】 针对具体专业的学生 ， 在微积分教 学过程 中穿插了数 学建模 实例 ， 注重数 学建模思想在微积分教 学中的应用， 培养 学生的创新能
【 关键词】 微积分； 数 学建模 ； 应用实例 ； 创新能力
Ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄｕ ｃ ｉ ｎｇ Ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｉｃ ｔ ａ ｌ Ｍ ｏ ｄｅ ｌ ｉ ｎｇ ｔ ｈ ｏ ｕ ｇ ｈｔ Ｉ ｎ ｔ ｏ Ｔｈｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ｕｓ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ＰＡＮＧ Ｌｉ ａ ｎ ｇ
（ Ｃ ｈ ｕ ｉ ｔ ａ ｎ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ， Ｈｕ ａ ｚ ｈ ｏ ｎ ｇ Ａｇ ｒ ｉ ｃ ｕ ｌ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｕ ｌｖ ｕ ｅ ￣ｔ ｙ ， Ｗｕ ｈ ａ ｎ Ｈｕ ｂ ｅ ｉ ４ ３ ０ ２ ０ ５ ）
【 Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ 】 Ａ ｃ ｃ ０ ｒ ｄ ｉ ｎ ｇ ｔ ｏ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ｉ ｆ ｃ ｓ ｐ ｅ ｃ ｉ ａ ｌ ｉ ｚ ｅ ｄ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ，ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ｕ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍ ａ ｔ ｉ ｃ ｓ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ ａ ｓ ａ ｎ ｅ ｘ ａ ｍ ｐ ｌ ｅ ，ｆ ｏ ｃ ｕ ｓ ｅ ｓ ｏ ｎ
融入数学建模思想的常微分方程教学初探
２ ０１ ３ 年 ４ 月
Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ Ｅｄｕ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
融人数学建模 思想 的常微分方程 教学初探
阮 妮
５ ３ ０ ０ ２ ３ ） （ 广 西教 育学 院数计 系， 广 西 南宁
［ 摘
要］ 本 文阐述 了常微 分方程的发展 及与数 学建模的 关系特点 ， 并 以国民经济增长模型 为例子 ， 就融入数 学建模 思想的常 数 学建模 国民经济增长模型 ［ 文献标识码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ ２ ０ ９ ５ — ３ ４ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ８ — ０ ０ ６ ７ — ０ ２
国民收入 的主要来源是生产 。国民收入主要用于 以 下 三个 方面 ： 消费资金 、 投 入再 生产的积累资金 、 公 共设 施 的开支 。下面将讨论 国民收人 与这 三者的关系 ， 并 建 立相应 的国民经济 的增长模型 。
解： 假设 ｙ （ ｆ ） 是 时刻 的国 民收人水 平 ， 也 可用它 表
关系， 用精 确或 近似 的数学 方法求 解 ， 然后把 数学结 果
［ 收稿 时 间 ］ ２ ０ １ ３ — ０ ３ — １ ２ ［ 作者 简 介 ］ 阮妮 （ １ ９ ８ ４ ～ ） ， 女， 汉族 ， 广 西柳 Ｉ ＇ Ｉ Ａ ． ， 助教 ， 硕士 ， 研 究方 向 ： 图论 及 其 应 用 。 ６ ７
示生产水平 ； Ｃ （ ｔ ） 表示 时刻消费水平 ； Ｇ表示用 于公共设
施的开支水平 ， 这里把它 看做是常数 ； （ ￡ ） 是时刻用 于投
二、 常微分方程与数学建模 的关 系特点
（ 一） 数 学建 模
入再生产的投资水平 。 根据实 际情况 可 以看 出国 民的消费水平 与 国家生 产 水平 成 正 比 ， 比例 系 数为 ｋ ， 即Ｃ ＝ Ｙ ｋ ， ｋ∈（ ０ ， ， ） ， 称ｋ 是 消费系数 ， Ｓ ＝ Ｉ — ｋ称为积累系数 。 对于 ｔ 时刻 国民这三 方 面总的需求水平表示 为 Ｄ（ ｔ ） ， 则有 ： Ｄ ＝ ｙ ＋ ， ＋ Ｇ （ １ ） 又假 设生 产水平 的改 变与需 求水平 和生 产水平 的
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第26卷第2期大学数学V ol.26,l.2 2010年4月COLLEGE M AT H EM AT ICS Apr.2010数学建模思想融入微积分课程教学初探
张勇,黄廷祝,傅英定
(电子科技大学数学科学学院,四川成都610054)
[摘要]通过分析微积分知识和数学建模知识应用的区别与联系,讨论了数学建模思想融入微积分课程教学的设计思想,并通过几个实例进行了说明.
