盐城市2011届高三第二次调研考试数学完整版有答案

盐城市2010～2011学年度高三年级第二次调研考试全解析版

盐城市2010～2011学年度高三年级第二次调研考试全解析版(满分160分，考试时间120分钟)2011．04一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数z ＝2＋i 的共轭复数为____________．答案：2－i 解析：∵ z ＝2＋i, ∴ z －＝2－i.2. 已知集合A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{x |x －3＜0}，则A ∩B ＝__________.答案：{x |－1＜x ＜3} 解析：∵ A ＝{x |x ＞－1}，B ＝{x |x ＜3}，则A ∩B ＝{x |－1＜x ＜3}．3. 从{1,2,3}中随机选取一个数a ，从{2,3}中随机选取一个数b ，则b ＞a 的概率是__________．答案：12 解析：从{1,2,3}中随机选取一个数a ，从{2,3}中随机取一个数b ，共有(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)、(3,2)、(3,3)6种等可能的不同情况，满足b ＞a 的有(1,2)、(1,3)、(2,3)3种不同的情况，根据古典概型的概率公式得所求概率P ＝36＝12.4. 已知a 、b 、c 是非零实数，则“a 、b 、c 成等比数列”是“b ＝ac ”的________条件(填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分又不必要”)．答案：必要不充分解析：a 、b 、c 成等比数列⇒b 2＝ac ⇒b ＝±ac ，∴ “a 、b 、c 成等比数列”不能推出“b ＝ac ”；反之a 、b 、c 是非零实数时，由“b ＝ac ”能推出“a 、b 、c 成等比数列”. ∴ 应该填“必要不充分”．5. 将参加数学夏令营的100名学生编号为001,002，…，100，现采用系统抽样方法抽取一个容量为25的样本，且第一段中随机抽得的号码为004，则在046号至078号中，被抽中的人数为______________．答案：8解析：∵ (78－46)÷4＝8(段)，∴ 应该有8个被抽中．6. 如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是__________．a ←1b ←2I ←2While I ≤6 a ←a ＋b b ←a ＋b I ←I ＋2End While Print b (第6题)答案：34 解析：a ＝1，b ＝2，I ＝2⇒a ＝3，b ＝5；I ＝4⇒a ＝8，b ＝13；I ＝6⇒a ＝21，b ＝34，I ＝8，输出b ＝34.7. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最大值为__________．答案：2 解析：∵ y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴ 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最大值为2.8. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1、a 3、a 9成等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6的值为__________．3 解析：设公差为d ，则(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，a 1d ＝d 2，∵ d ≠0, ∴ d ＝a 1.由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，则S 11－S 9S 7－S 6＝66a 1－45a 128a 1－21a 1＝3.9. 已知命题：“若x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形有可能是：① 都是直线；② 都是平面；③ x 、y 是直线，z 是平面；④ x 、z 是平面，y 是直线．上述判断中，正确的有________．(请将你认为正确的判断的序号都填上)①②④ 解析：如果字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形都是直线，则命题 “若x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”显然成立，∴ ①正确；如果字母x 、y 、z 在空间所表示的几何图形都是平面，则命题“若x ⊥y ，y∥z ，则x ⊥z ”也显然成立，∴ ②也正确；如果x 、y 是直线，z 是平面，则命题“x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”中的直线x 也可能与平面z 平行、斜交或者直线x 在平面z 内，∴ ③不正确；如果x 、z 是平面，y 是直线，根据线面平行判定定理，由直线y ∥平面z ，可以在平面z 中找到一条直线a 与直线y 平行，于是直线a ⊥平面x ，又直线a 在平面z 中，所以平面x ⊥平面z ，∴ ④正确．10. 已知函数f (x )＝a x －x ＋b 的零点x 0∈(k ，k ＋1)(k ∈Z )，其中常数a 、b 满足3a ＝2,3b＝94，则k ＝__________.1 解析：由3a ＝2,3b ＝94得a ＝log 32，b ＝log 394＝2－2log 32，∴ f (x )＝(log 32)x －x ＋2－2log 32，又f (1)＝log 32－1＋2－2log 32＝1－log 32＞0，f (2)＝(log 32)2－2log 32＝log 32·(log 32－2)＜0, ∴ 函数f (x )在区间(1,2)上有零点，∴ k ＝1.11. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，P是椭圆上一点，l 为左准线，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若四边形PQF A 为平行四边形，则椭圆的离心率e 的取值范围是______________．(2－1,1) 解析：由题意得点P 的横坐标是x 0，则x 0－⎝⎛⎭⎫－a 2c ＝a ＋c ，∴ x 0＝a ＋c －a 2c，－a ＜a ＋c －a 2c＜a 即e 2＜1＜e 2＋2e ，解得2－1＜e ＜1.12. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ＝DC ＝1，AB ＝3，动点P 在△BCD 内运动(含边界)，设AP →＝αAB →＋βAD →(α、β∈R )，则α＋β的取值范围是__________．(第12题)⎣⎡⎦⎤1，43 解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，A 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (3,0)，D (0,1)，C (1,1)，直线CD 方程是y －1＝0，直线BD 方程是x ＋3y －3＝0，直线BC 方程是x ＋2y －3＝0.设P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，x ＋2y －3≤0，y －1≤0，又(x ，y )＝α(3,0)＋β(0,1)＝(3α，β)，α＝x 3，β＝y .所以目标函数z ＝α＋β＝x3＋y ，作出可行域，如图，可知当动直线x3＋y －z ＝0过点B (3,0)和D (0,1)、C (1,1)时，z 分别取最小值1、最大值43，∴ α＋β的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43.13. 已知函数f (x )＝x ＋1x ＋a 2，g (x )＝x 3－a 3＋2a ＋1，若存在ξ1、ξ2∈⎣⎡⎦⎤1a ，a (a ＞1)，使得|f (ξ1)－g (ξ2)|≤9，则a 的取值范围是______________．(1,4] 解析：x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a (a ＞1)时，f (x )min ＝f (1)＝2＋a 2，f (x )max ＝f (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ＋1a ＋a 2；又g (x )＝x 3－a 3＋2a ＋1是增函数，x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a (a >1)时，g (x )min＝g ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a 3－a 3＋2a ＋1，g (x )max ＝g (a )＝2a ＋1；∵ (2＋a 2)－(2a ＋1)＝(a －1)2＞0，∴ f (x )min ＞g (x )max ，因此“存在ξ1、ξ2∈⎣⎡⎦⎤1a ，a (a ＞1)，使得|f (ξ1)－g (ξ2)|≤9”等价于|f (x )min －g (x )max |≤9有解，解|(2＋a 2)－(2a ＋1)|≤9得－2≤a ≤4.又a ＞1,∴ 1＜a ≤4.14. 已知函数f (x )＝cos x ，g (x )＝sin x ，记S n ＝2⎝⎛⎭⎫(k －1)π2n －12n⎝⎛⎭⎫(k －n －1)π2n ，T m ＝S 1＋S 2＋…＋S m ，若T m ＜11，则m 的最大值为______________．5 解析：∵ S 1＝2∑2k ＝1f ⎝⎛⎭⎫(k －1)π2－12∑2k ＝1g ⎝⎛⎭⎫(k －2)2π＝2∑2k ＝1cos (k －1)π2－12∑2k ＝1sin (k －2)π2＝2⎝⎛⎭⎫cos0＋cos π2－12⎝⎛⎭⎫sin －π2＋sin0＝2＋12＝52，S 2＝2∑4k ＝1f ⎝⎛⎭⎫(k －1)π4－122∑4k ＝1g ⎝⎛⎭⎫(k －3)π4 ＝2∑4k ＝1cos (k －1)π4－122∑4k ＝1sin (k －3)π4 ＝2(cos0＋cos π4＋cos 2π4＋cos 3π4)－122－sin π2－sin π4＋sin0＋sin π4＝2＋122，S 3＝2∑6k ＝1f ⎝⎛⎭⎫(k －1)π6－123∑6k ＝1g ⎝⎛⎭⎫(k －4)π6＝2∑6k ＝1cos (k －1)π6－123∑6k ＝1sin (k －4)π6 ＝2cos0＋cos π6＋cos 2π6＋cos 3π6＋cos 4π6＋cos 5π6－123－sin π2－sin π3－sin π6＋sin0＋sin π6＋sin π3＝2＋123，同理S 4＝2＋124，S 5＝2＋125，…，S n ＝2＋12n ，∴ S 1＋S 2＋…＋S m ＝2m ＋12⎝⎛⎭⎫1－12m 1－12＝2m ＋1－12m ， ∴ 使S 1＋S 2＋…＋S m ＜11成立的正整数m 的最大值为5.二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对边的长分别为a 、b 、c ，且a ＝5，b ＝3，sin C ＝2sin A . (1) 求c 的值； (2) 求sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3的值．解：(1) 根据正弦定理，c sin C ＝asin A ，所以c ＝sin Csin Aa ＝2a ＝2 5.(5分)(2) 根据余弦定理，得cos A ＝c 2＋b 2－a 22bc ＝255，(7分)于是sin A ＝1－cos 2A ＝55，(8分) 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，(10分)cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35，(12分)所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝sin 2A cos π3－cos 2A sin π3＝4－3310.(14分)16. (本题满分14分)在如图所示的多面体中，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，四边形ABDC 是菱形．(1) 求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1. (2) 求该多面体的体积．(1) 证明：由正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，得BB 1⊥AD ，而四边形ABDC 是菱形，所以AD ⊥BC.又BB 1、BC ⊂平面BB 1C 1C ，且BC ∩BB 1＝B ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.(5分)又由AD ⊂平面ADC 1，得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1.(7分) (2) 解：因为正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为 V 1＝S △ABC ×AA 1＝23，(10分) 四棱锥D —B 1C 1CB 的体积为V 2＝13SBCC 1B 1×⎝⎛⎭⎫12AD ＝433，(13分) 所以该多面体的体积为V ＝1033.(14分) 17. (本题满分14分)如图所示，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ；另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一部分，后一段DBC 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2，x ∈[4,8]时的图象，图象的最高点为B ⎝⎛⎭⎫5，833，DF ⊥OC ，垂足为F . (1) 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式；(2) 若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？解：(1) 对于函数y ＝A sin (ωx ＋φ)，由图象知，A ＝833，ω＝2πT ＝2π4(8－5)＝π6.(4分)将B ⎝⎛⎭⎫5，833代入到y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ中，得5π6＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，故y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3.(7分)(2) 在y ＝833sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3中令x ＝4，得D (4,4)，则曲线OD 的方程为y 2＝4x (0≤x ≤4)．(9分)设点P ⎝⎛⎭⎫t 24，t (0≤t ≤4)，则矩形PMFE 的面积为S ＝⎝⎛⎭⎫4－t24t (0≤x ≤4)．