2019最新高中数学 课时分层作业15 反证法 新人教A版选修2-2
人教版数学高二A版选修2-2练习 反证法 (2)
第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法[A级基础巩固]一、选择题1．实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，则正确的说法是()A．a，b，c都是0B．a，b，c都不为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c不可能均为正数答案：D2．否定结论“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为()A．a，b，c都是奇数B．a，b，c都是偶数C．a，b，c中至少有两个偶数D．a，b，c都是奇数或至少有两个偶数解析：自然数a，b，c中奇数、偶数的可能情况有：全为奇数，恰有一个偶数，恰有两个偶数，全为偶数．剔出结论即为反设．答案：D3．“实数a，b，c不全大于0”等价于()A．a，b，c均不大于0B．a，b，c中至少有一个大于0C．a，b，c中至多有一个大于0D．a，b，c中至少有一个不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一个不大于0”，它包括“全不大于”．选项D正确．答案：D4．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，所以AB、CD共面，这与AB、CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC、BD也是异面直线；③假设直线AC、BD是共面直线．则正确的序号顺序为() A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B5．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．答案：B二、填空题6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________．解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．答案：没有一个面是三角形或四边形或五边形7．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．(填序号)答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．解析：若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的话都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．答案：丙三、解答题9．若a、b、c均为实数，且a＝x2－2y＋π2，b＝y2－2z＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6， 求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明：设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，所以a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π－3＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3≥π－3＞0.所以a ＋b ＋c ＞0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a 、b 、c 中至少有一个大于0.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．证明：假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数，所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数，所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾．所以f (x )＝0无整数根．B 级 能力提升1．设a 、b 、c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2解析：假设a ＋1b ＜2，b ＋1c ＜2，c ＋1a＜2， 则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＜6； 因为a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6. 所以假设错误，选项C 正确．答案：C2．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________________．解析：若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)＜0，解得a ＜－1或a ＞13. Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0，所以－2＜a ＜－1.所以，若两个方程至少有一个方程有实根，则有a≤－2或a≥－1.答案：{}a|a≤－2或a≥－13．求证：不论x，y取何非零实数，等式1x＋1y＝1x＋y总不成立．证明：假设存在非零实数x，y使得等式1x＋1y＝1x＋y成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝xy，即x2＋y2＋xy＝0，即(x＋y2)2＋34y2＝0.由y≠0，得34y2＞0.又(x＋y2)2≥0，所以(x＋y2)2＋34y2＞0.与x2＋y2＋xy＝0矛盾，故原命题成立．。
高中数学 2.2.2 反证法课时作业(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
课时作业19 反证法知识点一反证法的概念1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③答案 C解析 原结论不能作为条件使用．2．有下列叙述：①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析 ①错，应为a ≤b ；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上；④错，应为三角形可以有2个或2个以上的钝角.知识点二反证法的步骤3.用反证法证明命题“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除答案 B解析 “a ，b 中至少有一个能被5整除”的否定是“a ，b 都不能被5整除”．4．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∠A ＝∠B ＝90°不成立．②所以一个三角形中不能有两个直角．③假设∠A 、∠B 、∠C 中有两个角是直角，不妨设∠A ＝∠B ＝90°.正确顺序的排列为________．答案 ③①②解析 反证法的步骤是：先假设命题不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，得到命题是正确的．故填③①②.知识点三用反证法证明命题5.若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.证明 假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3.∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故a ，b ，c 中至少有一个大于0.6．用反证法证明：若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实数根．证明 假设方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至少有两个实根，设α，β为它的两个实根，则f (α)＝f (β)＝0.因为α≠β，不妨设α＜β，又因为函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，所以f (α)<f (β)，这与f (α)＝f (β)＝0矛盾．所以方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多只有一个实根．一、选择题1．用反证法证明结论为“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的命题时，应假设( )A ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 都是偶数C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析 假设结论不成立时应考虑所有情况，故选D.2．