高考数学一轮复习复习学案：函数与方程

函数与方程1、函数零点的定义：（1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。

（2）方程有实根函数的图像与x轴有交点函数有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点（3）变号零点与不变号零点：①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。

②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。

③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。

2.映射定义：设非空集合A,B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A 到B的对应为映射。

若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B可建立n m个映射。

3.定义域、对应法则和值域构成了函数的三要素。

相同函数的判断方法：①定义域、值域；②对应法则。

(两点必须同时具备)4.求函数的定义域常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义；⑥正切函数角的终边不在y轴上。

5.函数解析式的求法：①配凑法；②换元法：③待定系数法；④赋值法；⑤消元法等。

6.函数值域的求法：①配方法；②分离常数法；③逆求法；④换元法；⑤判别式法；⑥单调性法等。

7.函数单调性及证明方法:如果对于定义域内某个区间上的任意．．两个自变量的值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)< f(x2)(或f(x1)>f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数)。

第一步：设x1、x2是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；第二步：作差f(x2)-f(x1)，并对“差式”变形，主要方法是：整式——分解因式或配方；分式——通分；根式——分子有理化，等)；第三步：判断差式f(x2)-f(x1)的正负号，从而证得其增减性。

8.函数单调区间的求法：①定义法；②图象法；③同增异减原则。

9.函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x) (或f(-x)=-f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)。

如f(x)=x2+2，f(x)=x3-x等。

10.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，也即是说定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数也不是偶函数。

11.判断函数奇偶性的常用形式：奇函数：f(-x)=-f(x)，f(-x)+f(x)=0(对数函数)，(f(x)≠0)(指数函数)；偶函数：f(-x)=f(x)，f(-x)-f(x)=0，(fx)≠0)。

12.①若奇函数f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0，常用于待定系数；②偶函数f(x)满足f(x)=f(|x|)；③定义域关于原点对称且函数值恒为0的函数既是奇函数又是偶函数。

13.①奇函数的图象关于原点对称，反之，图象关于原点对称的函数是奇函数；②偶函数的图象关于y轴对称，反之，图象关于y轴对称的函数是偶函数；③关于原点对称的区间上，奇函数单调性相同，偶函数单调性相反。

14.函数图像变换：①平移变换：形如y=f(x+a)：把函数y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左(a>0)或向右(a<0)平移|a |个单位，就得到y=f(x+a)的图象；形如y=f(x)+a：把函数y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上(a>0)或向下(a<0)平移|a|个单位，就得到y=f(x)+a的图象。

②对称变换：y=f(x)→ y=f(-x),关于ｙ轴对称；y=f(x)→ y=-f(x) ,关于ｘ轴对称。

③翻折变换：y=f(x)→y=f(|x|), (左折变换) 把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称；y=f(x)→y=|f(x)|（上折变换）把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称。

15.反函数：f(a)=b a=f-1(b)。

原函数的定义域和值域分别是反函数的值域及定义域。

16.求反函数的步骤：①求反函数的定义域（即y=f(x)的值域）；②将x,y互换，得y=f-1 (x)；③将y=f(x)看成关于x的方程，解出x=f-1(y)，若有两解，要注意解的选择。

17.互为反函数的图象间的关系：关于直线y=x对称；18.原函数与反函数的图象交点可在直线y=x上，也可是关于直线y=x对称的两点。

19.原函数与反函数在对称区间上具有相同的单调性；奇函数的反函数仍为奇函数。

20.在定义域上单调的函数一定具有反函数；反之，并不成立（如y=1/x）。

21.复合函数的定义域求法：①已知y=f(x)的定义域为A，求y=f[g(x)]的定义域时，可令g(x)∈A，求得x的取值范围即可。

②已知y=f[g(x)]的定义域为A，求y=f(x)的定义域时，可令x∈A，求得g(x)的函数值范围即可。

22.复合函数y=f[g(x)]的值域求法：首先根据定义域求出u=g(x)的取值范围A，在u∈A的情况下,求出y=f(u)的值域即可。

23 .复合函数内层函数与外层函数在定义域内单调性相同，则函数是增函数；单调性不同则函数是减函数。

增增、减减为增；增减、减增才减（同增异减）。

①f(x)与f(x)+c (c为常数)具有相同的单调性；②f(x)与c·f(x)当c>0是单调性相同，当c<0时具有相反的单调性；③当f(x)恒不为0时，f(x)与1/f(x)具有相反的单调性；④当f(x)恒为非负时，f(x)与具有相同的单调性；⑤当f(x)、g(x)都是增(减)函数时，f(x)+g(x)也是增(减)函数。