(11分) 因为S ′＝4－3t 24，由S ′＝0，得t ＝433，且当t ∈⎝⎛⎭⎫0，433时，S ′＞0，S 递增；当t∈⎝⎛⎭⎫433，4时，S ′＜0，S 递减，所以当t ＝433时，S 最大，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，433.(14分)18. (本题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两相接点M 、N 均在直线x ＝5上．圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A (29,0)．(1) 求圆弧C 2的方程；(2) 曲线C 上是否存在点P ，满足P A ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3) 已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E 、F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．解：(1) 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)．(2分)则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)，令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)．又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(5分)(2) 假设存在这样的点P (x ，y )，则由P A ＝30PO ，得x 2＋y 2＋2x －29＝0.(8分)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169(－13≤x ≤5)，解得x ＝－70(舍去)；(9分) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，(x －14)2＋y 2＝225(5≤x ≤29)，解得x ＝0(舍去)，综上知，这样的点P 不存在．(10分)(3) 因为EF ＞r 2，EF ＞r 1，所以E 、F 两点分别在两个圆弧上．设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，(13分)即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝1 61516，所以点O 到直线l 的距离为 1 6154.(16分)19. (本题满分16分)已知函数f (x )＝x ＋a x 2＋b 是定义在R 上的奇函数，其值域为⎣⎡⎦⎤－14，14. (1) 试求a 、b 的值；(2) 函数y ＝g (x )(x ∈R )满足：① 当x ∈[0,3)时，g (x )＝f (x )；② g (x ＋3)＝g (x )ln m (m ≠1)． ① 求函数g (x )在x ∈[3,9)上的解析式；② 若函数g (x )在x ∈[0，＋∞)上的值域是闭区间，试探求m 的取值范围，并说明理由．解：(1) 由函数f (x )定义域为R ，∴ b ＞0.又f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，得a ＝0.(2分)因为y ＝f (x )＝xx 2＋b 的定义域为R ，所以方程yx 2－x ＋by ＝0在R 上有解．当y ≠0时，由Δ≥0，得－12b ≤y ≤12b ，而f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－14，14，所以12b ＝14，解得b ＝4；当y ＝0时，得x ＝0，可知b ＝4符合题意．所以b ＝4.(5分) (2) ① 因为当x ∈[0,3)时，g (x )＝f (x )＝xx 2＋4，所以当x ∈[3,6)时，g (x )＝g (x －3)ln m ＝(x －3)ln m(x －3)2＋4；(6分)当x ∈[6,9)时，g (x )＝g (x －6)(ln m )2＝(x －6)(ln m )2(x －6)2＋4，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －3)ln m (x －3)2＋4，x ∈[3，6)，(x －6)(ln m )2(x －6)2＋4，x ∈[6，9).(9分)② 因为当x ∈[0,3)时，g (x )＝x x 2＋4在x ＝2处取得最大值为14，在x ＝0处取得最小值为0，(10分)所以当3n ≤x ＜3n ＋3(n ≥0，n ∈Z )时，g (x )＝(x －3n )(ln m )n(x －3n )2＋4分别在x ＝3n ＋2和x ＝3n 处取得最值为(ln m )n4与0.(11分)(ⅰ) 当|ln m |＞1时，g (6n ＋2)＝(ln m )2n4的值趋向无穷大，从而g (x )的值域不为闭区间；(12分)(ⅱ) 当ln m ＝1时，由g (x ＋3)＝g (x )得g (x )是以3为周期的函数，从而g (x )的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤0，14；(13分) (ⅲ) 当ln m ＝－1时，由g (x ＋3)＝－g (x )得g (x ＋6)＝g (x )，得g (x )是以6为周期的函数，且当x ∈[3,6)时g (x )＝－(x －3)(x －3)2＋4值域为⎣⎡⎦⎤－14，0，从而g (x )的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤－14，14；(14分)(ⅳ) 当0＜ln m ＜1时，由g (3n ＋2)＝(ln m )n 4＜14，得g (x )的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤0，14；(15分) (ⅴ) 当－1＜ln m ＜0时，由ln m 4≤g (3n ＋2)＝(ln m )n 4≤14，从而g (x )的值域为闭区间⎣⎡⎦⎤－ln m 4，14. 综上知，当m ∈⎣⎡⎦⎤1e ，1∪(1，e]，即0＜ln m ≤1或－1≤ln m ＜0时，g (x )的值域为闭区间．(16分)20. (本题满分16分)已知数列{a n }单调递增，且各项非负．对于正整数K ，若任意的i 、j (1≤i ≤j ≤K )，a j －a i 仍是{a n }中的项，则称数列{a n }为“K 项可减数列”．(1) 已知数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，且数列{b n －2}是“K 项可减数列”，试确定K 的最大值；(2) 求证：若数列{a n }是“K 项可减数列”，则其前n 项的和S n ＝n2a n (n ＝1,2，…，K )；(3) 已知{a n }是各项非负的递增数列，写出(2)的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由.(1) 解：设c n ＝b n －2＝2n －2，则c 1＝0，c 2＝2，c 3＝6，易得c 1－c 1＝c 1，c 2－c 1＝c 2，c 2－c 2＝c 1，即数列{c n }一定是“2项可减数列”．(2分)但因为c 3－c 2≠c 1，c 3－c 2≠c 2，c 3－c 2≠c 3，所以K 的最大值为2.(4分)(2) 证明：因为数列{a n }是“K 项可减数列”，所以a K －a t (t ＝1,2，…，K )必定是数列{a n }中的项．而{a n }是递增数列，a K －a K ＜a K －a K －1＜a K －a K －2＜…＜a K －a 1，所以必有a K －a K ＝a 1，a K －a K －1＝a 2，a K －a K －2＝a 3，…，a K －a 1＝a K ，(6分) 故a 1＋a 2＋a 3＋…＋a K ＝(a K －a K )＋(a K －a K －1)＋(a K －a K －2)＋…＋(a K －a 1) ＝Ka K －(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a K )，所以S K ＝Ka K －S K ，即S K ＝K2a K .(8分)又由定义知，数列{a n }也是“t 项可减数列”(t ＝1,2，…，K －1)，所以S n ＝n2a n (n ＝1,2，…，K )．(9分)(3) 解：(2)的逆命题为：已知数列{a n }为各项非负的递增数列，若其前n 项的和满足 S n ＝n2a n (n ＝1,2，…，K )，则该数列一定是“K 项可减数列”．(10分)该逆命题为真命题．(11分) 理由如下：因为S n ＝n2a n (1≤n ≤K )，所以当n ≥2时，S n －1＝n －12a n －1，两式相减，得a n ＝S n －S n －1＝n2a n －n －12a n －1，即(n －2)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，(*)(12分) 则当n ≥3时，有(n －3)a n －1＝(n －2)a n －2，(**) 由(**)－(*)，得a n ＋a n －2＝2a n －1(n ≥3)．(13分)又a 1＝12a 1，所以a 1＝0，故数列a 1，a 2，…，a K 是首项为0的递增等差数列．(14分)设公差为d (d ＞0)，则a n ＝(n －1)d ，(n ＝1,2，…，K )，对于任意的i 、j (1≤i ≤j ≤K )，a j －a i ＝(j －i )d ＝a j －i ＋1.(15分) 因为1≤j －i ＋1≤K ，所以a j －a i 仍是a 1，a 2，…，a K 中的项．故数列{a n }是“K 项可减数列”．(16分)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. 选修4-1：几何证明选讲过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线P A ，切点为A ，连结OP 与⊙O 交于点C ，过C 作AP 的垂线，垂足为D .若P A ＝12 cm ，PC ＝6 cm ，求CD 的长．解：连结AO ，P A 为圆的切线，∴ △P AO 为Rt △，122＋r 2＝(r ＋6)2，(4分) ∴ r ＝9.(6分)又CD 垂直于P A ，于是PC PO ＝CD AO ，∴ CD ＝185 cm.(10分)B. 选修4-2：矩阵与变换已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤122x 的一个特征值为3，求其另一个特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4，(4分)因为λ1＝3方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.(7分)由(λ－1)(λ－1)－4＝0得λ2＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1.(10分)C. 选修4-4：坐标系与参数方程若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，它们相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：(1) 由ρ＝1得x 2＋y 2＝1，又ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝cos θ－3sin θ，∴ ρ2＝ρcos θ－3ρsin θ.(5分) ∴ x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－x ＋3y ＝0，得A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴ AB ＝⎝⎛⎭⎫1＋122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝ 3.(10分)D. 选修4-5：不等式选讲设a 1、a 2、a 3均为正数，且a 1＋a 2＋a 3＝m ，求证：1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m .证明：因为⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3m ＝(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥33a 1·a 2·a 3·331a 1·1a 2·1a 3＝9，当且仅当a 1＝a 2＝a 3＝m3时等号成立，(5分)又m ＝a 1＋a 2＋a 3＞0，所以1a 1＋1a 2＋1a 3≥9m .(10分)【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2＋y 24＝1在第一象限的部分为曲线C ，曲线C 上动点P (x 0，y 0)处的切线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM →＝OA →＋OB →.(1) 求切线l 的方程(用x 0表示)； (2) 求动点M 的轨迹方程．解：(1) 因为y ＝21－x 2，所以y ′＝22×11－x 2×(－2x )＝－2x1－x2，(3分)故切线l 的方程为y －21－x 20＝－2x 01－x 20(x －x 0)，即y ＝－2x 01－x 20x ＋21－x 20.(5分) (2) 设A (x 1,0)、B (0，y 2)，M (x ，y )是轨迹上任一点，在y ＝－2x 01－x 20x ＋21－x 20中令y ＝0，得x 1＝1x 0；令x ＝0，得y 2＝21－x 20，则由OM →＝OA →＋OB →，得⎩⎨⎧x ＝1x 0，y ＝21－x 20，(8分)消去x 0，得动点M 的轨迹方程为1x 2＋4y 2＝1(x ＞1)．(10分)23. 已知数列{a n }满足a n ＋1＝－a 2n ＋pa n (p ∈R )，且a 1∈(0,2)．试猜想p 的最小值，使得a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立，并给出证明．解：当n ＝1时，a 2＝－a 21＋pa 1＝a 1(－a 1＋p )，因为a 1∈(0,2)，所以欲a 2∈(0,2)恒成立．则要⎩⎪⎨⎪⎧p ＞a 1，p ＜a 1＋2a 1恒成立，解得2≤p ＜22，由此猜想p 的最小值为2.(4分)因为p ≥2，所以要证该猜想成立，只要证：当p ＝2时，a n ∈(0,2)对n ∈N *恒成立．(5分)现用数学归纳法证明之：① 当n ＝1时结论显然成立．(6分) ② 假设当n ＝k 时结论成立，即a k ∈(0, 2)，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝－a 2k ＋2a k ＝a k (2－a k )，一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )>0成立，(8分)另一方面，a k ＋1＝a k (2－a k )＝－(a k －1)2＋1≤1<2，所以a k ＋1∈(0, 2)，即当n ＝k ＋1时结论也成立．(9分)由①、②可知，猜想成立，即p 的最小值为2.(10分)。