有以下结论：①已知p 3＋q 3＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |＜1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )A ．①与②的假设都错误B ．①与②的假设都正确C ．①的假设正确；②的假设错误D ．①的假设错误；②的假设正确答案 D解析 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p ＋q ＞2.故①的假设是错误的，而②的假设是正确的．3．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案 C解析 假设都大于－2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＞－6，但⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≤－2＋(－2)＋(－2)＝－6，矛盾． 4．设a ，b ，c 均为正实数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“PQR ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 首先，若P ，Q ，R 同时大于0，则必有PQR ＞0成立．其次，若PQR ＞0，且P ，Q ，R 不都大于0，则必有两个为负，不妨设P ＜0，Q ＜0，即a ＋b －c ＜0，b ＋c －a ＜0，所以b ＜0，与b ＞0矛盾．故P ，Q ，R 都大于0.5．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( )A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形答案 D解析 因为正弦值在(0°，180°)内是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2，则cos A 1＝cos(90°－∠A 2)， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，∴(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°，即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，所以原假设不成立．故选D.二、填空题6．命题“a ，b 是实数，若|a ＋1|＋(b ＋1)2＝0，则a ＝b ＝－1”，用反证法证明该命题时应假设________．答案 a ≠－1或b ≠－1解析 a ＝b ＝－1表示a ＝－1且b ＝－1，故其否定是a ≠－1或b ≠－1.7．下列命题适合用反证法证明的是________．①已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明：方程f (x )＝0没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＞2，求证：1＋x y 和1＋y x 中至少有一个小于2；③关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．答案 ①②③④解析 ①是“否定性”命题；②是“至少”类命题；③是“唯一性”命题，且题中条件较少；④不易直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．故填①②③④.8．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f (x )的一个“好点”．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在“好点”，那么a 的取值X 围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 假设函数f (x )存在“好点”，即存在实数x ，使得x 2＋2ax ＋1＝x ，所以x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数根．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12，或a ≥32. 所以f (x )不存在“好点”时，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 三、解答题9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数，求证：f (x )＝0无整数根．证明 假设f (x )＝0有整数根n ，则an 2＋bn ＋c ＝0(n ∈Z )，而f (0)，f (1)均为奇数，即c 为奇数，a ＋b 为偶数，则a ，b ，c 同时为奇数，或a ，b 同时为偶数，c 为奇数， 当n 为奇数时，an 2＋bn 为偶数；当n 为偶数时，an 2＋bn 也为偶数，即an 2＋bn ＋c 为奇数，与an 2＋bn ＋c ＝0矛盾．所以f (x )＝0无整数根．10．已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点．由y ＝ax 2＋2bx ＋c ， y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a，b，c互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证．。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法练习(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选
2.2.2 反证法一、选择题1．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B 是正确的，所以选B.2．用反证法证明“如果a b >>A =<=C D =<【答案】D【解析】>反证法需假设结论的反面，应为小于或等于，=<3．用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程02=++b ax x 没有实根B ．方程02=++b ax x 至多有一个实根C ．方程02=++b ax x 至多有两个实根D ．方程02=++b ax x 恰好有两个实根【答案】A【解析】方程02=++b ax x 至少有一个实根的否定是方程02=++b ax x 没有实根，∴用反证法证明命题“设b a ,为实数，则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时，要做的假设是方程02=++b ax x 没有实根．故选A ．4．用反证法证明命题“a b ∈N ，，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是（）A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除【答案】B【解析】用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除.5．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数c b a ,,中恰有一个偶数”时正确的假设为（）A ．自然数c b a ,,都是奇数B ．自然数c b a ,,都是偶数C ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数D ．自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数【答案】D【解析】反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数c b a ,,中至少有两个偶数或都是奇数.6．设椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c ，0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能【答案】C 【解析】∵12c e a ==，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆 x 2＋y 2＝2内，则22122x x +≥，但()222212121222b c x x x x x x a a ⎛⎫+=+-=-+ ⎪⎝⎭ 223272424c c c c =+=<，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.二、填空题7．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是.