⑥设f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)当f (x)，g(x)两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时是减(增)函数。

24.二次函数求最值问题：根据抛物线的对称轴与区间关系进行分析。

Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则a>0时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；a<0时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得。

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则a>0时：最小值在离对称轴近的端点处取得，最大值在离对称轴远的端点处取得；a<0时：最大值在离对称轴近的端点处取得，最小值在离对称轴远的端点处取得。

25.一元二次方程实根分布问题解法：①将方程的根视为二次函数的图像与x轴交点的横坐标；②从抛物线开口方向、对称轴、判别式、区间端点函数值等方面分析限制条件。

26.分式函数y=(ax+b)/(cx+d)的图像画法：①确定定义域渐近线x=-d/c；②确定值域渐近线y=a/c；③根据y轴上的交点坐标确定曲线所在象限位置。

27、函数零点的判定：（1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。

（2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法①代数法：函数的零点的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定：有2个零点有两个不等实根；有1个零点有两个相等实根；无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定.28. 二分法：（1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算;(ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ) 若,则令(此时零点);(ⅲ) 若,则令(此时零点);④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.29.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：①f(x1＋x２)=f(x１)+f(x２)：正比例函数f(x)=kx(k≠0)；②f(x1＋x２)=f(x１)·f(x２)；f(x1-x２)=f(x１)/f(x２)：指数函数y=a x；③f(x1•x2)=f(x1)+f(x2)；f(x1/x２)=f(x１)-f(x２)：对数函数y=log a x；④f(x1•x2)=f(x1)•f(x2)；f(x1/x２)=f(x１)/f(x２)：幂函数y=x a。

30.如果f(a+x)=f(b-x)成立，则y=f(x)图像关于x=(a+b)/2对称；特别地，f(x)＝f(-x)成立，则y=f(x)图像关于y轴对称。

如果f(a+x)=f(b+x)成立(a≠b)，则y=f(x)是周期函数，2|a-b|是它的一个周期；两个函数y=f(a+x)和y=f(b-x)的图象关于直线对称。

31.a>f(x)恒成立a>f(x)的最大值；a<f(x)恒成立a<f(x)的最小值；a>f(x)恒有解a>f(x)的最小值；a<f(x)恒有解a<f(x)的最大值；a=f(x)恒有解f min(x)≤a≤f max(x)。

【esp1】函数在区间内的零点个数是（）A、0B、1C、2D、3【解析】解法1：因为，，即且函数在内连续不断，故在内的零点个数是1.【答案】：B解法2：设，，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B正确.【esp2】函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ( )A、(－2，－1)B、(－1,0)C、(0,1)D、(1,2)【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1) f(0)<0.∴f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间为(－1,0)．【答案】B【esp3】若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 . 【解析】函数= (且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【答案】【esp4】设函数f(x)满足f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数g(x)= |x cos|，则函数h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为（）A、5B、6C、7D、8【解析】因为当时，f(x)=x3. 所以当时，，，当时，；当时，，注意到函数f(x)、g(x)都是偶函数，且f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，，作出函数f(x)、g(x)的大致图象，函数h(x)除了0、1这两个零点之外，分别在区间上各有一个零点，共有6个零点，【答案】B【esp5】函数在区间[0,4]上的零点个数为（）A、4B、5C、6D、7【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx2=0，x2=kπ+,k∈Z，又x∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解.【答案】C【esp6】函数在内（）A、没有零点B、有且仅有一个零点C、有且仅有两个零点D、有无穷多个零点【解析】解法一：数形结合法，令，则，设函数和，它们在的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数在内有且仅有一个零点；【答案】B解法二：在上，，，所以；在，，所以函数是增函数，又因为，，所以在上有且只有一个零点．【esp7】求下列函数的零点：（1）；（2）.【解析】（1）由故函数的零点是2，1，-1.（2）故函数的零点是2，-2.【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2.esp8: 已知函数的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数的取值范围。