2011年江苏数学高考试卷含答案和解析

2011年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_________．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________．7．（5分）已知，则的值为_________．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_________．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= _________．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为_________．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为_________．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B 解答：解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}点评：本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．解答：解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R 的错解．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是1．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部．解答：解：因为i（z+1）=﹣3+2i，所以i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；故答案为：1点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为3．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：3点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= 3.2．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．解答：解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，∴收到信件数的平均数是=7，∴该组数据的方差是，故答案为：3.2点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．7．（5分）已知，则的值为．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：计算题；方程思想．分析：先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．解答：解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为点评：本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是4．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题．分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，故答案为：4点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合．分析：根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0），（，﹣）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．解答：解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）点故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：计算题．分析：对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答：解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．解答：解：设切点坐标为（m，e m）∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）e m过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=e m+me﹣m∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0∴当m=1时t取最大值故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是[，2+]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．解答：解：依题意可知集合A表示一系列圆内点的集合，集合B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由可得m≤0或m≥当m≤0时，有||＞﹣m且||＞﹣m；则有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，又由m≤0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．解答：解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．解答：证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．解答：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x ＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，变形后，利用S n+1﹣S n=a n+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）当n大于k时，根据题意可得S n+k+S n﹣k=2（S n+S k），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a n﹣a n﹣1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a n﹣a n﹣1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a n﹣a n﹣1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a n﹣a n﹣1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．解答：解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n=2（S n+S1），﹣1即（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=2S1，又a1=1，则a n+1﹣a n=2a1=2，又a2=2，所以数列{a n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n≥2时，a n=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，所以a5=8；（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，且n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）①，且S n+1+k+S n+1﹣k=2（S n+1+S k）②，②﹣①得：（S n+1+k﹣S n+k）+（S n+1﹣k﹣S n﹣k）=2（S n+1﹣S n），即a n+1+k+a n+1﹣k=2a n+1，可化为：a n+1+k﹣a n+1=a n+1﹣a n+1﹣k所以n≥8时，a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n﹣3+a n+3=a n﹣6+a n+6，（*）且a n﹣2+a n+2=a n﹣6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n﹣2+a n+2，即a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，于是得到当n≥9时，a n﹣3，a n﹣1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n﹣3+a n+3=a n﹣1+a n+1，由（*）式可知：2a n=a n﹣1+a n+1，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，当n≥9时，设d=a n﹣a n﹣1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2（a n+7﹣a n+6）=a n+1﹣a n+（a n+13﹣a n+12），则a n+1﹣a n=2d﹣d=d，因此，a n﹣a n﹣1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n﹣k﹣2S n=2S k，可化为：（S n+k﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣k）=2S k，当k=3时，（S n+3﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．考点：椭圆的参数方程．专题：数形结合；转化思想．分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．B、设向量=，由 A2=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量．C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程．D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集．解答：解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2为定值．B、A2==，设向量=，由 A2=可得=，∴，解得 x=﹣1，y=2，∴向量=．C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），直线（t为参数）即 x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为y﹣0=（x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0．D、原不等式可化为，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜}．点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．（2）利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A （1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），（1）因为θ=90°，所以解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．考点：数列递推式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A n中元素个数有关，直接写出A n的表达式即可．（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，讨论f n（k）≥1的情形，推出f n（k）=n﹣3k，根据k的范围，说明n﹣1是3的倍数和余数，然后求出B n．解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以A n=n﹣3；（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，只要讨论f n（k）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，知f n（k）=n﹣3k且，设n﹣1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以B n===mn﹣=将m=代入上式，化简得B n=所以B n=点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．。

