线性代数 矩阵 第3节 逆矩阵
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第三章 可逆矩阵
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.5 方阵A可逆 矩阵A可表示成有限个初 等矩阵的积. 证 ) 方阵A可逆，则存在初等矩阵P1, P2,…,Ps, Q1,Q2,…,Qt，使Ps…P2P1AQ1Q2…Qt=E . 即 A P11 P21 Ps1Qt1 Q2 1Q11 . 又初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵，所以A是有限个 初等矩阵的积. ) 若矩阵A可表示成有限个初等矩阵的积.由初 等矩阵可逆知A也可逆。 #
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.6 方阵A可逆 矩阵A经有限次初等行变
换可变成单位矩阵.
证 ) 由定理2.4 可知； ) 方阵A可逆，则A-1可逆，
存在初等矩阵 1 , P2 ,, Pl , 使 A1 P1 , P2 ,, Pl P
即 P1 , P2 ,, Pl A A1 A E
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
定理2.1 设A为n阶方阵，A*为A的伴随矩阵，
则 AA*=A*A=AE .
证
a1k A1k * a2 k A1 k AA a A nk 1 k
a a
A2 k 2 k A2 k ank A2k
§2 可逆矩阵的充要条件与逆矩阵的计算
2.用初等变换求逆矩阵
定理2.4 方阵A可逆 矩阵A经有限次初等变换
可变成单位矩阵. 证 设A的标准形为B，即存在初等矩阵 P1 , P2 ,, Ps ;Q1 , Q2 ,, Qt 使 Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt B.
Ps P2 P1 A Q1Q2 Qt B , Ps P2 P1 0, Q1Q2 Qt 0, A可逆 A 0 B 0 B E .
线性代数PPT课件：矩阵 第3节 逆 矩 阵
2 A A 2 E O 证明 例5 设方阵 A 满足
A 及 A 2E 都可逆，并求
例6
A
1
及 ( A 2E ) .
1
设
4 2 3 A 1 1 0 , 1 2 3
AB A 2 B,
求 B.
例7 用逆矩阵求解线性方程组的解.
2 x1 x2 x3 4, x1 2 x3 4, 3x x 3x 2. 3 1 2
问题．
2.3.4 矩阵可逆的充要条件
定理2.3.1 如果 n 阶方阵Ａ可逆，则它的
逆矩阵是唯一的．
由定理2.3.1知，如果 A 是可逆矩阵，则有
detA 0， 那么，反过来是否成立呢？为了回
答这个问题，先引入伴随矩阵的定义．
定义 2.3.2 n 阶方阵 A 的行列式 detA 的各
个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵
2.3.5 举例
例2 求二阶矩阵
a b A c d
的逆矩阵.
“两调一除 ”法
求二阶矩阵的逆矩阵可用 “两调一除 ”的方法 , 其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用 |A| 去除 A 的每一个元素 , 即可得 A 的逆矩
例1
设
3 1 1 1 A 2 1 , B 2 3 ,
验证 B 是否为 A 的逆矩阵．
2.3.3 可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai (i = 1, 2, …, m) 为 n 阶可逆方阵，
k 为非零常数，则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵，且 (1) (A-1)-1 = A; (2)
线性代数教学课件第二章矩阵第三节逆矩阵
| (3A)1 2 A | 的值. (其中 A 为 A 的伴随矩阵）
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad
解 A | A | A1 1 A1 ,
2
| (3A)1 2A | | 1 A1 A1 | | 2 A1 |
3
3
(
2 )3 3
|
A1
|
8 | 27
A |1
8 2 27
16 27
.
18
(5) 设 A, B,C 为同阶方阵, AB AC .若 A 可逆,则B C .
对于可逆矩阵而言，矩阵乘法的消去律成立.
(6) 若A可逆,则有 | A1 | | A |1 . 证 AA1 E , | A | | A1 | 1 , 因此 | A1 | | A |1 .
17
例9 设 A 为 3 阶方阵，且| A | 1 , 求行列式 2
14
2a c 1,
2b
d a
0, 0,
b 1,
又因为 AB
a 0,
b 1,
c
1,
d 2.