【答案】方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根【解析】因为“方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 3＋ax ＋b ＝0的实根个数大于或等于1”，所以假设是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．8．用反证法证明命题“若210x -=，则1x =-或1x =”时，应假设.【答案】1-≠x 且1≠x【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是1-≠x 且1≠x .9．用反证法证明命题：“设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于31”时，第一步应写：假设．【答案】c b a ,,都小于31 【解析】反证法第一步是否定结论，a 、b 、c 中至少有一个数不小于31的否定是c b a ,,都小于31． 10．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C ＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【答案】③①②【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，步骤的顺序应为③①②.。
新人教A版选修2-2《2.2.2反证法》同步练习及答案
选修2-2 2.2.2 反证法一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解[答案] C[解析] 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选C.2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反设为( )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数[答案] B[解析] a，b，c三个数的奇、偶性有以下几种情况：①全是奇数；②有两个奇数，一个偶数；③有一个奇数，两个偶数；④三个偶数．因为要否定②，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°[答案] B[解析] “至少有一个不大于”的否定是“都大于60°”．故应选B.4．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是( )A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数C．假设a，b，c至多有一个偶数D．假设a，b，c至多有两个偶数[答案] B[解析] “至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a ，b ，c 都不是偶数．5．命题“△ABC 中，若∠A >∠B ，则a >b ”的结论的否定应该是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a ＝bD ．a ≥b[答案] B[解析] “a >b ”的否定应为“a ＝b 或a <b ”，即a ≤b .故应选B.6．已知a ，b 是异面直线，直线c 平行于直线a ，那么c 与b 的位置关系为( )A ．一定是异面直线B ．一定是相交直线C ．不可能是平行直线D ．不可能是相交直线[答案] C[解析] 假设c ∥b ，而由c ∥a ，可得a ∥b ，这与a ，b 异面矛盾，故c 与b 不可能是平行直线．故应选C.7．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中( ) A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2[答案] C[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1c ∵a ，b ，c ∈(－∞，0)，∴a ＋1a ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2 b ＋1b ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ≤－2 c ＋1c ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1c ≤－2∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎪⎫c ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ≤－6 ∴三数a ＋1b 、c ＋1a 、b ＋1c 中至少有一个不大于－2，故应选C.8．若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则( )A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面[答案] B[解析] 对于A ，若存在直线n ，使n ∥l 且n ∥m则有l ∥m ，与l 、m 异面矛盾；对于C ，过点P 与l 、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l ∥α)；对于D ，过点P 与l 、m 都异面的直线不唯一．9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[答案] C[解析] 因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选C.10．已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为( )A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0[答案] D[解析] 命题的结论是“对任意正整数n ，数列{x n }是递增数列或是递减数列”，其反设是“存在正整数n ，使数列既不是递增数列，也不是递减数列”．故应选D.二、填空题11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．[答案] 没有一个是三角形或四边形或五边形[解析] “至少有一个”的否定是“没有一个”．12．用反证法证明命题“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么反设的内容是________________．[答案] a，b都不能被5整除[解析] “至少有一个”的否定是“都不能”．13．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A ＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为____________．[答案] ③①②[解析] 由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②.14．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：假设______________．设全体质数为p1、p2、…、p n，令p＝p1p2…p n＋1.显然，p不含因数p1、p2、…、p n.故p要么是质数，要么含有______________的质因数．这表明，除质数p1、p2、…、p n之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．[答案] 质数只有有限多个除p1、p2、…、p n之外[解析] 由反证法的步骤可得．三、解答题15．已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求证：a>0，b>0，c>0.[证明] 用反证法：假设a，b，c不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0，可得c>－(a＋b)，又a＋b<0，∴c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)ab＋c(a＋b)<－(a＋b)(a＋b)＋ab即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2∵a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－(a2＋ab＋b2)<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立．因此a >0，b >0，c >0成立．16．已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14. [证明] 证法1：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.(1－a )＋b 2≥(1－a )b ＞14＝12， 同理(1－b )＋c 2＞12，(1－c )＋a 2＞12. 