2011年江苏数学高考试卷含答案和解析

2011年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_________．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________．7．（5分）已知，则的值为_________．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_________．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）= _________．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为_________．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为_________．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_________．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_________．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是_________．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={﹣1，2}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据已知中集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，根据集合交集运算法则我们易给出A∩B 解答：解：∵集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，∴A∩B={﹣1，2}故答案为：{﹣1，2}点评：本题考查的知识点是集合交集及其运算，这是一道简单题，利用交集运算的定义即可得到答案．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：要求函数的单调区间，我们要先求出函数的定义域，然后根据复合函数“同增异减”的原则，即可求出函数的单调区间．解答：解：要使函数的解析有有意义则2x+1＞0故函数的定义域为（﹣，+∞）由于内函数u=2x+1为增函数，外函数y=log5u也为增函数故函数f（x）=log5（2x+1）在区间（﹣，+∞）单调递增故函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）故答案为：（﹣，+∞）点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，其中本题易忽略定义域，造成答案为R 的错解．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是1．考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：复数方程两边同乘i，化简后移项可得复数z，然后求出它的实部．解答：解：因为i（z+1）=﹣3+2i，所以i•i（z+1）=﹣3i+2i•i，所以z+1=3i+2，z=1+3i它的实部为：1；故答案为：1点评：本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，考查计算能力，常考题型．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为3．考点：伪代码．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数 m=的值，∵a=2＜b=3，∴m=3故答案为：3点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题．分析：根据题意，首先用列举法列举从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数的全部情况，可得其情况数目，进而可得其中一个数是另一个的两倍的情况数目，由古典概型的公式，计算可得答案．解答：解：从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6种情况；其中其中一个数是另一个的两倍的有两种，即（1，2），（2，4）；则其概率为=；故答案为：．点评：本题考查古典概型的计算，解本题时，用列举法，注意按一定的顺序，做到不重不漏．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2= 3.2．考点：极差、方差与标准差．专题：计算题．分析：首先根据所给的这组数据求出这组数据的平均数，再利用求方差的公式，代入数据求出这组数据的方差，得到结果．解答：解：∵收到信件数分别是10，6，8，5，6，∴收到信件数的平均数是=7，∴该组数据的方差是，故答案为：3.2点评：本题考查求一组数据的方差，对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，方差分别表示一组数据的特征，这样的问题可以出现在选择题或填空题．7．（5分）已知，则的值为．考点：二倍角的正切；两角和与差的正切函数．专题：计算题；方程思想．分析：先利用两角和的正切公式求得tanx的值，从而求得tan2x，即可求得．解答：解：∵，∴=2，解得tanx=；∴tan2x===∴==故答案为点评：本题考查了二倍角的正切与两角和的正切公式，体现了方程思想，是个基础题．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是4．考点：两点间距离公式的应用．专题：计算题．分析：由题意和函数的图象关于原点对称知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，写出直线的方程，求出直线与函数的交点坐标，利用两点之间的距离公式得到结果．解答：解：由题意知当过原点的直线的斜率是1时，直线与函数图形的交点之间的距离最短，而y=x与y=的两个交点的坐标是（，）（﹣，﹣），∴根据两点之间的距离公式得到|PQ|===4，故答案为：4点评：本题考查反比例函数的图形的特点，考查直线与双曲线之间的交点坐标的求法，考查两点之间的距离公式，是一个综合题目．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ），（A，ω，ϕ是常数，A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f（0）=．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；数形结合．分析：根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，0），（，﹣）点，我们易结合A＞0，w＞0求出满足条件的A、ω、φ的值，进而求出满足条件的函数f（x）的解析式，将x=0代入即可得到f（0）的值．解答：解：由的图象可得函数的周期T满足=解得T=π=又∵ω＞0，故ω=2又∵函数图象的最低点为（，﹣）点故A=且sin（2×+φ）=﹣即+φ=故φ=∴f（x）=sin（2x+）∴f（0）=sin=故答案为：点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中利用已知函数的图象求出满足条件的A、ω、φ的值，是解答本题的关键．10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若•=0，则实数k的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出，列出方程求出k．解答：解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：点评：本题考查向量的数量积公式、考查向量的运算律、考查向量模的平方等于向量的平方．11．（5分）已知实数a≠0，函数，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．考点：函数的值；分段函数的应用．专题：计算题．分析：对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．解答：解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a解得a=舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=故答案为点评：本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：先设切点坐标为（m，e m），然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=m处的导数，从而求出切线的斜率，求出切线方程，从而求出点M的纵坐标，同理可求出点N的纵坐标，将t用m表示出来，最后借助导数的方法求出函数的最大值即可．解答：解：设切点坐标为（m，e m）∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）令x=0，解得y=（1﹣m）e m过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）令x=0，解得y=e m+me﹣m∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0∴当m=1时t取最大值故答案为：点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题．13．（5分）设 1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：计算题；压轴题．分析：利用等差数列的通项公式将a6用a2表示，求出a6的最小值进一步求出a7的最小值，利用等比数列的通项求出公比的范围．解答：解：方法1：∵1=a1≤a2≤…≤a7； a2，a4，a6成公差为1的等差数列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值为3，∴a7的最小值也为3，此时a1=1且a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，必有q＞0，∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，方法2：由题意知1=a1≤a2≤…≤a7；中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，得，所以，即q3﹣2≥1，所以q3≥3，解得q≥，故q的最小值是：．故答案为：．点评：解决等差数列、等比数列的综合问题一般利用通项公式、前n项和公式列出方程组，解方程组求解．即基本量法．14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是[，2+]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可把问题转换为圆与直线有交点，即圆心到直线的距离小于或等于半径，进而联立不等式组求得m的范围．解答：解：依题意可知集合A表示一系列圆内点的集合，集合B表示出一系列直线的集合，要使两集合不为空集，需直线与圆有交点，由可得m≤0或m≥当m≤0时，有||＞﹣m且||＞﹣m；则有﹣m＞﹣m，﹣m＞﹣m，又由m≤0，则2＞2m+1，可得A∩B=∅，当m≥时，有||≤m或||≤m，解可得：2﹣≤m≤2+，1﹣≤m≤1+，又由m≥，则m的范围是[，2+]；综合可得m的范围是[，2+]；故答案为[，2+]．点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系．一般是利用数形结合的方法，通过圆心到直线的距离来判断．二、解答题（共9小题，满分120分）15．（14分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c（1）若，求A的值；（2）若，求sinC的值．考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：（1）利用两角和的正弦函数化简，求出tanA，然后求出A的值即可．（2）利用余弦定理以及b=3c，求出a与c 的关系式，利用正弦定理求出sinC的值．解答：解：（1）因为，所以sinA=，所以tanA=，所以A=60°（2）由及a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=b2﹣c2故△ABC是直角三角形且B=所以sinC=cosA=点评：本题是基础题，考查正弦定理的应用，两角和的正弦函数的应用，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：证明题．分析：（1）要证直线EF∥平面PCD，只需证明EF∥PD，EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD 即可．（2）连接BD，证明BF⊥AD．说明平面PAD∩平面ABCD=AD，推出BF⊥平面PAD；然后证明平面BEF⊥平面PAD．解答：证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD所以直线EF∥平面PCD．（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．点评：本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题．分析：（1）可设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），写出a，h与x的关系式，并注明x的取值范围．再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式，最后求出何时它取得最大值即可；（2）利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式，最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可．解答：解：设包装盒的高为h（cm），底面边长为a（cm），则a=x，h=（30﹣x），0＜x ＜30．（1）S=4ah=8x（30﹣x）=﹣8（x﹣15）2+1800，∴当x=15时，S取最大值．（2）V=a2h=2（﹣x3+30x2），V′=6x（20﹣x），由V′=0得x=20，当x∈（0，20）时，V′＞0；当x∈（20，30）时，V′＜0；∴当x=20时，包装盒容积V（cm3）最大，此时，．即此时包装盒的高与底面边长的比值是．点评：考查函数模型的选择与应用，考查函数、导数等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力．属于基础题．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；证明题；压轴题；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）由题设写出点M，N的坐标，求出线段MN中点坐标，根据线PA过原点和斜率公式，即可求出k的值；（2）写出直线PA的方程，代入椭圆，求出点P，A的坐标，求出直线AB的方程，根据点到直线的距离公式，即可求得点P到直线AB的距离d；（3）要证PA⊥PB，只需证直线PB与直线PA的斜率之积为﹣1，根据题意求出它们的斜率，即证的结果．解答：解：（1）由题设知，a=2，b=，故M（﹣2，0），N（0，﹣），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣）．由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，所以k=．（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得，解得x=±，因此P（，），A（﹣，﹣）于是C（，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣=0．因此，d=．（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．因为C在直线AB上，所以k2=，从而kk1+1=2k1k2+1=2•===．因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．点评：此题是个难题．考查椭圆的标准方程和简单的几何性质，以及直线斜率的求法，以及直线与椭圆的位置关系，体现了方程的思想和数形结合思想，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）先求出函数f（x）和g（x）的导函数，再利用函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致即f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立，以及3x2+a＞0，来求实数b的取值范围；（2）先求出f'（x）=0的根以及g'（x）=0的根，再分别求出两个函数的单调区间，综合在一起看何时函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，进而求得|a﹣b|的最大值．解答：解：f'（x）=3x2+a，g'（x）=2x+b．（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[﹣1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x2+a＞0，进而2x+b≥0，即b≥﹣2x在[﹣1，+∞）上恒成立，所以b≥2．故实数b的取值范围是[2，+∞）（2）令f'（x）=0，得x=．若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．因此b≤0．现设b≤0，当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0；当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）＞0．因此，当x∈（﹣∝，﹣）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥﹣且b≥﹣，从而﹣≤a＜0，于是﹣＜b＜0，因此|a﹣b|≤，且当a=﹣，b=0时等号成立，又当a=﹣，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x2﹣），从而当x∈（﹣，0）时f'（x）g'（x）＞0．故函数f（x）和g（x）在（﹣，0）上单调性一致，因此|a﹣b|的最大值为．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．20．（16分）设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；（2）设M={3，4}，求数列{a n}的通项公式．考点：数列递推式；数列与函数的综合．专题：综合题．分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S n+1+S n﹣1=2（S n+S1）都成立，变形后，利用S n+1﹣S n=a n+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；（2）当n大于k时，根据题意可得S n+k+S n﹣k=2（S n+S k），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②﹣①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a n﹣a n﹣1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a n﹣a n﹣1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a n﹣a n﹣1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a n﹣a n﹣1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．解答：解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n=2（S n+S1），﹣1即（S n+1﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣1）=2S1，又a1=1，则a n+1﹣a n=2a1=2，又a2=2，所以数列{a n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n≥2时，a n=a2+2（n﹣2）=2n﹣2，所以a5=8；（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，且n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）①，且S n+1+k+S n+1﹣k=2（S n+1+S k）②，②﹣①得：（S n+1+k﹣S n+k）+（S n+1﹣k﹣S n﹣k）=2（S n+1﹣S n），即a n+1+k+a n+1﹣k=2a n+1，可化为：a n+1+k﹣a n+1=a n+1﹣a n+1﹣k所以n≥8时，a n﹣6，a n﹣3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n﹣6，a n﹣2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n﹣3+a n+3=a n﹣6+a n+6，（*）且a n﹣2+a n+2=a n﹣6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n﹣2+a n+2，即a n+2﹣a n=a n﹣a n﹣2，于是得到当n≥9时，a n﹣3，a n﹣1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n﹣3+a n+3=a n﹣1+a n+1，由（*）式可知：2a n=a n﹣1+a n+1，即a n+1﹣a n=a n﹣a n﹣1，当n≥9时，设d=a n﹣a n﹣1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2（a n+7﹣a n+6）=a n+1﹣a n+（a n+13﹣a n+12），则a n+1﹣a n=2d﹣d=d，因此，a n﹣a n﹣1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n﹣k﹣2S n=2S k，可化为：（S n+k﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣k）=2S k，当k=3时，（S n+3﹣S n）﹣（S n﹣S n﹣3）=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2（S4﹣S3）=2a4=16d﹣9d=7d，解得a4=d，因为a4﹣a3=d，解得a3=d，同理a2=d，a1=，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （ O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：x+|2x﹣1|＜3．考点：椭圆的参数方程．专题：数形结合；转化思想．分析：A、如图，利用 EC∥DB，AB：AC=AD：AE=2r1：2r2，证出结论．B、设向量=，由 A2=，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和 y 的值，从而求得向量．C、把椭圆的参数方程化为普通方程，求出右焦点的坐标，把直线参数方程化为普通方程，求出斜率，用点斜式求得所求直线的方程．D、原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的解集，再把解集取并集．解答：解：A、如图：连接AO1并延长，交两圆于D，E，则O2在AD上，根据直径对的圆周角等于90°可得，∠ACE=∠ABD=90°，∴EC∥DB，∴AB：AC=AD：AE=2r1：2r2=r1：r2为定值．B、A2==，设向量=，由 A2=可得=，∴，解得 x=﹣1，y=2，∴向量=．C、椭圆（φ为参数）的普通方程为+=1，右焦点为（4，0），直线（t为参数）即 x﹣2 y+2=0，斜率等于，故所求的直线方程为y﹣0=（x﹣4），即 x﹣2 y﹣4=0．D、原不等式可化为，或，解得≤x＜，或﹣2＜x＜，故不等式的解集为 {x|﹣2＜x＜}．点评：本题考查圆与圆的位置关系，参数方程与普通方程的互化，矩阵的运算法则，绝对值不等式的解法．22．（10分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．考点：向量在几何中的应用．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），通过，求出平面DMN的法向量为，，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用θ=90°求出M的坐标，然后求出AM的长．（2）利用cos=以及，求出CM 的长．解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，D﹣xyz，设CM=t（0≤t≤2），则各点的坐标为A （1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=﹣t，x1=2t所以=（2t，﹣t，1），设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=﹣2所以=（﹣2，1，1），（1）因为θ=90°，所以解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，cos==因为=θ或π﹣θ，所以=解得t=0或t=根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为．点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．考点：数列递推式．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，显然P（a，b）的坐标的差值，与A n中元素个数有关，直接写出A n的表达式即可．（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，讨论f n（k）≥1的情形，推出f n（k）=n﹣3k，根据k的范围，说明n﹣1是3的倍数和余数，然后求出B n．解答：解：（1）点P的坐标中，满足条件：1≤b=a﹣3≤n﹣3，所以A n=n﹣3；（2）设k为正整数，记f n（k）为满足题设条件以及a﹣b=3k的点P的个数，只要讨论f n（k）≥1的情形，由1≤b=a﹣3k≤n﹣3k，知f n（k）=n﹣3k且，设n﹣1=3m+r，其中m∈N+，r∈{0，1，2}，则k≤m，所以B n===mn﹣=将m=代入上式，化简得B n=所以B n=点评：本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，解题中注意整除知识的应用，转化思想的应用．。