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0, 1 01 2 1 2 1 0 0 1
所以
A1 0 1. 1 2
15
三、逆矩阵的运算性质
(1) 若A可逆,则A1亦可逆,且( A1 )1 A . (2) 若A可逆,数k 0,则kA可逆,且 (kA)1 1 A1.
可逆时,
求 A1
解 A 可逆的充分必要条件是 A ad bc 0
又
A*
A11 A12
A21 A22
d c
ab
所以当 A ad bc 0 时,
对角元互换位置, 非对角元变号
A1
1 A
A*
ad
线性代数03.矩阵的乘法和逆
线性代数03.矩阵的乘法和逆本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则1.⾏乘列乘法⼀般性法则：⾏乘列得到⼀个数。
假设有两个矩阵 A 、B ，并且我们让 A ∗B =C , 可以求得矩阵 C 中 i ⾏ j 列元素：C ij =(row_i at A )(column_j at B )即矩阵 A 中 i ⾏点乘以矩阵 B 中的 j 列，就是矩阵 C 中 i ⾏ j 列的元素。
注意是 “⾏*列”。
例如A =◻◻◻◻◻◻◻◻a 31a 32a 33⋯◻◻◻◻◻◻◻◻B =◻◻◻b 14◻◻◻◻b 24◻◻◻◻b 34◻◻◻◻⋯◻则 矩阵 C 中 第3⾏4列元素为：C 34=a 31b 14+a 32b 24+a 33b 34+⋯+a 3n b n4=n∑k =1a 3k b k4前提条件是矩阵 A 的总列数 必须和矩阵 B 中的总⾏数相等。
假设矩阵 A 是 m ∗n 矩阵，矩阵 B 是 n ∗p 矩阵， 那么 矩阵 C =A ∗B ， 矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵A 的⼀⾏与矩阵 B 的⼀列的点乘，可以得到矩阵C 中的⼀个元素，那么 m ⾏乘以 p 列就可以得到 m ∗p 个元素，所以矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
2.矩阵列的线性组合举例：◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C矩阵 A 的所有列乘以 B 的列1得到矩阵 C 的列1，矩阵 A 乘以 B 的列2得到矩阵 C 的列2....将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 B 可以看成 p 个单独的列向量，只是这⾥排在⼀起。
⽤矩阵 A 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 C 的各列。
矩阵 C 中的各列，是矩阵 A 中各列的线性组合，矩阵 B 表⽰是怎么样的线性组合。
()()()()()Processing math: 100%3.矩阵⾏的线性组合◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C同样的例⼦，我们从矩阵⾏的⾓度看，可以看成矩阵 A 的每⼀⾏乘以矩阵 B 所有⾏,可以得到相应矩阵C 的每⼀⾏。
2_3逆矩阵
那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵.
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
1 1 3 A 2 1 4
1 2 4
可以验证，AB BA E
4 2 1 B 4 1 2
A11 A21 An1
A* =
A12 A22 An2
A1n A2n Ann
《线性代数》
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1 1 1
例1. 求 A 1 2 3
的伴随矩阵A*.
0 1 1
A11 A21 A31
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 A12 A22 A32
A13 A23 A33
2 A11 (1)11 1
方阵可逆的充分必要条件
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证：必要性. 设A可逆，即有A1， 使AA1E , 故|A|·|A1||E|1，所以|A|0，即A为非奇异.
《线性代数》
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定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*， 其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
x1 x2
31
两边都左乘矩阵F得
(
F
11//
2 2
1/ 1/
22
)
11//
2 2
1/ 1/
2 2
11
11
x1 x2
11//
2 2
1/ 1/
22
31
10
01
x1 x2
定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
A的逆矩阵记为A1 . 即若ABBAE ，则BA1 .
由于A，B位置对称，故A，B互逆，即BA1， AB1. 如
1 1 3 A 2 1 4
1 2 4
可以验证，AB BA E
4 2 1 B 4 1 2
A11 A21 An1
A* =
A12 A22 An2
A1n A2n Ann
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1 1 1
例1. 求 A 1 2 3
的伴随矩阵A*.