三式相加，得(1－a )＋b 2＋(1－b )＋c 2＋(1－c )＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14. 证法2：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得 (1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝ ⎛⎭⎪⎫143① 因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14. 同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14. 所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫143.② 因为①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．17．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R .(1)若a ＋b ≥0，求证：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )；(2)判断(1)中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．[解析] (1)证明：∵a ＋b ≥0，∴a ≥－b .由已知f (x )的单调性得f (a )≥f (－b )．又a ＋b ≥0⇒b ≥－a ⇒f (b )≥f (－a )．两式相加即得：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)逆命题：f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )⇒a ＋b ≥0.下面用反证法证之．假设a ＋b <0，那么：a ＋b <0⇒a <－b ⇒f (a )<f (－b )a ＋b <0⇒b <－a ⇒f (b )<f (－a )⇒f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知矛盾，故只有a ＋b ≥0.逆命题得证．18．(2010·湖北理，20改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1.求证：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．[解析] 假设数列{b n }存在三项b r 、b s 、b t (r <s <t )按某种顺序成等差数列，由于数列{b n }是首项为14，公比为23的等比数列，于是有b t >b s >b r ，则只可能有2b s ＝b r ＋b t 成立． ∴2·14⎝ ⎛⎭⎪⎫23s －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫23r －1＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫23t －1. 两边同乘3t －121－r ，化简得3t －r ＋2t －r ＝2·2s －r 3t －s ，由于r <s <t ，所以上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾． 故数列{b n }中任意三项不可能成等差数列．。
人教A版数学高二选修2-2课后提升训练反证法
课后提升训练十八反证法(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A.有两个内角是直角B.有三个内角是直角C.至少有两个内角是直角D.没有一个内角是直角【解析】选C.“最多只有一个”的否定是“至少有两个”.2.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )A.无解B.两解C.至少两解D.无解或至少两解【解析】选D.“解是唯一的”的否定是“无解或至少两解”.3.实数a,b,c不全为0等价于( )A.a,b,c均不为0B.a,b,c中至多有一个为0C.a,b,c中至少有一个为0D.a,b,c中至少有一个不为0【解析】选D.实数a,b,c不全为0,即a,b,c中至少有一个不为0. 【补偿训练】否定结论“至多有两个解”的说法中,正确的是( )A.有一个解B.有两个解C.至少有三个解D.至少有两个解【解析】选C.在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有(n+1)个”,所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”.4.(2017·潍坊高二检测)(1)已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确;(2)的假设错误D.(1)的假设错误;(2)的假设正确【解析】选D. (1)的假设应为p+q>2;(2)的假设正确.5.若方程x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-2]∪[-1,+∞)B.[-2,1]C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.[-2,-1]【解析】选A.假设两个方程都没有实数根,则有解得-2<a<-1,故两个方程至少有一个方程有实根时,a的取值范围为a≤-2或a≥-1.6.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“PQR>0”是“P,Q,R 同时大于零”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.必要性显然,充分性:若PQR>0,则P,Q,R同时大于零或其中两个为负,不妨设P<0,Q<0,R>0,因为P<0,Q<0,即a+b<c,b+c<a,所以a+b+b+c<c+a,即b<0,这与b>0矛盾,所以P,Q,R同时大于零.7.已知数列{a n},{b n}的通项公式分别为a n=an+2,b n=bn+1(a,b是常数),且a>b,那么两个数列中序号与数值均相同的项有( )A.0个B.1个C.2个D.无穷多个【解析】选A.假设存在序号和数值均相等的项,即存在n使得a n=b n,由题意a>b,n∈N*,则恒有an>bn,从而an+2>bn+1恒成立,所以不存在n使a n=b n.【补偿训练】设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2) ( )A.必在圆x2+y2=2上B.必在圆x2+y2=2外C.必在圆x2+y2=2内D.以上三种情形都有可能【解析】选C.因为e==,所以a=2c.所以b2=a2-c2=3c2.假设点P(x1,x2)不在圆x2+y2=2内,则+≥2,但+=(x1+x2)2-2x1x2=+=+=<2,二者矛盾.所以假设不成立.所以点P(x1,x2)必在圆x2+y2=2内.8.已知α∩β=l,a⊂α,b⊂β,若a,b为异面直线,则( )A.a,b都与l相交B.a,b中至少一条与l相交C.a,b中至多有一条与l相交D.a,b都与l相交【解析】选B.如果l与a,b不相交,则l与a,b都平行,所以直线a,b 平行,与直线a,b异面矛盾,因此l至少与a,b中一条相交.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·长沙高二检测)“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定是________________.【解析】该命题的否定有两部分,一是任何三角形,二是至少有两个,其否定应为“存在一个三角形,其外角最多有一个钝角”.答案:“存在一个三角形,其外角最多有一个钝角”10.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误.②所以一个三角形不能有两个直角.③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.上述步骤的正确顺序为________.【解析】由反证法的步骤可知,正确顺序为③①②.答案:③①②三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知a,b,c,d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数.【证明】假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1.又(a+b)(c+d)=ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+bd≤1,这与已知ac+bd>1矛盾,所以a,b,c,d中至少有一个是负数.12.求证:过一点只有一条直线与已知平面垂直.【解题指南】文字叙述题的证明应先写出已知,求证,本题证明时应分两种情况,即点P在平面α内和点P在平面α外.