2011年江苏数学高考试卷含答案和解析

精心整理2011年江苏数学高考试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）已知集合A={﹣1，1，2，4}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=_________．2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是_________．3．（5分）设复数z满足i（z+1）=﹣3+2i（i为虚数单位），则z的实部是_________．4．（5分）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值为_________．5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是_________．6．（5分）某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差s2=_________．7．（5分）已知，则的值为_________．分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，函数，若设集合，）若，求）若，求AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD．17．（14分）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．20．（16∈M，当整数n＞k（1）设（2）设21．（10如图，圆1不在AB 上）B．选修4已知矩阵，向量．求向量，使得2=．C．选修4中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线D．选修422．（10CC1上．设二面角A1（2）当23．（10＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点（2）记B n为满足2011年江苏数学高考试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）2．（5分）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是（﹣，+∞）．故函数的定义域为（﹣，）在区间（﹣（﹣，，m=的值，代入m=5．（5分）从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是．则其概率为=故答案为：∴收到信件数的平均数是=7∴该组数据的方差是，分）已知，则的值为，即可求得解：∵，∴=2；=∴=故答案为8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQy=的两个交点的坐标是（，（﹣，﹣|PQ|=．根据已知的函数图象，我们根据函数图象过（，（，﹣=又∵函数图象的最低点为（，﹣）点A=且sin×+﹣即=sin2x+）sin=故答案为：10．（5分）已知，是夹角为的两个单位向量，=﹣2，=k+，若?=0，则实数k的值为．利用向量的数量积公式求出；利用向量的运算律求出解：∵是夹角为的两个单位向量∴∴==∵∴解得故答案为：，函数，若a=故答案为12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．t=[取最大值故答案为：≥，等差数列，得，所以的最小值是：故答案为：14．（5分）设集合，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠?，则实数m的取值范围是[，2+]．两集合不为空集，需直线与圆有交点，由||||则有﹣，m|||2+﹣1+，则[2+[，][，]，求）若，求）因为所以sinA=tanA=B=16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；x（（﹣此时，即此时包装盒的高与底面边长的比值是18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；b=，﹣，﹣）．，代入椭圆方程得，解得±，（）（﹣，﹣）（=0d=．+1=2?=．19．（16分）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；x=﹣﹣从而﹣≤，于是﹣＜﹣﹣，﹣，）在（﹣，的最大值为．，当整数n＞k时，S n+k+S n﹣k=2（S n+S k）都成立（1）设M={1}，a2=2，求a5的值；dd d，21．（10分）A．选修4﹣1：几何证明选讲如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2）．圆O1的弦AB交圆O2于点C （O1不在AB 上）．求证：AB：AC为定值．B．选修4﹣2：矩阵与变换已知矩阵，向量．求向量，使得A2=．C．选修4﹣4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（φ为参数）的右焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程．D．选修4﹣5：不等式选讲（本小题满分10分）、设向量=2=从而求得向量．原不等式可化为，或，分别解出这两个不等式组的，设向量=，由2==，∴，解得∴向量=．、椭圆（为参数）的普通方程为+直线（，故所求的直线方程为（，或，≤＜＜}111111上．设二面角A1﹣DN﹣M的大小为θ（1）当θ=90°时，求AM 的长；（2）当时，求CM 的长．通过，，，的法向量为推出（cos以及，所以=，.，的法向量为，则，，所以==，则，=解得t=，AM=）因为，所以，cos==因为=，所以t=t=的长为．23．（10分）设整数n≥4，P（a，b）是平面直角坐标系xOy 中的点，其中a，b∈{1，2，3，…，n}，a＞b．（1）记A n为满足a﹣b=3 的点P 的个数，求A n；（2）记B n为满足是整数的点P 的个数，求B n．，说明，设====本题是难题，考查数列通项公式的求法，数列求和的方法，考查发现问题解决问题的能力，。