[关键词]数学建模;数学模型;微积分
[中图分类号]G424.21[文献标识码]C[文章编号]1672-1454(2010)02-0158-03
1设计思想
在传统的微积分教学中,一般以教师讲授、学生被动接收为主.这种教学方式在传授系统知识时具有比较好的效果,但忽视了学生作为学习主体的地位,不利于学生主动获取知识能力的培养,使学生缺乏创新等能力[1,2].在教学改革过程中,不少教学工作者已经在这方面作出了积极有效的工作[3].这些工作包括数学软件Matlab在微积分教学中的应用[4].
近十余年,我国普遍兴起了数学建模教学和数学建模竞赛,对推动高校数学教学改革,提高学生综合素质起到了重要作用,显示出数学建模教学的独特魅力和强大生命力[1].我们结合自身在数学建模教学和研究中的一点积累,在微积分教学中逐步开展了融入数学建模思想和进行数学建模思维训练和能力培养工作.
在微积分教学中引入数学建模的思维训练,我们主要出于以下考虑:一方面,微积分的不少教学内容本身就是涉及一个数学建模过程,比如导数概念、重积分的定义与应用等等;另外一方面,让学生在大学本科早期阶段接受数学建模思维的训练,可以较好开发学生智能,又能够促进微积分课程本身的教学改革.
下面我们从两个角度去分析微积分课程和数学建模课程教学和应用的区别与联系.
1.1从应用过程看微积分知识和数学建模知识的联系与区别
微积分教学中的一个重要任务就是发展学生智能,并让学生学习相应的知识、概念、基本思想和方法等.微积分的解题过程往往要通过/熟悉问题、深入理解问题、探索有意的念头0等步骤进行[5].
而数学建模的基本过程一般分为:问题分析阶段、模型建立阶段、模型求解阶段、模型检验阶段、模型应用阶段.
显然,从解决问题的思路来看,微积分的知识的应用和数学建模过程有不少相似之处.
微积分课程教学中要求掌握的不少内容可以看作是数学建模的模型求解阶段,比如,定积分的计算、二重积分、三重积分的计算.在实际应用中,像定积分、重积分这样的数学模型的建立,则需要经过问题分析、模型建立的过程.而这些阶段则是实践中非常重要的步骤.
如果在课堂上能够结合数学建模过程来讲,让学生知道问题的来龙去脉,学习起来会感到分析问题和解决问题的思想更加系统化,这就让学生站在更高层面上思考问题.
1.2从思维意识看微积分知识和数学建模知识的联系与区别
对于微积分问题的求解过程,钱昌本老师讲解了意识在解题中的作用,这些意识包括:(i)已有知识[收稿日期]2007-09-03
的使用意识;(ii)深究意识;(iii)判断和预测意识;(iv)/加工转化0的意识[5].
我们发现,数学建模教学和应用过程中的思考过程、思路的产生往往都需要这样的意识.因此,在微积分教学中应用数学建模思维训练,不仅可以提高应用微积分知识的能力,而且也能尽早培养数学建模素质.
在实践中,数学建模的应用过程是复杂的,往往需要多方面的知识,但是整个建模过程是有规律可循的.这是由于数学建模过程具有一般性.因此在微积分教学中可以通过反复的训练和指导,强化建模意识,在分析问题时,培养学生主动运用数学建模思考方法的自觉性.如果学生在大学学习的早期阶段就接触到数学建模,并逐步形成和发展这种意识,就显得非常有价值.
下面我们结合实例来讲解二者的结合.
2应用实践
在将数学建模知识较系统融入微积分教学过程中,有两个关键:一个是如何安排;另一个就是内容的选择.
微积分本身的教学任务较多,如何安排建模思想的/融入0是个关键.融入的过程对授课教师又提出了较高要求.实施时,可根据情况先对/融入0部分进行示范性讲课,集体备课等方式.应用中需要注意/融入0内容的讲解时间安排不能太多,否则与微积分课程本身教学任务有冲突.因此可以将数学建模的/融入0内容作为延伸性或推广性内容展开,要讲,但又要讲粗,在课堂上指引,让学生课后思考.
选择合适的教学内容,在其教学过程中开展数学建模思想融入微积分课程的教学,也是我们在开展/融入0教学的一个关键.这可基于以下几点考虑:
i)内容选择适当,确能充分发挥数学建模思想,而不是/蜻蜓点水0,有一定深度;
ii)/融入0过程首先确保完成微积分教学目标.
下面我们举例说明微积分教学内容的/融入0数学建模思想的问题.