0 1 1
A11 A21 A31
解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为 A12 A22 A32
A13 A23 A33
2 A11 (1)11 1
方阵可逆的充分必要条件
定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*，其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
证：必要性. 设A可逆，即有A1， 使AA1E , 故|A|·|A1||E|1，所以|A|0，即A为非奇异.
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定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A|0，而且 A1 —1 A*， 其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|
x1 x2
31
两边都左乘矩阵F得
(
F
11//
2 2
1/ 1/
22
)
11//
2 2
1/ 1/
2 2
11
11
x1 x2
11//
2 2
1/ 1/
22
31
10
01
x1 x2
—逆矩阵
非奇异矩阵A 的逆矩阵一定存在。
反过来, 如果矩阵 A 的逆矩阵 A1 存在, 则 AA1 E 。
两边取成行列式, 得 | AA1 | | A || A1 | | E | 1,
故 | A| 0。
实际上 , 我们证明了一个定理。
逆矩阵存在的充要条件 矩阵 A 可逆的充要条件是其行列式 | A | 0。
r3 3 r1
0 1 0 2 1 0
3 2 1 0 0 1
0 2 1 3 0 1
r3 (2) r2
1
0 0
0 1 0
0 0 1
1 2 7
0 1 2
0 0 , 故 1
1
A1 2 7
0 1 2
0
0 。 1
运用初等变换法的最大好处在于：
当不知道矩阵A 是否有逆矩阵时, 我们可以直接
运用初等变换法进行计算
或者说 : 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为满秩的。
或者说: 矩阵 A 可逆的充要条件是A 为非奇异的。
利用伴随矩阵求逆矩阵 若矩阵 A 可逆 , 则 A1 A* 。 | A|
例
设
A
1 3
2 4
,
求 A－1。
解
| A|
1 3
2 4
2。
A11 4 , A12 3 , A21 2 , A22 1,
A11 A21
A*
A12
A22
A1n A2n
An1
An 2
Ann
称为 A的伴随矩阵。
转置！
由行列式的拉普拉斯按行 (列) 展开定理, 得
a11 a12
AA* a21
a22
an1 an2
a1n A11
线性代数-逆矩阵
=
6
2 0 0
0 4 0
0 1 0 −0 7 0
0 1 0
0 0 1
−1
=
6
1 0 0
0 3 0
0 −1
0 6
1 0 0−1 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3
0 6 0 0 0 = 0 2 0.
0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
1 0 0 0 0
0 2 0 0 0
证明 由A2 − A − 2E = 0,
A−1
得A(A − E ) = 2E ⇒ A A − E = E
2 ⇒ A A − E = 1 ⇒ A ≠ 0, 故A可逆.
2
∴ A−1 = 1 (A − E ).
2
又由A2 − A − 2E = 0
⇒ (A + 2E )(A − 3E ) + 4E = 0
1 5 − 11
123 1 2 3
解
A = 2 1 2= 0 −3 −4
133 0 1 0
12 3 = 0 − 3 − 4 = − 3 − 4 = 4≠ 0, 所以A可逆.
01 0 1 0
A11
=
1 3
2 = −3, 3
A12
=
−
2 1
2 = −4, 3
A13
=
2 1
1 = 5, 3
同理可求得 A21 = 3, A22 = 0, A23 = −1, A31 = 1, A32 = 4, A33 = −3.
1 1
−1 1
1 1 0X1
−1 1
1 4 0 = 0
2 −1
3 5
2 1 1 3 2 1 2 1 1
线性代数-逆矩阵
b 2 :
a m1
a m2
...
a mn
x n
b m
线性方程组 可记为AX=b.
A
Xb
对线性方程组AX=b, 若A为可逆方阵, 则方 程组有唯一解, 可得 X=A-1b.
例5 解线性方程组 解 写成矩阵形式
y 2z 1 x y 4z 1. 2x y 2
0 1 2 x 1 1 1 4 y 1. 2 1 0 z 2
练习 设方阵A满足A2–A–2E=0, 证明A, A+2E 都可逆, 并求其逆矩阵.
解: 由A2–A–2E=0A(A –E)=2E |A||A –E|0 A可逆, 且A-1= (A –E)/2.
由A可逆及A+2E=A2 A+2E可逆.
(A+2E)-1= (A –E)2/4或(3E –A)/4.