【证明】已知:平面α和一点P.求证:过点P与平面α垂直的直线只有一条.证明:如图所示,不论点P在α内或α外,设PA⊥α,垂足为点A(或P).假设过点P还有另一条直线PB⊥α,设PA,PB确定的平面为β,且α∩β=a,于是在平面β内过点P有两条直线PA,PB垂直于a,这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾,所以假设不成立,原命题成立.【拓展延伸】反证法证题要处理好一个关键用反证法证题时,一定要处理好推出矛盾这一步骤,因为反证法的核心就是从求证的结论反面出发,导致矛盾的结果,因此如何导出矛盾,就成为了关键所在,对于证题步骤,绝不可死记,要具有全面扎实的基础知识,并能灵活运用.【能力挑战题】已知:0<α<,0<β<,且sin(α+β)=2sinα,求证:α<β.【证明】(1)假设α=β(α,β均为锐角),由sin(α+β)=2sinα得sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα, 所以2sinαcosα=2sinα,所以cosα=1,与α∈相矛盾,故α≠β.(2)假设α>β(α,β均为锐角),由sinαcosβ+cosαsinβ=2sinα,得cosαsinβ=sinα(2-cosβ),即=.由>α>β>0得sinα>sinβ>0,所以>1.又0<cosα<cosβ<1,所以2-cosβ>1,所以<1.故=不成立,故α≤β.因为α≠β且α≤β,所以α<β.综上所述α<β.。
人教A版选修2-2 反证法 课时作业
一、选择题1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案：A2．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为( )A．①②③B．③①②C．①③②D．②③①解析：结合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案：B3．用反证法证明在“△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( )A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案：B4．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )A．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°答案：B5．设实数a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝1，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于( )A ．0B.13C.12 D ．1解析：假设a ，b ，c 都小于13，则a ＋b ＋c <1，与a ＋b ＋c ＝1矛盾，选项B 正确． 答案：B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a ，求证：b 与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b 与c 平行或相交．答案：b 与c 平行或相交7．完成反证法证题的全过程．设a 1，a 2，…，a 7是1，2，…，7的一个排列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：由假设p 为奇数可知(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为偶数．答案：(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)8．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其假设为________．解析：“a 、b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此用反证法证明时的假设为“a ，b 不全为0”．答案：a ，b 不全为0三、解答题9．设x ，y 都是正数，且x ＋y >2，试用反证法证明：1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立．证明：假设1＋x y <2和1＋y x <2都不成立，即1＋x y ≥2，1＋y x≥2. 又因为x ，y 都是正数，所以1＋x ≥2y ，1＋y ≥2x .两式相加，得2＋x ＋y ≥2x ＋2y ，则x ＋y ≤2，这与题设x ＋y >2矛盾，所以假设不成立．故1＋x y <2和1＋y x<2中至少有一个成立． 10．设等比数列{a n }的公比为q ，S n 为它的前n 项和．(1)求证：数列{S n }不是等比数列；(2)当q ≠1时，数列{S n }是等差数列吗？为什么？证明：(1)假设{S n }是等比数列，则S 22＝S 1·S 3，所以a 21(1＋q )2＝a 1·a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以(1＋q )2＝1＋q ＋q 2，所以q ＝0，这与等比数列的公比q ≠0矛盾．故数列{S n }不是等比数列．(2)当q ≠1时，假设{S n }是等差数列，则有2S 2＝S 1＋S 3，即2a 1(1＋q )＝a 1＋a 1(1＋q ＋q 2)．因为a 1≠0，所以q (q －1)＝0.又q ≠1，所以q ＝0.这与q ≠0矛盾．故{S n }不是等差数列．B 级 能力提升1．设a ，b ，c 大于0，则3个数：a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a的值( ) A ．都大于2B ．至少有一个不大于2C ．都小于2D ．至少有一个不小于2解析：假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a都小于2 则a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2 ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，① 又a ，b ，c 大于0所以a ＋1a ≥2，b ＋1b ≥2，c ＋1c≥2. ∴a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a≥6.② 故①与②式矛盾，假设不成立所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a至少有一个不小于2. 答案：D2．对于定义在实数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，那么x 0叫作函数f (x )的一个好点．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12 C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：假设函数f (x )存在好点，则x 2＋2ax ＋1＝x 有实数解， 即x 2＋(2a －1)x ＋1＝0有实数解．所以Δ＝(2a －1)2－4≥0，解得a ≤－12或a ≥32. 所以f (x )不存在好点时，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A3．已知直线ax －y ＝1与曲线x 2－2y 2＝1相交于P ，Q 两点，是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：不存在．理由如下：假设存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点O ，则OP ⊥OQ .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧ax －y ＝1，x 2－2y 2＝1，消去y ，整理得(1－2a 2)x 2＋4ax －3＝0. 所以x 1＋x 2＝－4a 1－2a 2，x 1x 2＝－31－2a 2. 因为x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(ax 1－1)(ax 2－1)＝0，所以(1＋a 2)x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋1＝0，则(1＋a 2)·－31－2a 2－a ·－4a 1－2a 2＋1＝0， 所以a 2＝－2，这是不可能的．故不存在满足题设条件的实数a .。
2019版高中数学 第二章 推理与证明 课时作业15 综合法和分析法 新人教A版选修2-2.doc
∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2cacos60°，
即b2＝c2＋a2－ac，c2＋a2＝ac＋b2，
此式即分析中欲证之等式，即原式得证．
法二：∵△ABC三个内角A，B，C成等差数列，
∴B＝60°.