2.1函数(一元函数与多元函数)
函数是用来表示变量间关系的一种数学模型.在很多实际问题中,要成功求解问题,往往需要首先考虑问题中涉及哪些变量,然后根据实际情况确立变量间的关系.
例1试建立数学表达式(数学模型)描述火车从A站运行到下一个车站B站的速度变化情况.
假设在A站、B站两站都要停靠,那么火车运行过程就主要分为加速运动、匀速运动、减速的过程.则这个问题不要求学生立即建立模型,而是启发学生深入问题去思考.这里可以提出简化问题的分析策略(提出假设).通过这个问题,培养学生问题分析能力.
2.2幂级数的应用
这里采用一个组合数学问题,讲解幂级数的一个应用.通过此例体现类比建模思想,培养问题转换意识.
例2现有2n个字母A,2n个字母B和2n个字母C;求从它们之中选出3n个字母的不同的方式数.
分析用因子1+x+x2+,+x2n表示某个字母的选择:1表示选取0个,x表示选取1个,x2表示选取2个,,,.
令f x=1+x+x2+,+x2n3,显然,x3n的系数就是选出3n个字母的不同的组合方式数(思考为什么?).
求解思路由于
f x=1+x+x2+,+x2n3=1-x2n+1
1-x
3
=1-x2n+13
1
1-x3
,
因此要将此函数展开为幂级数,从而求出x3n的系数.这就需要展开1-x2n+13,并将
1
1-x3
展开为幂
级数,二者相乘即可分析出x3n的系数.具体求解课后计算.
在这个例子讲解中,需要注意:159
第2期张勇,等:数学建模思想融入微积分课程教学初探
160大学数学第26卷
i)一个实际问题转为数学问题的过程;
ii)幂级数的应用(确定组合数的问题).
2.3微分方程与曲线积分的应用
例3狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的达#芬奇提出的一个数学问题.当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时,一只恶狼出现在兔子正东的100码处.当两只动物同时发现对方以后,兔子奔向自己的洞穴,狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放.狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线.狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子?
分析与建模准备:
假设狼的奔跑轨迹是连续曲线;以狼兔刚发现对方时兔子所在位置为坐标原点,兔子朝向狼的方向为x轴正向.设任意时刻兔子的坐标为x1,y1,狼的坐标为x,y.显然狼的奔跑轨迹可用方程y=y(x)来描述(这部分内容讲解时直接提出).
提出子问题让学生思考:
i)计算任意时刻狼在其奔跑轨迹上所在点的切线方程;(讲解导数的几何应用时提出.)
ii)假设狼和兔子匀速奔跑,则二者速度之间的倍数关系应等于相同时间内二者奔跑路程的倍数关系.尝试建立狼从出发开始计算到任意时刻所奔跑的路程表达式(讲解第一类曲线积分时提出).
通过本问题,培养应用已有知识的意识.
2.4一元极值和多元极值知识的应用
有不少实际问题属于最优化问题,可以抽象为最优化模型,这方面的例子较多.而最优化模型求解的一些基础知识则是一元极值问题和多元极值问题.在教学中可以讲解最优化方法建模思想,提出目标函数、决策变量和约束条件的概念.
在微积分教学中要应用数学建模思想,还会遇到一些这样的问题.比如,教师队伍的问题,要求教师本人要熟悉数学建模过程和思想.在课时组织上,要注意二者/结合0,仍然要注意把握微积分课程的教学重点.
在教学中如何贯穿数学建模思想,如何灵活运用,需要教师不断提高自身数学建模思想素质,在教学中不断实践和应用.
3结论
通过在微积分教学中,适当的结合数学建模思想,并在教学过程中灵活运用,让学生逐步形成一种建模思维,这不仅让学生学到了相关知识,而且加深了理解,逐步形成一种良好的分析问题和处理问题的习惯.由于我们在微积分课程教学中/融入0了数学建模,使得学生对数学建模思维和应用数学知识解决实际问题的内容非常感兴趣,不少同学就是在大一时对数学建模有了一定了解,后来还积极报名通过选拔参加了全国大学生数学建模竞赛.这样同时为学生后期课程学习打下了基础,比如数学实验,数学建模,数值分析以及后期的专业课程等等.
另外,在微积分教学中适时应用数学建模思想进行教学,可以促使教学方法得到改进,提高教学水平和教学效果,有助于推进高等数学的教学改革和课程建设的发展.
如何更有效的将数学建模思维和训练应用到微积分以及其他课程的教学中,是一个复杂的课题,还有待进行更深入的研究,包括知识的系统化、课程综合化的考虑,等等.
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