盐城市2011届高三第一次调研考试数学试题

第6题江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．1．已知集合{}{}4,2,0,2,4,|13=--=-<<P Q x x ，则P Q = ． 2．若复数1234,12(z i z i i =+=+是虚数单位)，则12-z z = ． 3．命题：,sin 2x R x ∀∈<的否定是．4．某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人， 50岁及以上的有30人．现在用分层抽样的方法抽取20人进行问卷调查，则35岁到49岁的应抽取人．5．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．6．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S= ． 7．函数23cos(2)4π=--y x x 的最小正周期为． 8．观察下列几个三角恒等式：①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan5tan100tan100tan(15)+- tan(15)tan51+-= ； ③tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=．一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论为． 9．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ，则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为．10．设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩y x y x x y ，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为35，则a b +的最小值为．11．已知平面,,αβγ，直线,l m 满足：,,,αγγαγβ⊥==⊥ m l l m ，那么①m β⊥； ②l α⊥； ③βγ⊥； ④αβ⊥．可由上述条件可推出的结论有 (请将你认为正确的结论的序号都填上)．12．在ABC ∆中，60ACB ∠=，sin :sin 8:5A B =，则以,A B 为焦点且过点C 的椭圆的离心率为．13．已知{n a }是公差不为0的等差数列，{n b } 是等比数列，其中1122432,1,,2a b a b a b ====，且存在第15题 C 1ABCDEFA 1B 1 第16题第17题常数α、β ，使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立，则βα= ．14．已知函数2342011()12342011=+-+-+⋅⋅⋅+x x x x f x x ，2342011()12342011=-+-+-⋅⋅⋅-x x x x g x x ，设()(3)(3)=+⋅-F x f x g x ，且函数()F x 的零点均在区间[,](,,)<∈a b a b a b Z 内，则-b a 的最小值为．二．解答题：本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．15．（本小题满分14分）如图，O 为坐标原点，点,,A B C 均在⊙O 上，点A 34(,55，点B 在第二象限，点C (1,0)．（1）设COA θ∠=，求sin 2θ的值；（2）若AOB ∆为等边三角形，求点B 的坐标． 16．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点， D 为棱CC 1上任一点．（1）求证：直线EF ∥平面ABD ；（2）求证：平面ABD ⊥平面BCC 1B 1． 17．（本小题满分16分）已知抛物线:C 22(0)y px p =>的准线为l ，焦点为F ．⊙M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切．过原点O 作倾斜角为3π的直线n ，交l 于点A ，交⊙M 于另一点B ，且2AO OB ==．（1）求⊙M 和抛物线C 的方程；（2）若P 为抛物线C 上的动点，求PM PF ⋅的最小值；（3）过l 上的动点Q 向⊙M 作切线，切点为,S T ，求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标．18．（本小题满分14分）因发生意外交通事故，一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中．为了治污，根据环保部门的建议，现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂．已知每投放(14≤≤a a ，且)∈a R 个单位的药剂，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (天)变化的函数关系式近似为()y a f x =⋅，其中161(04)8()15(410)2⎧-≤≤⎪⎪-=⎨⎪-<≤⎪⎩x xf x x x ．若多次投放，则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效治污的作用．（1）若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天?（2）若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放a 个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效治污，试求a 的最小值(精确到0.11.4)． 19．（本小题满分16分）已知数列{}n a 满足12,a =前n 项和为n S ，11()2()n n npa n n a a n n ++-⎧=⎨--⎩为奇数为偶数．（1）若数列{}n b 满足221(1)n n n b a a n +=+≥，试求数列{}n b 前n 项和n T ；（2）若数列{}n c 满足2n n c a =，试判断{}n c 是否为等比数列，并说明理由；（3）当12p =时，问是否存在*n N ∈，使得212(10)1n n S c +-=，若存在，求出所有的n 的值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分16分）已知函数2()|ln 1|f x x a x =+-，()||22ln 2,0g x x x a a =-+->．（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[1,]e 上的最大值；（2）若3(),[1,)2f x a x ≥∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（3）对任意1[1,)x ∈+∞，总存在惟一．．的．2[2,)x ∈+∞，使得12()()f xg x =成立，求a 的取值范围．附加题部分21．（选做题）在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． A ．（选修4—1：几何证明选讲）如图，AB 是⊙O 的直径，,C F 是⊙O 上的两点，⊥OC AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连结CF 交AB 于点E ．求证：2DE DB DA =⋅． B ．（选修4—2：矩阵与变换）求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量． C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，直线l 的参数方程是32,545x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值． D ．（选修4—5：不等式选讲）A D第21-A 题已知0>m ， a ， b ∈R ，求证：()222a mba mb ++≤．（必做题）第22、23题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）设,m n N ∈，()(12)(1)m n f x x x =+++．（1）当m n ==2011时，记220110122011()f x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，求0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-；（2）若()f x 展开式中x 的系数是20，则当m 、n 变化时，试求2x 系数的最小值．23．（本小题满分10分）有一种闯三关游戏规则规定如下：用抛掷正四面体型骰子（各面上分别有1，2，3，4点数的质地均匀的正四面体）决定是否过关，在闯第(1,2,3)n n =关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于2n 时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．（1）求仅闯过第一关的概率；（2）记成功闯过的关数为ξ，求ξ的分布列和期望．参考答案一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．1．{}0,2 2．22+i 3．,sin 2∃∈≥x R x 4．5 5．346．61 7．π 8．90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时 9．22(2)(2)10-+-=x y 10．8 11．②④ 12．71313．4 14．9 二．解答题：本大题共6小题，计90分． 15．解：（1）因为34cos ,sin 55θθ==，所以24sin 22sin cos 25θθθ==．（2）因为AOB ∆为等边三角形，所以60AOC ∠=，所以cos cos(60)∠=∠+BOC AOC =同理，sin BOC ∠=，故点A 的坐标为． 16．证明：（1）因为E 、F 分别为11AC 、11B C 的中点，所以11////EF AB AB ．而EF ABD ⊄面， AB ABD ⊂面，所以直线EF ∥平面ABD ．（2）因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以1AB BB ⊥，又AB BC ⊥，而1BB ⊂面11BCC B ，BC ⊂面11BCC B ，且1BB BC B = ，所以AB ⊥面11BCC B ，又AB ABD ⊂面，所以平面ABD ⊥平面11BCC B ．17．（1）解：因为1cos 602122p OA =⋅=⨯= ，即2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．设⊙M 的半径为r ，则122cos 60OB r =⋅= ，所以M 的方程为22(2)4x y -+=．（2）解：设(,)(0)P x y x ≥，则(2,)(1,)PM PF x y x y ⋅=----=222322x x y x x -++=++，所以当0x =时， PM PF ⋅有最小值为2．（3）证明：以点Q 这圆心，QS 为半径作⊙Q ，则线段ST 即为⊙Q 与⊙M 的公共弦．设点(1,)Q t -，则22245QS QM t =-=+，所以⊙Q 的方程为222(1)()5x y t t ++-=+ 从而直线QS 的方程为320x ty --=(*)．因为230x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩一定是方程(*)的解，所以直线QS 恒过一个定点，且该定点坐标为2(,0)3．18．解：（1）因为4a =，所以644(04)8202(410)x y x x x ⎧-≤≤⎪=-⎨⎪-<≤⎩则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥，所以此时04x ≤≤；当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，所以此时48x <≤．综合，得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效治污时间可达8天．（2）当610x ≤≤时，1162(5)(1)28(6)y x a x =⨯-+---=161014a x a x -+--=16(14)414a x a x -+---，因为14[4,8]x -∈，而14a ≤≤，所以[4,8]，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤≤，所以a的最小值为24 1.6-≈．19．解：（1）据题意得2214n n n b a a n +=+=-，所以{}n b 成等差数列，故222n T n n =--．（2）当12p =时，数列{}n c 成等比数列；当12p ≠时，数列{}n c 不为等比数列．理由如下：因为122212n n n c a p a n +++==+2(4)2np a n n =--+42n pc pn n =--+，所以12(12)n n nc n p p c c +-=-+，故当12p =时，数列{}n c 是首项为1，公比为12-等比数列；当12p ≠时，数列{}n c 不成等比数列．（3）当12p =时，121()2n n n a c -==-，121214()2n n n n a b a n -+=-=---．因为21112...n n S a b b b +=++++=2222n n --+(1n ≥)，212(10)1n n S c +-= ，244164nn n ∴++=，设2()44416x f x x x =---(2)x ≥，则()()4ln 484x g x f x x '==--，2()(ln 4)480x g x '∴=->(2)x ≥，且(2)(2)0g f '=>，()f x ∴在[2,)+∞递增，且(30f =），(1)0f ≠， ∴仅存在惟一的3n =使得212(10)1n n S c +-=成立．20．解：（1）当1a =，[1,]x e ∈时2()ln 1f x x x =-+，1()2(1)1f x x f x''=-≥=，所以()f x 在[1,]e 递增，所以2max ()()f x f e e ==．（2）①当e x ≥时，a x a x x f -+=ln )(2，xax x f +='2)(，0>a ，0)(>∴x f 恒成立， )(x f ∴在),[+∞e 上增函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==；②当e x <≤1时，2()ln =-+f x x a x a ，)2)(2(22)(a x a x x x a x x f -+=-=' （ⅰ）当,12≤a即20≤<a 时，)(x f '在),1(e x ∈时为正数，所以)(x f 在区间),1[e 上为增函数，故当1=x 时，a y +=1min ，且此时)()1(e f f <2=e ，（ⅱ）当e a <<21，即222e a <<时，)(x f '在)2,1(a x ∈时为负数，在间),2(e ax ∈ 时为正数，所以)(x f 在区间)2,1[a 上为减函数，在],2(e a 上为增函数，故当2ax =时，2ln 223min a a a y -=，且此时)()2(e f af <2=e ，（ⅲ）当e a≥2，即 22e a ≥时，)(x f '在),1(e x ∈时为负数，所以)(x f 在区间[1，e]上为减函数，故当e x =时，2min )(e e f y ==．综上所述，函数)(x f y =的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧>≤<-≤<+=222min2,22,2ln 22320,1e a e e a a a a a a y 所以当312a a +≥时，得02a <≤；当33ln 2222a a a a -≥(222a e <<)时，无解；当232e a ≥ （22a e ≥）时，得a ≤不成立．综上，所求a 的取值范围是02a <≤．（3）①当02a <≤时，()g x 在[2,)+∞单调递增，由(2622ln 21g a a =--≤+），得52ln 2233a -≤≤； ②当122a <≤时，()g x 在[2,)+∞先减后增，由3(2222ln 2ln 222=--<-）a a ag a ，得ln 22ln 20222a a a +--<，设()ln 22ln 2(2a h t t t t t =+--=，()2ln 0(12)h t t t '=+><<，所以()h t 单调递增且(2)0h =，所以()0h t <恒成立得24a <<；③当222a e <<时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2aa 递减，在[,)a +∞递增，所以由(2a g 3ln 222a a a <-，得23ln 22ln 204222a a a a-++-<，设2()3ln 22ln 2m t t t t t =-++-，则2()22ln 0((2,)m t t t t e '=-+>∈，所以()m t 递增，且(2)0m =，所以()0m t >恒成立，无解．④当22a e >时，()f x 在[2,]2a 递增，在[,]2a a 递减，在[,)a +∞递增，所以由(2ag e <得2222ln 204a e -+-<无解．综上，所求a 的取值范围是52[ln 2,4)33a ∈-．附加题部分21．A ．证明：连结OF ，因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°，所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ，又因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ，因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB·DA ，所以DE 2=DB·DA ． B ．解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--．由()0f λ=，解得121,3λλ==．将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y 0⇒+=x y ，可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量．同理，当23λ=时，由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩，所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述，矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin ρρθ=．又222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．（2）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得4(2)3y x =--．令0y =，得2x =，即M 点的坐标为(2，0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(1，0)，半径1r =，则MC 所以1MN MC r +≤． D ．证明：因为0m >，所以10m +>，所以要证()222a mba mb ++≤，即证222()(1)()a mb m a mb +≤++，即证22(2)0m a ab b -+≥，即证2()0a b -≥，而2()0a b -≥显然成立，故()22211a mba mb m m++≤++． 22．解：（1）令1x =-，得0122011a a a a -+-⋅⋅⋅-=20112011(12)(11)1-+-=-．（2）因为112220m n C C m n +=+=，所以202n m =-，则2x 的系数为2222m nC C +(1)42m m -=⨯ (1)2n n -+222m m =-1(202)(192)2m m +--=2441190m m -+，所以当5,10m n ==时，()f x 展开式中2x 的系数最小，最小值为85．23．解：（1）记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ，则339()41664P A =⋅=．（2）由题意得，ξ的取值有0，1，2，3，且1(0)4p ξ==，9(1)64p ξ==，(2)p ξ==3135641664⋅⋅273512=，(3)p ξ==313841664⋅⋅39=，即随机变量ξ的概率分布列为：所以，10123464512512512E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．。