由余弦定理，有b2＝c2＋a2－2accos60°，
A．综合法B．类比法
C．分析法D．归纳法
解析：要证 ＋ < ＋ ，
只需证明
2a＋7＋2 <2a＋7＋2 ，
只需证明 < ，
只需证明a2＋7a<a2＋7a＋12，
只需证明0<12，
故选择分析法最合理．
答案：C
4．已知a>0，b>0且a＋b＝2，则()
A．a≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
14．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其对边分别为a，b，c.求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证 ＋ ＝ ，
即证 ＋ ＝3，
也即证 ＋ ＝1.
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
只需证b2－ac<3a2，
只需证b2－a(－b－a)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0.
只需证(2a＋b)(a－b)>0，
只需证(a－c)(a－b)>0.
故索的因应为C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6. － ________ －1.(填“>”或“<”)
高中数学 2.2.2反证法课时作业 新人教A版选修22
2.2.2 反证法课时目标 1.了解间接证明的一种基本方法——反证法.2.了解反证法的思考过程、特点.3.结合已经学过的数学实例，理解反证法的推理过程，证明步骤，体会直接证明与间接证明的区别与联系．1．一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过____________，最后得出________，因此说明假设________，从而证明了原命题________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________________________________________________等矛盾．一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用( )①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是( )①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．A．①② B．①③C．①③④ D．①②③④3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么a、b、c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是( )A．假设a、b、c都是偶数B．假设a、b、c都不是偶数C．假设a、b、c至多有一个偶数D．假设a、b、c至多有两个偶数4．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是( )A．有两个内角是直角B．有三个内角是直角C．至少有两个内角是直角D．没有一个内角是直角5．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数6．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件题号12345 6答案二、填空题7．用反证法证明：“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定为________．8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为“__________________________”．9．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是______________．三、解答题10．已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．11.若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.能力提升12．求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y 总不成立．13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．1．对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．2．反证法的基本步骤是：(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果； (3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．答案知识梳理1．正确的推理 矛盾 错误 成立2．已知条件或与假设或与定义、公理、定理、事实 作业设计1．C 2.D 3.B 4.C5．D [恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数(全为奇数)，其二是至少有两个 偶数．]6．B [∵c >d ，∴－c <－d ，a >b ， ∴a －c 与b －d 的大小无法比较． 可采用反证法，当a －c >b －d 成立时，假设a ≤b ，∵－c <－d ， ∴a －c <b －d ，与题设矛盾，∴a >b .综上可知，“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．] 7．a ≤b8．函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]上恒小于等于0 9．a ≤－2或a ≥－1解析 若方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0有实根， 则(a －1)2－4a 2≥0，∴－1≤a ≤13.若方程x 2＋2ax －2a ＝0有实根． 则4a 2＋8a ≥0，∴a ≤－2或a ≥0， ∴当两个方程至少有一个实根时， －1≤a ≤13或a ≤－2或a ≥0.即a ≤－2或a ≥－1.10．证明 假设a 不是偶数，则a 为奇数． 设a ＝2m ＋1(m 为整数)，则a 2＝4m 2＋4m ＋1.因为4(m 2＋m )是偶数，所以4m 2＋4m ＋1为奇数，所以a 2为奇数，与已知矛盾，所以假 设错误，所以原命题成立，即a 是偶数．11．证明 设a 、b 、c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0， ∴a ＋b ＋c ≤0.而a ＋b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2y ＋π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2－2z ＋π3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 2－2x ＋π6＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. ∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 故a 、b 、c 中至少有一个大于0.12．证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y 成立．于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ， 即x 2＋y 2＋xy ＝0，即(x ＋y 2)2＋34y 2＝0.由y ≠0，得34y 2>0.又(x ＋y 2)2≥0，所以(x ＋y 2)2＋34y 2>0.与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立． 13．(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。