例4 设A为满秩方阵, 且AB=0. 证明: B=0.
证明 A是满秩矩阵即A是可逆矩阵, 这样
A-1(AB)=A-1•0=0.
另外 A-1(AB)=(A-1A)B=EB=B.
因此B=0.
在矩阵乘法之中我们知道若AB=0一般不能 得到A或B中至少有一个为零矩阵. 但当A, B 之中有一个为满秩方阵时, 由本例证明, 另 一个一定为零矩阵. 在以后的学习中我们还 会得到更一般的结论.
同理B-1 =A.
逆矩阵的性质
性质1 若A可逆，则A-1 可逆，且(A-1 )-1=A. 性质2 若A,B可逆, 则AB可逆,且(AB)-1=B-1 A-1. 性质3 若A可逆, 则 | A1 || A |1 1 .
| A| 性质4 若A可逆, 则(A-1)=(A)-1.
性质5 若A可逆, 数k0, 则 (kA)1 1 A1. k
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§2.3 逆矩阵
例8. 求A =
a b 的伴随矩阵. c d
解: A11 = d, A21 = b,
A12 = c, A22 = a. A11 A21 d b A* = . = c a A12 A22
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
例9. 设A为方阵, A*为其伴随矩阵. 证明: AA* = A*A = |A|E. a11 … a1n A11 … An1 证明: AA* = an1 … ann A1n … Ann
设A, B为同阶可逆方阵, 数k 0. 则 (1) (A1)1 = A. (2) (AT)1 = (A1)T. (3) (kA)1 = k1A1. (4) (AB)1 = B1A1. 要证明(4), 只要验算
① (B1A1)(AB) = E, ② (AB)(B1A1) = E
即可.
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
4.方阵可逆的条件 设A = [aij]nn为方阵, 元素aij的代数余子 式为Aij, 则称如下矩阵
A11 A* = A12 … A1n
A21 … An1 A22 … An2 … … … A2n … Ann
为方阵A的伴随矩阵(adjoint).
第二章 矩阵与行列式
…
…
…
…
k=1
a1kA1k … a1kAnk
k=1 n
n
n
|A| = |A|
…
n k=1 k=1
…
=
.
a1kA1k … a1kAnk
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
定理.方阵A可逆的充分必要条件是|A| 0. 当|A| 0时, 有 A1 = 1 A*. |A|
A非奇异(nonsingular)
1a = a1 = a, a
事实 a0 b s.t. ab = ba = 1 ba = 1, ax = c x = 1x = bax = bc 应用 ab = 1, xa = c x = x1 = xab = cb
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E, 则称A可逆(invertible), 并称B为A的
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
例11. 设方阵A满足A2+3AE = 0. 证明: A及A2E可逆, 并求它们的逆矩阵.
逆矩阵(inverse matrix). 2. 逆矩阵的唯一性 若AB = BA = E, AC = CA = E, 则B = BE =B(AC) = (BA)C = EC = C. 命题. A可逆 A的逆矩阵唯一. 注: A的逆矩阵记为A1.
第二章ห้องสมุดไป่ตู้矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
3. 逆矩阵的运算性质
推论. 设A, B为方阵, 若AB = E(或BA = E), 则B = A1. 事实上, AB = E |A| 0 A可逆 B = EB = (A1A)B = A1(AB) = A1E = A1.
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
例10. 求下列方阵的逆矩阵.
1 2 3 1 2 (1) A = , (2) B = 2 2 1 . 3 4 3 4 3 解: (1) A1 = 1 A* = 1 4 2 . |A| 2 3 1 (2) |B| = 2 0, B11 = (1)1+1 2 1 = 2, B21 =6, 4 3 B31 = 4, B12 = 3, B22 = 6, B32 = 5, B13 = 2, B23 = 2, B33 = 2. 2 6 4 B1 = 1 B* = 1 3 6 5 . |B| 2 2 2 2
第二章 矩阵与行列式
§2.3 逆矩阵
§2.3方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念
数(一阶方阵) n阶方阵 EA = AE = A, A A 满足 ? B s.t. AB = BA = E BA = E, AX = C X = EX = BAX = BC AB = E, XA = C X = XE = XAB = CB