江苏省盐城市2011--2012学年度高三年级摸底考试数学试题(WORD版,有答案)

江苏省盐城市2011-2012学年度高三年级摸底考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上. 1．已知集合{}{}2,0,2,4,|03P Q x x =-=<<，则P Q = ▲ .2．命题“0sin ,>∈∀x R x ”的否定是 ▲ .3. 已知复数(2)(z i i i =-为虚数单位)，则z = ▲ .4. 已知等差数列{}n a 满足3710a a +=，则该数列的前9项和9S = ▲ .5．4张卡片上分别写有数字0抽取不同的2率为 ▲ .6. 某校举行2011据的平均值为 ▲ .78．已知向量(3,1),(==-a b 数λ的值为 ▲ .9. 在平面上,为 ▲ . 10．若sin()(0,0,||)2y A x A πωϕωϕ=+>><的最小值为2-，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点，则其解析式是 ▲ .11.如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 ▲ .12.与直线3x =相切，且与圆22(1)(1)1x y +++=相内切的半径最小的圆的方程是 ▲ .13.已知函数2()|6|f x x =-，若0a b <<,且()()f a f b =，则2a b 的最小值是 ▲ .7 98 4 4 4 6 7 9 3第6题第11题14.设等差数列{}n a 满足：公差*d N ∈，*n a N ∈，且{}n a 中任意两项之和也是该数列中的一项. 若513a =，则d 的所有可能取值之和为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)如图，正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点. （Ⅰ）求证: AD ⊥平面11BCC B ；（Ⅱ）求证:1A C平面1AB D .16．(本小题满分14分)如图，在ABC ∆中，BC（Ⅰ）求sin BAD ∠的值；（Ⅱ）求AC 边的长．17．(本小题满分14分)某市出租汽车的收费标准如下：在3km 以内(含3km )的路程统一按起步价7元收费，超过．．3km 以外的路程按2.4元/km 收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分:一是固定费用约为2.3元；二是燃油费，约为1.6元/km ；三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km 时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm .(Ⅰ)试将出租汽车一次载客的收费F 与成本C 分别表示为x 的函数；(Ⅱ)若一次载客的路程不少于2km ,则当x 取何值时，该市出租汽车一次载客每km 的收益ABCDA 1B 1C 1B 第16题y (F Cy x-=)取得最大值?18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，(0,8)A ，直线(08)y t t =<<与线段1AF 、2AF 分别交于点P 、Q .(Ⅰ)当3t =时，求以12,F F 为焦点，且过PQ 中点的椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点Q 作直线1QRAF 交12F F 于点R ，记1PRF ∆的外接圆为圆C .① 求证:圆心C 在定直线7480x y ++=上；② 圆C 是否恒过异于点1F 的一个定点?若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()ln(2)f x x =+. (Ⅰ)当0x <时，求()f x 的解析式；(Ⅱ)当m R ∈时，试比较(1)f m -与(3)f m -的大小；第18题(Ⅲ)求最小的整数(2)m m ≥-，使得存在实数t ，对任意的[,10]x m ∈，都有()2ln |3|f x t x +≤+.20．(本小题满分16分) 已知数列{}n a 满足11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅，*n N ∈，12a =.(Ⅰ)求2a ，3a 的值；(Ⅱ)设2121n n n b a a +-=-，*n N ∈，证明: {}n b 是等差数列；(Ⅲ)设212n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .江苏省盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题] 在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.A.（选修4—1：几何证明选讲）如图，圆O 的直径6AB =，C 为圆周上一点，3BC =，过点C作圆O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，D 为垂足，且AD 与圆O 交于点E ，求DAC ∠的度数与线段AE 的长.B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵A =1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ、2λ及对应的特征向量1α、2α.第21(A)题A· OB E l D CC ．（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C 的参数方程为2(x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，试判断l 与C 的位置关系.D.（选修4—5：不等式选讲）已知,,a b c 为正数，且22214a b c ++=，试求23a b c ++的最大值.[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22．（本小题满分10分）甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； (Ⅱ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列． 23．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB =90°，∠BAC =30°，1BC =，1AA =， M 是棱1CC 的中点.（Ⅰ）求证：1A B ⊥AM ；（Ⅱ）求直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值.ABMA 1B 1C 1盐城市2011/2012学年度高三年级摸底考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分. 1．{}2 2．,sin 0x R x ∃∈≤．45 5．136. 85 7．1 8．4 9.1:8 10.2sin(2)3y x π=+11．12 12.22125()(1)24x y -++= 13.－16 14. 364 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内. 15．(本小题满分14分)证:（Ⅰ）因为ABC ∆是正三角形,而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥……………………………… 3分又BC 是两个相互垂直的平面ABC 与面11BCC B 的交线,且AD ABC ⊂面,所以11AD BCC B ⊥面…………………………………………………………………………………… 7分（Ⅱ）连接1A B ,设11AB A B E =,则E 为1A B 的中点,连接DE ,由D 是BC 的中点,得DEAC ………11分又1DE AB D ⊂面,且11A C AB D ⊄面,所以1A C平面1AB D ………14分16．(本小题满分14分) 解:（Ⅰ）因为cos 8B =，所以sin 8B =…………………………………………………………2分又1cos 4ADC ∠=-,所以sin 4ADC ∠=………………………………………………………… 4分所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠1()48484=--⨯=………………………………………………………………………7分（Ⅱ）在ABD ∆中,由正弦定理,得sin sin AD BDB BAD =∠,84=,解得2BD =……………10分故2DC =,从而在ADC ∆中,由余弦定理,得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=22132232()164+-⨯⨯⨯-=,所以4AC =………………………………………………………14分 17．(本小题满分14分) 解: (Ⅰ) 703()7 2.4(3)3x F x x x <≤⎧=⎨+⨯->⎩7032.40.23x x x <≤⎧=⎨->⎩…………………………3分设折旧费2z kx =,将(100,0.1)代入,得.20.1100k =,解得5110k =……………………………………5分所以251() 2.3 1.610C x x x =++…………………………………………………………………………7分 (Ⅱ)因为F C y x -=,所以554.711.623102.510.8()310x x x y x x x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩……………………………………11分①当3x >时,由基本不等式,得0.80.79y ≤-=(当且仅当500x =时取等号)……………12分 ②当23x ≤≤时,由y 在[2,3]上单调递减,得max 554.7221.60.750.7921010y =--=-<…………13分答: 该市出租汽车一次载客路程为500km 时,每km 的收益y 取得最大值…………………………14分 18．(本小题满分16分)解:(Ⅰ)设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,当3t =时,PQ 的中点为(0,3),所以b=3 (3)分而2216a b -=,所以225a =，故椭圆的标准方程为221204x y +=……………………………………5分 (Ⅱ)①解法一:易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --,再由1QR AF ,得(4,0)R t -………………………………………8分则线段1F R 的中垂线方程为2t x =-, 线段1PF 的中垂线方程为151628t y x -=-+,由1516282t y x t x -⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得1PRF ∆的外接圆的圆心坐标为7(,2)28t t --…………………10分经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………………………………………… 11分解法二: 易得直线12:28;:28AF y x AF y x =+=-+,所以可得88(,),(,)22t tP t Q t --, 再由1QRAF ,得(4,0)R t -……………………………………………………………………8分设1PRF ∆的外接圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则2222(4)(4)0(4)4088()022t t D F y D F t t t D tE F ⎧⎪-+-+=⎪=--+=⎨⎪--⎪++++=⎩,解得744416D tE tF t =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩…………………………………10分所以圆心坐标为7(,2)28t t--,经验证,该圆心在定直线7480x y ++=上…………………11分 ②由①可得圆C 的方程为227(4)41604x y tx t y t +++-+-=……………………………13分该方程可整理为22(x y ++则由2241607404x y y x y ⎧++-=⎪⎨-+=⎪⎩所以圆C 恒过异于点1F 16分 19．(本小题满分16分)解: (Ⅰ)当0x <时，()f x 3分 (Ⅱ)当0x ≥时,()ln(f x x =)在(,0)-∞上单调递减,所以(1)f m -＞22(3)|1||3|(1)(3)f m m m m m -⇔->-⇔->-2m ⇔>………………6分所以当2m >时, (1)(3)f m f m ->-；当2m =时, (1)(3)f m f m -=-；当2m <时, (1)(3)f m f m -<-……………………………………………………………… 8分(Ⅲ)当x R ∈时,()ln(||2)f x x =+,则由()2ln |3|f x t x +≤+,得2ln(||2)ln(3)x t x ++≤+,即2||2(3)x t x ++≤+对[,10]x m ∈恒成立………………………………………………………12分从而有225777t x x t x x ⎧≤++⎨≥---⎩对[,10]x m ∈恒成立,因为2m ≥-，所以22min 22max (57)57(77)77t x x m m t x x m m ⎧≤++=++⎨≥---=---⎩………………………………………………………14分因为存在这样的t ,所以227757m m m m ---≤++,即2670m m ++≥…………………… 15分又2m ≥-,所以适合题意的最小整数1m =-………………………………………………………16分 20．(本小题满分16分) 解: (Ⅰ)因为11[2(1)][2(1)]1(1)3n n n n n a a n +++-++-=+-⋅ (*),且12a =,所以将1n =代入(*)式,得1232a a +=-,故28a =-……1分将2n =代入(*)式,得2337a a +=,故35a =…………2分 (Ⅱ)在(*)式中,用2n 代换n ,得2122221[2(1)][2(1)]1(1)6n n n n n a a n +++-++-=+-⋅,即221316n n a a n ++=+ ①,再在(*)式中,用21n -代换n ,得22121212[2(1)][2(1)]1(1)(63)n n n n n a a n ---+-++-=+-⋅-, 即212346n n a a n -+=- ②, ①－②,得21213()123n n a a n +--=-,即41n b n =-…………………6分则由1(4(1)1)(41)4n n b b n n +-=+---=,得{}n b 是等差数列……………………………………… 8分 (Ⅲ)因为12a =,由(Ⅱ)知,21131532123()()()k k k a a a a a a a a ---=+-+-+⋅⋅⋅+-2(411)(421)(4(1)1)k =+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯--=(1)(21)2k k --+ ③,将③代入②,得23(1)(21)646k k k a k --++=-,即22635k a k k =-+-………………………… 10分所以221211(21)2k k c a k --=+-=27452k k -+,2221(2)2k k c a k =+=2435k k -+-, 则212322k k c c k -+=--,所以21234212()()()k k k S c c c c c c -=++++⋅⋅⋅++=3[(21)2-⨯+3(22)2+⨯+3(2)]2k +⋅⋅⋅+⨯+23335[(21)(22)(2)]2222k k k -⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+=--……… 13分所以2222122511()(435)3522k k k S S c k k k k k k -=-=----+-=-+…………………………… 15分故221135(21)25(2)2n k k n k S k k n k ⎧-+=-⎪⎪=⎨⎪--=⎪⎩223512()45()4n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨+⎪-⎪⎩为数为数奇偶………………………………16分数学附加题部分21．A. 解: 连结OC ，因BC=OB=OC=3,因此060CBO ∠=,由于DCA CBO ∠=∠,所以060DCA ∠=，又AD DC ⊥，故030DAC ∠=…………………………………………………………………………5分又因为090ACB ∠=,得030CAB ∠=,那么060EAB ∠=,连接BE,则030ABE ∠=，于是132AE AB ==…………………………………………………………………………………… 10分 B. 解:设A 的一个特征值为λ,由题意知1214λλ---=0,则(2)(3)0λλ--=,解得12λ=或23λ=………………………………………………………………………………………5分当λ1=2时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=2x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值2的特征向量α1=21⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………8分当λ2=3时，由1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得A 属于特征值3的特征向量α2=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦…………………10分 C. 解：直线l 的直角坐标方程为y x =……3分曲线C 是圆,圆心为(2,0),半径为r =6分因为圆心到直线l的距离d r ===,所以直线与曲线C 相切……………………………10分 D. 解:根据柯西不等式,得22222222(23)()(123)14a b c a b c ++≤++++=………………………8分所以2314a b c ++≤,即23a b c ++的最大值为14…………………………………………………10分22. 解：(Ⅰ)332454140A C A =，即甲、乙两人同时参加A 5分 (Ⅱ)随机变量ξA 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===,10分23.解：（Ⅰ）因为1C C ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，所以分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B （0，1，0），1A ，A 0，0）,M ，所以1A B =（，1，）,AM =（0，所以1A B ·AM =3+0-3=0，所以1A B ⊥AM ,即1A B ⊥AM ……………………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知(AB =-，1A A =（0，0），设面11AA B B 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.y ⎧+=⎪=不妨取n =，设直线AM 与平面11AA B B 所成角度为θ,- 11 -则sin |cos ,|||6||||AM nAM n AM n θ⋅=<>==⋅ 所以直线AM 与平面11AA B B 所成角的正弦值为610分 (注:其它建系方法与解法,类似给分)。