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课时分层作业(十五) 反证法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )【导学号：31062157】A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°B[由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根A[依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.] 3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )A．自然数a，b，c都是奇数B．自然数a，b，c都是偶数C．自然数a，b，c中至少有两个偶数D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数D [反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c 中至少有两个偶数或都是奇数．]4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线C[假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]5．设x ，y ，z 都是正实数，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x，则a ，b ，c 三个数( )A ．至少有一个不大于2B ．都小于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2C [若a ，b ，c 都小于2，则a ＋b ＋c <6①， 而a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z≥6②，显然①，②矛盾，所以C 正确．] 二、填空题6．用反证法证明“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，则|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，假设内容是________.【导学号：31062158】[解析] “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反面是“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”．[答案] |f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于127．用反证法证明命题“若x 2－1＝0，则x ＝－1或x ＝1”时，应假设________． [解析] 反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x ≠－1且x ≠1. [答案] x ≠－1且x ≠1 8．完成反证法证题的全过程．题目：设a 1，a 2，…，a 7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数．证明：假设p 为奇数，则________均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0. 但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．[解析] 由假设p 为奇数可知a 1－1，a 2－2，…，a 7－7均为奇数，故(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7)＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．[答案] a 1－1，a 2－2，…，a 7－7 (a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋ (7)三、解答题9. 已知x ，y >0，且x ＋y >2.求证：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.【导学号：31062159】[证明] 假设1＋x y ，1＋y x都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx≥2.∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a ，b ，c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证：f (x )＝0无整数根．[解] 假设f (x )＝0有整数根n ， 则an 2＋bn ＋c ＝0，由f (0)为奇数，即c 为奇数，f (1)为奇数，即a ＋b ＋c 为奇数，所以a ＋b 为偶数，又an 2＋bn ＝－c 为奇数，所以n 与an ＋b 均为奇数，又a ＋b 为偶数， 所以an －a 为奇数，即(n －1)a 为奇数， 所以n －1为奇数，这与n 为奇数矛盾． 所以f (x )＝0无整数根．[能力提升练]1．已知a 、b 、c ∈(0,1)．则在(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 中， ( )【导学号：31062160】A ．不能同时大于14B ．都大于14C ．至少一个大于14D ．至多有一个大于14A [法一：假设(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 都大于14.∵a 、b 、c 都是小于1的正数，∴1－a 、1－b 、1－c 都是正数.－a ＋b2＞－a b＞14＝12， 同理－b ＋c 2＞12，－c ＋a 2＞12. 三式相加，得 －a ＋b2＋－b ＋c2＋－c ＋a 2＞32， 即32＞32，矛盾． 所以(1－a )b 、(1－b )c 、(1－c )a 不能都大于14.法二：假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )b (1－b )c (1－c )a >⎝ ⎛⎭⎪⎫143①因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎪⎫1－a ＋a 22＝14.同理，0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14.所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫143.②因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上 B ．必在圆x 2＋y 2＝2外 C ．必在圆x 2＋y 2＝2内 D ．以上三种情形都有可能C [∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b 2＝a 2－c 2＝3c 2.假设点P (x 1，x 2)不在圆x 2＋y 2＝2内，则x 21＋x 22≥2，但x 21＋x 22＝()x 1＋x 22－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋2c a ＝3c 24c 2＋2c 2c ＝74<2，矛盾．∴假设不成立．∴点P 必在圆x 2＋y 2＝2内．故选C.]3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．[解析] 若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意． 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意． [答案] 丙4．设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＝1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2＜2.其中能推出“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．[解析] 假设a ，b 均不大于1，即a ≤1，b ≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a ，b 中至少有一个大于1”，故选③.[答案] ③5．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列.【导学号：31062161】[解] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋13a 1＋3d ＝9＋32∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明：由(1)得b n ＝S n n＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．。