37829_江苏省盐城市2011届高三第二次调研考试(政治)(2011盐城二调)

盐城市2010/2011学年度高三年级第二次调研考试政治试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共33小题，每小题2分，共计66分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题意的。

1．十一届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国国民经济和社会发展第十二个五年规划纲要》指出：“十二五”时期，我们要以为主题，以为主线，促进经济长期平稳较快发展和社会和谐稳定。

A ．改革开放贯彻科学发展观B ．全面协调可持续发展保障和改善民生C ．以人为本改革开放D ．科学发展加快转变经济发展方式2．2010年11月16日，在肯尼亚首都内罗毕举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第五次会议上，和被列入联合国非物质文化遗产代表作名录。

A ．中国剪纸黄梅戏B ．昆曲中国古琴艺术C ．中医针灸京剧D ．京剧中国活字印刷术3．2011年1月14日，2010年度国家科学技术奖励大会在北京人民大会堂隆重举行。

着名材料科学家和着名血液学专家获得2010年度国家最高科学技术奖。

A ．谷超豪孙家栋B ．王振义孙家栋C ．师昌绪王振义D ．钱伟长谷超豪4．2011年1月29日，中央一号文件《中共中央国务院关于加快的决定》全文发布。

文件明确规定，今后每年将从土地出让收益中提取用于该项公共支出。

A ．新农村建设25%B ．农业稳定发展15%C ．农民持续增收20%D ．水利改革发展10%5．2010年江苏地区生产总值超过万亿元，同比增长，财政收入首次破万亿元。

A ．413．5%B ．510%C ．610．3%D ．710．7%6．2010年11月29日，《联合国气候变化框架公约》第16次缔约方会议暨《京都议定书》第6次缔约方会议在开幕，这次会议在资金援助、技术支持、森林保护等方面有所突破。

A ．西班牙马德里B ．丹麦哥本哈根C ．中国香港D ．墨西哥坎昆7．右图中的对话表明，商品价值量 A ．与社会劳动生产率成正比B ．是由社会必要劳动时间决定的C ．是由商品的使用价值决定的D ．受供求关系影响8．江苏民营经济快速发展，2010年民间投资达1.4万亿元，在全社会投资中占比超六成。

盐城市2011届高三第二次调研考试word版(物理)

盐城市2010/2011学年度高三年级第二次调研考试物理试题一、单项选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分。

每小题只有一个选项符合题意。

1．制造电阻箱时，要用双线绕法如图所示。

当电流变化时双线绕组A ．螺旋管内磁场发生变化B ．穿过螺旋管的磁通量发生变化C ．回路中一定有自感电动势产生D ．回路中一定没有自感电动势产生 2．2010年10月1日“嫦娥二号卫星”在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后进入地月转移轨道，经多次变轨进入距离月球表面100km ，周期为118min 的工作轨道，开始对月球进行探测。

经过一段时间后，如果卫星的轨道距月球高度逐渐降低，则“嫦娥二号卫星”的A ．线速度逐渐减小B ．角速度逐渐减小C ．周期逐渐减小D ．向心加速度逐渐减小3．如图所示，将电动势为E ，内阻r 的电源接在AB 之间。

当开关S 接通后A ．电容器C 的带电量增加B ．电容器C 的带电量减少C ．电阻R 0消耗的电功率不变D ．电阻R 0消耗的电功率变大4．如图所示，表面粗糙的斜面体A 放置在水平面上，物块P 被平行于斜面的弹簧拴着静止在斜面上，弹簧的另一端固定在档板B上。

关于P 、A 受力情况的分析，正确的是A ．物块P 一定受到斜面体A 对它的摩擦力作用B ．斜面体A 一定受到水平面对它的摩擦力作用C ．斜面体A 对物块P 的作用力一定竖直向上D ．地面对斜面体A 的作用力一定竖直向上5．链球运动是使用双手进行投掷的竞赛项目。

运动员双手紧握链条的一端，另一端拴一重球，绕竖直轴做圆周运动。

在转速不断增大的过程中，某时刻突然松手，链球水平飞出。

下列说法中正确的是A ．松手前链条的拉力总是与球的速度方向垂直B ．松手时球在重力和离心力作用下向外飞出C ．球飞出后在空中运动时间与松手时球的速率无关D ．球飞出的水平距离仅由松手时球的速率决定C 2R 0R 1R s A B 第3题图第1题图P A B 第4题图第5题图二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共计16分。